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七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期知識(shí)點(diǎn)歸納（人教版）
第一章 有理數(shù)
1、有理數(shù)：
(1)凡能寫成形式的數(shù)，都是有理數(shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。
有理數(shù)：正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、0、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。
注意：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；-a不一定是負(fù)數(shù)，+a也不一定是正數(shù)；不是有理數(shù)。
(2)有理數(shù)的分類：
或
注：小數(shù)是分?jǐn)?shù)。
(3)自然數(shù) 0和正整數(shù)； a＞0 a是正數(shù)； a＜0 a是負(fù)數(shù)；
a≥0 a是正數(shù)或0 a是非負(fù)數(shù)； a≤ 0 a是負(fù)數(shù)或0 a是非正數(shù)。
2、正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。
3、負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“-”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。
4、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，并能靈活運(yùn)用。
5、數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度（畫數(shù)軸時(shí)，三者缺一不可）。
6、任何一個(gè)有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。（反過來，不能說數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示有理數(shù)）
7、倒數(shù)：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1，0沒有倒數(shù)。
若ab=1 a，b互為倒數(shù)。
8、相反數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。
(1)0的相反數(shù)是0；
(2)注意：a-b+c的相反數(shù)是-a+b-c；a-b的相反數(shù)是b-a；a+b的相反數(shù)是-a-b；
(3)相反數(shù)的和為0 a+b=0 a，b互為相反數(shù)；
(4)相反數(shù)的商為-1（除0外）；
(5)相反數(shù)的絕對(duì)值相等。
9、在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等。
數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)在原點(diǎn)的右邊，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左邊。
10、絕對(duì)值的定義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。數(shù)a的絕對(duì)值記作|a|。
11、正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。
注意：絕對(duì)值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。
或；
；；
|a|是重要的非負(fù)數(shù)，即|a|≥0。
12、絕對(duì)值的性質(zhì)：
（1）除0外，絕對(duì)值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；
（2）對(duì)任何有理數(shù)a，都有|a|≥0；
（3）若|a|=0，則a=0，反之亦然；
（4）若|a|=b，則a=±b；
（5）對(duì)任何有理數(shù)a,都有|a|=|-a|；
（6）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上數(shù)據(jù)表示與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差，絕對(duì)值越小，越接近標(biāo)準(zhǔn)。
13、有理數(shù)比較大小：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小。
(1)根據(jù)有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置直接比較；
(2)根據(jù)規(guī)定進(jìn)行比較：兩個(gè)正數(shù)；正數(shù)與零；負(fù)數(shù)與零；正數(shù)與負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想；
(3)作差法：a-b>0 a>b；
(4)作商法：>1，b>0 a>b。
14、比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小，絕對(duì)值大的反而小。比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟如下：
①先求出兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；
②比較兩個(gè)絕對(duì)值的大小；
③根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”做出正確的判斷。
15、有理數(shù)加法法則：
①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。
②異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為0；絕對(duì)值不等時(shí)取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大數(shù)的絕對(duì)值減去較小數(shù)的絕對(duì)值。
③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。
16、加法的交換律、結(jié)合律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣適用。
加法交換律：a+b=b+a；
加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+(b+c)。
17、靈活運(yùn)用運(yùn)算律，使運(yùn)算簡化，通常有下列規(guī)律：
①互為相反的兩個(gè)數(shù)，可以先相加；
②符號(hào)相同的數(shù)，可以先相加；
③分母相同的數(shù)，可以先相加；
④幾個(gè)數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。
