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第一章
命題與充要條件
MING TI YU CHONG YAO TIAO JIAN
1.1 命題
詳寫內(nèi)容……點(diǎn)擊輸入本欄的具體文字，簡明扼要的說明分項(xiàng)內(nèi)容，此為概念圖解，請根據(jù)具體內(nèi)容酌情修改。
”
1.1.1 命題的概念
用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫作命題.其中，正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題.
例如：
（1） 1+1=2;
（2）河北的省會(huì)是石家莊；
（3）所有的自然數(shù)都大于零；
（4） ={0}.
這些語句都是命題，其中（1）（2）是真命題，（3）（4）是假命題.
1.1 命題
詳寫內(nèi)容……點(diǎn)擊輸入本欄的具體文字，簡明扼要的說明分項(xiàng)內(nèi)容，此為概念圖解，請根據(jù)具體內(nèi)容酌情修改。
”
1.1.1 命題的概念
又如：
1+1=2嗎？
姚明長得真高！
請不要遲到.
這些語句都不是命題，因?yàn)橐蓡柧洹⒏袊@句和祈使句都不可以判斷真假，不滿足命題的定義.
為方便起見，常用大寫字母P，Q，R等作為命題的記號.
下面的語句哪些是命題？哪些不是命題？如果是命題，請指出其真假.
（1）我國的四大發(fā)明不包括造紙術(shù)；
（2）42不能被3整除；
（3）5是偶數(shù)；
（4）請你現(xiàn)在來一下辦公室.
1.1 命題
1.1.1 命題的概念
做一做
1.1 命題
1.1.2 四種命題
1.原命題和逆命題
一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題稱為互逆命題．其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)命題稱為原命題的逆命題．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
1.原命題和逆命題
也就是說，如果原命題為
“若p，則q”
那么它的逆命題為
“若q，則p”
例如，將命題“若a=b，則a2=b2”的條件和結(jié)論互換，就得到它的逆命題“若a2=b2，則a=b”.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
2.否命題
如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題稱為互否命題．如果把其中一個(gè)命題稱為原命題，那么另一個(gè)命題稱為原命題的否命題．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
2.否命題
也就是說，如果原命題為
“若p，則q”
那么它的否命題為
“若非p，則非q”
為書寫簡便，常將否命題記為
“若 p，則 q”
1.1 命題
1.1.2 四種命題
2.否命題
例如，如果原命題是“若a=b，則a2=b2”，那么它的否命題是“若a≠b，則a2≠b2”．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
3.逆否命題
如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題稱為互為逆否命題．如果把其中一個(gè)命題稱為原命題，那么另一個(gè)命題稱為原命題的逆否命題．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
3.逆否命題
也就是說，如果原命題為
“若p，則q”
那么它的逆否命題為
“若非q，則非p”
同理，常將逆否命題記為
“若q，則p”
1.1 命題
1.1.2 四種命題
3.逆否命題
例如，如果原命題是“若a=b，則a2=b2”，那么它的逆否命題是“若a2≠b2，則a≠b”．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
3.逆否命題
綜上可知，設(shè)命題“若p，則q”為原命題，那么
? 命題“若q，則p”是原命題的逆命題；
? 命題“若 p，則 q”是原命題的否命題；
? 命題“若 q，則 p”是原命題的逆否命題．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
4.四種命題間的相互關(guān)系
原命題、逆命題、否命題和逆否命題之間的相互關(guān)系如圖1-1所示．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
4.四種命題間的相互關(guān)系
一般地，四種命題的真假性之間具有以下關(guān)系：
·如果兩個(gè)命題互為逆否命題，那么它們具有相同的真假性(同為真命題或同為假命題)；
·如果兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
4.四種命題間的相互關(guān)系
例如，在以下四個(gè)命題中：
(1)若a，b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)；
(2)若a+b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)；
(3)若a，b不都是偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù)；
(4)若a+b不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
4.四種命題間的相互關(guān)系
若設(shè)命題(1)是原命題，顯然命題(2)(3)(4)分別是它的逆命題、否命題和逆否命題．
此外，我們發(fā)現(xiàn)，命題(2)(3)互為逆否命題，命題(2)(4)互為否命題，命題(3)(4)互為逆命題．
不難判斷，原命題(1)是真命題，它的逆命題(2)是假命題，它的否命題(3)是假命題，而它的逆否命題(4)是真命題．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
4.四種命題間的相互關(guān)系
總結(jié)而言，命題(1)(4)互為逆否命題，它們同為真命題；命題(2)(3)互為逆否命題，它們同為假命題；其他兩兩命題的真假性之間沒有關(guān)系．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
4.四種命題間的相互關(guān)系
例1 下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題
(1)矩形的對角線相等； (2)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎
(3)對角線互相垂直的四邊形是菱形； (4)兩個(gè)全等三角形的面積相等；
