資源簡介

整式的乘法
知識精講 知識點一（冪的運算） 【知識梳理】 1．同底數冪的乘法 （1）同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加． （m，n是正整數） （2）推廣：（m，n，p都是正整數） 在應用同底數冪的乘法法則時，應注意：①底數必須相同，如與，與，與等；②可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質，只有相乘時才是底數不變，指數相加． 2．冪的乘方 （1）冪的乘方法則：底數不變，指數相乘． （am）n=amn（m，n是正整數） 注意：①冪的乘方的底數指的是冪的底數；②性質中“指數相乘”指的是冪的指數與乘方的指數相乘，這里注意與同底數冪的乘法中“指數相加”的區別． 3．積的乘方 （1）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘． （ab）n=an bn（n是正整數） 注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘方應根據乘方的意義，計算出最后的結果． 4．同底數冪的除法 同底數冪的除法法則：底數不變，指數相減． am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n是正整數，m＞n） 5．零指數冪 零指數冪：a0=1（a≠0） 由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0） 注意：00無意義． 6．負整數指數冪 負整數指數冪：a﹣p=（a≠0，p為正整數） 注意：①a≠0； ②計算負整數指數冪時，一定要根據負整數指數冪的意義計算，避免出現（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的錯誤． ③當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數． ④在混合運算中，始終要注意運算的順序． 7.用科學記數法表示有理數x的規律 x的取值范圍表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|
＜10整數的位數-1|x|＜1a×10-n第一位非零數字前所有0的個數（含小數點前的0）
【例題精講】 例1若2m 2n＝32，則m+n的值為（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【解析】解：∵2m 2n＝2m+n＝32＝25， ∴m+n＝5， 故選：B． 例2 計算：a2a4﹣a8÷a2+（3a3）2． 【解析】解：原式＝a6﹣a6+9a6＝9a6 例3（）2020 （1.5）2021＝　　． 【解析】解：（）2020 （1.5）2021 ＝（）2020 （1.5）2020 ＝（）2020 （）2020 ． 故答案為：． 【方法總結】 本題主要考查了冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運算法則是解答本題的關鍵． 例4下列運算正確的是（　　） A． B． C． D．（﹣2）﹣3＝6 【解析】解：A（）0＝1，故此選項錯誤； B（）﹣1＝﹣2，故此選項錯誤； C（）﹣2＝4，故此選項正確； D（﹣2）﹣3，故此選項錯誤； 故選：C． 【方法總結】 此題主要考查了零指數冪的性質以及負整數指數冪的性質，正確化簡各數是解題關鍵． 例5在人體血液中，紅細胞的直徑為0.00077cm，數0.00077用科學記數法表示為（　　） A．7.7×10﹣4 B．0.77×10﹣5 C．7.7×10﹣5 D．77×10﹣3 【解析】解：0.00077＝7.7×10﹣4． 故選：A． 【方法總結】 本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定． 【強化練習】 1.若a 2 23＝28，則a等于（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 2.已知ax＝3，ay＝9，則ax+y＝（　　） A．12 B．27 C．3 D．6 知識點二（整式的乘除法） 【知識梳理】 1.單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式． 2.單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加． 3.多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加． 4.單項式相除，把它們的系數相除，同底數冪的指數相減，作為商的一個因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。 5.多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加 【例題精講】 例1 一個長方體的長、寬、高分別是3m﹣4，2m和m，則它的體積是（　　） A．3m3﹣4m2 B．3m2﹣4m3 C．6m3﹣8m2 D．6m2﹣8m3 【解析】解：根據長方體體積的計算公式得，（3m﹣4） 2m m＝6m3﹣8m2， 故選：C． 例2 下列運算正確的是（　　） A．2a（a﹣1）＝2a2﹣a B．a（a+3b）＝a2+3ab C．﹣3（a+b）＝﹣3a+3b D．a（﹣a+2b）＝﹣a2﹣2ab 【解析】解：A.2a（a﹣1）＝2a2﹣2a，故本選項不合題意； B．a（a+3b）＝a2+3ab，故本選項符合題意； C．﹣3（a+b）＝﹣3a﹣3b，故本選項不合題意； D．a（﹣a+2b）＝﹣a2+2ab，故本選項不合題意． 故選：B． 例3 若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次項，則m的值為　﹣8　． 【解析】解：（x2﹣x+m）（x﹣8） ＝x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m ＝x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m， ∵不含x的一次項， ∴8+m＝0， 解得：m＝﹣8． 故答案為﹣8． 【強化練習】 1.計算： （1）（2x）3 （﹣5xy2） （2）a3 a4 a+（a2）4+（﹣2a4）2． 知識點三（乘法公式） 【知識梳理】 1.平方差公式： 兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差. 抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型： （1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型 （2）系數變化：如 （3）指數變化：如 （4）符號變化：如 （5）增項變化：如 （6）增因式變化：如 2.完全平方公式： 兩數和 (差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍. 公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形： 【例題精講】 例1 下列兩個多項式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能 能用平方差公式計算的，寫出計算結果． