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九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期知識(shí)點(diǎn)歸納（人教版）
第二十一章 一元二次方程
一、一元二次方程
1、一元二次方程
含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。
3、一元二次方程的解（根）
①概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解
也叫做一元二次方程的根。
②判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根：
將這個(gè)數(shù)代入一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，則該數(shù)是這個(gè)方程的根；若不
相等，則該數(shù)不是這個(gè)方程的根。
③關(guān)于一元二次方程根的三個(gè)重要結(jié)論：
Ⅰ.a+b+c=0 一元二次方程有一個(gè)根為x=1；
Ⅱ.a-b+c=0 一元二次方程有一個(gè)根為x=-1；
Ⅲ.c=0 一元二次方程有一個(gè)根為x=0。
二、解一元二次方程
1、降次
把一元二次方程化成兩個(gè)一元一次方程的過程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)。
2、直接開平方法
利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如x2=b或的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。
3、配方法
配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。
配方法解一元二次方程的步驟是：
①移項(xiàng)；
②配方(寫成平方形式)；
③用直接開方法降次；
④解兩個(gè)一元一次方程；
⑤判斷2個(gè)根是不是實(shí)數(shù)根。
4、公式法
公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。
（1）一元二次方程根的判別式
①內(nèi)容：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示它，即Δ=。
②方程的根的情況：
Δ＞0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
Δ=0 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。
Δ＜0 方程無實(shí)數(shù)根。
一元二次方程的求根公式
①內(nèi)容：當(dāng) ≥0時(shí)，方程的實(shí)數(shù)根的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式。
②公式法：解一個(gè)具體的一元二次方程時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)直接代入求根公式，以避免配方過
程而直接得出根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。
③用公式法解一元二次方程的步驟
Ⅰ.整理方程：寫成一般式；
Ⅱ.計(jì)算根的判別式：Δ=；
Ⅲ.求根：當(dāng)Δ=＞0 時(shí)，將各項(xiàng)系數(shù)代入求根公式；
Ⅳ.寫解：，。
注：當(dāng)Δ==0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即x1=x2=-。
5、因式分解法
（1）因式分解法：先對方程的左邊因式分解，使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于 0 的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
（2）用因式分解法解一元二次方程的步驟
①移項(xiàng)∶將方程化為一般形式；
②分解∶將方程的左邊分解為兩個(gè)一次式的乘積；
③轉(zhuǎn)化∶令每個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；
④求解：解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解。
6、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
（1）公式：，。
（2）內(nèi)容
文字語言：一元二次方程的兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩
個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比。
數(shù)學(xué)語言：如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，則，。
重要結(jié)論
①若一元二次方程的兩根為，則，。
②以實(shí)數(shù)為兩根的二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程是。
實(shí)際問題與一元二次方程
1、列一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟
①審題找相等關(guān)系；
②設(shè)未知數(shù)；
③列方程；
④解方程；
⑤檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所得結(jié)果是不是方程的解；檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義。
⑥寫出答案。
2、常見實(shí)際問題
①平均增長率（降低率）問題：a(1+x)2=n；
②幾何圖形問題
③存款利息問題
④數(shù)字問題
⑤存款利息問題
⑥傳播、比賽與握手問題
第二十二章 二次函數(shù)
二次函數(shù)概念
1、內(nèi)容：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)；
其中，x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。
2、二次函數(shù)一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c 是常數(shù)，a≠0）。
3、二次函數(shù)成立的條件
①函數(shù)解析式是整式；
②化簡后自變量的最高次數(shù)為2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不為0。
二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1、圖象：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是一條曲線，這條曲線叫做拋物線y=ax2+bx+c。
2、拋物線是軸對稱圖形，拋物線與其對稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是拋物線的最
低點(diǎn)或最高點(diǎn)。
3、二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)
①用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象的一般步驟：列表，描點(diǎn)，連線。
②二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)
4、二次函數(shù)y=ax2+k(a≠0)的圖象和性質(zhì)
①二次函數(shù)y=ax2+k與y=ax2圖象間的關(guān)系
二次函數(shù)y=ax2+k的圖象可以由二次函數(shù)y=ax2沿y軸向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個(gè)單位長度得到（上加下減常數(shù)項(xiàng)）。
②二次函數(shù)y=ax2+k(a≠0)的圖象和性質(zhì)
5、二次函數(shù)y=a（x-h）2(a≠0)的圖象和性質(zhì)
①二次函數(shù)y=a（x-h）2與y=ax2圖象間的關(guān)系
二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖象可以由二次函數(shù)y=ax2沿x軸向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個(gè)單位長度得到（左加右減自變量）。
②二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖象和性質(zhì)
6、二次函數(shù)y=a（x-h）2+k(a≠0)的圖象和性質(zhì)
①二次函數(shù)y=a（x-h）2+k（頂點(diǎn)式）與y=ax2圖象間的關(guān)系
