資源簡介

波長、頻率和波速
一、知識點梳理
1.波長
(1)定義：在波動中，振動相位總是相同的兩個相鄰質點間的距離叫做波長，用表示，如圖所示.
【注意】①“相鄰的”和“振動相位總是相等”是波長定義的關鍵，二者缺一不可.②根據波長的定義可知，在波的傳播方向上，相距為波長整數倍的質點，振動情況完全相同，即振動位移及速度總是相同的這些點叫做同相點，相距半波長奇數倍的質點振動情況完全相反，這些點稱為反相點.如圖所示，、、等質點的振動情況完全相同為同相點，而與、與、與等振動情況完全相反，為反相點
(2)特征
①兩個相鄰的運動狀態總是相同的質點間的距離，或者說在振動過程中，對平衡位置的位移總是相等的兩個相鄰質點間的距離叫做波長.
②在橫波中，兩個相鄰的波峰（或波谷）間的距離等于波長.在縱波中，兩個相鄰的密部（或疏部）間的距離等于波長.
③經過一個周期，振動在介質中傳播的距離等于波長.
(3)意義
波長是描述波的“空間重復性”的物理量.觀察波的圖象會發現，在某一時刻的波的圖象中.每隔一定距離，波就重復出現，這就是波的“空間周期性”.
(4)決定因素:波源和介質
例1.（多選）關于波長的下列說法中正確的是（ ）
A．機械振動在一個周期內傳播的距離就是一個波長
B．在波形圖上位移相同的相鄰兩質點之間的距離等于一個波長
C．在波形圖上速度最大且相同的相鄰兩質點間的距離等于一個波長
D．在波形圖上振動情況總是相同的兩點間的距離等于一個波長
例2.（多選）圖所示的是一列簡諧波在某一時刻的波形圖象，下列說法中正確的是（　 　）
A．質點A、C、E、G、I在振動過程中位移總是相同
B．質點B、F在振動過程中位移總是相等
C．質點D、H的平衡位置間的距離是一個波長
D．質點A、I在振動過程中位移總是相同，它們的平衡位置間的距離是一個波長
2.波的周期（或頻率）
(1)定義：在波動中，各個質點的振動周期（或頻率)是相同的，它們都等于波源的振動周期（或頻率)，這個周期（或頻率）也叫做波的周期（或頻率）
(2)對周期和頻率的理解
①由于波是機械振動在介質中的傳播，因此波的周期（頻率）與波源的周期（頻率）相同.
②波的周期（頻率）與波源的相同，因此波由一種介質進入另一種介質時，周期（頻率）不變.波的周期(頻率)由波源決定，與介質無關.
③在同一種介質中，在一個周期內波向前傳播的距離等于一個波長.
周期與頻率的關系為
⑤每隔個波長的距離，波形就重復出現；每隔個周期的空間，波形恢復原來的形狀，這就是波的“空間周期性”和“時間周期性”.
例3.一列簡諧橫波某時刻的波形如圖所示，該時刻、兩質點均到達波峰位置，質點的加速度正在增大，下列判斷正確的是( )
A．、b兩質點之間的距離為半個波長
B．、b兩質點振動開始時刻相差半個周期
C．質點完成全振動的次數比b質點多一次
D．質點完成全振動的次數比b質點少一次
例4.（多選）關于波的周期下列說法正確的是（ ）
A．質點的振動周期就是波源的周期
B．波的周期是由波源驅動力的頻率決定的
C．波的周期與形成波的介質的密度有關
D．經歷整數個周期波形圖重復出現，波峰向前移動了一段距離
3.波速
(1)定義：機械波在介質中傳播的距離跟所用時等間的比值，叫做波速
(2)公式：
(3)對波速的理解：①波速描述的是振動這種運動形式向外傳播的快慢程度，而不是質點向外遷移的速度，質點是不隨波遷移的.
②波速也不是質點振動的速度.質點的振動是一種變加速運動，符合正弦規律，而波在同一種介質中的傳播速度是相同的.
③波速的大小只與介質有關，與頻率無關.
4.波長、頻率和波速之間的關系
由波的形成過程可知，在一個周期的時間內，振動在介質中傳播的距離等于一個波長，因而可以得到波長、頻率(或周期)和波速三者的關系為：，
例5.介質中有一列簡諧機械波傳播，對于其中某個振動質點（ ）
A．它的振動速度等于波的傳播速度 B．它的振動方向一定垂直于波的傳播方向
C．它在一個周期內走過的路程等于一個波長 D．它的振動頻率等于波源的振動頻率
例6.一列簡諧橫波沿軸傳播，t=0時刻的波形如圖甲所示，此時質點P正沿y軸負方向運動，其振動圖象如圖乙所示，則該波的傳播方向和波速分別是（ ）
A．沿軸負方向，60m/s B．沿軸正方向，60m/s
C．沿軸負方向，30m/s D．沿軸正方向，30m/s
二、技巧總結
1.波長、波速、頻率的決定因素
波的傳播速度，，其中、、（）三個量相互關聯，從公式上看，似乎任意一個改變都會影響其他兩個量，不少初學者易產生這樣的認識，其實不然，那么它們都是由誰決定的呢？
(1)周期和頻率，只取決于波源，而與、無直接關系.