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【思路點撥】兩個多項式因式中，如果一項相同，另一項互為相反數就可以用平方差公式. 【答案與解析】 解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式計算，(1)、(6)不能用平方差公式計算． (2) ＝－＝． (3) ＝ － ＝． (4) ＝－ ＝． (5) ＝－＝． 【總結升華】利用平方差公式進行乘法運算，一定要注意找準相同項和相反項（系數為相反數的同類項）． 例2 計算20152﹣2014×2016的結果是（　 　） 　 A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1， 故選D. 【總結升華】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵． 例3計算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【思路點撥】此題都可以用完全平方公式計算，區別在于是選“和”還是“差”的完全平方公式. 【答案與解析】 解：(1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 例4 已知，，求和的值． 解：由，得； ① 由，得． ② ①＋②得，∴ ． ①－②得，∴ ． 例5 圖a是由4個長為m，寬為n的長方形拼成的，圖b是由這四個長方形拼成的正方形，中間的空隙，恰好是一個小正方形． （1）用m、n表示圖b中小正方形的邊長為　 　． （2）用兩種不同方法表示出圖b中陰影部分的面積； （3）觀察圖b，利用（2）中的結論，寫出下列三個代數式之間的等量關系，代數式（m+n）2，（m﹣n）2，mn； （4）根據（3）中的等量關系，解決如下問題：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值． 【解析】解：（1）圖b中小正方形的邊長為m﹣n．故答案為m﹣n； （2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2； 方法②：（m+n）2﹣4mn； （3）因為圖中陰影部分的面積不變，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn； （4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab， ∵a+b=7，ab=5， ∴（a﹣b）2=72﹣4×5 =49﹣20 =29． 【總結升華】本題考查了完全平方公式的應用，列代數式，可以根據題中的已知數量利用代數式表示其他相關的量． 【強化練習】 1. 如果是一個完全平方公式，那么是（ ） A.6 B.－6 C.±6 Ｄ.18 2.下列各式中，是完全平方式的是（ ） A. B. Ｃ. D. 3．在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形(a>b)(如圖①)，把余下的部分剪拼成一個長方形(如圖②)，根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證(　　) A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2 3.計算： (1)(－ab)(ab2－2ab＋b)； (2)(a＋b)(a－b)＋4ab3÷4ab； (3)(2x－y－z)(y－2x－z)； (4)(2x＋y)(2x－y)＋(x＋y)2－2(2x2－xy) 4.化簡求值(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝1； 知識復盤 1.同底數冪的乘法：(為正整數)；同底數冪相乘，底數不變，指數相加. 2.冪的乘方： (為正整數)；冪的乘方，底數不變，指數相乘. 3.積的乘方： (為正整數)；積的乘方，等于各因數乘方的積. 4.同底數冪的除法：(≠0, 為正整數，并且). 同底數冪相除，底數不變，指數相減. 5.零指數冪：即任何不等于零的數的零次方等于1. 6.單項式乘以單項式 單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式. 7.單項式乘以多項式 單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即(都是單項式). 8.多項式乘以多項式 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要注意積的符號 9.平方差公式： 兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差. 在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式. 平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方. 10 完全平方公式：； 兩數和 (差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍. 公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍. 課后鞏固 1．下列計算正確的是 （ ） A． B． C． D． 2．已知是一個完全平方式，則的值為（ ） A． B． C． D． 3．計算的結果是（ ） A． B． C． D． 4．下列各式不能用平方差公式計算的是（ ） A． B． C． D． 5．如果，則應為（ ）． A．5 B．-5 C．1 D．-1 6．下面四個整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（ ） A． B． C． D． 7．已知是一個關于的完全平方式，則常數的值為（ ） A．2 B． C．1 D． 8．已知的展開式中不含x的一次項，則p的值是（ ） A． B．3 C．6 D． 9．已知，，則=___ 10計算:(1)·8÷(－15x2y2) (2) (3) (4)(3ab+4)2－(3ab－4)2 11．圖1是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀剪下全等的四塊小長方形，然后按圖2拼成一個正方形． （1）直接寫出圖2中的陰影部分面積； （2）觀察圖2，請直接寫出下列三個代數式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關系； （3）根據（2）中的等量關系，解決如下問題：若p+q＝9，pq＝7，求（p﹣q）2的值. 課前預習 同位角、內錯角、同旁內角 同位角：兩個角都在兩條直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣一對角叫做同位角．例如和，和等都是同位角． 內錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣一對角叫做內錯角．例如和，和是內錯角． 同旁內角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣一對角叫做同旁內角．例如和，和是同旁內角． 說明：截線是指同時穿過兩條或兩條以上的直線（或線段）的直線（或線段），例如在下圖中直線是截線．

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