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精編人教版第一章有理數重難點題型匯總及答案解析
第一部分（第一章共二個部分）
小專題1 數軸、相反數、絕對值
小專題2 絕對值的性質及應用
小專題3 有理數的加減的實際應用
小專題4 有理數的計算技巧（一）
小專題5 有理數的計算技巧（二）
小專題6 乘方與數式規律
第一章有理數
小專題1 數軸、相反數、絕對值
[方法技巧]熟練掌握數軸、相反數、絕對值的概念和性質，依據其概念和性質解題.
[例1]有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示:
（1）請在數軸上標出|a|，-|b|，-c;
（2）試比較a，b，c，|a|，-|b|，-c的大小（用“＜”將它們連接起來）.
[例2]已知a，b為有理數，下列說法:
① 若a，b互為相反數，則;
② 若|a|＝|b|，則a＝b;
③ 若數軸上表示數a，b的點到原點的距離相等，則|a|＝|b|;
④ |a|＞|b|，且a大于其相反數，則a＞b.
其中正確的結論有______（填正確結論的序號）.
歸納總結：
1.要熟練掌握數軸、相反數、絕對值的概念和性質:
2.解決有關問題時，可采用數形結合的思想，借助數軸來幫助分析解決問題。
1.已知有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，且|a|＝|b|.
（1）a_____0，b_____0，c_____0，a_____b，c_____b（用“＞”，“＝”或“＜”填空）;
（2）a+b＝_____，_____;
（3）在數軸上標出-b與-c，試比較a，b，c，-b，-c的大小（按從小到大的順序排列）
小專題2 絕對值的性質及應用
[方法技巧]熟練掌握絕對值的意義和性質，依據其意義和性質解題.
1.絕對值的幾何意義:數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|，故絕對值表示的是數軸上兩點之間的距離;
2.絕對值的代數意義:（1）一個正數的絕對值是它本身;（2）一個負數的絕對值是它的相反數;（3）0的絕對值是0;
3.去絕對值的法則:
4.絕對值的性質:|a|≥0.若|a|+|b|＝0，則a＝0且b＝0.
[例]（1）若|a|＝3，則a＝_________，若|a-2|＝3，則a＝___________;
（2）已知|a|＝2，|b+1|＝5，a＞b，求|a+b|;
（3）已知|a+b|與2|b-6|互為相反數，求|a-b|.
歸納總結：
1.要熟練掌握絕對值的意義和性質，以及去絕對值的法則;
2.解決有關絕對值問題時，關鍵是依據條件去絕對值，正負不明時，需分類討論。
1.（1）數軸上點A表示的數為a，若點A到原點的距離為5，則a＝_____;若點B表示的數為1，點A到點B的距離為5，則a＝_________;
（2）若|a-2|＝5，則a＝_________;
（3）若|a+1|＝2，|2b-1|＝7，a＜b，求|a|+|b|;
（4）若|a+3|與|b-5|互為相反數，求|a-b|.
小專題3 有理數的加減的實際應用
[方法技巧]解答此類問題，要理解正數和負數以及絕對值在實際生活中的意義，通過有理數的加減混合運算解決問題，弄清題意是解答此類問題的關鍵.
[例]高速公路養護小組，乘車沿東西向公路巡視維護，如果約定向東為正，向西為負，當天的行駛記錄如下（單位:千米）:
+18，-9，+7，+11，-14，-3，-6，-8，+9，+15.
（1）養護小組最后到達的地方在出發點的哪個方向？距出發點多遠？
（2）養護過程中，最遠處離出發點有多遠？
（3）若汽車行駛每千米耗油量為0.08升，求這次養護小組的汽車共耗油多少升？
歸納總結：
在解決有理數的實際應用問題時，要正確理解正數和負數以及絕對值在實際生活中的意義，通過有理數的加減計算解決問題，其關鍵是弄清題意。
1.某支股票上周末的收盤價格是10.00元，本周一到周五的收盤情況如下表:（“+”表示股票比前一天上漲，“-”表示股票比前一天下跌）.