②二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)
7、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)
①二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,)。
②畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的方法：描點(diǎn)法；平移法。
③二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)
④二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象特征與字母系數(shù)的關(guān)系
8、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
①若已知拋物線上任意三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c。
②若已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，設(shè)y=ax2。
③若已知頂點(diǎn)在y軸上，設(shè)y=ax2+c。
④若已知拋物線過原點(diǎn)，設(shè)y=ax2+bx。
⑤若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大（小）值，設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k。
⑥若已知頂點(diǎn)在x軸上，或拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)y=a（x-h）2。
⑦若已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)（或已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸）以及拋物線上另外一點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x x1)(x x2)（x1，x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)），再將另一個(gè)點(diǎn)代入求解。
三、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，得到一元二次方程ax2+bx+c=0，所以拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的三種情況對應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況：
3、用圖象法求一元二次方程的解
4、二次函數(shù)與一元一次不等式，一元二次不等式的關(guān)系
四、實(shí)際問題與二次函數(shù)
1、步驟：（1）審；（2）設(shè)；（3）列；（4）解；（5）檢。
2、常見問題：
（1）圖形面積最值問題；
（2）最大利潤問題；
（3）拋物線形建筑物問題。
第二十三章 旋轉(zhuǎn)
一、圖形的旋轉(zhuǎn)
1、旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念
①旋轉(zhuǎn)：把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)；點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P′，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。
②旋轉(zhuǎn)的三要素（描述圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)缺一不可）：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)方向有
順時(shí)針和逆時(shí)針兩種。
③旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)元素
2、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
3、旋轉(zhuǎn)中心的確定：旋轉(zhuǎn)中心是兩對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn)。
4、旋轉(zhuǎn)作圖
①確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角，找出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)（一般是圖形中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)）。
②將旋轉(zhuǎn)中心與圖形中的每個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別相連。
③把連線繞旋轉(zhuǎn)中心按旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)相同的角度（作旋轉(zhuǎn)角）。
④在作得的角的另一邊截取與關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等的線段，得到各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。
⑤按原圖形的順序連接這些對應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形。
二、中心對稱
1、中心對稱
（1）中心對稱的概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心（簡稱中心）；這兩個(gè)圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)。
（2）中心對稱的性質(zhì)：
①中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分。
②中心對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。
③成中心對稱的兩個(gè)圖形，其對應(yīng)線段互相平行（或在同一條直線上）且相等。
（3）確定對稱中心的方法
方法一：連接任意一對對稱點(diǎn)，取這條線段的中點(diǎn)，則該點(diǎn)就是對稱中心。
方法二：連接任意兩對對稱點(diǎn)，這兩條線段的交點(diǎn)就是對稱中心。
（4）作已知圖形關(guān)于某一點(diǎn)對稱的圖形
①找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)（一般是圖形中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)），連接關(guān)鍵點(diǎn)和對稱中心。
②延長所連線段，在延長線上找出各關(guān)鍵點(diǎn)的對稱點(diǎn)，使對稱點(diǎn)到對稱中心的距離和關(guān)鍵
點(diǎn)到對稱中心的距離相等。
③將所得的對稱點(diǎn)按照原圖形的形狀順次連接，即可得到關(guān)于對稱中心對稱的圖形。
（5）中心對稱是指兩個(gè)圖形的（位置）關(guān)系，成中心對稱的兩個(gè)圖形，只有一個(gè)對稱中心，對稱中心可能在兩個(gè)圖形的外部，也可能在圖形的內(nèi)部或圖形上。
2、中心對稱圖形
（1）中心對稱圖形∶把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這點(diǎn)就是它的對稱中心。
（2）中心對稱圖形的性質(zhì)：
①中心對稱圖形上對稱點(diǎn)的連線必經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分。
②過對稱中心的直線把中心對稱圖形分成全等的兩部分（即周長和面積分別相等）。
（3）中心對稱與中心對稱圖形的聯(lián)系
兩者可以相互轉(zhuǎn)化，若把成中心對稱的兩個(gè)圖形視為一個(gè)整體，則整個(gè)圖形是中心對稱圖形；若把一個(gè)中心對稱圖形相互對稱的兩部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形成中心對稱。
三、關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)
兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn) P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 P'（-x，-y）。
四、圖案設(shè)計(jì)
先設(shè)計(jì)出基本圖形，再利用平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)對基本圖形進(jìn)行變換，從而得到圖案。
