資源簡介

(共75張PPT)
發揮向量方法（坐標法）的“統帥”作用，
體現幾何直觀與代數運算的融合
——選擇性必修第一冊教材解讀與教學建議
2023年高中數學新教材培訓培訓課件★★
選擇性必修第一冊（43）
第一章 空間向量與立體幾何（14）
第二章 直線和圓的方程（16）
第三章圓錐曲線的方程（13）
關于選擇性必修教材內容安排的順序
考慮內容之間的邏輯關系；
相關聯的（尤其是同一主題）內容盡量就近安排。
幾何與代數主題
課標定位：幾何與代數是高中數學課程的主線之一。在必修課程與選擇性必修課程中，突出幾何直觀與代數運算之間的融合，即通過形與數的結合，感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解。
向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁
用向量“統領”幾何與代數主題內容
平面向量：平面幾何中的向量方法；余弦定理、正弦定理、解三角形。
復數：復數代數表示（幾何意義）、三角表示；復數的運算。
立體幾何初步：用向量方法理解判定定理。
空間向量與立體幾何：證明判定定理；直線、平面間的位置關系；解決距離、夾角問題。
解析幾何：傾斜角引入，斜率公式推導，點到直線距離公式。
一般地，解析幾何：向量法是解析幾何的返璞歸真，是不依賴坐標系的解析幾何。(盡管向量法的誕生晚于坐標法）
向量具有統領作用
第一部分
發揮向量方法的“統帥”作用，
體現幾何直觀與代數運算的融合
——“第一章 空間向量與立體幾何”教材解讀與教學建議
一、向量及其運算
向量集數與形于一身，向量運算既是數的運算，也是圖形的運算。根據圖形列出向量等式（關系式），使計算與圖形融為一體，這是向量法解決幾何問題的關鍵。
向量具有明確的幾何背景，向量的運算具有明顯的幾何意義，涉及距離、夾角的幾何問題可以通過向量及其運算得到解決，因此應用向量可以解決幾何問題。
“對比把長度、面積、體積考慮為絕對值的普通初等幾何學，這樣做有極大的好處。初等幾何必須依照圖形呈現的情況而區分許多情況，而現在用幾個簡單的一般定理就可以概括。” （F·克萊因 ）
向量的運算，是“帶方向的量的運算”。如何對方向進行運算是核心問題。“位移的合成”很好地解釋了“兩個方向之和”，以此為背景可以定義向量加法的三角形法則；而以“力的合成”為背景又可以定義向量加法的平行四邊形法則。
向量加法與三角形一致，三角形是最基本、最重要的幾何圖形，是整個歐氏幾何的基礎。
“定義了一種運算就要研究運算律”，向量加法滿足交換律、結合律，而交換律就是“平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等”的向量表達式。
類比數a的整數倍na是n個a相加的總和，可以定義實數與向量a的乘積a是一個向量，得到向量的數乘運算。
向量的數乘運算滿足結合律和分配律：λ(μa)=(λμ)a，
λ(a+b)=λa+λb；(λ+μ)a=λa+μa。
數乘運算的分配律k(a+b)=ka+kb是
“相似三角形對應邊的比等于相似比”
的代數化形式。
由向量a與a共線，由此，兩個非零向量a，b共線（平行）的充要條件是a=b。
以物理中力做功為背景，可以定義向量的數量積。（歐氏空間）
向量的數量積滿足交換律、結合律、分配律。
a b= b a；（λa） b=λ（a b）；
（a+b） c=a c + b c。（用投影向量加以證明）
余弦定理就是平面向量的數量積。
向量的投影（向量）與向量的數量積
（= (a ) ）
其中相同的單位向量
證明分配律（a+b） c=a c + b c；
向量的投影、數量積與距離、夾角等緊密相聯，用它可以解決一些涉及距離、夾角的幾何問題。
直線與直線所成的角
cosθ＝|cos|＝=
直線與平面所成的角
sinθ＝|cos< u，n >|＝=
平面與平面所成的角（夾角） cosθ＝|cos|＝=
教學問題：
關于平面與平面的夾角、二面角的平面角（二面角的大小）：體現通性通法，視需要進一步加以研究
