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綜合專題講解
第四章 幾何圖形初步
專題目錄
專題一：正方體的展開與折疊問題
專題四：動角問題
專題二：動點問題
專題三：三角板與鐘表中的角度問題
◆類型一　找相對面問題
一、回顧知識點
專題一：正方體的展開與折疊問題
“一” 字形
“Z” 字形
例1 (廣東韶關期末) 如圖，是正方體的一種展開圖，其每個面上都標有一個漢字，則在原正方體中，與“若”字相對的面上的漢字是 ( )
A. 有 B. 必
C. 召 D. 回
B
若
有
戰
召
必
回
練一練
1. (重慶巴蜀中學期末) 如下圖，若要使圖中的平面展開圖折疊成正方體后，相對面上兩個數互為相反數，則 x - y =_____.
1
2
3
x
y
2
分析：x = -1，
y = -3，
所以 x - y = 2.
◆類型二　展開圖與正方體對應問題
例2 如圖所示，正方體的展開圖為 ( )
A. B.
C. D.
<
○
=
<
○
=
<
○
=
<
○
=
A
開口部分對著圓
練一練
2. 下面是一個正方體的展開圖，折疊后的正方體是 ( )
A. B.
C. D.
B
每條線都指著三角形
每條線不相連
總結
找重合的邊，注意每一面的圖案方向.
專題二：動點問題
◆類型一　無速度動點問題
例3 如圖，已知 B 是線段 AC 上的一點，M 是線段 AB 的中點，N 是線段 AC 的中點，P 為 NA 的中點，Q 是 AM 的中點，則 BN∶PM 等于 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
C
B
M
N
P
Q
x
x
2x
y
y
2y
分析：BN = AB - AN = 4x - 2y
PM = AM - AP = 2x - y
B
例4 如圖，O 為原點，A 表示的數為 -1，B 表示的數為 3，數軸上有一點 P，若 AP + BP = 5，求 P 點表示的數.
A
O
B
-1
3
P
P
P
解：因為 A 表示的數為 -1，
B 表示的數為 3，
①當點 P 在點 A 左邊時，
AP + BP = AP + AB + AP = AB + 2AP = 5，
所以 AB = 3 - (-1) = 4.
②當點 P 在點 A、B 中間時，AP + BP = AB = 4 (舍)
解得 AP = 0.5，所以 P 表示的數為 -1.5 .
③當點 P 在點 B 右邊時，同理可得 P 表示的數為 3.5 .
綜上所述，P點表示的數為 -1.5 或 3.5 .
A
O
B
-1
3
解：設 P 點表示的數為 x.
因為A 表示的數為 -1，B 表示的數為 3，
所以 AP = |x - (-1)| = |x + 1|，
BP = |x - 3| .
因為 AP + BP = 5，
所以 |x + 1| + |x - 3| = 5，
解得 x = -1.5 或 x = 3.5 .
所以，P 點表示的數為 -1.5 或 3.5 .
總結
未告訴速度的動點問題問題
特征：點的位置不確定或任意
方法：
①幾何法：畫圖并分類討論
將線段長設為未知量
②數軸法：將點所表示的數設為未知量
練一練
3. 如圖，點 C、D 是線段 AB 上任意兩點，點 M 是 AC 的中點，點 N 是 DB 的中點，若 AB = a，MN = b，則線段 CD 的長是 ( )
A. 2b - a B. 2(a - b) C. a - b D. (a + b)
A
B
C
D
N
M
A
分析：CM + DN = AM + BN = AB - MN = a - b，
CD = MN - (CM + DN) = b - (a - b) = 2b - a.
◆類型二　有速度動點問題
例5 如圖，P 是線段 AB 上任一點，AB = 12 cm，
AP = 8 cm，C、D 兩點分別從 P、B 同時向 A 點運動，
且 C 點的運動速度為 2 cm/s，D 點的運動速度為 3 cm/s，運動的時間為 t s.
(1) 運動 1 秒后，求 CD 的長；
A
B
P
D
C
追及問題
解：因為 AB = 12 cm，AP = 8 cm，
所以 CD = 4 - (3 - 2)×1 = 4 - 1 = 3 cm.