18、有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即a-b=a+（-b）。
有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意兩“變”：
①改變運(yùn)算符號(hào)；
②改變減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（變?yōu)橄喾磾?shù)）。
有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意一個(gè)“不變”：
被減數(shù)與減數(shù)的位置不能變換，也就是說，減法沒有交換律。
19、有理數(shù)的加減法混合運(yùn)算的步驟：
①寫成省略加號(hào)的代數(shù)和。在一個(gè)算式中，若有減法，應(yīng)由有理數(shù)的減法法則轉(zhuǎn)化為加法，然后再省略加號(hào)和括號(hào)；
②利用加法法則，加法交換律、結(jié)合律簡化計(jì)算。
（注意：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，當(dāng)由減法統(tǒng)一成加法時(shí)，減數(shù)應(yīng)變成它本身的相反數(shù)）
20、有理數(shù)乘法法則：
①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。
②任何數(shù)與0相乘，積仍為0。
注：幾個(gè)因數(shù)都不為零，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定。奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)為負(fù)，偶數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)為正。
21、乘法的交換律、結(jié)合律、分配律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣適用。
乘法交換律：ab=ba；
乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc)；
乘法對(duì)加法的分配律：a(b+c)=ab+ac。
22、有理數(shù)乘法運(yùn)算步驟：
①先確定積的符號(hào)；
②求出各因數(shù)的絕對(duì)值的積。
23、乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。
注意：
①零沒有倒數(shù)；
②求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是把分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒位置。一個(gè)帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)。
③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。
24、有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
①兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。
(
指數(shù)
底數(shù)
冪
)②0除以任何非0的數(shù)都得0。0不可作為除數(shù)，否則無意義。
25、有理數(shù)的乘方：
（1）求相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因數(shù)叫做底數(shù)，相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪；
（3）a2是重要的非負(fù)數(shù)，即a2≥0；若a2+|b|=0 a=0,b=0；
（4）根據(jù)規(guī)律：底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)一位，平方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)兩位。
注意：①一個(gè)數(shù)可以看作是本身的一次方，如5=51；
②當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。
26、乘方的運(yùn)算性質(zhì)：
①正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；
②負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；
③任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù)；
④1的任何次冪都得1；
⑤-1的偶次冪得1；-1的奇次冪得-1；
⑥在運(yùn)算過程中，首先要確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值。
27、科學(xué)記數(shù)法：一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成a×10n的形式，其中1≤＜10，n是正整數(shù)，這種記數(shù)方法叫科學(xué)記數(shù)法。
n的確定：右邊10的指數(shù)等于左邊整數(shù)的位數(shù)減1，即用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)n 位整數(shù)，其中10的指數(shù)是n－1。
28、有理數(shù)的混合運(yùn)算：
（1）六種運(yùn)算：加、減、乘、除、絕對(duì)值、乘方。
（2）運(yùn)算順序：先算乘方或絕對(duì)值，再算乘、除，最后算加減，如果有括號(hào)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的。
29、近似數(shù)
（1）接近實(shí)際數(shù)字，但是與實(shí)際數(shù)字還是有差別，這個(gè)數(shù)是一個(gè)近似數(shù)。
（2）精確度：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度可以用精確度表示。
（3）利用四舍五入法得到的近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。
精確到0.1，也叫精確到十分位；
精確到0.01，也叫精確到百分位；
精確到0.001，也叫精確到千分位；......
第二章 整式的加減
一、用字母表示數(shù)
注意：①在同一問題中，同一字母只能表示同一數(shù)量，不同的數(shù)量要用不同的字母表示。
②用字母表示實(shí)際問題中某一數(shù)量時(shí)，字母的取值必須使這個(gè)問題有意義，并且符合實(shí)際。
③式子中出現(xiàn)乘號(hào)，通常省略不寫，如vt；
④數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字應(yīng)寫在字母前面，如4a；
⑤帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后與字母相乘，如應(yīng)寫作；
