資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
學 科 數學 年 級 八 設計者 尹堅
教材版本 北師大版 冊、章 上冊第四章
課標要求 一、函數通過簡單的實例，了解常量、變量的意義。能結合實例，了解函數的概念和函數的三種表現形式，能舉出函數的實例。能結合圖像對簡單實際問題中的函數關系進行分析。嘗試對變量的變化規律初步預測。能確定簡單的整式、分式和簡單實際問題中函數的自變量的取值范圍，并會求函數值。5、能用恰當的函數表示實際問題中變量之間的關系。一次函數結合具體情景體會一次函數的意義，根據已知條件確定函數的表達式。會畫一次函數的圖像，根據圖像和解析式探索其圖像的性質及圖像的變化規律。理解正比例函數、一次函數的性質。根據函數的圖像和解析式解決實際問題。
內容分析 函數學習是中學數學中占據重要地位，既是教學的重點，也是教學的難點。本章學生第一次接觸函數，是后續學習反比例函數、二次函數的基礎。對函數的概念和函數的圖像貫穿整個函數的教學中，隨著函數的學習二不斷加深認識，同時函數概念中體現變化與對應的思想、數形結合思想決定了函數學習是否順利的關鍵。一次函數是學生接觸的第一類函數，利用函數圖像歸納函數性質，利用函數性質和圖像來解決問題，這種從特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函數的基本方法。
學情分析 學習一次函數，意味著從常量數學進入變量數學的學習。學生的思維要隨之改變，這是對學生思維能力的考驗，也是數學認識的一次飛躍。學生在學習一次函數的過程中，對簡單的問題，往往能根據課堂學習的概念知識，畫出相應的函數圖像來解決，看不出學生對一次函數的理解程度。隨著時間的推移，隨著問題情景的復雜化，它們就會表現出對一次函數的理解深度不夠。停留在感性認識多些，理性認識少些；對一次函數解析式直接應用多些，對解析式與圖像的內在聯系運用薄弱。學生在學習過程中遇到困難主要有：復雜問題情景化轉移到一次函數圖像；結合題意理解一次函數所表達的信息；結合題意將圖像信息轉移到數量關系。因此，本單元教學應注意數形結合，需要多練、多問、多總結。
單元目標 （一）教學目標1、經歷具體問題抽象出函數和一次函數的概念，體會函數的建模思想。進一步發展學生的思維能力。學生經歷一次函數圖像和性質的探究過程，在合作與交流的活動中發展合作意識和能力。2、了解函數的概念，理解一次函數的圖像性質，體會函數與方程的關系，會結合具體情景確定一次函數的表達式，會畫一次函數寫圖像，并運用圖像的性質來解決實際問題。3、經歷一次函數圖像解決實際問題，發展學生運用數學的能力和形象思維能力。4、經歷畫一次函數的圖像和運用圖像性質解決實際問題的過程，體會數形結合的思想。（二）教學重點、難點1、了解函數的概念，會求函數值。2、理解正比例函數、一次函數的概念，確定實際問題中的函數解析式。3、會畫一次函數的圖像4、根據一次函數的性質和圖像解決實際問題，
單元知識結構框架及課時安排 （二）課時安排課時編號單元主要內容課時數1函數12一次函數與正比例函數13正比例函數的圖像14一次函數的圖像15確定一次函數的表達式16一次函數的運用17回顧與反思1