（1）周一至周五這支股票每天的收盤價各是多少元？
（2）本周末的收盤價比上周末收盤價是上漲了，還是下跌了？______;
（3）這五天的收盤價中最高的是周_____;最低的是周_____;相差_____元.
2.小蟲從某點A出發在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數，向左爬行的路程記為負數，爬行的各段路程依次為:（單位:cm）
+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.
（1）小蟲最后是否回到出發點A？
（2）小蟲離開原點最遠是多少cm？
（3）在爬行過程中，如果每爬行1cm獎勵一粒芝麻，則小蟲一共得到多少粒芝麻？
小專題4 有理數的計算技巧（一）
[方法技巧]學習有理數的運算，除了要熟練掌握基本的運算方法以外，若能根據題目的結構特點，采用一些適當的計算技巧即簡便運算，不僅能夠提高速度，而且還能提高正確率，達到事半功倍的效果.比如有理數的加減通常可采用對消與湊整、歸類與組合、裂項相消等方法.
[例]計算:
（1）-1.3+（-2.7）+4.5-5.7+3.5+2.7;
（2）27.45-（-32.39）+72.55+（-12.39）;
（3）（）（）;
（4）…
歸納總結：
1.在進行有理數的計算時，先觀察算式的特點，看能否采取簡便計算:
2.有理數的加減運算，一般可采取對消、湊整、歸類組合。
裂項極消等方法。
1.計算:
（1）-19+6-（+11）-（-14）;
（2）（-0.7）+3.8+（-1.3）+（-3.8）+5;
（3）（）（）+（）;
（4）（+1.75）-（）+（-7.25）-（）-2.5.
（5）…
小專題5 有理數的計算技巧（二）
[方法技巧]有理數的乘除及混合運算，通常可采用交換律、結合律、分配律、變序、逆用、拆項等方法.
[例]計算:
（1）（-3）×（）×（）;
（2）（）×（）;
（3）（-3）;
（4）（）×（-24）;
（5）（）÷（-7）.
歸納總結：
1.在進行有理數的計算時，先觀察算式的特點，看能否采取簡便計算;
2.有理數的乘除運算，一般可采取交換律、結合律、分配律變序、逆用、拆項等方法。
1.計算:
（1）（-2.5）×0.37×1.25×（-4）×（-8）;
（2）（-138）×（）（）;
（3）（）÷（）;
（4）（-9）;
（5）（.
小專題6 乘方與數式規律
[方法技巧]從特殊中找規律，得出一般結論.
[例]觀察下列三行數:
① 1，-2，4，-8，16，-32，…
② 2，-4，8，-16，32，-64，…
③ 4，-2，10，-14，34，-62，…
（1）第① 行數第8個數為______;第② 行數的第8個數為_______;第③ 行第8個數為_______;
（2）第① 行是否存在連續的三個數使得三個數的和是384？若存在，求出這三個數，若不存在，請說明理由;
（3）取每一行的第n個數，這三個數的和能否為-2558？若能，求出這三個數，若不能，請說明理由.
歸納總結：
1.在找規律時，注意每一行之間相鄰兩個數之間的關系尤其是第一行相鄰兩個數之間的關系;
2.注意行與行之間同位置的數字之間的和差倍分關系，
3.在解決關于同行或同列三個數的有關問題，一般設第一個數為x，表示出另外兩個數，根據題意列方程求解，求出x后，還應檢查是否存在這樣的數。
1.觀察下列三行數:
① -2，4，-8，16，-32，64，…;
② -1，2，-4，8，-16，32，…;
③ 0，6，-6，18，-30，66，…;
（1）第① 行數中的第n個數為_______（用含n的式子表示）;
（2）取每行數的第n個數，這三個數的和能否等于-318？如果能，求出n的值;如果不能，請說明理由;
（3）如圖，用一個長方形方框框住六個數，左右移動方框，若方框中的六個數之和為-156，求方框中左上角的數.
參考答案及解析：
第一章有理數
小專題1 數軸、相反數、絕對值
[方法技巧]熟練掌握數軸、相反數、絕對值的概念和性質，依據其概念和性質解題.
