資源簡介

《空間向量及其運算》知識全解
一、思維導圖
(
二、學習目標
)
1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的表示方法.（數學抽象）
2.學會空間向量的線性運算及它們的運算律.（數學運算）
3.能用空間向量的線性運算解決簡單的立體幾何問題.（邏輯推理）
4.理解空間向量夾角的概念，并掌握兩個向量數量積的定義、性質及運算律.（數學抽象）
5.能用兩個向量的數量積解決立體幾何中的角度和長度等問題.（邏輯推理）
(
三、核心知識
)
空間向量及其線性運算
知識點1空間向量的概念及表示
空間向量的定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模 . 空間向量用字母a，b，c，…表示.
與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模.
如圖1.1-1，向量a 的起點是A，終點是B ，則向量a 也可以記作，其模記為或 . 圖1.1-2所示的正方體中，過同一個頂點O 的三條棱上的三條有向線段表示的三個向量為，，，它們是不共面的向量，即它們是不同在任何一個平面內的三個向量.
長度為0 的向量叫做零向量，記為0.當有向線段的起點A 與終點B 重合時，. 模為1 的向量叫做單位向量. 與向量a 長度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，記為-a.
如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.
規定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有.
方向相同且模相等的向量叫做相等向量 . 因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.
空間向量是自由的，對于空間中的任意兩個非零向量，可以通過平移使它們的起點重合. 因為兩條相交直線確定一個平面，所以起點重合的兩個不共線向量可以確定一個平面，也就是說，任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內，成為同一平面內的兩個向量. 如圖1.1-3，已知空間向量a，b ，以任意點O 為起點，作向量，，我們就可以把它們平移到同一個平面α 內.
【平面向量與空間向量的區別與聯系】
（1）區別：平面向量研究的是二維平面的向量，空間向量研究的是三維空間的向量.
（2）聯系：空間向量的定義、表示方法及零向量、單位向量、相反向量、相等向量和共線向量（平行向量）的概念都與平面向量相同.
知識點2空間向量的線性運算
（1）；
（2）；
（3）當時，；
當時， ；
當時，.
空間向量線性運算的運算律：
（1）交換律：；
（2）結合律：
；
（3）分配律：，
.
知識點3共線向量及共面向量
對任意兩個空間向量a，b ，的充要條件是存在實數λ ，使.（共線向量定理）
如果兩個向量a，b 不共線，那么向量p 與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使.（共面向量定理）
空間向量的數量積運算
已知兩個非零向量a，b，則叫做a，b的數量積，記作.
即.零向量與任意向量的數量積為 0.
由向量的數量積定義，可以得到：
也記作.
空間向量的數量積的運算律：
；
（交換律）；
（分配律）.

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