(5)若方程x2+a=0無實(shí)根，則a≥0； (6)x>13．
分析 判斷一個(gè)語句是不是命題，要看它是否符合“是陳述句”和“可以判斷真假”這兩個(gè)條件．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
4.四種命題間的相互關(guān)系
例1 下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題
(1)矩形的對角線相等； (2)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎
(3)對角線互相垂直的四邊形是菱形； (4)兩個(gè)全等三角形的面積相等；
(5)若方程x2+a=0無實(shí)根，則a≥0； (6)x>13．
解：在上面6個(gè)語句中，(2)不是陳述句，所以它不是命題；(6)雖然是陳述句，但因?yàn)闊o法判斷它的真假，所以也不是命題；其余4個(gè)都是陳述句，而且都可以判斷真假，所以它們都是命題，其中(1)(4)是真命題，(3)(5)是假命題．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
4.四種命題間的相互關(guān)系
例2 寫出命題“若xy=0，則x=0或y=0”的逆命題、否命題和逆否命題．
解：原命題：若xy=0，則x=0或y=0.
逆命題：若x=0或y=0，則xy=0.
否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0.
逆否命題：若x≠0且y≠0，則xy≠0．
1.1 命題
1.1.2 四種命題
4.四種命題間的相互關(guān)系
例3 將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，同時(shí)寫出它的逆命題、否命題和逆否命題，并分別判斷它們的真假．
解：(1)原命題可以改寫成：若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)．
逆命題：若一個(gè)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù).
否命題：若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的立方不是負(fù)數(shù).
逆否命題：若一個(gè)數(shù)的立方不是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)．
原命題、逆命題、否命題和逆否命題均是真命題．
(1)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)；
1.1 命題
1.1.2 四種命題
4.四種命題間的相互關(guān)系
例3 將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，同時(shí)寫出它的逆命題、否命題和逆否命題，并分別判斷它們的真假．
解：(2)原命題可以改寫成：若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位上數(shù)字為0，則它能被5整除．
逆命題：若一個(gè)整數(shù)能被5整除，則它的個(gè)位上數(shù)字為0.
否命題：若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位上數(shù)字不為0，則它不能被5整除.
逆否命題：若一個(gè)整數(shù)不能被5整除，則它的個(gè)位上數(shù)字不為0．
原命題和逆否命題是真命題，逆命題和否命題是假命題．
(2)個(gè)位上數(shù)字為0的整數(shù)能被5整除.
1.1 命題
1．下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題
(1)｜-1｜=1；
(2)x2-1=0；
(3)1+1>2；
(4)等邊三角形不是等腰三角形；
(5)2 01450是個(gè)大數(shù)；
(6)若一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，則這個(gè)三角形的兩條邊相等．
1.1.2 四種命題
做一做
1.1 命題
1.1.2 四種命題
2．指出下列命題中的條件p和結(jié)論q，并判斷它們的真假.
(1)若x，y互為倒數(shù)，則xy=1；
(2)若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)；
(3)若a>b，則ac2>bc2．
做一做
1.1 命題
1.1.2 四種命題
3．寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假：
(1)若｜x｜=｜y｜，則x=y；
(2)若x=1,則x2=1．
做一做
1.1 命題
1.1.2 四種命題
在數(shù)學(xué)中，有時(shí)會(huì)使用一些聯(lián)結(jié)詞，如“且”“或”“非”來聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題，以構(gòu)成一個(gè)新的命題.
下面介紹邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的含義和用法.為敘述方便，通常用小寫字母p,q,r,
s,…表示命題.
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
1.1 命題
1.1.2 四種命題
1.且（and）
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
一般地，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個(gè)新命題，記作
p∧q
讀作“p且q”.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
1.且（and）
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例如，在下列三個(gè)命題中，命題（3）是由命題（1）（2）使用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)而得到的新命題.
（1）10能被2整除；
（2）10能被5整除；
（3）10能被2整除且能被5整除.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
1.且（and）
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
我們規(guī)定：當(dāng)p,q都是真命題時(shí)，p∧q是真命題；當(dāng)p,q這兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，p∧q是假命題.
