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(共32張PPT)
第四章 機械能及其守恒定律
素養(yǎng)拓展課(四)　動能定理和機械能守恒定律的應用
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知識方法 探究
隨堂達標 訓練
知識方法 探究
隨堂達標 訓練
章末強化練(四)
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米素養(yǎng)拓展課(四)　動能定理和機械能守恒定律的應用
學習目標 1．掌握動能定理的應用．2．掌握機械能守恒定律的條件和應用．3．學會應用動能定理和機械能守恒定律分析、解決實際問題．
[對應學生用書P87]
遇到動能定理與圓周運動、平拋運動、直線運動等知識相結合的綜合題時，注意分析物體的運動過程，分析整個過程中外力做的功及過程初、末物體的動能．若整個運動過程由幾個運動性質(zhì)不同的分過程組成，可分段考慮，若不涉及中間過程量也可對整個過程分析．
(1)與平拋運動相結合時，要注意應用運動的合成與分解的方法，如通過分解位移或分解速度求平拋運動的有關物理量．
(2)與豎直平面內(nèi)的圓周運動相結合時，應特別注意隱藏的臨界條件：
①有支撐效果的圓周運動，如物體在光滑管中做圓周運動，物體能過最高點的臨界條件為物體在最高點處的最小速度vmin＝0.
②沒有支撐效果的圓周運動，如物體在光滑圓環(huán)內(nèi)側做圓周運動，物體能過最高點的臨界條件為物體在最高點處的最小速度vmin＝.
如圖所示，質(zhì)量為m的小球從高為h的地方由靜止釋放，如果恰好對光滑管道(內(nèi)徑不計)上的A點無擠壓，求h的值；如果恰好對管道的B點(圓弧的最高點)無擠壓，求h的值．(圖中兩虛線夾角為60°，圓弧曲率半徑為R)
解析　若小球恰好對A點無擠壓，則在A點，根據(jù)牛頓第二定律有mg cos 30°＝m eq \f(v,R) ①
小球從開始運動至到達A點，根據(jù)動能定理有
mgh＝mv②
聯(lián)立①②式，得h＝R
若小球恰好對B點無擠壓，則在B點，根據(jù)牛頓第二定律有mg＝m eq \f(v,R) ③
小球從開始運動至到達B點，根據(jù)動能定理，有
mg[h－R(1－cos 30°)]＝mv④
聯(lián)立③④式，得h＝R.
答案　R　R
[訓練1]　(2021·全國乙卷)一個籃球的質(zhì)量為m＝0.60 kg，一運動員使其從距地面高度為h1＝1.8 m處由靜止自由落下，反彈高度為h2＝1.2 m．若使籃球從距地面h3＝1.5 m的高度由靜止下落，并在開始下落的同時向下拍球，球落地后反彈的高度也為1.5 m．假設運動員拍球時對球的作用力為恒力，作用時間為t＝0.20 s；該籃球每次與地面碰撞前后的動能的比值不變．重力加速度大小取g＝10 m/s2，不計空氣阻力．求：
(1)運動員拍球過程中對籃球所做的功；
(2)運動員拍球時對籃球的作用力的大小．
解析　(1)第一次籃球下落的過程中由動能定理可得
E1＝mgh1
籃球反彈后向上運動的過程由動能定理可得
0－E2＝－mgh2
第二次從1.5 m的高度靜止下落，同時向下拍球，在籃球反彈上升的過程中，由動能定理可得
0－E4＝0－mgh4
第二次從1.5 m的高度靜止下落，同時向下拍球，籃球下落過程中，由動能定理可得
W＋mgh3＝E3
因籃球每次和地面撞擊的前后動能的比值不變，則有比例關系
＝
代入數(shù)據(jù)可得
W＝4.5 J
(2)因作用力是恒力，在恒力作用下籃球向下做勻加速直線運動，因此由牛頓第二定律可得
F＋mg＝ma
在拍球時間內(nèi)運動的位移為
x＝at2
做的功為
W＝Fx
聯(lián)立可得
F＝9 N或F＝－15 N(舍去)
答案　(1)4.5 J　(2)9 N
機械能守恒定律多與其他知識相結合，一般為多過程問題，難度較大．解答此類題目時一定要注意機械能守恒的條件，分析在哪個過程中機械能守恒，然后列式求解，必要時還需要綜合應用其他物理規(guī)律求解．
(2020·江蘇卷)如圖所示，鼓形輪的半徑為R，可繞固定的光滑水平軸O轉動．在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根直桿，桿上分別固定有質(zhì)量為m的小球，球與O的距離均為2R.在輪上繞有長繩，繩上懸掛著質(zhì)量為M的重物．重物由靜止下落，帶動鼓形輪轉動．重物落地后鼓形輪勻速轉動，轉動的角速度為ω.繩與輪之間無相對滑動，忽略鼓形輪、直桿和長繩的質(zhì)量，不計空氣阻力，重力加速度為g.求：
(1)重物落地后，小球線速度的大小v；
(2)重物落地后一小球轉到水平位置A，此時該球受到桿作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h.