[例1]有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示:
（1）請在數軸上標出|a|，-|b|，-c;
（2）試比較a，b，c，|a|，-|b|，-c的大小（用“＜”將它們連接起來）.
分析:
a＜-|b|＜c＜-c＜b＜|a|
（1）由數軸可知a，c為負數，b為正數.
所以|a|＝-a，表示數a與-a的兩點分別位于原點兩側，且到原點的距離相等，于是可畫出|a|的位置;
b為正，所以-|b|＝-b，表示數b與-b的兩點分別位于原點兩側，且到原點的距離相等，于是可畫出-|b|的位置;
c在原點左側，則-c在原點的右側，且表示c和-c的兩點到原點的距離相等，于是可畫出-c的位置.
（2）根據數軸上右邊的數總大于左邊的數，則答案一目了然.
解答：
解:（1）如圖所示;
（2）根據數軸上的點表示的數，右邊的數大于左邊的數，得a＜-|b|＜c＜-c＜b＜|a|.
[例2]已知a，b為有理數，下列說法:
① 若a，b互為相反數，則;
② 若|a|＝|b|，則a＝b;
③ 若數軸上表示數a，b的點到原點的距離相等，則|a|＝|b|;
④ |a|＞|b|，且a大于其相反數，則a＞b.
其中正確的結論有______（填正確結論的序號）.
解答：
①a＝-b，則;當a＝b＝0時不成立，故① 錯誤;
② 若|a|＝|b|，則a＝b;若|a|＝|b|，則a＝b或者a+b＝0，故② 錯誤;
③ 根據絕對值的幾何意義，此說法正確，③ 對;
④ 因為a大于其相反數，所以a為正數，因為|a|＞|b|，無論b為正數還是負數，都有a＞b，所以④ 正確.
歸納總結：
1.要熟練掌握數軸、相反數、絕對值的概念和性質:
2.解決有關問題時，可采用數形結合的思想，借助數軸來幫助分析解決問題。
1.已知有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，且|a|＝|b|.
（1）a_____0，b_____0，c_____0，a_____b，c_____b（用“＞”，“＝”或“＜”填空）;
（2）a+b＝_____，_____;
（3）在數軸上標出-b與-c，試比較a，b，c，-b，-c的大小（按從小到大的順序排列）
解:（1）＞，＜，＜，＞，＜;
（2）0，-1;
（3）如圖，c＜b＜a＝-b＜-c.
小專題2 絕對值的性質及應用
[方法技巧]熟練掌握絕對值的意義和性質，依據其意義和性質解題.
1.絕對值的幾何意義:數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|，故絕對值表示的是數軸上兩點之間的距離;
2.絕對值的代數意義:（1）一個正數的絕對值是它本身;（2）一個負數的絕對值是它的相反數;（3）0的絕對值是0;
3.去絕對值的法則:
4.絕對值的性質:|a|≥0.若|a|+|b|＝0，則a＝0且b＝0.
[例]（1）若|a|＝3，則a＝_________，若|a-2|＝3，則a＝___________;
（2）已知|a|＝2，|b+1|＝5，a＞b，求|a+b|;
（3）已知|a+b|與2|b-6|互為相反數，求|a-b|.
解析：
（1）分析:由絕對值的意義可知|±3|＝3，若|a|＝3，則a＝±3;
若|a-2|＝3，則a-2＝±3，∴a＝5或-1;
（2）分析:由絕對值的意義和去絕對值的法則去絕對值，分類討論即可.
解答：
解:∵|a|＝2，∴a＝±2.
∵|b+1|＝5，∴b+1＝±5，∴b＝4或-6.
∵a＞b，∴a＝±2，b＝-6.
當a＝2，b＝-6時，|a+b|＝|-4|＝4;
當a＝-2，b＝-6時，|a+b|＝|-8|＝8，
∴|a+b|＝4或8;.0
（3）分析:由絕對值的性質，幾個非負式的和為0，則這幾個非負式的和都為0，可求解.