為了徹底實現幾何問題的代數化，需要進一步把空間中的向量的表示。利用平面向量基本定理、向量的加法、數乘運算，可以把空間任意一個向量，用不共面的三個向量a，b，c表示為xa+yb+zc。從而使它成為可運算的對象。在解決幾何問題時，這種表示發揮了基礎性作用，因此我們把它叫做空間向量基本定理。
仿射坐標系：不共面的三個向量（一組基）
a，b，c+空間一個定點O , {O， a，b，c}
特別地，我們以標準正交基{i，j，k}為基底，
建立了空間直角坐標Oxyz，向量與點A的坐標
間的一一對應。（空間直角坐標系）
向量法→坐標法
用向量方法解決平面(立體)幾何問題的四個重要的法則（定理）
向量加法法則（三角形回路）及其運算律；
向量數乘的意義及其運算律；（向量共線的充要條件）
向量數量積的意義和運算律；（垂直向量的數量積為0）
空間（平面）向量基本定理。
二、本章的內容安排（研究框架）
第一章 空間向量與立體幾何（14）
1.1 空間向量及其運算（2）
空間向量及其線性運算；空間向量的數量積運算
1.2 空間向量基本定理（2）
1.3 空間向量及其運算的坐標表示（2）
空間直角坐標系；空間向量運算的坐標表示
閱讀與思考 向量概念的推廣與應用
1.4 空間向量的應用（6）
用空間向量研究直線、平面的位置關系
用空間向量研究距離、夾角問題
小結（2）
關注內容的聯系性和整體性，構建本章的研究框架
三、類比平面向量研究空間向量的概念及其運算，關注其中維數帶來的變化
平面向量與空間向量都屬于向量，平面向量是二維向量，空間向量是三維向量，空間向量是平面向量的推廣，兩者除維數不同外，在概念、運算及其幾何意義、坐標表示等方面具有一致性。
平面向量基本定理與空間向量基本定理在形式上也具有一致性。
利用空間向量解決立體幾何問題，是利用平面向量解決平面幾何問題的發展，主要變化是維數的增加，討論對象由二維圖形變為三維圖形，基本方法都是將幾何問題用向量形式表示，通過向量的運算，得出相應幾何結論。
平面向量和空間向量具有相同的運算性質，在構建空間向量及其運算的結構體系時，把空間向量及其運算的內容進行了集中處理，相關概念和運算性質都是通過類比平面向量的方式呈現。
“與平面向量一樣”多次出現。
空間向量是自由的，所以對于空間中的任意兩個非零向量，我們都可以通過平移使它們的起點重合。因為兩條相交直線確定一個平面，所以起點重合的兩個不共線向量可以確定一個平面，也就是說，任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內，成為同一平面內的兩個向量。
四、加強從四個基本法則出發思考和解決問題，加強對向量法解決幾何問題的一般方法的理解和掌握
用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”
第一步，建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；
第二步，通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題；
第三步，把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論 。
對于立體幾何中的向量方法，教科書采取了先分散后集中的方式。
在學生系統學習空間向量知識的同時，安排利用空間向量解決簡單的立體幾何問題，滲透向量方法；
在建立空間向量的體系后，集中安排用空間向量研究空間直線、平面的平行、垂直關系，體會空間向量在研究空間圖形位置關系中的作用；
通過對距離、夾角等立體幾何度量問題的研究，結合具體問題明確給出利用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”；
通過綜合應用“向量法”“坐標法”解決立體幾何問題，進一步體會向量方法在解決立體幾何問題中的普適作用。
1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系
空間中點、直線、平面的向量表示
空間中直線、平面的平行；空間中直線、平面的垂直
1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題
點到直線距離、點到平面距離；三步曲；