解析　(1)線速度v＝ωr
得v＝2ωR
(2)向心力F向＝2mω2R
設F與水平方向的夾角為α，則
F cos α＝F向；F sin α＝mg
解得F＝
(3)落地時，重物的速度v′＝ωR
由機械能守恒得Mv′2＋4×mv2＝Mgh
解得h＝(ωR)2
答案　(1)2ωR　(2)　
(3)(ωR)2
[訓練2]　如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一固定光滑軌道，其中AB是長為R的水平直軌道，BCD是圓心為O、半徑為R的圓弧軌道，兩軌道相切于B點．在外力作用下，一小球從A點由靜止開始做勻加速直線運動，到達B點時撤除外力．已知小球剛好能沿圓弧軌道經(jīng)過最高點C，重力加速度為g.求：
(1)小球在AB段運動的加速度的大小；
(2)小球從D點運動到A點所用的時間．
解析　(1)小球在BCD段運動時，受到重力mg、軌道的正壓力N作用，受力分析如圖所示．由題意知N≥0，且小球在最高點C所受軌道的正壓力為零．小球在C點的速度大小記為vC，根據(jù)牛頓第二定律有mg＝m eq \f(v,R) ，小球從B點運動到C點的過程中，機械能守恒．小球在B點的速度大小記為vB，則有mv＝mv＋2mgR.小球在AB段由靜止開始做勻加速運動，加速度大小記為a，由運動學公式得v＝2aR聯(lián)立以上各式解得a＝g.
(2)小球在D點的速度大小記為vD，下落到A點時的速度大小記為v，根據(jù)機械能守恒定律，小球從B點運動到D點的過程中，有
mv＝mv＋mgR
小球從B點運動到A點的過程中，有
mv＝mv2
設小球從D點運動到A點所用的時間為t，根據(jù)運動學公式有gt＝v－vD
聯(lián)立解得t＝(－) .
答案　(1)g　(2)(－)
[對應學生用書P89]
1．(應用動能定理分析問題) 如圖所示，固定斜面的傾角為θ，整個斜面分為AB、BC兩段，且1.5AB＝BC.小物塊P(可視為質(zhì)點)與AB、BC兩段斜面之間的動摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2.已知P從A點由靜止釋放，恰好能滑動到C點而停下．那么θ、μ1、μ2間應滿足的關系式是(　　)
A．tan θ＝　　　　　 B．tan θ＝
C．tan θ＝2μ1－μ2 D．tan θ＝2μ2－μ1
A　[P被釋放后受重力、支持力、滑動摩擦力，設斜面AC長為L，P由A點靜止釋放，恰好能滑動到C點而停下，由動能定理得mgL sin θ－μ1mg cos θ×L－μ2mg cos θ×L＝0，解得tan θ＝.A正確．]
2．(應用機械能守恒定律分析問題)一個小球以一定的初速度從圖示位置進入光滑的軌道，小球先進入圓軌道1，再進入圓軌道2.圓軌道1的半徑為R，圓軌道2的半徑是軌道1的1.8倍，小球的質(zhì)量為m.若小球恰好能通過軌道2的最高點B，則小球在軌道1上經(jīng)過最高點A處時對軌道的壓力為(　　)
A．2mg　　　B．3mg　　　C．4mg　　　D．5mg
C　[小球恰好能通過軌道2的最高點B時，有mg＝ eq \f(mv,1.8R) .小球在軌道1上經(jīng)過最高點A處時，有F＋mg＝ eq \f(mv,R) ，根據(jù)機械能守恒定律，有1.6mgR＝mv－mv，解得F＝4mg，C正確．]
3．(動能定理的綜合應用)如圖所示，與水平面夾角θ＝37°的斜面和半徑R＝0.4 m 的光滑圓軌道相切于B點，且固定于豎直平面內(nèi)．滑塊從斜面上的A點由靜止釋放，經(jīng)B點后沿圓軌道運動，通過最高點C時軌道對滑塊的彈力為零．已知滑塊與斜面間動摩擦因數(shù)μ＝0.25，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)滑塊在C點的速度大小vC；
(2)滑塊在B點的速度大小vB；
(3)A、B兩點間的高度差h.