解答：
解:依題意，得|a+b|+2|b-6|＝0，又∵|a+b|≥0且2|b-6|≥0，
∴|a+b|＝0且2|b-6|＝0，即b-6＝0且a+b＝0，
∴b＝6，a＝-6，
∴|a-b|＝|-12|＝12.
歸納總結：
1.要熟練掌握絕對值的意義和性質，以及去絕對值的法則;
2.解決有關絕對值問題時，關鍵是依據條件去絕對值，正負不明時，需分類討論。
1.（1）數軸上點A表示的數為a，若點A到原點的距離為5，則a＝_____;若點B表示的數為1，點A到點B的距離為5，則a＝_________;
（2）若|a-2|＝5，則a＝_________;
（3）若|a+1|＝2，|2b-1|＝7，a＜b，求|a|+|b|;
（4）若|a+3|與|b-5|互為相反數，求|a-b|.
解答：
解:（1）±5;-4或6;
（2）7或-3;
（3）∵|a+1|＝2，∴a＝1或-3.
∵|2b-1|＝7，∴2b-1＝±7，∴b＝4或-3.
∵a＜b，∴a ＝1或-3，b＝4.
當a＝1，b＝4時，|a|+|b|＝|1|+|4|＝5;
當a＝-3，b＝4時，|a|+|b|＝|-3|+|4|＝3+4＝7;
∴|a|+|b|＝5或7;
（4）依題意，得|a+3|+|b-5|＝0，又∵|a+3|≥0且|b-5|≥0，
∴a+3＝0且b-5＝0，
∴a＝-3，b＝5，∴|a-b|＝|-8|＝8.
小專題3 有理數的加減的實際應用
[方法技巧]解答此類問題，要理解正數和負數以及絕對值在實際生活中的意義，通過有理數的加減混合運算解決問題，弄清題意是解答此類問題的關鍵.
[例]高速公路養護小組，乘車沿東西向公路巡視維護，如果約定向東為正，向西為負，當天的行駛記錄如下（單位:千米）:
+18，-9，+7，+11，-14，-3，-6，-8，+9，+15.
（1）養護小組最后到達的地方在出發點的哪個方向？距出發點多遠？
（2）養護過程中，最遠處離出發點有多遠？
（3）若汽車行駛每千米耗油量為0.08升，求這次養護小組的汽車共耗油多少升？
分析:（1）將所記錄的數據相加求和，即可得到答案;
（2）計算養護小組行駛過程中每次距出發的距離，比較得到養護過程中最遠處離出發點的距離;
（3）將所記錄的數據的絕對值相加即可得所走的路程，再將路程總數乘以0.08，即可得答案.
解答：
解:（1）18-9+7+11-14-3-6-8+9+15＝+20.
答:養護小組最后到達的地方在出發點的東邊20千米處;
（2）+18，+18-9＝9，9+7＝16，16+11＝27，27-14＝13，13-3＝10，
10-6＝4， 4-8＝-4，-4+9＝5，5+15＝20，
答:養護過程中最遠處離出發點是27千米;
（3）（18+9+7+11+14+3+6+8+9+15）×0.08＝100×0.08＝8（升）.
答:這次養護小組的汽車共耗油8升.
歸納總結：
在解決有理數的實際應用問題時，要正確理解正數和負數以及絕對值在實際生活中的意義，通過有理數的加減計算解決問題，其關鍵是弄清題意。
1.某支股票上周末的收盤價格是10.00元，本周一到周五的收盤情況如下表:（“+”表示股票比前一天上漲，“-”表示股票比前一天下跌）.
（1）周一至周五這支股票每天的收盤價各是多少元？
（2）本周末的收盤價比上周末收盤價是上漲了，還是下跌了？______;
（3）這五天的收盤價中最高的是周_____;最低的是周_____;相差_____元.
解答：
解:（1）周一收盤價是:10+0.28＝10.28（元）;
周二收盤價是:10.28-2.36＝7.92（元）;
周三收盤價是:7.92+1.80＝9.72（元）;
周四收盤價是:9.72-0.35＝9.37（元）;
周五收盤價是:9.37+0.08＝9.45（元）;
（2）由（1）可知，本周末的收盤價比上周末收盤價是下跌了;
（3）由（1）可知，周一最高，周二最低，相差2.36元.
