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數學八年級上冊知識點梳理
第十一章 三角形
11.1 與三角形有關的線段
一、三角形的邊
三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，叫做三角形。
注意點：
（1）三條線段（2）不在同一直線上（3）首尾順次相接
三角形的表示：三角形用符號“△”表示，記作“△ ABC”，
讀作“三角形ABC”，除此△ ABC還可記作△BCA,
△ CAB, △ ACB等.
三角形的分類：
按角分 按邊分
等腰三角形：兩邊相等的三角形叫等腰三角形。相等的兩邊都叫腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。
三角形中三邊的關系：三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊。（在做題時，不僅要考慮到兩邊之和大于第三邊，還必須考慮到兩邊之差小
于第三邊.）
二、三角形的高、中線與角平分線
三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段，叫做三角形這邊的高，簡稱三角形的高。
銳角三角形的三條高交于同一點。三條高都在
三角形的內部。
直角三角形的三條高交于直角頂點.
鈍角三角形的三條高不相交于一點。鈍角三角形的三條高所在
直線交于一點。
總結：
三角形的三條高的特性
銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形
高在三角形內部的數量 3 1 1
高所在的直線是否相交 相交 相交 相交
高之間是否相交 相交 相交 不相交
三條高所在直線的交點的位置 三角形內部 直角頂點 三角形外部
三角形的中線：在三角形中,連結一個頂點和它對邊中點的線段叫
做這個三角形這邊的中線.
三角形中線的符號語言：
∵AD是△ABC的中線
∴BD=CD =1/2 BC
三角形的角平分線：在三角形中,一個內角的角平分線與它的對邊相交,這個角的頂點與交點之間的線段,叫做三角形的角平分線。
∵AD是 △ ABC的角平分線
∴∠BAD = ∠CAD =1/2∠BAC
三角形的三條角平分線相交于一點,交點在三角形的內部
三、三角形的穩定性
三角形具有穩定性，四邊形具有不穩定性
11.2 與三角形有關的角
四、三角形的內角
三角形的內角：三角形兩邊的夾角叫做三角形的內角。
三角形內角和定理：三角形的內角和等于1800.
直角三角形的兩個銳角互余.
由三角形內角和定理可得：有兩個角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以寫成Rt△ABC.
例：已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數。
A
D
B C
小結：由三角形內角和等于180°，可得出
(1)直角三角形兩銳角互余；
(2)一個三角形最多有一個直角或鈍角；
(3)任意一個三角形中，最多有三個銳角，最少有兩個銳角；
(4)一個三角形中至少有一個角小于或等于60°。
五、三角形的外角
三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的反向延長線組成的角．三角形的外角和等于360°。
三角形外角的兩條性質：
1、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；
2、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。
11.3 多邊形及其內角和
六、多邊形
多邊形：在平面內，由n條不在同一直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。
多邊形的內角和外角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角；多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角. n邊形有n個內角，2n個（n對）外角
多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
正多邊形：如果多邊形的各個角都相等，各條邊都相等，那么就稱它為正多邊形.
多邊形的內角和與外角和：一般地，從n邊形的一個頂點出發，可以作（n-3）條對角線，它們將n邊形分為(n-2)個三角形，n邊形的內角和等于（n－2）·180°.多邊形的外角和等于360o.
第十二章 全等三角形
一、全等三角形
全等形：形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。兩個圖形全等，它們的形狀一定相同 ，大小一定相等！
全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。其中：互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。一個三角形經過平移、旋轉、翻折后所得到的三角形與原三角形全等。
全等的表示：.“全等”用符號“ ≌ ”來表示，讀作全等于。書寫全等式時要求把對應字母放在對應的位置上
全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等.