達成評價 課題課時目標達成評價評價任務函數（1）學生能通過幾個具體實例，逐步抽象，概括出函數的定義。（2）學生對于含有兩個變量的一個具體的問題，能夠判斷該問題是否為函數。 （3）學生在探索中經歷了一次次的思考，歸納，總結，抽象，概括函數概念的過程，學生初步體會從特殊到一般，從具體到抽象的研究問題的方法。從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習模式。學生積極參與填表、計算、規律探索，尋找發現三個具體問題變量的共性，能用自己的語言描述函數兩大特點。學生主動觀察、思考，能用語言表述函數三種表示方法。寫出函數自變量的取值范圍。3、給定一個自變量的值，求出該函數的值。環節一：函數的概念及表示方法。環節二：函數表示法環節三：探究自變量的取值范圍及函數值一次函數與正比例函數（1）理解一次函數和正比例函數的概念，以及它們之間的關系。（2）確定一次函數與正比例函數的解析式。（3）讓學生經歷觀察、比較、交流等體驗，進一步有條理表達的能力，培養學生發現問題、提出問題的能力。（4）通過函數與變量之間的關系的聯系，一次函數與一次方程的聯系，發展學生的數學思維。1、學生獨立思考 計算并把表格補充完整。2、小組內與同伴交流，歸納一次函數、正比例函數的定義和它們之間的關系。3、學以致用正確判斷一次函數和正比例函數，掌握一次函數必備條件。4、學生根據現實情境寫出函數解析式 然后觀察分析函數表達式的共性 根據一次函數和正比例函數的定義作出正確的判斷。5、給定一個自變量的值求出因變量，或給出因變量求出自變量。環節一:一次函數與正比例函數的概念環節二；列出一次函數與正比例函數的關系式正比例函數的圖像1.了解正比例函數兩個變量之間的變化規律.在認識正比例函數圖象的基礎上，掌握正比例函數圖象及其簡單性質；2.經歷對正比例函數圖象變化規律的探究過程，學會解決正比例函數問題的一些基本方法和策略；3.在結合圖象探究正比例函數性質的過程中，增強學生數形結合的意識，從特殊到一般的思想；4.通過對正函數圖象及性質的探究，在探究中培養學生的觀察能力、識圖能力以及語言表達能力.1、學生回顧六年級知識并填空，知道正比例的圖像是一條直線。2、從情境中理解什么是函數的圖像及畫函數圖像的一般步驟。3、學生畫正比例函數（k>0)圖像5、小組討論得出正比例（k>0)圖像性質6、學生畫正比例函數（K<0)圖像7、小組討論得出正比例（K<0)圖像性質環節一：小初銜接環節二： 情境引入環節三：探究正比例函數的圖像（k>0)環節四：正比例函數的圖像（K<0)一次函數的圖像1.在認識一次函數圖像的基礎上，掌握一次函數的圖像及簡單的性質；2.通過自己動手操作類比正比例函數的性質發現一次函數圖象變化規律，學會解決一次函數問題的一些基本方法；3.在探究一次函數性質的過程中，增強學生數形結合的意識，滲透分類討論的思想回顧正比例函數的圖像和性質。回顧畫圖像的一般步驟。3、列表、描點畫圖像。4、對于積極思考，勇于回答的同學予以肯定，對于學有困難的同學加以引導5、根據畫圖情況，肯定學生成績6、小組合作探究一次函數的圖像性質。環節一：回顧舊知環節二：認識一次函數y=kx+b(k<0)的圖像。環節三：認識一次函數y=kx+b(k>0)的圖像。環節四：認識一次函數y=kx+b的圖像確定一次函數的表達式1.掌握求一次函數函數解析式的方法步驟，明確求正比例函數解析式只需要一個條件。求一次函數函數解析式需要二個條件。2.感受求一次函數解析式的過程，體會數形結合的數學思想。3.建立函數的模型，提高學生用函數的思想解決實際問題的能力。1、回顧什么是一次函數函數？一次函數函數的圖像是什么 怎樣畫一次函數。2、小組討論確定正比例函數表達式的確定只需要幾個個條件。3、理解待定系數法求表達式的一般步驟4、小組討論確定一次函數表達式的確定只需要幾個個條件。環節一：復習導入.環節二：確定正比例函數的解析式。環節三： 確定一次函數y=kx+b(≠0）的解析式。一次函數的運用1、初步學會從數學的角度提出問題，理解問題，并能綜合運用所學知識和技能解決問題，發展應用意識。