⑥數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“×”號(hào)，即“×”號(hào)不省略；
⑦在式子中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來寫，如4÷（a-4）應(yīng)寫作；注意：分?jǐn)?shù)線具有“÷”號(hào)和括號(hào)的雙重作用。
二、整式
1、單項(xiàng)式
①數(shù)或字母的乘積的式子叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式；
②系數(shù)：單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，如3x,4y的系數(shù)分別為3，4；
注意：a.單個(gè)字母的系數(shù)是1，如a的系數(shù)是1；
b.只含字母因數(shù)的式子的系數(shù)是1或-1，如-ab的系數(shù)是-1；a3b的系數(shù)是1。
③次數(shù)：單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。
2、多項(xiàng)式
①幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；
②項(xiàng)：組成多項(xiàng)式的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。
如，多項(xiàng)式表示6x2、-2x、-7的和，6x2、-2x、-7是它的項(xiàng)，-7叫做常數(shù)項(xiàng)。
注意：在交待某一項(xiàng)時(shí)，應(yīng)與前面的符號(hào)一起交待。
③次數(shù)：多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做多項(xiàng)式的次數(shù)。
④整式：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱。
3、同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。
注意：①判斷幾個(gè)式子是否是同類項(xiàng)有兩個(gè)條件：a.所含字母相同；b.相同字母的指數(shù)也相同。這兩個(gè)條件缺一不可；
②同類項(xiàng)與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列順序無關(guān)；
③幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。
4、合并同類項(xiàng)：把式子中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。
①合并同類項(xiàng)的理論根據(jù)是逆用乘法分配律；
②合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。
注意：
①如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后結(jié)果為0；
②不是同類項(xiàng)的不能合并，不能合并的項(xiàng)，在每步運(yùn)算中都要寫上；
③只要不再有同類項(xiàng)，就是最后的結(jié)果。
5、去括號(hào)：
①根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào)：
括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不改變符號(hào)；
括號(hào)前面是“－”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。
②根據(jù)分配律去括號(hào)：
括號(hào)前面是“+”號(hào)看成+1，括號(hào)前面是“－”號(hào)看成-1，根據(jù)乘法的分配律用+1或-1去乘括號(hào)里的每一項(xiàng)以達(dá)到去括號(hào)的目的。
注意：
a.去括號(hào)時(shí)，要連同括號(hào)前面的符號(hào)一起去掉；
b.去括號(hào)時(shí)，首先要弄清楚括號(hào)前是“+”號(hào)還是“－”號(hào)；
c.改變符號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都變號(hào)；不改變符號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都不變號(hào)。
6、整式的加減：整式的加減運(yùn)算實(shí)際就是合并同類項(xiàng)的過程，具體步驟為：
①將同類項(xiàng)找出，并置于一起；
②合并同類項(xiàng)。
解題技巧：①當(dāng)括號(hào)前面有數(shù)字因數(shù)時(shí)，應(yīng)先利用乘法分配律計(jì)算，然后再去括號(hào)，注意不要漏乘括號(hào)內(nèi)的任一項(xiàng)。
②合并同類項(xiàng)時(shí)，只能把同類項(xiàng)合并，不是同類項(xiàng)的不能合并，合并同類項(xiàng)實(shí)際上就是有理數(shù)的加減運(yùn)算。合并同類項(xiàng)要完全、徹底，不能漏項(xiàng)。
四、找規(guī)律
1.數(shù)字變化類：
2.圖形變化類：
基本思想：從特殊到一般
基本方法：①從具體的實(shí)際問題出發(fā)，觀察各個(gè)數(shù)量的特點(diǎn)及相互之間的變化規(guī)律；
②由此及彼，合理聯(lián)想，大膽猜想；
③善于類比，從不同事物中發(fā)現(xiàn)相似或相同點(diǎn)；
④總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論，并驗(yàn)證結(jié)論正確與否。
第三章 一元一次方程
一、一元一次方程
1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。
等式：用“=”號(hào)連接而成的式子叫等式。
（方程的特征：①含有未知數(shù)；②是等式。二者缺一不可）
2、方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。注意：“方程的解就能代入”！
3、等式的性質(zhì)：
（1）等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)（或式子），所得結(jié)果仍是等式。
若a=b，則a+c=b+c或a -c = b - c。
等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍是等式。
若a=b，則ac=bc；
若a=b（c≠0），則。
4、在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)x（元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1（次）的整式方程，這樣的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的特征：①兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是1。
二、解一元一次方程
1、移項(xiàng)：把方程中的某一項(xiàng)，改變符號(hào)后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項(xiàng)。