直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角
綜合應用
通過系列化問題引導學習，獲得“四基”，提升數學核心素養
為了使學生得到思維方法上的訓練，教科書根據知識的發生發展過程，利用“觀察”“思考”“探究”等欄目提出問題，引導學生層層深入地進行思考．教學時應深入理解教科書構建的問題鏈，并在此基礎上進行教學設計．
例如，在用空間向量研究直線、平面的位置關系的學習中，教科書圍繞空間中點、直線和平面的向量表示，通過空間向量的運算，以欄目為載體，構建了這樣一條問題鏈：
以“思考 如何用向量表示空間中的一個點？”引導學生思考空間中點的向量表示；
以“思考 我們知道，空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l．如何用向量表示直線l？”引導學生思考空間中直線的向量表示；
以“思考 一個定點和兩個定方向能否確定一個平面？進一步，一個定點和一個定方向能否確定一個平面？如果能確定，如何用向量表示這個平面？”引導學生思考空間中平面的向量表示；
以“思考 由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關系？”為引導，研究空間中直線、平面的平行；
以“思考 類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關系？”為引導，研究空間中直線、平面的垂直．
教學中的問題
沒有反映向量法的本質，披著向量法的外衣，實際上還是綜合幾何的方法；
把向量法中的代數化曲解為“坐標運算”——窄化了向量法的應用范圍。
改進
加強對向量運算的認識，向量的運算是帶方向的量的運算，是“代數運算”和“圖形運算”的結合。
加強從四個基本法則（定理）出發思考和解決問題
加強對向量法解決幾何問題的一般方法（三步曲）的理解和掌握。
向量運算 坐標運算；向量方法（基底法） 坐標方法
五、全面認識投影向量的意義、作用
向量的投影是高維空間到低維子空間的一種線性變換，得到的投影向量是變換的結果。空間向量投影概念的建立對于學生利用投影向量研究立體幾何問題有重要意義。
教科書在引入向量數量積后，類比在必修課程中學習過的平面向量投影的概念，利用幾何直觀給出了空間向量投影的概念。
向量投影在解決空間距離問題中發揮重要作用
投影向量的幾何意義和代數表示，不僅為研究立體幾何的距離問題提供了便利，而且還提供了研究距離的方法。
距離：兩點間的距離，點到直線的距離，平行線之間的距離，點到平面的距離，直線到平面的距離，平行平面之間的距離等。
除兩點間距離外，垂直反映了距離的本質，因此借助勾股定理可以直觀地研究距離問題。
無論是平面還是直線，法向量都是反映垂直方向的最為直觀的表達形式，利用法向量可以刻畫表示“距離”的線段的方向。法向量的方向和法向量上投影向量的長度既體現了幾何直觀，又提供了代數定量刻畫，因此利用方向向量、法向量和向量投影可以研究距離問題。
在研究距離問題時，參考向量、參考向量的投影向量、二者的差，構成直角三角形，這樣，利用勾股定理，結合空間向量的運算，距離問題也就迎刃而解。
例如，教科書在利用空間向量研究點到直線的距離時，就采用了如下投影向量和勾股定理相結合的方式：
如圖，P為直線l外的一點，為直線l的單位方向向量。設，則向量在直線l上的投影向量的長。
在Rt△APQ中，由勾股定理，得
PQ ＝。
（平行直線間的距離）
接下來，通過問題“類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？” 引導學生自己研究兩條平行直線之間的距離。
進而，利用投影向量研究點到平面的距離，并滲透利用法向量和投影向量研究距離問題的一般方法：
第一步，確定法向量；
第二步，選擇參考向量（向量）；
第三步，確定參考向量到法向量的投影向量；
第四步，利用向量運算求投影向量的長度。
PQ ＝=
（直線到平面的距離、平行平面間的距離）
異面直線的距離
教學問題：
為什么用向量投影研究點到直線的距離時，不采用參考向量向直線的法向量投影？
1. 確定直線的要素（點+方向向量）
2. 在空間，直線的法向量組成法平面
向量投影的背景、意義和作用