二、全等三角形的判定
判定定理1：三邊對應相等的兩個三角形全等。（簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）
判定定理2：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等。（簡寫為“邊角邊”或“SAS”）
判定定理3：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等.(簡寫成“角邊角”或“ASA”）
判定定理4：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等。(簡寫成“角角邊”或“AAS”）
判定定理5（直角三角形）：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等。（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）
證明的書寫步驟：
①準備條件：證全等時要用的條件要先證好；
②三角形全等書寫三步驟：
寫出在哪兩個三角形中
擺出三個條件用大括號括起來
寫出全等結論
例：已知：如圖，AB=AD，BC=DC，
求證：△ABC≌ △ADC
證明：在△ABC和△ADC中
AB=AD (已知)
BC=DC （已知）
AC=AC （公共邊）
∴ △ABC ≌ △ADC（SSS）
三、角的平分線的性質
角平分線：一條射線把一個角分成兩個相等的
角，這條射線叫做這個角的平分線。
尺規作角的平分線：
畫法：
以Ｏ為圓心，適當長為半徑作弧，
交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于 1/2 ＭＮ
的長為半徑作弧．兩弧在∠ＡＯＢ的內部交于Ｃ．
３．作射線ＯＣ．
射線ＯＣ即為所求．
角平分線的性質：
角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
用數學語言表示為：
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,點Q在∠AOB的平分線上
∴ QD＝QE
2、角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。
用數學語言表示為：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴點Q在∠AOB的平分線上．
第十三章 軸對稱
一、軸對稱
軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就是軸對稱圖形。這條直線是這個圖形的對稱軸。
軸對稱：平面上的兩個圖形，將其中一個圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱， 簡稱軸對稱,這條直線叫對稱軸。兩個圖形中的對應點（即兩圖形重合時互相重合的點）叫做關于這條直線的對稱點。
注意：如果一點在對稱軸上，它的對稱點就是它本身。
例：判斷：
1、軸對稱圖形必有對稱軸 （ ）
2、軸對稱圖形至少有一條對稱軸 （ ）
3、關于某直線成軸對稱的兩個圖形必能互相重合（ ）
4、兩個完全互相重合的圖形必是軸對稱（ ）
垂直平分線：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。
圖形軸對稱的性質：
如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；
軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
二、線段的垂直平分線的性質：
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；
與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
尺規作線段的垂直平分線（p63）
三、畫軸對稱圖形
例：如圖，已知△ABC和直線l，作出與△ABC
關于直線l對稱的圖形。
作法：
過點A作直線l的垂線，垂足為點O，在垂
線上截取OA′=OA，點A′就是點A關于直
線l的對稱點。
過點B作直線l的垂線，垂足為點P，在垂線
上截取PB′=PB，點B′就是點B關于直線l的對稱點。
過點C作直線l的垂線，垂足為點M，在垂線上截取MC′=MC，點C′就是點C關于直線l的對稱點。
連接A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即為所求。
作圖步驟：
1、找特征點 2、作垂線 3、截取等長 4、依次連線
四、等腰三角形
等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做
底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.
等腰三角形的性質：
性質1：等腰三角形的兩底角相等。（簡寫成“等邊對等角” ）
性質2：等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合。（簡稱“三線合一” ）
例：在△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求△ ABC各角的度數
解:AB=AC,BD=BC=AD,
∠ ABC= ∠ C= ∠ BDC
∠ A= ∠ ADD(等邊對等角)
設A=x,則
∠ BDC= ∠ A+ ∠ ABD=2x
從而∠ ABC= ∠ C= ∠ BDC=2x
于是在△ ABC中,有
∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C=x+2x+2x=1800.
解得x=360
在△ ABC中, ∠ A=360 ∠,ABC= ∠ C=720
等腰三角形的判定方法：
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。（簡寫成“等角對等邊”）
五、等邊三角形
等邊三角形：三邊相等的三角形，叫做等邊三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形。
等邊三角形的性質：
邊三角形的三邊都相等；
邊三角形的三個內角都相等,并且每一個角都等于60°。
等邊三角形的內角都相等,且都等于60 °。
等邊三角形的判定定理：
1、三邊相等的三角形是等邊三角形.
2、三個內角都等于60 °的三角形是等邊三角形.
3、有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
直角三角形的性質：
在直角三角形中，如果一個銳角等于30o，那么它所
對的直角邊等于斜邊的一半。即在Rt△ABC 中，如果
∠ACB＝90°,∠A＝30 °,那么BC=1/2 AB
第十四章 整式的乘法與因式分解
14.1 整式的乘法
一、同底數冪的乘法
同底數冪相乘，底數不變，指數相加。
即am·an=am+n （m,n都是正整數）
二、冪的乘方
冪的乘方，底數不變，指數相乘。
即（am）n=amn （m,n都是正整數）
三、積的乘方
積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
即(ab)n=an b n（n是正整數）
四、整式的乘法
單項式乘以單項式：
單項式相乘，把它們的系數相乘、字母部分的同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式。
例：
單項式乘以多項式：
用單項式分別去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
例：
注意：
1、單項式乘多項式的結果仍是多項式，積的項數與原多項式的項數相同。
2、在單項式乘法運算中要注意系數的符號。
3、不要出現漏乘現象，運算要有順序。
多項式乘以多項式：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得積相加。
例：(3x+1)(x+2)
=(3x)·x+(3x)·2+1·x+1·2
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2
五、同底數冪相除
同底數冪相除，底數不變，指數相減。
即：am/an=am-n （a不等于0，m,n都是正整數，且m>n）
規定：a0=1 (a不等于0)，即任何不等于0的數的0次冪都等于1.