第二十四章 圓
一、圓的有關(guān)概念及表示方法
（一）圓的定義
1、描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段 OA 繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A 所
形成的圖形叫做圓。其固定的端點(diǎn) O 叫做圓心，線段 OA 叫做半徑。
2、確定一個(gè)圓需要兩個(gè)因素：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
（二）圓的表示方法
以點(diǎn) O 為圓心的圓，記作 O，讀作“圓 O”。
（三）圓具有的特性
1、圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心 O）的距離都等于定長（半徑 r）。
2、到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上。
（四）圓的有關(guān)概念
1、弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長的弦。以 AC 為
端點(diǎn)的弦，記作：弦 AC。
2、弧
（1）圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。
（2）圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
（3）小于半圓的弧叫做劣?。淮笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。
（4）同圓或等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。同圓或等圓的半徑相等。
（5）等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。等弧是全等的，不僅僅是弧的長度相等。
（6）同心圓：圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓。
二、圓的有關(guān)性質(zhì)
（一）垂直于弦的直徑
1、圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸。
2、垂徑定理及其推論（知二推三）
（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。
（2）垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。
（二）弧、弦、圓心角
1、圓的旋轉(zhuǎn)對稱性：圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，所得的圖形都與原
圖形重合。因此，圓也是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心。
2、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
3、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系：
（1）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。
（2）重要結(jié)論：
①在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等。
②在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等。
（三）圓周角
1、概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。
注：同一條弧所對的圓周角有無數(shù)個(gè)；
2、圓周角定理及其推論
（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
（2）推論：①同弧或等弧所對的圓周角相等。
②半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。
（四）圓內(nèi)接多邊形
1、概念：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)
圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。
2、性質(zhì)
（1）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。
（2）圓內(nèi)接四邊形的每一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角。
（3）每一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)內(nèi)接四邊形，只有對角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓。
三、點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系
（一）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（d：點(diǎn)到圓心的距離；r：半徑）
1、點(diǎn)在圓外
點(diǎn)到圓心的距離大于半徑：d＞r。
2、點(diǎn)在圓上
點(diǎn)到圓心的距離等于半徑：d=r。
3、點(diǎn)在圓內(nèi)
點(diǎn)到圓心的距離小于半徑：d＜r。
（二）三角形的外接圓
1、圓的確定：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。
2、三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，這
個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。
3、三角形的外心
（1）概念：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的
外心。
（2）性質(zhì)：三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，等于其外接圓的半徑。
（3）位置：銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部。直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)。鈍角三角
形的外心在三角形的外部。
4、三角形的外接圓的做法：
（1）作三角形任意兩邊的垂直平分線，確定其交點(diǎn)。
（2）以該交點(diǎn)為圓心，交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)中任意一點(diǎn)的距離為半徑作圓即可。
（三）直線與圓的位置關(guān)系（d：圓心到直線的距離；r：半徑）
1、直線與圓相交（直線叫做割線）
直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)（交點(diǎn)），d＜r；
2、直線與圓相切（直線叫做切線）
（1）直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)（切點(diǎn)），d=r；
（2）切線的判定定理和性質(zhì)定理
①判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
②性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。
③切線的性質(zhì)定理的推論
a、經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；
b、經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過圓心。
④判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法
a、定義法：與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線。
b、數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑，即 d=r。
c、判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
（3）切線長及切線長定理
①切線長：經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。
②切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平
分兩條切線的夾角。
（4）三角形的內(nèi)切圓
①概念：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形。
②三角形的內(nèi)心