所以 PB = AB - AP = 12 - 8 = 4 cm，
【跳轉至幾何畫板】
(2) 當 D 在線段 PB 運動上時，試說明 AC = 2CD；
A
B
P
D
C
方法一：
解：由題意，得 CP = 2t，BD = 3t.
因為 AB = 12 cm，AP = 8 cm，
所以 AC = 8 - 2t，CD = 12 - 3t - (8 - 2t) = 4 - t，
所以 AC = 2CD .
方法二：以 A 為原點向右為正方向 1 cm為單位長構造數軸，由題意，得
A：0，P：8，B：12，
C：8 - 2t，D：12 - 3t.
(2) 當 D 在線段 PB 運動上時，試說明 AC = 2CD；
A
B
P
D
C
所以 AC = 8 - 2t，CD = 12 - 3t - (8 - 2t) = 4 - t，
所以 AC = 2CD .
0
12
(3) 何時 CD = 2 cm？
A
B
P
D
C
方法一：解：CD = |12 - 3t - (8 - 2t) | = |4 - t|，
所以 |4 - t| = 2，
解得 t = 2 或 t = 6.
答：運動 2 s 或 6 s 時，CD = 2 cm.
方法二：兩點相遇前：(3 - 2)t + (12 - 8) = 2，解得 t = 2.
兩點相遇后：(3 - 2)t - (12 - 8) = 2，解得 t = 6.
總結
告訴速度的動點問題問題
方法：
①幾何法
②數軸法：用未知數表示線段
③代數法：看做追及或相遇問題
起始位置±vt (左減右加)
練一練
4. 如圖，點 O 為原點，點 A 表示的數為 -3，點 B 表示的數為 1.
(1) 若點 P 在數軸上，且 PA + PB = 6，則點 P 表示的數為 ；
(2) 若點 M 在數軸上，且 MA∶MB = 1∶3，求點 M 表示的數為 ；
P1
P2
-4 或 2
M1
M2
3 或 0
A
O
B
-3
1
0
(3) 若點 A 的速度為 5 個單位長度/s，點 B 的速度為 2 個單位長度/s，點 O 的速度為 1 個單位長度/s，A，B，O 三點同時向右運動，幾秒后，點 O 恰為線段 AB 的中點.
解：由題意，得 A：-3 + 5t，B：1 + 2t，O：t.
解得 t = 0.4 .
答：0.4s 后點 O 恰為線段 AB 的中點.
A
O
B
-3
1
0
專題三：重疊與鐘表中的角度問題
◆類型一　重疊問題
例6 (安徽太湖期末) 將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD = 25°，則∠BOC 的大小為 ( )
A. 165° B. 155°
C. 145° D. 160°
A
B
O
C
D
B
分析：∠BOC = ∠AOC +∠BOA
= ∠DOC -∠AOD +∠BOA
練一練
9. 將一個長方形紙片沿折痕 AO、DO 折疊，使其有一部分重合 (如圖)，點 B 對應點 B′，點 C 對應點 C′，若∠C′OB′ = 20°，則∠AOD = .
分析：兩角之和 - 重疊部分 = 大角
α
β
∠BOB′ +∠COC′ - ∠B′OC′ =∠BOC
2α + 2β - 20° = 180°
α + β = 100°
∠AOD = α + β - 20° = 80°
80°
【跳轉至幾何畫板】
◆類型二　鐘表中的角度問題
每過1小時，
時針會經過 °，分針會經過 °.
時針速度是 °/時，分針會經過 °/時.
時針速度是 °/分，分針會經過 °/分.
思考：3 時的時針與分針的夾角是 °.
每一大格：360°÷12 = 30°
90
30
360
30
360
30÷60 = 0.5°/分
360÷60 = 6°/分
0.5
6
例7 (1) 3 點 45 分，時針與分針的夾角是多少？
(2) 在 9 點與 10 點之間，何時時針與分針成 100° 的角？
解：(1) 3 點過了45 分后，時針經過 45×0.5 = 22.5°，
分針經過 6×45 = 270°.
3 點 45 分，時針與分針的夾角是
270° - 22.5° - 90° = 157.5°
(2) 設 9 時 x 分時時針與分針成 100° 的角，由題意，得
90 + 6x - 0.5x = 100，
解得 x = .