在上述三個(gè)命題中，命題（1）（2）都是真命題，所以命題（3）是真命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
2.或（or）
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
一般地，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個(gè)新命題，記作
p∨q
讀作“p或q”.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
2.或（or）
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例如，在下列三個(gè)命題中，命題（3）是由命題（1）（2）使用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)而得到的新命題.
（1）21是4的倍數(shù)；（2）21是7的倍數(shù)；
（3）21是4的倍數(shù)或是7的倍數(shù).
1.1 命題
1.1.2 四種命題
2.或（or）
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
我們規(guī)定：當(dāng)p，q這兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，p∨q是真命題；當(dāng)p，q這兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，p∨q是假命題.
在上述三個(gè)命題中，命題（1）是假命題，命題（2）是真命題，所以命題（3）是真命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
3.非（not）
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
一般地，對一個(gè)命題p加以否定，就得到一個(gè)新命題，記作
p
讀作“非p”或“p的否定”.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
3.非（not）
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例如，在下列兩個(gè)命題中，命題（2）是命題（1）的否定.
（1）正方形是矩形；
（2）正方形不是矩形.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
3.非（not）
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
顯然，若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題.
在上述兩個(gè)命題中，命題（1）是真命題，命題（2）是假命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例4 用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)或改寫下列命題，并判斷它們的真假.
（1）p:矩形的對角線相等，q：矩形的對角線互相平分；
（2）p：15是3的倍數(shù)，q：15是10的倍數(shù)；
（3）1既是奇數(shù)，又是質(zhì)數(shù)；
（4）12能被2和3整除.
解：（1）p∧q：矩形的對角線相等且互相平分.
因?yàn)閜是真命題，q是真命題，所以p∧q是真命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例4 用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)或改寫下列命題，并判斷它們的真假.
（1）p:矩形的對角線相等，q：矩形的對角線互相平分；
（2）p：15是3的倍數(shù)，q：15是10的倍數(shù)；
（3）1既是奇數(shù)，又是質(zhì)數(shù)；
（4）12能被2和3整除.
解： （2）p∧q：15是3的倍數(shù)且是10的倍數(shù).
因?yàn)閜是真命題，q是假命題，所以p∧q是假命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例4 用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)或改寫下列命題，并判斷它們的真假.
（1）p:矩形的對角線相等，q：矩形的對角線互相平分；
（2）p：15是3的倍數(shù)，q：15是10的倍數(shù)；
（3）1既是奇數(shù)，又是質(zhì)數(shù)；
（4）12能被2和3整除.
解：（3）命題“1既是奇數(shù)，又是質(zhì)數(shù)”可以改寫為“1是奇數(shù)且1是質(zhì)數(shù)”.
因?yàn)椤?是奇數(shù)”是真命題，“1是質(zhì)數(shù)”是假命題，所以這個(gè)命題是假命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例4 用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)或改寫下列命題，并判斷它們的真假.
（1）p:矩形的對角線相等，q：矩形的對角線互相平分；
（2）p：15是3的倍數(shù)，q：15是10的倍數(shù)；
（3）1既是奇數(shù)，又是質(zhì)數(shù)；
（4）12能被2和3整除.
解：（4）命題“12能被2和3整除”可以改寫為“12能被2整除且12能被3整除”.
因?yàn)椤?2能被2整除”與“12能被3整除”都是真命題，所以這個(gè)命題是真命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例5 判斷下列命題的真假.
（1）114≤114；
（2）等腰三角形有一個(gè)角是90°或有兩個(gè)角是45°;
（3）集合M是M∪N的子集或是M∩N的子集.
解： （1）命題“114≤114”是由命題
p：114<114 q：114=114
用“或”聯(lián)結(jié)后構(gòu)成的新命題，即p∨q.因?yàn)槊}p是假命題，命題q是真命題，所以命題p∨q是真命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例5 判斷下列命題的真假.
（1）114≤114；
（2）等腰三角形有一個(gè)角是90°或有兩個(gè)角是45°;
（3）集合M是M∪N的子集或是M∩N的子集.
解：（2）命題“等腰三角形有一個(gè)角是90°或有兩個(gè)角是45°”是由命題
p：等腰三角形有一個(gè)角是90° q：等腰三角形有兩個(gè)角是45°
用“或”聯(lián)結(jié)后構(gòu)成的新命題，即p∨q.因?yàn)槊}p,q都是假命題，所以命題p∨q是假命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例5 判斷下列命題的真假.