解析　(1)在C點滑塊豎直方向所受合力提供向心力，則mg＝ eq \f(mv,R)
解得vC＝＝2 m/s.
(2)對B→C過程，滑塊機械能守恒，則
mv＝mv＋mgR(1＋cos 37°)
解得vB＝ eq \r(v＋2gR（1＋cos 37°）) ≈4.29 m/s.
(3)對A→B過程，由動能定理可得
mgh－μmg cos 37°·＝mv－0
代入數(shù)據(jù)解得h≈1.38 m.
答案　(1)2 m/s　(2)4.29 m/s　(3)1.38 m
4．(機械能守恒定律的綜合應用)如圖所示，豎直平面內(nèi)固定著由兩個半徑均為R的圓弧構成的細管道ABC，圓心連線O1O2水平．輕質(zhì)彈簧左端固定在豎直擋板上，右端靠著質(zhì)量為m的小球(小球的直徑略小于管道內(nèi)徑)，長為R的薄板DE置于水平面上，薄板的左端D到管道右端C的水平距離為R.開始時彈簧處于鎖定狀態(tài)，具有一定的彈性勢能．解除彈簧鎖定，小球離開彈簧后進入管道，最后從C點拋出(不計一切摩擦)，小球經(jīng)C點時對軌道外側的彈力的大小為mg.重力加速度為g.
(1)求彈簧鎖定時具有的彈性勢能Ep；
(2)試通過計算判斷小球能否落在薄板DE上．
解析　(1)從解除彈簧鎖定到小球運動到C點的過程，彈簧和小球組成的系統(tǒng)機械能守恒．設小球到達C點的速度大小為v1，根據(jù)機械能守恒定律可得Ep＝2mgR＋mv
由題意知，小球經(jīng)C點時所受的彈力的大小為mg，方向豎直向下，可得mg＋mg＝ eq \f(mv,R)
解得v1＝，Ep＝3mgR.
(2)小球離開C點后做平拋運動．設從拋出到落到水平面上的時間為t，水平位移為x，根據(jù)平拋運動規(guī)律有
2R＝gt2，x＝v1t
解得x＝2R>2R
所以小球不能落在薄板DE上．
答案　(1)3mgR　(2)小球不能落在薄板DE上
章末強化練(四)　機械能及其守恒定律
[對應學生用書P149]
(時間：90分鐘　滿分：100分)
一、選擇題(本題共12小題，共48分，1～7題為單選題，每小題4分，8～12題為多選題，全都選對的得4分，有選對但不全的得2分，有選錯或不選的得0分)
1．如圖所示實例中均不考慮空氣阻力，系統(tǒng)機械能守恒的是(　　)
D　[人上樓、跳繩過程中機械能不守恒，從能量轉化角度看都是消耗人體的化學能；水滴石穿，水滴的機械能減少的部分轉變?yōu)閮?nèi)能；弓箭射出過程中是彈性勢能與動能、重力勢能的相互轉化，射出后箭只受重力作用，機械能守恒．]
2．一名小孩從公園中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其能量的變化情況是(　　)
A．重力勢能減少，動能不變，機械能減少
B．重力勢能減少，動能增加，機械能減少
C．重力勢能減少，動能增加，機械能增加
D．重力勢能減少，動能增加，機械能守恒
B　[小孩在下滑過程中重力勢能減少，由于小孩做加速運動，故動能增加．又因為小孩下滑過程中克服摩擦力做功，故機械能減少，B正確．]
3．在平直公路上以一定速率(約為5 m/s)行駛的自行車所受阻力為車和人總重量的，則騎車人的功率最接近于(車和人的總質(zhì)量約為100 kg)(　　)
A．0.1 kW　　　　　　　　 B．1×103 kW
C．1 kW D．10 kW
A　[因為車速v＝5 m/s，騎車時的牽引力F＝f＝0.02×100×10 N＝20 N，所以功率P＝Fv＝20×5 W＝100 W＝0.1 kW，故A正確．]
4．某物體做自由落體運動，其相對于地面的重力勢能Ep與下落速度v的關系圖像正確的是(　　 )
C　[設物體原來具有的重力勢能為Ep0，下落過程中有Ep＝Ep0－mv2，故C正確．]