會用一次函數的知識解決生活中的問題；2、積極參與數學學習活動，在合作學習中互助，感受成功的喜讓學生通過自主、合作、探究構建實際問題的數學模型，培養學生運用一次函數模型解決實際生活問題的能力，體會并感知數學建模的過程和一般思想提高分析問題，用數學知識解決實際問題的能力；3、通過一次函數的應用教學，讓學生體會數學的抽象性和廣泛應用性，使他們在“探究”的過程中，充分體會數學與社會生活的密切聯系，了解數學的價值，增進對數學的理解和應用數學的信心，激發學生學習數學的興趣。1、學生從圖像中發現問題、提出問題、解決問題。2、對例題2的分析，抽象出函數及一次函數的概念、圖象、性質，進而利用一次函數及其圖象解決有關現實問題．3、學生獨立思考回答問題，進一步體會特殊點的實際意義，并解決實際問題。4、通過前面的活動引導學生總結出解答圖像信息題時所用到的數學思想及方法步驟。環節一：情境導入環節二：探究一條直線解決實際問題。環節三：探究二條直線解決實際問題。回顧與反思1、掌握函數的概念，初步形成用函數的觀點認識現實世界的意識和能力。2、理解一次函數和正比例函數的概念，會寫出簡單的一次函數的表達式。3、熟練作出一次函數圖象，掌握一次函數及其圖象的簡單性質。4、能利用函數圖象解決簡單的實際問題，發展學生的數學應用能力。1、學生回顧一次函數的定義，根據定義對一次函數作出正確的判斷2、學生在方格紙上畫一次函數的圖3、回顧求一次函數表達式的一般步驟并求出已知圖像的表達式像。4、觀察圖像得出一次函數的圖像的性質并把表格補充完整。5、學生用圖像中的信息解決實用問題。環節一：一次函數的定義。環節二：一次函數的圖象與性質環節三： 求一次函數的表達式環節四：用圖 一次函數的實際應用
《第四章》單元教學設計
豐富的現實背景
函數
一次函數
函數表達式
圖象
函數表達式的確定
圖象的應用
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分課時教學設計
第一課時《正比例函數的圖像》教學設計
課型 新授課口 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 《正比例函數的圖象》是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級（上）第四章《一次函數》的第三節。本節內容安排了2個課時完成.第1課時讓學生了解了作正比例函數圖象的方法，并通過作圖的操作過程，明確正比例函數的圖象性質，本節內容是第1課時。第2課時，主要是通過對一次函數圖象的比較與歸類，探索一次函數及其圖象的簡單性質.與原傳統教材相比，新教材更注重借助感性材料，讓學生在具體操作中獲得有關一次函數圖象的變化規律以及在具體圖象中函數值的增減性和增減速度、具體直線之間的平行位置關系，實際上，這一過程，也是培養學生數形結合的意識和能力的好機會，并為今后繼續學習一次函數的應用以及一次函數與二元一次方程的關系打下基礎.
學習者分析 八年級學生已初步認識了變量之間的相依關系，積累了研究變量之間關系以及圖象的一些方法和初步經驗.在此基礎上，學生能在“引導——探究——發現”式的課堂教學中積極參與討論問題，大膽發表自己的見解和看法.但由于初中學生的年齡特點，他們借助直觀、具體的圖象更容易理解抽象的一次函數圖象的變化規律及其性質.
教學目標 1.了解正比例函數兩個變量之間的變化規律.在認識正比例函數圖象的基礎上，掌握正比例函數圖象及其簡單性質； 2.經歷對正比例函數圖象變化規律的探究過程，學會解決正比例函數問題的一些基本方法和策略； 3.在結合圖象探究正比例函數性質的過程中，增強學生數形結合的意識，從特殊到一般的思想； 4.通過對正函數圖象及性質的探究，在探究中培養學生的觀察能力、識圖能力以及語言表達能力.