(2)速度決定于介質的物理性質，它與、無直接關系.只要介質不變，就不變，而不決定于、，反之，如果介質變，也一定變.
(3)則決定于和,只要、其中一個發生變化，其值必然發生變化，而保持的關系. 總之，盡管波速與頻率或周期可以由公式或進行計算，但不能認為波速與波長、周期或頻率有關，也不能認為頻率或周期會因波速、波長的改變而改變，因為它們都是確定的，分別決定于介質與波源.
例7.男女生二重唱中，女高音和男中音的頻率、波長和波速分別為、、和、、，它們之間的關系是（ ）
A．,, B．,,
C．,, D．以上說法都不正確
2.求波長的方法
(1)根據波長的定義求解
①在波動中，振動相位總是相同的兩個相鄰質點之間的距離等于一個波長.
②在振動中，質點完成一次全振動波向前傳播的距離等于一個波長.
(2)根據波動圖象求解
①在波動圖象上，振動位移總是相同的兩個相鄰質點間的距離為一個波長.
②在波動圖象上，運動狀態（速度）總是相同的兩個相鄰質點間的距離為一個波長.
③在波動圖象上，振動相位總是相同的兩個相鄰質點間的距離為一個波長，
④在波動圖象上，兩個相鄰波峰（或波谷）間的距離為一個波長，凡是平衡位置相隔波長整數倍，質點的位移、速度、加速度等物理量總是相同，振動同相.凡是平衡位置相隔半個波長的奇數倍，質點的位移、速度、加速度等物理量總是等大反向，振動反相.
(3)根據公式來確定
波在傳播過程中，在一個周期內傳播的距離等于一個波長，即.
【注意說明】在波動圖象中，無論從什么位置開始，一個完整的正（余）弦曲線對應的水平距離為一個波長.
如圖所示,一列簡諧橫波向右傳播，P、Q兩質點的平衡位置相距0.15 m. 當P運動到上方最大位移處時，Q剛好運動到下方最大位移處,則這列波的波長可能是( )
A．0.60 m B．0.20 m
C．0.15 m D．0.10 m
例 9. 一列簡諧橫波沿直線傳播，某時刻該列波上正好經過平衡位置的兩質點相距6m，且這兩質點之間的波峰只有一個，則該簡諧波可能的波長為（ ）
A．4m、6m和8m B．6m、8m和12m C．4m、6m和12m D．4m、8m和12m
3.已知波速和波形，畫出再經時間波形圖的方法
(1)特殊點法
在波形圖上找兩特殊點，如過平衡位置的點和與它相鄰的峰（谷）點，先確定這兩點的振動方向，再看.由于經時間波形不變，所以采取去整留零的方法，分別作出兩特殊點經時間后的位置，然后按正弦規律畫出新波形圖.
(2)平移法一 -----移波形
先算出經時間波傳播的距離,再把波形沿波的傳播方向平移即可.因為波動圖象的重復性，若已知波長，則波形平移個時波形不變.當時，可采取去整留零的方法，只需平移即可.
(3)平移法二-----移坐標軸
計算方法同上，將坐標軸逆著波的傳播方向平移即可.
例10. 一列簡諧波在軸上傳播，波速為50m/s, 已知t=0時刻的波形圖象如左圖所示，圖中M處的質點此時正經過平衡位置沿軸的正方向運動.，請畫出t=0.5s時的波形圖象（至少要畫出一個波長）.
4.已知兩不同時刻波動圖象類問題的解法
如圖所示，已知某簡諧波在與時刻的波形圖，從圖上可以確定該波的波長，振幅.在求解波的周期、波速時有兩種方法：
(1)傳播的觀點
由波形圖可知，波在時間內傳播的距離為(波沿軸正向傳播時)或(波沿軸負向傳播)時，則波速，周期.
(2)振動觀點
在波形圖中取某一質點，比較該質點（如圖中)在兩時刻的位置和狀態，確定與周期的關系，如在圖中，波向右傳播時，,波向左傳播時，，可求得周期的表達式，再由可求得波速. 在這類題目中，同時應注意對時間的限制，當時，.