5．如圖所示，半徑為R的半圓形軌道豎直固定放置，軌道兩端等高．一個質(zhì)量為m的質(zhì)點自軌道端點P由靜止開始滑下，滑到最低點Q時，對軌道的正壓力為2mg.重力加速度大小為g，質(zhì)點自P滑到Q的過程中，克服摩擦力所做的功為(　　)
A．mgR B．mgR
C．mgR D．mgR
B　[在Q點，質(zhì)點在豎直方向上受支持力和重力的作用，這兩個力的合力提供向心力；由牛頓第二定律可得F－mg＝m，解得v＝.對質(zhì)點自P滑到Q的過程中，由動能定理可得mgR－W克＝mv2，解得W克＝mgR，故B正確．]
6．(2021·湖南卷)“復興號”動車組用多節(jié)車廂提供動力，從而達到提速的目的．總質(zhì)量為m的動車組在平直的軌道上行駛．該動車組有四節(jié)動力車廂，每節(jié)車廂發(fā)動機的額定功率均為P，若動車組所受的阻力與其速率成正比(F阻＝kv，k為常量)，則動車組能達到的最大速度為vm.下列說法正確的是(　　)
A．動車組在勻加速啟動過程中，牽引力恒定不變
B．若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，則動車組從靜止開始做勻加速運動
C．若四節(jié)動力車廂輸出的總功率為2.25P，則動車組勻速行駛的速度為vm
D．若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經(jīng)過時間t達到最大速度vm，則這一過程中該動車組克服阻力做的功為mv－Pt
C　[對動車，由牛頓第二定律有
F－F阻＝ma
若動車組在勻加速啟動，即加速度a恒定，但F阻＝kv隨速度增大而增大，則牽引力也隨阻力增大而變大，故A錯誤；
若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，則總功率為4P，由牛頓第二定律有
－kv＝ma
可知加速啟動的過程中牽引力減小，阻力增大，則加速度逐漸減小，故B錯誤；
若四節(jié)動力車廂輸出的總功率為2.25P，則動車組勻速行駛時加速度為零，有
＝kv
而以額定功率勻速行駛時，有
＝kvm
聯(lián)立解得v＝vm，故C正確；
若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經(jīng)過時間t達到最大速度vm，由動能定理可知
4Pt－WF阻＝mv－0
可得動車組克服阻力做的功為
WF阻＝4Pt－mv
故D錯誤．]
7．(2022·全國甲卷)2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺局部示意圖如圖所示．運動員從a處由靜止自由滑下，到b處起跳，c點為a、b之間的最低點，a、c兩處的高度差為h.要求運動員經(jīng)過c點時對滑雪板的壓力不大于自身所受重力的k倍，運動過程中將運動員視為質(zhì)點并忽略所有阻力，則c點處這一段圓弧雪道的半徑不應小于(　　)
A． B．
C． D．
D　[運動員由a運動到c的過程中，設到c點時的速度為v，由機械能守恒定律有mgh＝mv2，設c點處這一段圓弧雪道的最小半徑為R，則在經(jīng)過c點時，有kmg－mg＝m，解得R＝，D項正確．]
8．如圖所示，有一內(nèi)壁光滑的閉合橢圓形管道，置于豎直平面內(nèi)，MN是通過橢圓中心O點的水平線．已知一小球從M點出發(fā)，初速率為v0，沿管道MPN運動，到N點的速率為v1，所需時間為t1；若該小球仍由M點以初速率v0出發(fā)，而沿管道MQN運動，到N點的速率為v2，所需時間為t2，則(　　)
A．v1＝v2 B．t1>t2
C．t1AB　[管道內(nèi)壁光滑，小球在運動過程中只有重力做功，機械能守恒，故v1＝v2＝v0；小球沿管道MPN運動過程中任意時刻速率小于初速度v0，而沿管道MQN運動過程中任意時刻速率大于初速度v0，即小球沿MPN運動的平均速率小于沿MQN運動的平均速率，因為路程相等，所以t1>t2.]