1. 空間的正交分解（直和）
線性變換的限制
從而利用低維空間研究高維空間的結構和變換
2.利用向量投影證明向量的內積運算對向量的加法運算的分配律
3.求距離的通性通法
第二部分
突出坐標法這一解析幾何基本思想（向量方法），用代數方法研究幾何曲線問題
——第二、三章 直線和圓、圓錐曲線的方程
教材解讀與教學建議
一、解析幾何中的坐標法
坐標法：代數方法研究幾何問題，借助坐標系。
關注確定圖形的幾何要素——在坐標系中用代數方法表示幾何要素——曲線的方程——研究圖形的有關性質
用坐標法研究幾何圖形，是把圖形看成點的集合或點運動的軌跡。在平面直角坐標系中，點與有序數對（坐標）一一對應，用點的坐標刻畫幾何圖形的特征，就得到描述幾何圖形特征的代數表達式 f（x，y）=0，也就是曲線的方程。
方程與曲線之間的一一對應關系是解析幾何的基石
高中數學課程主要研究直線、圓、圓錐曲線（橢圓、雙曲線和拋物線），建立它們的方程，由方程研究它們的有關性質。
坐標法是方法論
解析幾何的創建是為了科學發展的需要。從數學內部看，則是出于對數學方法的追求。笛卡兒創立解析幾何的原動力是他對普適性方法的追求，
笛卡兒：以往的幾何、代數研究都存在很大缺陷：歐氏幾何中沒有那種普遍適用的證明方法，幾乎每一個證明都需要某種新的、技巧性很強的想法；代數的方法具有一般性，其推理程序也是機械化的，但它完全受法則和公式的控制，以至于成為一種充滿混雜與晦暗、故意用來阻礙思想的藝術，而不像用來改進思想的科學。
更重視代數方法：代數方法在提供廣泛的方法論方面要高出幾何方法，因此代數具有作為一門普遍的科學方法的潛力。
任何問題→數學問題→代數問題→方程求解
笛卡爾的理論建立在兩個觀念的基礎上：坐標觀念；利用坐標方法把帶有兩個未知數的任意代數方程看成是平面上的一條曲線的觀念。
“創造一種方法，以便用來解決所有的幾何問題，給出這些問題的所謂一般的解法”的思想指引著笛卡兒他的創新之路，而幾何、代數和一般變量概念的結合是坐標法的起源，所以解析幾何具有濃厚的“方法論”色彩。
教科書把“解析幾何是一種方法論”作為解析幾何內容的一個核心定位，并在編寫過程中把如何講好“方法論”作為教科書的一個關鍵問題。
二、突出坐標法，建立曲線的方程，研究曲線的性質
在章、節引言中，加強研究方法的引導，構建先行組織者。
“直線和圓的方程”章引言
直線的傾斜角和斜率節引言
直線的交點坐標與距離公式節引言
正文中隨時隨地強調坐標法思想
在直線、圓、圓錐曲線的建立、研究它們的幾何性質、研究它們的位置關系時，加強“先用平面幾何眼光觀察，再用坐標法解決”的過程，并在“如何以直角坐標系為參照，確定問題中的幾何要素”上加強引導，突出用坐標法解決幾何問題的“三步曲”。
曲線方程的建立：關注確定圖形的幾何要素——在坐標系中用代數方法表示幾何要素——曲線的方程
傾斜角和斜率——直線的方程
確定一條直線的幾何要素是什么？對于平面直角坐標系中的一條直線l，如何利用坐標系確定它的位置？
兩點確定一條直線，一點和一個方向也可以確定一條直線。借助向量，兩點確定一條直線可以歸結為一點和一個方向確定一條直線。
在平面直角坐標系中，經過x軸上一點P有無數條直線，它們的區別在于方向不同。 如何表示這些直線的方向？
這些直線相對于x軸的傾斜程度不同，也就是它們與x軸所成的角不同。 因此，我們可以利用這樣的角來表示這些直線的方向。傾斜角
設P1（x1，y1），P2（x2，y2）是直線l上的兩點。由兩點確定一條直線可知，直線l由點P1，P2唯一確定。所以，可以推斷，直線l的傾斜角一定與P1，P2兩點的坐標有內在聯系。
在平面直角坐標系中，設直線l的傾斜角為α，如果直線l經過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，那么α與P1，P2的坐標有怎樣的關系？
利用向量（從特殊到一般）推導tanα= ，定義斜率。
給定一點和一個方向可以唯一確定一條直線。這樣，在平面直角坐標系中，給定一個點P0（x0，y0）和斜率k（或傾斜角），就能唯一確定一條直線。也就是說，這條直線上任意一點的坐標（x，y）與點P0的坐標（x0，y0）和斜率k之間的關系是完全確定的。 那么，這一關系如何表示呢？