教學重點 正比例函數的圖象和性質
教學難點 由正比例函數的圖象歸納得出正比例函數的性質及對性質的理解
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：小初銜接教師活動1： 一輛火車行駛的時間和路程如右圖： 從圖中中（路程）和（時間）是兩種相關聯的量。它們的比值表示的是（速度），這個比值（一定）。所以，（路程）和（時間）成正比例關系。 關系式，S=120t 可知一次函數的圖像是一條直線學生活動1： 學生回顧六年級知識并填空，知道正比例的圖像是一條直線。活動意圖說明： 喚醒舊知，為學生正比例圖像奠基環節二： 情境引入教師活動2： 這是摩天輪上一點的高度與時間之間函數關系圖象 把一個函數自變量的每一個值與對應的函數值分別作為點的橫、縱坐標 。在直角坐標系內描出相應的點，所有這些點組成圖形叫做該函數的圖象 畫函數圖象的一般步驟 ：列表、描點、連線學生活動2： 從情境中理解什么是函數的圖像及畫函數圖像的一般步驟。 活動意圖說明： 根據摩天輪上一點的高度與時間之間函數關系圖象，知道什么是函數的圖像及畫圖像的一般步驟。環節三：探究正比例函數的圖像（k>0)） x 01……Y=2x02……Y=x01……
教師活動3： 例題1，畫出正比例函數 y=2x ，y=x的圖象 解 列表 描點 連線。 2、小組討論：正比例函數(K>0)的圖像性質 （1）是一條經過原點的直線. .（2）經過第1和第3象限. 函數值隨自變量的增大而增大。 隨著k的增大，圖象越靠近y軸。 學生活動3： 學生畫正比例函數（k>0)圖像 小組討論得出正比例（k>0)圖像性質活動意圖說明： 經過畫圖像過程通過小組討論得出正比例函數(K>0)）圖像的性質環節四：正比例函數的圖像（K<0)教師活動4： 1、例題2、畫正比例函數 y=-x 和 y=-2x 圖像 解：1、列表 描點 連線。 x 01……y=-2x0-2……y=-x0-1……
2、小組討論：正比例函數(K>0)的圖像性質 （1）是一條經過原點的直線. .（2）經過第2和第4象限. （3）函數值隨自變量的增大而減少。 （4）隨著|k|的增大，圖象越靠近y軸。學生活動4： 學生畫正比例函數（K<0)圖像 小組討論得出正比例（K<0)圖像性質活動意圖說明： 經過畫圖像過程通過小組討論得出正比例函數(K<0)圖像的性質環節五： 歸納正比例函數的圖像性質教師活動 1、在直角坐標系內作出y=x， y=2x， y=-x，y=-3x的圖象． 2、上述四個函數中，隨著x的增大，y的值分別如何變化？你可以得到怎樣的規律？你是怎樣判斷的？ 小組討論：①直線是否經過原點？ ②經過的象限 ③增減性 ④直線的傾斜程度 展示討論結果形成板書設計 3、播放音頻1、2正比例函數圖像的性質，學生活動 學生畫正比例函數圖像。 根據圖像和4個問題的小組討論，歸納正比例函數圖像的性質。 聽音頻講解進一步理解和掌握正比例函數圖像的性質。 活動設計意圖 通過畫圖像的過程，經過小組討論、歸納正比例函數圖像的性質。播放音頻幫助學生理解和掌握。
板書設計
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1.下面哪個點在函數y=4x的圖像上（ B ） A.（-1，4） B.（0.5，2） C（4，1） D（0，4） 2.下列函數中，y隨x的增大而減小的有（ D ） A. y=3x B. y=kx (k>0) C y=(a2+1)x D y=-0.01x 3.以下圖象中，函數值隨自變量增加而減小的是（ B ） 4.已知正比例函數 y=(k+5)x ，且 y 隨 x 的增大而增大，則 k 的取值范圍是: K>-5 5.已知正比例函數 y=3x 的圖象經過點（1，m）， 則m的值為:3 6.寫出圖中直線l所對應的函數表達式 解：設直線的表達式是y=kx,經過（1,3） ∴3=K×1 k=3 ∴表達式是y=3x 選做題： 7.