a、概念：三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部）。
b、性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，且等于其內(nèi)切圓的半徑。
③角度關(guān)系
④面積關(guān)系
⑤長度關(guān)系
3、直線與圓相離
直線和圓沒有公共點(diǎn)，d＞r。
（四）圓與圓的位置關(guān)系（圓心距d，兩圓半徑r1，r2，其中r21、相離：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)。
（1）外離(d >r1+r2)
（2）內(nèi)含(0≤d 2、相切：如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。
（1）外切(d =r1+r2)
（2）內(nèi)切(d =r2 r1)
3、相交：如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)(r2 r14、由兩圓組成的圖形都是軸對稱圖形，對稱軸是過這兩個(gè)圓的圓心的直線。
四、正多邊形與圓
（一）正多邊形：各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形。
（二）圓內(nèi)接正多邊形：把圓分成 n（n≥3）等份，依次連接各分點(diǎn)得到的多邊形就是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正 n 邊形的外接圓。
（三）與正多邊形有關(guān)的概念
1、中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。
2、半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。
3、中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。
4、邊心距：正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
（四）正多邊形有關(guān)計(jì)算
1、中心角：∠α=；
2、半徑、邊長、邊心距的關(guān)系：R2=r2+ ()2；
3、正n邊形的周長：C=na；
4、正n邊形的面積：S=ar·n=Cr。
（五）正多邊形的對稱性：正多邊形都是軸對稱圖形，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，是中心對稱圖形，幾何中心就是對稱中心。
五、弧長和扇形面積
（一）弧長公式：n°圓心角所對的弧長為l=。
（二）扇形
1、扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形。
2、扇形的周長公式：C=2R+l=2R+。
3、扇形面積公式
（1）S扇形=；
（2）S扇形== R=lR。
六、反證法
概念：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得
到原命題成立。反證法是一種間接證明命題的方法。
注：運(yùn)用反證法在進(jìn)行推理論證時(shí)，要把假設(shè)作為新增條件參與論證。
第二十五章 概率初步
一、隨機(jī)事件與概率
（一）確定性事件與隨機(jī)事件
1、確定性事件
（1）必然事件：在一定條件下，必然會(huì)發(fā)生的事件，稱為必然事件；必然事件一定會(huì)發(fā)生，即發(fā)生的可能性是100%；
（2）不可能事件：在一定條件下，必然不會(huì)發(fā)生的事件，稱為不可能事件；不可能事件一定不會(huì)發(fā)生，即發(fā)生的可能性是0。
注：一般地，描述真理或客觀存在的事實(shí)的事件是必然事件；描述違背真理或客觀存在的事實(shí)的事件是不可能事件。
2、隨機(jī)事件（不確定性事件）
（1）概念：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件。
（2）隨機(jī)事件發(fā)生的可能性都在0～100%之間（不包括0和100%)。
注：比較隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小時(shí)，可在相同的條件和總數(shù)一定的情況下，通過可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)進(jìn)行比較，結(jié)果數(shù)越多，則這個(gè)事件發(fā)生的可能性越大。
（二）概率
1、概念：一般地，對于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P（A）。
2、概率的計(jì)算：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P (A ) =。
注：運(yùn)用上述計(jì)算概率的方法時(shí)，試驗(yàn)需滿足兩個(gè)共同特點(diǎn)：
（1）每一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)；
（2）每一次試驗(yàn)中，各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。
3、概率的取值范圍
（1）當(dāng)A為必然事件時(shí)，P(A) = 1；
（2）當(dāng)A為隨機(jī)事件時(shí)，0 < P(A) < 1；
（3）當(dāng)A為不可能事件時(shí)，P(A)=0；
（4）事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接近 0。
4、計(jì)算簡單事件的概率的主要類型
（1）個(gè)數(shù)類型：如摸球、擲骰子等可以表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的試驗(yàn)；P(A)=。
（2）面積類型：如果隨機(jī)試驗(yàn)是向區(qū)域S內(nèi)擲一點(diǎn)，那么擲在區(qū)域A(A在S內(nèi))內(nèi)的概率P(A)=。
二、用列舉法求概率
1、用直接列舉法（枚舉法）求概率
（1）用直接列舉法（枚舉法）求概率：當(dāng)事件涉及的對象比較單一且出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較少時(shí)，就可以直接列舉出所有等可能的結(jié)果，再利用概率公式P(A) =求事件發(fā)生的概率。
（2）適用條件：①對象比較單一；②等可能結(jié)果數(shù)目較少。
2、用列表法求概率
（1）用列表法求概率：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，常采用列表格的方式列舉出所有的等可能結(jié)果，再利用概率公式P(A) =求事件發(fā)生的概率。
（2）適用條件
①當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素；②可能出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較多。
3、用畫樹狀圖法求概率
（1）用畫樹狀圖法求概率：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)或更多個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，通常采用畫樹狀圖法列舉出所有的等可能結(jié)果，再利用概率公式P(A) =求事件發(fā)生的概率。
（2）適用條件：①當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)；②可能出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較多。
三、利用頻率估計(jì)概率
（一）頻率：試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的比值叫做頻率。
（二）利用頻率估計(jì)概率：在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性；因此，可以用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)它的概率。
（三）適用條件
當(dāng)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，我們一般通過事件發(fā)生的頻率來估計(jì)其概率。
（四）計(jì)算方法
一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)p，那么估計(jì)事件A發(fā)生的概率P(A)=p。
注：①試驗(yàn)得出的頻率只是概率的近似值。
②試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越趨向于概率，所以利用頻率估計(jì)概率的前提條件是大量重復(fù)試驗(yàn)。
③頻率和概率的區(qū)別和聯(lián)系

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