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第二十六章反比例函數講義人教版九年級數學下冊
26.1．1反比例函數
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1.反比例關系與反比例函數的聯系與區別
如果，那么x與y這兩個量成反比例關系，這里x,y既可以代表單獨一個字母，也可以代表單項式或多項式，如與成反比例，則，從中可以發現反比例關系不一定是反比例函數，但是反比例函數（k為常數，）中的兩個變量必成反比例關系。
2.反比例函數關系式的七種確定方法
（1）根據定義：如若函數 是反比例函數，求其函數關系式。
（2）根據一組對應值：如已知與成反比例，當時，，求關于的函數關系式。
（3）利用已知點的坐標：如已知反比例函數的圖像經過點，求其函數關系式。
（4）利用反比例函數的性質：已知函數是反比例函數，且在每個象限內，隨的增大而減小，求出函數關系式。
（5）利用反比例函數的圖像位置：寫出圖像在第二、四象限內的一個反比例函數關系式。
（6）利用的幾何意義：如反比例函數圖像上一點A與坐標軸圍成的矩形ABOC的面積為8，求該反比例函數的關系式。
（7）結合一次函數：如已知直線與雙曲線交于、兩點，且點的橫坐標為4，求此反比例函數的關系式。
26.1.2 反比例函數的圖象和性質
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一.正比例函數與反比例函數的區別與聯系
反比例函數與正比例函數是數學中常見的函數形式。它們在現實生活中也有廣泛的應用，如商業、工程、社會等各個領域。本文將詳細討論反比例函數與正比例函數的區別與聯系。
反比例函數的定義與特點
反比例函數是指一個函數，其值與自變量的倒數成反比例關系，即y=k/x（k為常數）。其中，x不等于0，y也不等于0。反比例函數的定義域為x不等于0，值域為y不等于0。反比例函數的圖像呈現出一種雙曲線的形態，有兩個分支。
與反比例函數相關的一些特點是：
1. 零點：反比例函數沒有零點，因為它的定義域中沒有0。
2. 漸近線：反比例函數有兩條漸近線，分別是x=0和y=0。
3. 不對稱性：反比例函數充滿不對稱性，因為當自變量增大時，因變量會減少，反之亦然。
正比例函數的定義與特點
正比例函數是指一個函數，其值與自變量成正比例關系，即y=kx（k為常數）。其中，x和y均不能為0。正比例函數的定義域和值域都為全體實數。正比例函數的圖像呈現出一種直線的形態。
與正比例函數相關的一些特點是：
1. 零點：正比例函數的零點為0，因為當x等于0時，y也等于0。
2. 斜率：正比例函數的斜率為常數k，斜率越大，則函數圖像越陡峭。
3. 對稱性：正比例函數呈現出一種對稱性，因為當自變量增大時，因變量也會增大，反之亦然。
反比例函數與正比例函數的區別
1. 定義與形式
反比例函數和正比例函數的定義和形式非常不同。反比例函數的值與自變量的倒數成反比例關系，而正比例函數的值與自變量成正比例關系。
2. 零點與極點
反比例函數沒有零點，因為它的定義域不包括0。而正比例函數的零點為0，因為當自變量等于0時，函數的取值也為0。而反比例函數有兩個極點，一個是x=0，另一個是y=0。 極點是指函數的值越來越接近無窮，當x或y趨近于0時。
3. 圖像形態和性質
反比例函數的圖像呈現雙曲線的形態，而正比例函數的圖像呈現直線的形態。正比例函數具有對稱性，反比例函數則不具備。
函數 正比例函數 反比例函數
解析式 y=kx(k≠0）
圖象形狀 過原點的直線 與坐標軸沒有交點的雙曲線
自變量的取值范圍 全體實數 x≠0全體實數
二．k的兩種求法
①若點(x0，y0)在雙曲線上，則k＝x0y0．
②k的幾何意義：若雙曲線上任一點A(x，y)，AB⊥x軸于B，則S△AOB
3.正比例函數和反比例函數的交點問題
若正比例函數y＝k1x(k1≠0)，反比例函數，則
當k1k2＜0時，兩函數圖象無交點；
當k1k2＞0時，兩函數圖象有兩個交點，坐標分別為由此可知，正反比例函數的圖象若有交點，兩交點一定關于原點對稱．
26.2 實際問題與反比例函數
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一．反比例函數的應用
知識總結
知識方法要點 關鍵總結 注意事項
反比例函數的應用（工程、路程、幾何圖形、物理學） 找出等量關系，列出反比例函數解析式 注意“等量”“物理學”的含義
方法規律總結
（1）反比例函數中比例系數k的幾何意義 （2）根據物理學中的質量=密度×體積，壓力=壓強×受力面積，電壓=電阻×電流，功=力×在一定方向上的位移等這些等量關系式轉化為數學中的反比例函數關系式，來解決物理學中的問題。 表示壓強，表示壓力，表示受力面積） 表示電流，表示電壓，表示電阻） 表示密度，表示質量，表示體積） 表示速度，表示距離，表示時間） （3） 利用反比例函數解決工程、行程、運輸量、工作效率、打折銷售等方面的問題，以實際問題情景為載體，建立數學與實際問題的轉化等量關系式。根據度量關系：路程=平均速度×時間，工作量=工作效率×時間，運輸量=平均運輸量×車量，列出相應的等式，轉化為兩個變量之間的函數關系式，再利用反比例函數的有關知識解決實際問題。
二.反比例函數與正比例函數在幾何圖形中的應用異同
（1）反比例函數在幾何圖形（立體圖像、平面圖形）的應用比較廣泛，通常以幾何圖形為背景，利用反比例函數的解析式解決問題。
（2）正比例函數與直線、三角形、四邊形相交，求出直線上一點的坐標，代入正比例函數解析式中，求出比例系數k.
（3）反比例函數與正比例函數在幾何圖形中的應用，主要是找出一點的坐標符合反比例函數或正比例函數的解析式，求出k值，都是運用待定系數法。
3.利用反比例函數模型來刻畫某些實際問題中變量之間的關系，利用數形結合來分析實際問題，要注意以下幾點：
在實際問題的函數關系式中，因變量和自變量都有自己代表的實際意義，不僅要注意利用變量的實際意義解答問題，還要學會把從實際中得到的數據轉化為關系式中所需的數據；
實際問題中函數圖象上的每一點都有自己所代表的實際意義；
觀察分析實際問題的圖象時，要注意兩個變量的取值范圍。

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