如圖，已知正比例函數y＝kx經過點A，點A在第四象限，過點A作AH⊥x軸，垂足為點H，點A的橫坐標為3，且△AOH的面積為3．求正比例函數的表達式． 解：∵AH⊥x軸，點A的橫坐標為3， ∴OH＝3， ∵△AOH的面積為3， ∴ AH OH÷2＝3， ∴AH＝2， ∵點A在第四象限，∴點A的坐標為（3，﹣2）． 將A（3，﹣2）代入y＝kx，得﹣2＝3k， 解得：k＝ ， ∴正比例函數的表達式為y＝x． 【綜合拓展類作業】 8.已知正比例函數y=(m-1)x的圖象上有兩點。當 兩點，當 y 時， （1）求m的取值范圍； （2）當m取最大整數時，畫出該函數圖象. 解：（1）由題意可知m-1<0 ， m<1。∴m的取值范圍是. m<1 （2）m取最大整數0， 該正比例函數為y=-x，圖象如圖所示：
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1.已知點P(1,-2) 和點Q(a，4) 在同一個正比例函數的圖象上， 那么a=-2　 2. 如果m<-2 ，那么正比例函數y=(m+2)x 的圖象經過第 二、四象限。 3.如圖，三個正比例函數的圖象分別對應解析式 ：① y=ax，② y=bx，③ y=cx，將 a，b，c 從小到大排列并用“ <”連接為 a教學反思
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4.3 一次函數的圖象
北師大版 八年級上冊
第1課時
教材分析
《一次函數的圖象》是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級（上）第四章《一次函數》的第三節。本節內容安排了2個課時完成.第1課時讓學生了解了作正比例函數圖象的方法，并通過作圖的操作過程，明確正比例函數的圖象性質，本節內容是第1課時。第2課時，主要是通過對一次函數圖象的比較與歸類，探索一次函數及其圖象的簡單性質.與原傳統教材相比，新教材更注重借助感性材料，讓學生在具體操作中獲得有關一次函數圖象的變化規律以及在具體圖象中函數值的增減性和增減速度、具體直線之間的平行位置關系，實際上，這一過程，也是培養學生數形結合的意識和能力的好機會，并為今后繼續學習一次函數的應用以及一次函數與二元一次方程的關系打下基礎.
教學目標
1.了解正比例函數兩個變量之間的變化規律.在認識正比例函數圖象的基礎上，掌握正比例函數圖象及其簡單性質；
2.經歷對正比例函數圖象變化規律的探究過程，學會解決正比例函數問題的一些基本方法和策略；
3.在結合圖象探究正比例函數性質的過程中，增強學生數形結合的意識，從特殊到一般的思想；
4.通過對正函數圖象及性質的探究，在探究中培養學生的觀察能力、識圖能力以及語言表達能力.
小初銜接
一輛火車行駛的時間和路程如下圖：
從圖中中（　　　）和（　　　）是兩種相關聯的量。它們的比值表示的是（　　　），這個比值（　　　）。所以，（　　　）和（　　　）成正比例關系。
路程
時間
速度
一定
路程
時間
關系式，S=120t 可知一次函數的圖像是一條直線
新知講解
這是摩天輪上一點的高度與時間之間函數關系圖象
把一個函數自變量的每一個值與對應的函數值分別作為點的 橫、縱坐標 。在直角坐標系內描出相應的點，所有這些點組成圖形叫做該函數的圖象
畫函數圖象的一般步驟
列表、描點、連線
探究新知
探究一 正比例函數的圖像(K>0)
例1. 畫出正比例函數y=2x；y=x 的圖象
解:列表:
x 0 1 ……
y=2x 0 2 ……
y=x 0 1 ……
描點
連線
y
-4
-2
-3
-1
2
1
0
-2
-3
1
2
3
4
x
-1
3
y=2x
y=x
探究新知
小組討論
正比例函數(K>0)的圖像性質
1.是一條經過原點的直線
2.經過第1和第3象限
3.函數值隨自變量的增大而增大
4.隨著k的增大，圖象越靠近y軸