例11. 如圖，簡諧橫波在時刻的波形如實線所示，經過，其波形如虛線所示. 已知圖中與相距1m，波的周期為，且. 則可能的最小波速為_________,最小周期為_______.
5.關于波動和振動關系的幾個推論
(1)在波的傳播方向上，當兩質點平衡位置間的距離為時(),這兩個質點的速度和對平衡位置的位移總是相同的，即它們的振動步調總相同.反之，當兩質點的振動步調總是相同時，它們的平衡位置之間的距離一定是().
(2)在波的傳播方向上，當兩質點平衡位置間的距離為()時，這兩個質點的速度總是大小相等、方向相反，對平衡位置的位移也總是大小相等、方向相反，也就是說，它們的振動步調總相反.反之，當兩質點的振動步調總是相反時，它們的平衡位置之間的距離一定是().
(3)在波的傳播方向上，波峰（或波谷）一側范圍內，各質點的振動方向相同，如圖所示；在波的傳播方向上，波峰（或波谷）兩側范圍內，各質點的振動方向相反.如圖所示.
(4)介質中任一質點起振的方向必與波源起振方向相同，故任一時刻，波最前沿質點的振動方向即波源的起振方向.
三、針對練習
1.一列簡諧橫波在均勻介質中沿軸正方向傳播,波速為1 m/s，t=0時刻,該波的波形如圖所示,P、Q分別為、處的質點,此時P質點恰好開始振動，則t=5 s時刻，Q點( )
A．經過平衡位置，向上運動 B．經過平衡位置，向下運動
C．位于波峰位置 D．位于波谷位置
2.如圖所示是一列簡諧橫波在t=0時刻的波形圖，已知這列波沿軸正方向傳播，波速為20 m/s. P是離原點為2 m的一個質點，則在t=0.17 s時刻，質點P的：①速度和加速度都沿方向；②速度沿方向，加速度沿方向；③速度和加速度都正在增大；④速度正在增大，加速度正在減小.以上四種判斷中正確的是( )
A．只有① B．只有④ C．只有①④ D．只有②③
3.如圖甲為一列簡諧橫波在t＝0時的波的圖象，圖乙為該波中處質點P的振動圖象，下列說法正確的是( )
A．波速為8 m/s
B．波沿軸負方向傳播
C．t＝0.5 s，P點的動能最大
D．t＝0到t＝2．5 s，P點振動路程為1．8 cm
4.一簡諧橫波沿軸正方向傳播，周期為T，波長為，若在處質點的振動圖像如圖所示，則該波在時刻的波形為 (　　)
5.（多選）某次地震中,縱波波速為7 km/s，橫波波速為3.2 km/s，地震波頻率為10 Hz，M點的觀察者在接收到縱波15.3 s后才接收到橫波，從橫波傳到M點的時刻開始計時，圖甲為橫波引起的M點的振動圖像，圖乙為t=2T時刻的橫波波動圖像，則(　 　)
A．震源距離M點約為90 km
B．圖甲中時刻，M點速度大小為0
C．該橫波沿軸負方向傳播
D．沿橫波傳播方向距離M點16 km處的N點在5.275 s后將處于波谷
6.（多選）一列波的波源S在點做豎直方向、頻率為10 Hz的簡諧運動，時刻，向右傳播的波形如圖所示，向左傳播的波形未畫出. 下列說法正確的是( )
A．時刻，處的質點運動方向向上
B．時刻，處的質點運動方向向上
C．時刻，處的質點處在波谷位置
D．時刻，處的質點處在波峰位置
7.（多選）如圖甲是一列簡諧橫波在t=0.2 s時刻的波形圖，P是平衡位置距離原點1.5 m的一個質點，Q是平衡位置距離原點2 m的一個質點,圖乙是質點Q的振動圖像. 則( )
A．這列簡諧波的波速為10 m/s
B．這列簡諧波的傳播方向為方向
C．0.3 s時P的速度正在增大，加速度正在減小
D．t=0.4 s到t=0.6 s質點P通過的路程為4 cm
8.（多選）圖甲為一列簡諧橫波在t=0.10 s時刻的波形圖，是平衡位置在處的質點，Q是平衡位置在處的質點，圖乙為質點Q的振動圖像，則 (　　 )
A．質點Q做簡諧運動的表達式為
B．在t=0.25 s時,質點的加速度方向與軸正方向相同
C．從t=0.10 s到t=0.20 s，該波沿軸負方向傳播了4 m
D．從t=0.10 s到t=0.25 s，質點通過的路程為30 cm
9.（多選）取一條較長的輕軟繩，用手握住一端,在豎直平面內連續上下抖動長繩，手上下振動的周期是T，可以看到一列波產生和傳播的情形，如圖所示，在繩上做個標記P(圖中未標出)，、P的平衡位置間距為L，t=0時，位于最高點，P離開平衡位置的位移恰好為零，速度方向豎直向上，若該波可以看作是簡諧波，則(　 　 )
A．時，P在平衡位置下方
B．時，P的速度方向豎直向上
C．時，P的加速度方向豎直向下
D．該簡諧波傳播的最大速度為
10.一列沿軸正方向傳播的簡諧橫波，t＝0時刻的波形如圖中實線所示，t＝0．2 s時刻的波形如圖中虛線所示，則(　 　)
A．質點P的運動方向向右
B．波的周期可能為0.27 s
C．波的頻率可能為1.25 Hz
D．波的傳播速度可能為20 m/s
11.如圖所示，實線是某時刻的波形圖，虛線是0.2 s后的波形圖線，求：
(1)若波向左傳播，求它傳播的最小距離；
(2)若波向右傳播，求它的最大周期；
(3)若波速是35 m/s，求它的傳播方向.