9．如圖所示為某汽車在平直公路上啟動時發(fā)動機功率P隨時間t變化的圖像，P0為發(fā)動機的額定功率．已知在t2時刻汽車的速度已經(jīng)達到最大vm，汽車所受阻力大小與速度大小成正比．由此可得(　　)
A．在t3時刻，汽車速度一定等于vm
B．在t1～t2時間內(nèi)，汽車一定做勻速運動
C．在t2～t3時間內(nèi)，汽車一定做勻速運動
D．在發(fā)動機功率達到額定功率前，汽車一定做勻加速運動
AC　[已知在t2時刻汽車的速度已經(jīng)達到最大vm，此后汽車做勻速直線運動，速度不變，則在t3時刻汽車速度一定等于vm，故A正確；汽車的功率在t1時刻達到額定功率，根據(jù)P＝Fv，速度繼續(xù)增大，牽引力減小，阻力增大，則加速度減小，則在t1～t2時間內(nèi)汽車做加速度減小的加速運動，故B錯誤；在t2～t3時間內(nèi)，汽車已達到最大速度，且功率保持不變，汽車一定做勻速直線運動，故C正確；在0～t1時間內(nèi)，假設汽車做勻加速運動，汽車發(fā)動機的功率均勻增加，速度也均勻增大，由F＝可知牽引力為恒力，但阻力隨著速度的增大而增大，故汽車在這一過程受到的合外力不可能為恒力，由F＝ma可知汽車不可能做勻加速直線運動，故D錯誤．]
10．將質(zhì)量為m的物體從地面上方H高處無初速度釋放，落到地面后出現(xiàn)一個深為h的坑，如圖所示，在此過程中(　　 )
A．重力對物體做功mgH
B．物體重力勢能減少mg(H＋h)
C．合力對物體做的總功為零
D．地面對物體的平均阻力為
BC　[重力做功為mg(H＋h)，A錯誤；重力勢能減少mg(H＋h)，B正確；由動能定理W總＝ΔEk＝0，C正確；又mg(H＋h)－·h＝0，故＝，D錯誤．]
11．物體沿直線運動的v t圖像如圖所示，已知在第1 s內(nèi)合力對物體做功為W，則(　　 )
A．從第1秒末到第3 s末合力做功為4W
B．從第3秒末到第5 s末合力做功為－2W
C．從第5秒末到第7 s末合力做功為W
D．從第3秒末到第4 s末合力做功為－0.75W
CD　[由題中圖像可知物體速度變化情況，根據(jù)動能定理得第1 s內(nèi)：W＝mv2，
第1 s末到第3 s末：W1＝mv2－mv2＝0，A錯誤；
第3 s末到第5 s末：W2＝0－mv2＝－W，故B錯誤；
第5 s末到第7 s末：W3＝m(－v)2－0＝W，故C正確；
第3 s末到第4 s末：W4＝m()2－mv2＝－0.75W，故D正確．]
12．(2020·全國卷Ⅰ)一個物塊在高3.0 m、長 0.5 m的斜面頂端從靜止開始沿斜面下滑，其重力勢能和動能隨下滑距離s的變化如圖中直線Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.則(　　)
A．物塊下滑過程中機械能不守恒
B．物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.5
C．物塊下滑時加速度的大小為6.0 m/s2
D．當物塊下滑2.0 m時機械能損失了12 J
AB　[由E s圖像知，物塊動能與重力勢能的和減少，機械能不守恒，故A正確．由E s圖像知，整個下滑過程中，物塊機械能減少量ΔE＝30 J－10 J＝20 J，而ΔE＝μmg cos α·s，mgh＝30 J，其中cos α＝0.8，h＝3.0 m，g＝10 m/s2，則動摩擦因數(shù)μ＝0.5，故B正確．物塊下滑時的加速度a＝g sin α－μg cos α＝2 m/s2，故C錯誤．物塊下滑2.0 m時損失的機械能ΔE′＝μmg cos α·s′＝8 J，故D錯誤．]
二、非選擇題(本題共4小題，共52分)
13．(12分)(2021·河北卷)某同學利用圖甲中的實驗裝置探究機械能變化量與力做功的關系，所用器材有：一端帶滑輪的長木板、輕細繩、50 g的鉤碼若干、光電門2個、數(shù)字計時器、帶遮光條的滑塊(質(zhì)量為200 g，其上可放鉤碼)、刻度尺，當?shù)刂亓铀俣葹?.80 m/s2，實驗操作步驟如下：
甲
①安裝器材，調(diào)整兩個光電門距離為50.00 cm，輕細繩下端懸掛4個鉤碼，如圖甲所示；
②接通電源，釋放滑塊，分別記錄遮光條通過兩個光電門的時間，并計算出滑塊通過兩個光電門的速度；
③保持最下端懸掛4個鉤碼不變，在滑塊上依次增加一個鉤碼，記錄滑塊上所載鉤碼的質(zhì)量，重復上述步驟；
④完成5次測量后，計算出每次實驗中滑塊及所載鉤碼的總質(zhì)量M、系統(tǒng)(包含滑塊、滑塊所載鉤碼和輕細繩懸掛鉤碼)總動能的增加量ΔEk及系統(tǒng)總機械能的減少量ΔE，結果如下表所示：
M/kg 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
ΔEk/J 0.582 0.490 0.392 0.294 0.195
ΔE/J 0.393 0.490 0.686 0.785
回答下列問題．
(1)實驗中輕細繩所懸掛鉤碼重力勢能的減少量為________J(保留3位有效數(shù)字).