2.小蟲從某點A出發在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數，向左爬行的路程記為負數，爬行的各段路程依次為:（單位:cm）
+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.
（1）小蟲最后是否回到出發點A？
（2）小蟲離開原點最遠是多少cm？
（3）在爬行過程中，如果每爬行1cm獎勵一粒芝麻，則小蟲一共得到多少粒芝麻？
解答：
解:（1）+5-3+10-8-6+12-10＝27-27＝0，所以小蟲最后回到出發點A;
（2）第一次爬行距離原點是5cm，第二次是5-3＝2（cm），
第三次是2+10＝12（cm），第四次是12-8＝4（cm），
第五次是|4-6|＝2（cm），第六次是-2+12＝10（cm），
第七次是10-10 ＝0（cm），
∴小蟲離開原點最遠是12cm;
（3）小蟲爬行的總路程為:|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5 +3+10+8+6+12+10＝54（cm）.所以小蟲一共得到54粒芝麻.
小專題4 有理數的計算技巧（一）
[方法技巧]學習有理數的運算，除了要熟練掌握基本的運算方法以外，若能根據題目的結構特點，采用一些適當的計算技巧即簡便運算，不僅能夠提高速度，而且還能提高正確率，達到事半功倍的效果.比如有理數的加減通常可采用對消與湊整、歸類與組合、裂項相消等方法.
[例]計算:
（1）-1.3+（-2.7）+4.5-5.7+3.5+2.7;
（2）27.45-（-32.39）+72.55+（-12.39）;
（3）（）（）;
（4）…
解答：
歸納總結：
1.在進行有理數的計算時，先觀察算式的特點，看能否采取簡便計算:
2.有理數的加減運算，一般可采取對消、湊整、歸類組合。裂項極消等方法。
1.計算:
（1）-19+6-（+11）-（-14）;
（2）（-0.7）+3.8+（-1.3）+（-3.8）+5;
（3）（）（）+（）;
（4）（+1.75）-（）+（-7.25）-（）-2.5.
（5）…
解答：
解:（1）原式＝-19+6-11+14＝（-19-11）+（6+14）＝-30+20＝-10;
（2）原式＝（3.8-3.8）+（-0.7-1.3）+5＝-2+5＝3;
（3）原式（）]+[（）+（）]（）;
（4）原式＝（）+（）-（1.75+7.25）＝15+3-9＝9;
（5）原式（…）（）
小專題5 有理數的計算技巧（二）
[方法技巧]有理數的乘除及混合運算，通常可采用交換律、結合律、分配律、變序、逆用、拆項等方法.
[例]計算:
（1）（-3）×（）×（）;
（2）（）×（）; （3）（-3）;
（4）（）×（-24）; （5）（）÷（-7）.
歸納總結：
1.在進行有理數的計算時，先觀察算式的特點，看能否采取簡便計算;
2.有理數的乘除運算，一般可采取交換律、結合律、分配律變序、逆用、拆項等方法。
1.計算:
（1）（-2.5）×0.37×1.25×（-4）×（-8）;
（2）（-138）×（）（）;
（3）（）÷（）;
（4）（-9）;
（5）（.
解答：
解:（1）原式＝-（2.5×4）×（8×1.25）×0.37＝-10×10×0.37＝-37;
（2）原式＝（138+52-183）;
（3）原式;
（4）原式＝（）÷（-9）;
（5）∵（1--）÷（-）＝-×+×+×＝-3++1＝-，
∴原式＝-2.
小專題6 乘方與數式規律
[方法技巧]從特殊中找規律，得出一般結論.
[例]觀察下列三行數:
① 1，-2，4，-8，16，-32，…
② 2，-4，8，-16，32，-64，…
③ 4，-2，10，-14，34，-62，…
（1）第① 行數第8個數為______;第② 行數的第8個數為_______;第③ 行第8個數為_______;
（2）第① 行是否存在連續的三個數使得三個數的和是384？若存在，求出這三個數，若不存在，請說明理由;
（3）取每一行的第n個數，這三個數的和能否為-2558？若能，求出這三個數，若不能，請說明理由.