（1）114≤114；
（2）等腰三角形有一個(gè)角是90°或有兩個(gè)角是45°;
（3）集合M是M∪N的子集或是M∩N的子集.
解：（3）命題“集合M是M∪N的子集或是M∩N的子集”是由命題
p：集合M是M∪N的子集 q：集合M是M∩N的子集
用“或”聯(lián)結(jié)后構(gòu)成的新命題，即p∨q.因?yàn)槊}p是真命題，命題q是假命題，所以命題p∨q 是真命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例6 寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假.
（1）p：空集是集合A的子集；
（2）p：7<5；
（3）p：π是有理數(shù).
解： （1） p：空集不是集合A的子集.
命題 p是假命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例6 寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假.
（1）p：空集是集合A的子集；
（2）p：7<5；
（3）p：π是有理數(shù).
解：（2） p：7≥5.
命題 p是真命題.
1.1 命題
1.1.2 四種命題
知識卡片：邏輯聯(lián)結(jié)詞
例6 寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假.
（1）p：空集是集合A的子集；
（2）p：7<5；
（3）p：π是有理數(shù).
解： （3） p：π不是有理數(shù).
命題 p是真命題.
1.2 充分條件、必要條件
觀察下列推論是否成立：
(a)x=2,則x2=4.
(b)xy=0,則x=0.
顯然，由(a)中的“x=2”一定能推斷出“x2=4”;由(b)中的“xy=0”不能推斷出“x=0”,因?yàn)橛锌赡躽=0.
1.2 充分條件、必要條件
像上述那樣，已知條件p和結(jié)論q，則
（1）如果由條件p成立可推出結(jié)論q成立,則說條件p是結(jié)論q的充分條件,記作“p q”.上述(a)中,條件p:x=2,結(jié)論q:x2=4,即“x=2”是“x2=4”的充分條件.
（2）如果由結(jié)論q成立可推出條件p成立,則說條件p是結(jié)論q的必要條件,記作“q p(或p q)”.上述(b)中,條件p:xy=0,結(jié)論q:x=0,即“xy=0”是“x=0”的必要條件.
1.2 充分條件、必要條件
例 指出下列各組命題中p是q的什么條件.
(1)p:x>3,q:x>5;
(2)p:x-2=0,q:(x-2)(x+4)=0;
(3)p:-2x>4,q:x≤-2.
解：(1)由條件x>3成立不能推出結(jié)論x>5成立,如x=4時(shí),4>3但4<5,因此p不是q的充分條件;而由結(jié)論x>5可以推出條件x>3成立,所以p是q的必要不充分條件.
1.2 充分條件、必要條件
例 指出下列各組命題中p是q的什么條件.
(1)p:x>3,q:x>5;
(2)p:x-2=0,q:(x-2)(x+4)=0;
(3)p:-2x>4,q:x≤-2.
解：(2)由條件x-2=0能夠推出結(jié)論(x-2)(x+4)=0成立,但是由結(jié)論(x-2)(x+4)=0不能推出條件x-2=0成立,所以p是q的充分不必要條件.
1.2 充分條件、必要條件
例 指出下列各組命題中p是q的什么條件.
(1)p:x>3,q:x>5;
(2)p:x-2=0,q:(x-2)(x+4)=0;
(3)p:-2x>4,q:x≤-2.
解：(3)由條件-2x>4成立不能夠推出結(jié)論x≤-2成立,而由結(jié)論x≤-2成立也不能夠推出條件-2x>4成立,所以p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件.
1.2 充分條件、必要條件
填空題.
（1）“x2=y2”是“x=y”的 條件；
（2）“ac=bc”是“a=b”的 條件；
（3）“x=0”是“xy≠0”的 條件.
做一做
1.3 充要條件
已知條件p和結(jié)論q.
如果p q,且p q,那么p是q的充分且必要條件,簡稱充要條件,記作“p q”.
例 已知p:-6x>3,q:x< ，p是q的什么條件？
解：由條件-6x>3成立能夠推出結(jié)論x< 成立,而由結(jié)論x< 成立也能夠推出條件-6x>3成立,所以p是q的充要條件.
1.3 充要條件
用符號“ ”“ ”“ ”填空.
（1）x<-1或x>2（x-2） （x+1）>0；
（2）x>3 x>7；
（3）△ABC的每個(gè)內(nèi)角都是60° △ABC為等邊三角形；
（4）x∈A∩B x∈A∪B.
做一做
1.3 充要條件

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