探究新知
探究二 正比例函數的圖像（ K<0)
例題2、畫正比例函數 y=-x 和
y=-2x 圖像
解：1、列表
x 0 1 ……
y=-2x 0 -2 ……
y=-x 0 -1 ……
描點
連線
y=-2x
y=-x
探究新知
小組討論
正比例函數（K<0)的圖像性質
1.是一條經過原點的直線
2.經過第2和第4象限
3.函數值隨自變量的增大而減小
4.隨著|k|的增大，圖象越靠近y軸
探究三
正比例函數的圖像性質
在同一直角坐標系中作出y=x， y=2x， y=- x，
y=-3x的圖象．
探究新知
探究新知
觀察圖像小組討論
探究新知
探究新知
1.下面哪個點在函數y=4x的圖像上（ ）
A.（-1，4） B.（0.5，2） C（4，1） D（0，4）
B
2.下列函數中，y隨x的增大而減小的有（ ）
A. y=3x B. y=kx (k>0) C y=(a2+1)x D y=-0.01x
D
3.以下圖象中，函數值隨自變量增加而減小的是（ ）
B
課堂練習
【知識技能類作業】必做題
【知識技能類作業】必做題
課堂練習
4.已知正比例函數 y=(k+5)x ，且 y 隨 x 的增大而增大，則 k 的取值范圍是:
K>-5
5.已知正比例函數 y=3x 的圖象經過
點（1，m）， 則m的值為:
3
6.寫出圖中直線l所對應的函數表達式
解：設直線的表達式是y=kx,經過（1,3）
∴3=K×1 k=3
∴表達式是y=3x
課堂練習
【知識技能類作業 選擇題】
7.如圖，已知正比例函數y＝kx經過點A，點A在第四象限，過點A作AH⊥x軸，垂足為點H，點A的橫坐標為3，且△AOH的面積為3．求正比例函數的表達式．
解：∵AH⊥x軸，點A的橫坐標為3， ∴OH＝3，
∵△AOH的面積為3，
∴ AH OH÷2＝3， ∴AH＝2，
∵點A在第四象限，∴點A的坐標為（3，﹣2）．
將A（3，﹣2）代入y＝kx，得﹣2＝3k，解得：k＝ ，
∴正比例函數的表達式為y＝ x．
課堂練習
【綜合實踐類作業】
8.已知正比例函數y=(m-1)x的圖象上有 兩點，當 時，
（1）求m的取值范圍；
（2）當m取最大整數時，畫出該函數圖象.
解：（1）由題意可知m-1<0 ， m<1。∴m的取值范圍是. m<1
（2）m取最大整數0，
該正比例函數為y=-x，圖象如圖所示：
>
課堂總結
大家談談這節課的收獲
正比例函數圖像的性質
K>0
K<0
……
……
作業布置
【知識技能類作業 必做題】
1.已知點P(1,-2) 和點Q(a，4) 在同一個正比例函數的圖象上，
那么a=-2　
2. 如果m<-2 ，那么正比例函數y=(m+2)x 的圖象經過第
二、四象限。
3.如圖，三個正比例函數的圖象分別對應解析式
：① y=ax，② y=bx，③ y=cx，將 a，b，c 從
小到大排列并用“ <”連接為 a【知識技能類作業 必做題】
作業布置
4.正比例函數y=kx的圖象如圖所示，則 k 的值為(A)
A: ; B: - ; C: ; D: .
5.下列圖象中，表示正比例函數圖象的是 ( B )
A B C D
作業布置
【知識技能類作業 選擇題】
6.已知y－m與3x＋n成正比例函數(m，n為常數)，當x=2時，y=4；當x=3時，y=7，求y與x之間的函數關系式.
解：∵y－m與3x＋n成正比例，
∴設y－m=k(3x＋n)(k，m，n均為常數，k≠0).
∵當 x=2時，y=4；當x=3時，y=7，
∴7－m＝k（9＋n）.(4－m＝k（6＋n），
∴k=1，，m＋n=－2.
∴y與x之間的函數關系式為y=3x－2.
作業布置
【綜合實踐類作業】
7.如圖，在同一直角坐標系中，正比例函數
的圖象分別為
則下列關系中正確的是（ B ）
A
B
C
D
板書設計
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