六、單項式除以單項式
單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。
例： 28x4y2 / 7x3y =(28/7)·x4-3·y2-1 =4xy
七、多項式除以單項式
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。
例：（12a3-6a2+3a）/3a = 12a3/3a-6a2/3a+3a/3a = 4a2-2a+1
14.2 乘法公式
八、平方差公式
兩個數的和與這兩個數的差的積,等于這兩個數的平方差. 這個公式叫做(乘法的)平方差公式.
即：(a+b)(a-b) = a2-b2
例： 運用平方差公式計算:
(3x+2) (3x-2) = (3x)2-22 = 9x2-4
(b+2a)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2
(-x+2y) (-x-2y) = (-x)2-(2y)2 = x2-4y2
九、完全平方公式
兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。即：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a-b）2=a2-2ab+b2
這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式。
14.3 因式分解
十、 因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解。也叫做把這個多項式分解因式。即：一個多項式 →幾個整式的積
注意：必須分解到每個多項式因式不能再分解為止
例：X2-1=(x+1)(x-1)
十一、 分解因式的方法：
提取公因式法
如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
例題：把下列各式分解因式
6x3y2-9x2y3+3x2y2 ②p（y-x）-q（x-y） ③ (x-y)2-y(y-x)2
運用公式法
運用公式法中主要使用的公式有如下幾個：
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ]
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 [ 完全平方公式 ]
a2 －2ab+ b2 ＝（a－b）2 [ 完全平方公式 ]
例題：把下列各式分解因式
①x2－4y2 ② 9x2-6x+1
3、十字相乘法
公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
例題：把下列各式分解因式
① X2-5x+6 ② a2-a-2
4、分組分解法
分組的原則：分組后要能使因式分解繼續下去
1、分組后可以提公因式
2、分組后可以運用公式
例題：把下列各式分解因式
3x+x2-y2-3y ② x2-2x-4y2+1
解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)
=(x+y)(x-y)+3(x-y)
=(x-y)(x+y+3)
分解因式的技巧：
一提：對任意多項式分解因式，都必須首先考慮提取公因式。
二套：對于二項式，考慮應用平方差公式分解。對于三項式，考慮應用完全平方公式或十字相乘法分解。
三分：再考慮分組分解法
四查：檢查：特別看看多項式因式是否分解徹底
第十五章 分式
一、分式
分式：如果整式A除以整式B, 可以表示成的形式, 且除式B中含有字母，那么稱式子為分式. 其中，A叫做分式的分母，B叫做分式的分子。
分式的特點：
分式是兩個整式相除的商式。對于任意一個分式，分母都不為零。即當B不等于0時，分式才有意義。
分數線有除號和括號的作用，如：可表示為（x -1) ÷ (x -3) .
分式的基本性質：分式的分子與分母乘或除以同一個不等于0的整式，分式的值不變。
約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。經過約分后的分式，其分子與分母沒有公因式，像這樣分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。
通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
二、分式的運算
分式的乘除：
分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。
分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。
上述法則用式子表示為：
例子：p136 例1
分式的的乘方：分式乘方要把分子、分母分別乘方。
即：
例：p139 例5
分式的加減：
法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；
異分母分式相加減，先通分，變為同分母的分式，再加減。
用式子表示為：
例子：p141 練習 計算2
整數指數冪：
整數指數冪的運算性質：
若m,n為整數，且a≠0,b≠0，則有
例：p144 例9
三、分式方程
分式方程：如方程，像這樣，分母中含有未知數的方程叫做分式方程。
解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0，因此應做如下檢驗：
將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為０，則整式方程的解是原分式方程的解，否則這個解就不是原分式方程的解．
解分式方程的一般步驟：
1、在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程.
2、解這個整式方程.
3、把整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解，必須舍去.
4、寫出原方程的根.
例：p151 例1 例2

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