直線l經過點P0（x0，y0），且斜率為k。設P（x，y）是直線l上不同于點P0的任意一點，因為直線l的斜率為k，由斜率公式得 ，即y-y0=k(x-x0) Ⅰ。（點斜式——斜截式）
上述推導說明直線l上任意一點的坐標一定滿足關系式Ⅰ；再驗證坐標滿足關系式Ⅰ的點一定在直線l上。我們把方程y-y0=k(x-x0)稱為過點P0（x0，y0），斜率為k的直線l的方程。
已知直線l經過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2，因為兩點確定一條直線，所以直線l是唯一確定的. 也就是說，對于直線l上的任意一點P（x，y），它的坐標與點P1，P2的坐標之間具有唯一確定的關系. 這一關系是什么呢？ （兩點式——截距式）
觀察直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程，我們發現，它們都是關于x，y的二元一次方程。直線與二元一次方程是否都有這種關系呢？
（1）平面直角坐標系中的任意一條直線都可以用一個關于x，y的二
元一次方程表示嗎？ （2）任意一個關于x，y的二元一次方程都表
示一條直線嗎？（一般式）
橢圓的標準方程
分析背景——探索幾何特征——選擇坐標系、建立標準方程——探索不同形式的標準方程——研究性質
節引言：“橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質奠定基礎？”從宏觀上提出問題，給出研究目標。
在引入橢圓概念時，以“探究：移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？”引導學生探究橢圓的幾何特征，為抽象橢圓概念、展開后續內容做好必要準備。
以“思考：觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單？”引導學生思考如何利用橢圓的幾何特征合理建立坐標系。
以“思考：觀察圖3.1-3，你能從中找出表示
a，c， 的線段嗎？”引導學生思考
它們的幾何意義，使學生理解引入b2的合理性。
說明“橢圓上任意一點的坐標（x，y）都滿足
方程；反之，以方程的解為坐標的點（x，y）
與橢圓的兩個焦點（c，0），（-c，0）的距離之和為2a”，得到橢
圓的標準方程。
以“思考：如果焦點F1，F2在y軸上，且F1，F2的坐標分別為（0，－c），（0，c），a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？”引導學生通過類比，自主推導焦點在y軸上時的標準方程。
除正文研究簡單幾何性質外，把那些通過不太復雜的代數運算就能得出的性質及其在現實中的應用設計為例題、習題，讓學生進一步體會坐標法的思想。
從“角度”的關系反映性質
如果一個動點與兩個定點連線的斜率之積是一個負（正）常數，那么它的軌跡是橢圓（雙曲線）。
橢圓上的點（長軸端點除外）與長軸的兩個端點所連兩條直線的斜率之積為定值，是一個不變量
在小結中，用明確的語言表述數形結合思想、坐標思想。
三、加強單元設計，整體設計教學內容
圍繞碎片化的知識點，以“知識點講解+例題+練習”的方式設計教學活動，已經無法承載數學基本思想和基本活動經驗教學的要求，對“四基、四能”的提高不利，對核心素養發展更不利。
課標：“教材編寫應體現整體性”“要便于教師把握知識本質，駕馭課程內容；要便于教師把握知識結構，統籌教學安排；要便于教師教學設計，創設教學情境、提出合適問題、有效組織教學；要為教師自主選擇、增補和調整教學內容預留必要空間”（核心：以前后一致的思想方法為導引）
直線、圓、圓錐曲線
分析背景——探索幾何特征——選擇坐標系、建立方程——通過方程研究幾何性質（關系）——應用方程和性質解決問題
例：圓錐曲線的教學
以每一種圓錐曲線的幾何特征、方程、性質和應用為明線，以坐標法和數形結合思想為暗線，以邏輯連貫、環環相扣的“問題串”為腳手架，設計系列化的學習活動。
在“橢圓”中，教科書用前后連貫、循序漸進的十多個問題組成“問題串”，將內容連成一體，引導學生有邏輯地展開學習與探究。