2、解一元一次方程的一般步驟：
解一元一次方程的步驟 主要依據(jù) 注意問題
①去分母 等式的性質(zhì)2 注意拿這個(gè)最小公倍數(shù)乘遍方程的每一項(xiàng)，切記不可漏乘某一項(xiàng)，分母是小數(shù)的，要先利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，把分母化為整數(shù)，若分子是多項(xiàng)式，則必加括號(hào)
②去括號(hào) 去括號(hào)法則、乘法分配律 嚴(yán)格執(zhí)行去括號(hào)的法則，若是數(shù)乘括號(hào)，切記不漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)，減號(hào)后去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)一定要變號(hào)
③移項(xiàng) 等式的性質(zhì)1 越過“=”的叫移項(xiàng)，屬移項(xiàng)者必變號(hào)；未移項(xiàng)的項(xiàng)不變號(hào)，注意不遺漏,移項(xiàng)時(shí)把含未知數(shù)的項(xiàng)移在左邊，已知數(shù)移在右邊，書寫時(shí)，先寫不移動(dòng)的項(xiàng)，把移動(dòng)過來的項(xiàng)改變符號(hào)寫在后面
④合并同類項(xiàng) 合并同類項(xiàng)法則 注意在合并時(shí)，僅將系數(shù)加到了一起，而字母及其指數(shù)均不改變
⑤系數(shù)化為1 等式的性質(zhì)2 兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，記住未知數(shù)的系數(shù)永遠(yuǎn)是分母（除數(shù)），切不可分子、分母顛倒
⑥檢驗(yàn)
三、一元一次方程的應(yīng)用
1、列方程解應(yīng)用題的一般步驟：
（1）將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題；
（2）分析問題中的已知量和未知量，找出等量關(guān)系；
（3）設(shè)未知數(shù)，列出方程；
（4）解方程；
（5）檢驗(yàn)并作答。
2、一些實(shí)際問題中的規(guī)律和等量關(guān)系：
（1）和、差、倍、分問題：此類題既可表示運(yùn)算關(guān)系，又可表示相等關(guān)系，要結(jié)合題意特別注意題目中的關(guān)鍵詞語的含義，如相等、和差、幾倍、幾分之幾、多、少、快、慢等，它們能指導(dǎo)我們正確地列出式子或方程式。
（2）市場經(jīng)濟(jì)、打折銷售問題
①商品利潤＝商品售價(jià)－商品成本價(jià)；
②商品利潤率＝×100%；
③商品銷售額＝商品銷售價(jià)×商品銷售量；
④商品的銷售利潤＝（銷售價(jià)－成本價(jià)）×銷售量；
⑤商品打幾折出售，就是按原價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原價(jià)的80%出售。
（3）儲(chǔ)蓄利息問題
①顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。
②利息=本金×利率×期數(shù)；
本息和=本金+利息；
利息稅=利息×稅率（20%）。
③。
（4）工程問題、產(chǎn)品配套問題
工作量＝工作效率×工作時(shí)間；
工作效率＝工作量÷工作時(shí)間；
工作時(shí)間＝工作量÷工作效率；
完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和＝總工作量＝1。
（5）行程問題
基本量之間的關(guān)系：路程＝速度×?xí)r間；時(shí)間＝路程÷速度；速度＝路程÷時(shí)間。
①相遇問題：快行距＋慢行距＝原距；
②追及問題：快行距－慢行距＝原距；
③航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度＋水流（風(fēng)）速度；
逆水（風(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度－水流（風(fēng)）速度。
抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系。
（6）數(shù)字問題
①要搞清楚數(shù)的表示方法：
一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個(gè)位數(shù)字為c，其中a、b、c均為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9， 0≤c≤9，則這個(gè)三位數(shù)表示為100a+10b+c；然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程。
②數(shù)字問題中的一些問題：
兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n-2表示；奇數(shù)用2n+1或2n-1表示。
第四章 幾何初步
一、立體圖形與平面圖形
1.從實(shí)物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。
立體圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。
平面圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。
立體圖形
2.從不同的方向看立體圖形
從正面看：從正面看到的圖；
從左面看：從左面看到的圖；
從上面看：從上面看到的圖。
3.立體圖形的展開與折疊
①正方體的表面展開圖：11種
②棱柱的表面展開圖：
③圓柱、圓錐的表面展開圖：
4.點(diǎn)、線、面、體
（1）幾何圖形是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的。
①點(diǎn)：線與線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形。
②線：面與面相交得到線，分為直線和曲線。
③面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。
體：幾何體也簡稱體。
點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。
（2）棱柱及其有關(guān)概念
①棱：在棱柱中，任何相鄰兩個(gè)面的交線都叫做棱。
側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，所有側(cè)棱長都相等。
②棱柱的上、下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是長方形。
③n棱柱有2個(gè)底面，n個(gè)側(cè)面，共有（n+2）個(gè)面；3n條棱，n條側(cè)棱；2n個(gè)頂點(diǎn)。
④根據(jù)底面圖形的邊數(shù)，人們將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……，它們底面圖形的形狀分別為三邊形、四邊形、五邊形、六邊形……
二、直線、射線、線段
1、直線、射線、線段
直線：將線段向兩個(gè)方向無限延長就形成了直線，直線沒有端點(diǎn)。