(2)步驟④中的數(shù)據(jù)所缺數(shù)據(jù)為________．
(3)以M為橫軸，ΔE為縱軸，選擇合適的標度，在圖乙中繪出ΔE M圖像．
乙
(4)若系統(tǒng)總機械能的減少量等于克服摩擦力做的功，則滑塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為________(保留2位有效數(shù)字).
解析　(1)四個鉤碼重力勢能的減少量為
ΔEp＝4mgL＝4×0.05×9.8×0.5 J＝0.980 J
(2)對滑塊和鉤碼構成的系統(tǒng)，由能量守恒定律可知
4mgL－Wf＝(4m＋M)v－(4m＋M)v
其中系統(tǒng)減少的重力勢能為
ΔEp＝4mgL
系統(tǒng)增加的動能為
ΔEk＝(4m＋M)v－(4m＋M)v
系統(tǒng)減少的機械能為ΔE＝Wf，則代入數(shù)據(jù)可得表格中減少的機械能為
ΔE4＝0.98 J－0.392 J＝0.588 J
(3)根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點，ΔE M圖像如下圖所示．
(4)根據(jù)功能關系可知
ΔE＝μMgL
則ΔE M圖像的斜率為
k＝＝μgL
由所作ΔE M圖像可知其斜率為
k＝＝1.96
解得動摩擦因數(shù)μ＝0.40 (0.38～0.42均可)
答案　(1)0.980　(2)0.588　(3)見解析圖
(4)0.40(0.38～0.42均可)
14．(12分)如圖所示，露天娛樂場空中列車由許多節(jié)完全相同的車廂組成，列車先沿光滑水平軌道行駛，然后滑上一固定的半徑為R的空中圓形光滑軌道，若列車全長為L(L>2πR)，R遠大于一節(jié)車廂的長度和高度，那么列車在運行到圓形軌道前的速度至少要多大，才能使整個列車安全通過固定的圓形軌道(車廂間的距離不計)
解析　當列車進入圓形軌道后．動能逐漸向勢能轉化，車速逐漸減小，當車廂占滿圓形軌道時的速度最小，設此時的速度為v，列車的質(zhì)量為M，圓形軌道上那部分列車的質(zhì)量為
M′＝·2πR
由機械能守恒定律可得
Mv＝Mv2＋M′gR
又因圓形軌道頂部車廂應滿足mg≤m
解得v0≥ .
答案　
15．(13分)一個小孩蕩秋千，已知小孩的質(zhì)量為40 kg，秋千底板質(zhì)量為20 kg，每根系秋千的繩子長為4 m，每根繩能承受的最大張力是450 N．如圖，當秋千底板擺到最低點時，速度為3 m/s.(g取10 m/s2，小孩當作質(zhì)點處理，繩的質(zhì)量不計)
(1)在最低點時，小孩對秋千板的壓力是多少？每根繩子受到拉力T是多少？
(2)為了安全，小孩擺起的高度(相對最低點)不能超過多少米？
解析　(1)對孩子，設秋千板對孩子的支持力為N，根據(jù)向心力公式得，
在最低點：N－Mg＝M，
代入數(shù)據(jù)解得：N＝490 N，
由牛頓第三定律得：孩子對秋千板的壓力為490 N，方向豎直向下；
對孩子和秋千板，根據(jù)牛頓第二定律有
2T－(M＋m)g＝(M＋m)，
代入數(shù)據(jù)解得：T＝367.5 N.