問題既有針對整體思路的，也有針對具體內容的；既有針對思想方法、研究策略的，也有操作性的、針對特例或細節的。它們是以橢圓知識的內在邏輯為依據而設置的、自然而然的學習主線，解決了這些問題就可以形成思想內涵豐富的“橢圓與方程”知識體系。
橢圓的研究脈絡
通過具體情境（如行星運行軌道），了解橢圓的背景與應用；
結合情境、通過動手操作清晰地描述圖形的幾何特征與問題，即橢圓是到兩個定點的距離之和為定長的動點的軌跡；
結合幾何特征合理地建立坐標系，用代數語言描述這些特征，建立橢圓的方程；
借助幾何圖形的特點，形成研究橢圓性質的思路，利用方程，并通過直觀想象和代數運算，研究橢圓的幾何性質；
把圓錐曲線豐富多彩的性質選作例題和習題（包含了橢圓與圓的聯系、定義橢圓的其他方式、橢圓的光學性質等），通過這些題目加強知識間的相互聯系，從而幫助學生建立對圓錐曲線的整體認識。
關于三種圓錐曲線的定義
由平面截圓錐得到三種截線，是最原始的定義（阿波羅尼奧斯，齊曲線、超曲線、虧曲線）。由這個定義可以容易地區分截線的類型，但每一種截線的幾何特征卻不明顯。由此出發推導圓錐曲線的方程，需要用到較多的幾何知識，推理過程比較復雜。
“平面內，與兩個定點的距離的和等于常數的點的軌跡叫做橢圓”的幾何特征非常明確，可以與圓的定義相銜接，容易作圖，其基本幾何性質（對稱性）也易于直觀想象，方便合理地建立直角坐標系求出橢圓的方程。
由“距離的和等于常數”聯想到“距離的差等于常數”也是非常自然的，所以教科書對橢圓、雙曲線的定義做出如此選擇。
缺陷：與拋物線的定義無法銜接
教材處理：橢圓一節設置例題：動點M（x，y）到定點F（4，0）的距離和它到定直線l：x＝的距離的比是常數，求動點M的軌跡”；信息技術應用：探究到定點的距離和到定直線的距離的比小于1時的點的軌跡。
雙曲線一節設置例題：“動點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和它到定直線l：x＝的距離的比是常數，求動點M的軌跡”；設置習題：“設動點M與定點F(c,0)（c＞0）的距離和它到定直線l：x＝的距離的比是（a＜c），求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀”。
在拋物線的節引言中先進行引導：“在前面的學習中我們發現：設動點M到定點F的距離與動點M到定直線l的距離的比為常數k，當0＜k＜1時，動點M的軌跡是橢圓；當k＞1時，動點M的軌跡是雙曲線。一個自然的想法是，如果k=1，即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離相等，那么動點M的軌跡是什么形狀？”
通過“探究”欄目，讓學生用信息技術畫出動點的軌跡，發現動點滿足的幾何條件，在此基礎上再給出拋物線的定義。
小結提出問題：圓錐曲線的統一性體現在哪些方面？你如何理解圓錐曲線的“統一性”？
兼顧了三種圓錐曲線的“個性”與“共性”，使概念的引入、定義的給出基本做到了銜接自然、光滑。
重視對研究對象幾何特征的分析
解析幾何是“以代數方法研究幾何問題”
基本圖形 點，直線，圓，橢圓，雙曲線，拋物線
特征量 距離，斜率，半徑，長、短軸，實、虛軸，焦距，離心率，
焦半徑等
位置關系 平行，垂直，相交，相切等
度量和 計算 長度，角度，面積
研究的主要問題 直線、圓、圓錐曲線的方程及其幾何性質，位置關系，
圖形在運動變化中的不變性、不變量等。
四、加強運算能力的培養
要把握解析幾何中運算的特點。解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數運算，所以先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其基本關系，再用代數語言表達，而且在運算過程中時刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關系來簡化運算，這是解析幾何教學中突破運算難點的關鍵舉措。教學中，提高運算能力不能僅從代數角度入手，還要努力提高學生的幾何圖形分析能力，也就是要在落實數形結合思想上下功夫。
點到直線的距離公式
點到直線的距離公式推導這個公式有多種方法.