射線：將線段向一個(gè)方向無限延長就形成了射線，射線有一個(gè)端點(diǎn)。
線段：繃緊的琴弦，人行橫道線都可以近似的看做線段，線段有兩個(gè)端點(diǎn)。
2、點(diǎn)、直線、射線和線段的表示：
在幾何里，我們常用字母表示圖形。
一個(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)大寫字母表示。
一條直線可以用一個(gè)小寫字母表示或用直線上兩個(gè)點(diǎn)的大寫字母表示。
一條射線可以用一個(gè)小寫字母表示或用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來表示（端點(diǎn)字母寫在前面）。
一條線段可以用一個(gè)小寫字母表示或用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母表示。
3、正確理解直線、射線、線段的概念以及它們的區(qū)別：
名稱 圖形 表示方法 端點(diǎn) 長度
直線 直線AB(或BA) 直線l 無端點(diǎn) 無法度量
射線 射線OM 1個(gè) 無法度量
線段 線段AB(或BA) 線段l 2個(gè) 可度量長度
直線的性質(zhì)：
直線公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線。
過一點(diǎn)有無數(shù)條直線。
兩個(gè)不同的直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)。
直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)。
5、點(diǎn)、直線的位置關(guān)系：
點(diǎn)在直線上，或者說直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)；
點(diǎn)在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)。
6、線段的性質(zhì)：
線段公理：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。
兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離。
7、線段的中點(diǎn)：點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM，點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn)。
8、比較兩條線段的大小的方法：
①目測法；②度量法；③疊合法；④圓規(guī)法。
用無刻度的直尺、圓規(guī)可以畫出線段的和、差;
10、與線段有關(guān)的計(jì)算問題
①有關(guān)線段的和差倍分計(jì)算；
②利用整體思想計(jì)算線段的長度；
③利用方程思想求線段的長度；
④利用分類討論思想求線段的長度。
三、角
1、角的定義與表示
角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角；這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)；這兩條射線叫做角的邊。
或，角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。
如圖所示：
(
終邊
始邊
)
2、平角和周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所成的角叫做平角。終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)，所形成的角叫做周角。如圖所示：
(
平角
)
(
周角
)
3、角的表示法：角的符號(hào)為“∠”。
①用三個(gè)大寫字母表示，如圖所示∠AOB；
(
A
O
B
)
②用一個(gè)大寫字母表示一個(gè)獨(dú)立的角，如圖所示∠B；
(
B
)
③用一個(gè)數(shù)字表示，如圖所示∠1；
(
1
)
④用小寫的希臘字母表示，如圖所示∠β。
(
β
)
注：用三個(gè)大寫字母表示時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩邊。
4、角的度量：
角的度量如下規(guī)定：把一個(gè)平角分成180等份，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”。
把1°的角60等份，每一份叫做1分的角，1分記作“1′”，即1°=60′；
把1′的角60等份，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1〞”，即1′=60〞；
5、鐘面角：鐘表上共有12個(gè)大格，把周角12等份，每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可以解決鐘表中角度的計(jì)算問題。
6、角平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。
7、角的性質(zhì)：
（1）角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)；
（2）角的大小可以度量，可以比較；
（3）角可以參與運(yùn)算。
8、角的運(yùn)算
如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2。
注意：
①用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))。
②利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角。
9、角的比較
角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種。
①度量法；②疊合法；
如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′。
10、余角和補(bǔ)角
（1）概念
如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角（簡稱為兩個(gè)角互余）；如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角（簡稱為兩個(gè)角互補(bǔ)）。
（2）性質(zhì)
同角（等角）的補(bǔ)角相等，同角（等角）的余角相等。
（3）方位角
在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角。例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°。這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角。
要點(diǎn)：
①正東、正西、正南、正北4個(gè)方向不需要用角度來表示；
②方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；
③在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；
④圖中的點(diǎn)O是觀測點(diǎn)，所有方向線（射線）都必須以O(shè)為端點(diǎn)。

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