解答：
[例]觀察下列三行數:
①
②
③+2
分析:觀察第① 行相鄰兩個數之間有何數量關系？
第① 行中，從第2個數開始，后面的數都是前一個數的-2倍;
第1個數:1＝（-2）0，第2個數:-2＝（-2）1，第3個數:4＝（-2）2，…，
第n個數:（-2）n-1.
∴第① 行第8個數是（-2）7＝-128.
第② 行中的數有什么規律？怎么找呢？同樣的我們可以觀察相鄰兩個數之間的關系，從第2個數開始，后面的數都是前一個數的-2倍;
第1個數:2＝-（-2）1，第2個數:-4＝-（-2）2，第n個數:-（-2）n.
我們也可以對比觀察第② 行與① 行相應位置的兩個數之間的關系，你有什么發現呢？
第② 行是第① 行相應位置的數的2倍.
∴第② 行第8個數是-128×2＝-256;
第③ 行中的數有什么規律？怎么找呢？
我們可以觀察相鄰兩個數之間的關系，或者與第① 行或者與第② 行相應位置的兩個數之間的規律，從中可以發現:第③ 行是第② 行相應位置的數加2. 第③ 行第8個數是-256+2＝-254;
（1）第① 行數第8個數為___-128___;第② 行數的第8個數為___-256____;第③ 行第8個數為___-254____;
（2）第① 行是否存在連續的三個數使得三個數的和是384？若存在，求出這三個數，若不存在，請說明理由;
分析:三個數之間存在確定的數量關系，則可設這三個數依次為x，-2x，4x，
依題意列方程，得x+（-2x）+4x＝384，解這個方程得x，算出x后還應檢查該行是否存在這樣的數.
解:設第① 行連續的三個數為x，-2x，4x，
x+（-2x）+4x＝384，解得，x＝128，
∵第① 行第8個數為-128，沒有128這個數，∴不存在;
（3）取每一行的第n個數，這三個數的和能否為-2558？若能，求出這三個數，若不能，請說明理由.
分析:同樣的，假設存在這樣的三個數，則可設這三個數依次為x，2x，2x+2，
依題意列方程，得x+2x+2x+2＝2558，解這個方程得x，算出x后再檢查是否存在這樣的數.
解:設這三個數分別為x，2x，2x+2，
x+2x+2x+2＝-2558，解得x＝-512，
∵（-2）9＝-512，
∴n＝10，n為偶數，偶數列數字為負數，符合題意，
∴存在，這三個數分別為-512，-1024，-1022.
歸納總結：
1.在找規律時，注意每一行之間相鄰兩個數之間的關系尤其是第一行相鄰兩個數之間的關系;
2.注意行與行之間同位置的數字之間的和差倍分關系，
3.在解決關于同行或同列三個數的有關問題，一般設第一個數為x，表示出另外兩個數，根據題意列方程求解，求出x后，還應檢查是否存在這樣的數。
1.觀察下列三行數:
① -2，4，-8，16，-32，64，…;
② -1，2，-4，8，-16，32，…;
③ 0，6，-6，18，-30，66，…;
（1）第① 行數中的第n個數為_______（用含n的式子表示）;
（2）取每行數的第n個數，這三個數的和能否等于-318？如果能，求出n的值;如果不能，請說明理由;
（3）如圖，用一個長方形方框框住六個數，左右移動方框，若方框中的六個數之和為-156，求方框中左上角的數.
解答：
解:（1）第一行中，從第二個數起，每一個數與前一個數的比為-2，
∴第n個數為:-2×＝;
（2）設第一行的第n個數為x，則:（x+2）＝-318，
x ＝-128＝（-2）7，
∴n＝7，答:n＝7時滿足題意;
（3）設方框中左上角的數為x，
則:x+（-2x）（-x）+（x+2）+（-2x+2）＝- 156，x＝64.
答:方框中左上角的數為64.

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