第一種方法是典型的坐標法. 它是解析幾何研究問題最基礎、最常用的方法，即把點到直線的距離問題轉化為已知點與交點之間的距離，交點的坐標可以由兩條直線的方程得到，表示點到直線的距離的線段所在直線的方程可以由點斜式得到，其斜率可以由與它垂直的直線的斜率的負倒數求得.它完全通過代數運算，中間過程都是帶字母系數的表達式，形式很復雜，得到最終結果需要較強的數學運算能力，這對提升學生的數學運算素養是有利的.
根據直線PQ與已知直線l垂直，可以獲得直線PQ的斜率，進而得到直線PQ的方程，由直線PQ和直線l的方程，可以求出它們的交點Q的坐標，利用兩點間的距離公式，求出|PQ|是最常見的一種方法，也是基本方法.
第二種方法是“設而不求”
這種方法思路自然，但運算量較大 . 教科書在分析引起復雜運算原因的基礎上，提出探究簡化運算方法的任務，采取“設而不求”的策略，將方程組
轉化為關于的方程組
將③④兩邊分別平方后相加，得
所以
所以
教科書沒有給出上述完整的過程，教學時，可以先讓學生探索求解的過程，然后進行補充完善.
“設而不求”是學生第一次接觸，教學時教師要積極引導，“設”的是什么，“求”的是什么，能不能把點Ｐ到直線ｌ的距離用含有所設未知數的式子表達出來，進而得到整個式子的結果，而不是式子中具體未知數的結果. 這就是“設而不求”的原因.
第三種方法是典型的向量法. 用投影向量的模表示點到直線的距離，把求距離轉化為向量數量積的運算，而且把點到直線的距離這個點與已知直線上的點的距離的最小值，用已知點與已知直線上任意一點構成的向量在與已知直線垂直的單位向量上的投影向量的模表示. 這種方法構造性強，需要較高的思維水平以及對向量的深入認識，但是運算較為簡便. 這種用一般化的向量(參考向量)處理最特殊的距離（點到直線的距離）的思路給了解決此類問題的通性通法. 在“空間向量與立體幾何”一章中，我們有過類似的方法.
其他方法
面積法等
提升運算求解能力
幾何與代數主題中幾個普適性研究方法
一、注重通性通法
1.幾個“三步曲”
向量方法有別于綜合幾何方法．綜合幾何方法是借助圖形直觀，從公理、定義和定理等出發，通過邏輯推理解決幾何問題；而向量方法則是用向量表示幾何元素，通過向量運算得到幾何問題的解決．一般地，利用空間向量解決立體幾何問題，有如下的“三步曲”：
第一步，建立立體圖形與空間向量的聯系 ， 用空間向量表示問題中涉及的點 、 直線 、 平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；
第二步，通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題；
第三步，把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論 ．
特別地，用投影向量解決距離問題的三部曲
上述利用向量方法解決立體幾何問題的“三步曲”，在解決幾何問題時具有程序性、普適性．
坐標法的“三步曲” ：
第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，把平面幾何問題轉化為代數問題；
第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論．
二、重視類比的方法
類比數及其運算研究向量及其運算
類比平面向量研究空間向量
類比用平面向量研究平面幾何問題來用空間向量研究立體幾何問題
類比研究直線和圓的方程的方法研究圓錐曲線的方程
類比用坐標法研究橢圓的方法研究雙曲線、拋物線。
另外，在幾何與代數主題中，要加強運算技能的培養
幾何與代數主題邏輯結構圖
謝 謝！
敬請批評指正！

展開更多......

收起↑