12.一列向右傳播的簡諧橫波傳到R點時的波形如圖所示，波速為，質點P、Q的坐標分別為，，求：
(1)質點P開始振動時，振動方向如何；
(2)從圖示時刻經多長時間，質點P第一次到達波谷；
(3)質點P到達波峰時，質點Q在何處.
13.圖甲中的B超成像的基本原理是探頭向人體發射一組超聲波，遇到人體組織時會產生不同程度的反射,探頭接收到的超聲波信號由計算機處理，從而形成B超圖像，圖乙為血管探頭沿軸正方向發射的簡諧超聲波的圖像，t=0時刻波恰好傳到質點M. 已知此超聲波的頻率為。求:
(1)血管探頭發出的超聲波在血管中的傳播速度；
(2)~內質點M的路程；
(3)從t=0時刻到質點N第一次到達波峰所經歷的時間.
14.如圖處是兩種介質的分界線， 左側是甲介質，右側為乙介質. 某波源開始不斷地上下簡諧振動形成向軸正向傳播的橫波，經過0.5s，其波前沿正好到達M位置. 已知該波在乙介質中傳播速度是在甲介質中的2倍，問：
（1）波源起振方向如何；
（2）該波在乙介質中的波長；
（3）在圖中畫出再經過1s時的波形圖.
答案
例題
例1.AC 例2.BC 例3.D 例4.ABD 例5.D 例6.A 例7.C 例8.D 例9.C
例10.略
例11.由題圖知,若波沿軸正方向傳播，(),若波沿軸負方向傳播，(),可能的最小波速；最大波速 ,由知最小周期
針對練習
1.A 2.C 3.C 4.A 5.AD 6.AC 7.AD 8.ABC 9.CD 10.C
11.答案：(1)3 m (2)0．8 s (3)向左傳播
解析：(1)由圖可知＝4 m，若波向左傳播，傳播距離 Δx＝n＋(n＝0,1,2，…)，
則最小值為＝3 m
(2)若波向右傳播Δx＝n＋(n＝0,1,2，…)，所用時間Δt＝nT＋＝0.2 s
T＝ s(n＝0,1,2，…)，所以當n＝0時，有最大周期＝0.8s
(3)Δx＝vΔt＝0.2×35 m＝7m＝（+）m，所以波向左傳播
12.答案：(1)沿y軸負方向 (2)12 s (3)波谷
解析：(1)在波的傳播方向上，各質點起振方向都相同，與此時刻x＝0.30 m處質點R的振動方向相同，沿y軸負方向
(2)解法一：由波的圖象可得波長λ＝0.24 m，P點第一次到達波谷的時間即為P點前方距P點最近的波谷傳播到P點所用時間Δt＝＝ s＝12 s
解法二：從“振動形式傳播”的角度分析，由圖象知，波長＝0.24 m
故波的周期T＝ ＝ s＝4 s， R的振動形式傳到P點所用的時間
Δt1＝＝ s＝11 s， P開始振動后只需即可到達波谷，即， Δt2＝ ＝1 s
故再經過Δt1＋Δt2＝12 s，質點P第一次到達波谷
(3)因為， 所以P、Q兩質點振動情況相反，當P質點達到波峰時，Q質點在波谷
13.答案：1)1.4× m/s (2)2 mm (3)2× s
解析：(1)由題圖乙知波長=14×mm=1.4×m
則波速v==1.4××1×m/s=1.4×m/s
(2)質點M振動的周期T== s=1×s，由于1.25×s=T
所以質點M在0~1.25×s內運動的路程s=×4A=×4×0.4 mm=2 mm
(3)從t=0時刻到質點N第一次到達波峰所經歷的時間t== s=2×s
14.（1）向下振動；（2） 4m；（3）

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