答：9 時 分時時針與分針成 100° 的角.
【跳轉至幾何畫板】
總結
鐘表的角度問題可化為追及問題
時針速度：
分針速度：
夾角度數=|(分鐘速度-時針速度)×時間±初始度數|
X 時 Y 分可看做 X 時再經過 Y 分
30°/時
0.5°/分
360°/時
6°/分
6. (重慶八中期末) 當時鐘指向下午 2 : 40 時，時針與分針的夾角是 度.
練一練
7. 在 3 點 20 分時，時鐘的分針與時針的夾角為 度，過多少分鐘后它們的夾角為 130°？
160
20
(2) 設 過 x 分鐘后它們的夾角為 130° ，由題意，得
(6 - 0.5)x + 20 = 130，
解得 x = 20.
答：過 20 分鐘后它們的夾角為 130°.
專題四：動射線和動角問題
◆類型一　動射線問題
例8 (節選自吉林白山期末) 如果兩個角的差的絕對值等于 90°，就稱這兩個角互為垂角，例如：∠1 = 120°，|∠1﹣∠2| = 90°，則∠1 和∠2 互為垂角．(本題中所有角都是指大于 0° 且小于 180° 的角)
(1) 如圖 1 所示，O 為直線 AB 上一點，
∠AOC = 90°，則∠AOD 垂角為 　 　和
　 　；
C
A
B
D
E
∠AOE
O
∠COD
圖 1
(2) 如圖 2 所示，O 為直線 AB 上一點，∠AOC = 90°，∠BOD = 30°，且射線 OC 繞點 O 以 9°/s 的速度逆時針旋轉，射線 OD 繞點 O 以 6°/s 的速度順時針旋轉，兩條射線 OC、OD 同時運動，運動時間為 t s (0＜t＜20 )，試求當 t 為何值時，∠AOC 和∠AOD 互為垂角．
C
A
B
D
C
O
D
分析：當射線 OC 在射線 OA 上或下面時，∠AOC 的表示方式會變化；當射線 OD 在射線 OB 上或下面時，∠AOD 的表示方式會變化.
圖 2
解：當 OD 與 OB 重合時，t＝5 (s)，
當 OC 與 OA 重合時，t＝10 (s).
∠AOC = (90 - 9t)°，∠AOD = (150 + 6t)°，
C
A
B
D
C
O
D
由題意，得 (150 + 6t) - (90 - 9t) = 90，
解得 t = 2.
②當 OC 在直線 AB 上，OD 在直線 AB 下方，
即 5≤t≤10 時，
C
D
∠AOC = (90 - 9t)°，∠AOD = (210 - 6t)°，
①當 OC、OD 在直線 AB 上方，即 0＜t＜5 時，
③當 OC、OD 在直線 AB 下方，即 t＞10 時，
∠AOC = (9t - 90)°，∠BOD = (210 - 6t)°，
C
A
B
D
O
由題意，得 (210 - 6t) - (9t - 90) = 90，
解得 t = 14.
C
D
綜上所述，當 t 為 2 或 14 時，∠AOC 和∠AOD 互為垂角.
由題意，得(210 - 6t) - (90 - 9t) = 90，
解得 t = -10 (舍).
總結
因為研究的角都小于或等于 180°，所以分類的標準在于角的兩條射線是否在同一直線上 (重合或互為反向延長線).
練一練
7. (廈門市逸夫中學期末) 如圖，兩條直線 AB，CD 相交于點 O，且∠AOC = 90°，射線 OM 從 OB 開始繞 O 點逆時針方向旋轉，速度為 15°/s，射線 ON 同時從 OD開始繞 O 點順時針方向旋轉，速度為 12°/s．兩條射線 OM，ON 同時運動，運動時間為 t 秒．
(本題出現的角均小于平角)
A
B
C
M
N
D
O
(1) 當 t = 2 時，∠MON =______，∠AON =______；
(2) 當 0＜t＜12 時，若∠AOM = 3∠AON - 60°．試求出 t 的值；
A
B
C
M
N
D
O
144°
66°
①當 ON 在直線 AB 下方，即 0＜t≤7.5 時，
∠AOM = (180 - 15t)°，∠AON = (90 - 12t)°，
由題意，得 180 - 15t = 3(90 - 12t)- 60，
解得 t = .
解：當 ON 與 OA 重合時，t＝90÷12＝7.5 (s)，
當 OM 與 OA 重合時，t＝180÷15＝12 (s).
②當 ON 在直線 AB 上方，即 7.5＜t＜12 時，
∠AOM = (180 - 15t)°，∠AON = (12t - 90)°，
A
B
C
M
N
D
O
由題意，得 180 - 15t = 3(12t - 90) - 60，
解得 t = 10.
綜上所述，t 的值為 或 10.
(3) 當0＜t＜6時，探究的 值，問：t 滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？
解：當∠MON =180° 時，
∠BOM +∠BOD +∠DON = 180°，
A
B
C
M
N
D
O
所以 12t + 15t + 90 =180，解得 t = .
①當 0＜t≤ 時，
∠COM = (90 - 15t)°，∠BON= (90 + 12t)°，
∠MON =∠BOM +∠BOD +∠DON = (15t + 90 + 12t)°.
①當 ＜t＜6 時，
∠COM = (90 - 15t)°，∠BON= (90 + 12t)°，
∠MON =360° - (15t + 90 + 12t)° = (270 - 27t)°.
綜上所述，當 0＜t≤ 時，原式為定值；當 ＜t＜6 時，不是定值.
例9 (貴州銅仁期末) 沿河縣某初中七年級的數學老師在課外活動中組織學生進行實踐探究，用一副三角尺 (分別含 45°， 45°，90° 和 30°，60°，90° 的角) 按如圖所示擺放在量角器上，邊 PD 與量角器刻度線重合，邊 AP 與量角器刻度線重合，
◆類型二　動角問題
D
B
P
A
C
將三角尺 ABP 繞量角器中心點 P 以每秒 10° 的速度順時針旋轉，當邊 PB 與刻度線 180° 重合時停止運動，設三角尺 ABP 的運動時間為 t 秒．
(1) 當 t = 5 時，∠BPD = _____；
◆類型二　動角問題
D
B
P
A
C
85°
D
B
P
A
C
(2) 若在三角尺 ABP 開始旋轉的同時，三角尺 PCD 也繞點 P 以每秒 2° 的速度逆時針旋轉，當三角尺 ABP 停止旋轉時，三角尺 PCD 也停止旋轉．
①當 t 為何值時，邊 PB 平分∠CPD；
解：因為邊 PB 平分∠CPD，
D
B
A
C
所以∠CPB =∠BPD = ∠CPD ，
所以 180 - 45 - 2t - 10t = ×60，
解得 t = .
【跳轉至幾何畫板】
②在旋轉過程中，是否存在某時刻使∠BPD = 2∠APC，若存在，請求出 t 的值；若不存在，請說明理由．
D
B
P
A
C
D
B
A
C
解：運動前∠APC = 135°，∠BPD = 120°，
135 - 2t - 10t = 2×(120 - 2t - 10t )，
(1) 當 PA 在 PC 左側時，由題意，得
解得 t = .
【跳轉至幾何畫板】
此時∠BPD = 30°，∠APC = 15°，
所以∠BPD = 2∠APC，
是成立的.
D
B
P
A
C
(2) 當 PA 在 PC 右側時，由題意，得
135 - 2t - 10t = 2×(10t + 2t - 120)，
D
B
A
C
當 PB 在 PD 的右側時，由題意，得
10t +2t - 135 = 2×(10t + 2t - 120)，
D
B
A
C
解得 t = .
解得 t = .
綜上所述，t 的值為 或 .
【跳轉至幾何畫板】
此時 PB 在 PD 的左側，所以和假設情況矛盾，不符合題意，舍去.
練一練
11. 如圖，O 為直線 AB 上一點，作射線 OC，使∠BOC = 60°，將一個直角三角尺如圖擺放，直角頂點在點 O 處，一條直角邊 OP 在射線 OA 上，將圖中的三角尺繞點 O 以每秒 10° 的速度按逆時針方向旋轉，在旋轉一周的過程中，第 t 秒時，
OQ 所在直線恰好平分∠AOC，
則 t 的值為 .
3 或 21
B
A
P
O
Q
C

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