(2)當繩子拉力達到最大值時，在最低點有
2Tm－(M＋m)g＝(M＋m) eq \f(v,l) ，
解得：vm＝ m/s，
設最大高度為hm，根據(jù)機械能守恒定律得
(M＋m)ghm＝(M＋m)v
代入數(shù)據(jù)解得hm＝1 m.
答案　(1)490 N　367.5 N　(2)1 m
16．(15分)如圖所示是質(zhì)量可忽略不計的秋千，懸點O離地面高度H＝2 m.質(zhì)量m＝5 kg的小猴(可視為質(zhì)點)趴在秋千上，它到懸點O的距離l1＝1.6 m．飼養(yǎng)員在圖中左側推秋千，每次做功都為W＝5 J．秋千首次從最低點被推動，以后每次推動都是在秋千蕩回左側速度為零時進行．若不計空氣阻力，則：(g取10 m/s2)
(1)經(jīng)1次推動，小猴蕩起的最高點比最低點高多少？
(2)經(jīng)多少次推動，小猴經(jīng)過最低點的速度v＝4 m/s
(3)某次小猴向右經(jīng)過最低點時，一個掛在秋千繩上C點的金屬小飾物恰好脫落，并落在地上D點．D到C的小平距離x＝0.96 m，C到O的距離l2＝1.28 m，則小猴此次經(jīng)過最低點時對秋千的作用力多大？
解析　(1)推動一次，
W＝mgh
解得h＝0.1 m.
(2)推動n次后，回到最低點，由動能定理有
nW＝mv2
解得n＝8.
(3)小飾物下落過程有
H－l2＝gt2，
解得t＝ s
飾物飛出時的速度為
v1＝＝ m/s
設小猴經(jīng)過最低點時速度為v2
＝
解得v2＝ m/s
對小猴受力分析，有
F－mg＝ eq \f(mv,l1)
解得F＝81.25 N
由牛頓第三定律得，小猴對秋千的作用力為81.25 N.
答案　(1)0.1 m　(2)8次　(3)81.25 N素養(yǎng)拓展課(四)　動能定理和機械能守恒定律的應用
學習目標 1．掌握動能定理的應用．2．掌握機械能守恒定律的條件和應用．3．學會應用動能定理和機械能守恒定律分析、解決實際問題．
遇到動能定理與圓周運動、平拋運動、直線運動等知識相結合的綜合題時，注意分析物體的運動過程，分析整個過程中外力做的功及過程初、末物體的動能．若整個運動過程由幾個運動性質(zhì)不同的分過程組成，可分段考慮，若不涉及中間過程量也可對整個過程分析．
(1)與平拋運動相結合時，要注意應用運動的合成與分解的方法，如通過分解位移或分解速度求平拋運動的有關物理量．
(2)與豎直平面內(nèi)的圓周運動相結合時，應特別注意隱藏的臨界條件：
①有支撐效果的圓周運動，如物體在光滑管中做圓周運動，物體能過最高點的臨界條件為物體在最高點處的最小速度vmin＝0.
②沒有支撐效果的圓周運動，如物體在光滑圓環(huán)內(nèi)側做圓周運動，物體能過最高點的臨界條件為物體在最高點處的最小速度vmin＝.
如圖所示，質(zhì)量為m的小球從高為h的地方由靜止釋放，如果恰好對光滑管道(內(nèi)徑不計)上的A點無擠壓，求h的值；如果恰好對管道的B點(圓弧的最高點)無擠壓，求h的值．(圖中兩虛線夾角為60°，圓弧曲率半徑為R)
　(2021·全國乙卷)一個籃球的質(zhì)量為m＝0.60 kg，一運動員使其從距地面高度為h1＝1.8 m處由靜止自由落下，反彈高度為h2＝1.2 m．若使籃球從距地面h3＝1.5 m的高度由靜止下落，并在開始下落的同時向下拍球，球落地后反彈的高度也為1.5 m．假設運動員拍球時對球的作用力為恒力，作用時間為t＝0.20 s；該籃球每次與地面碰撞前后的動能的比值不變．重力加速度大小取g＝10 m/s2，不計空氣阻力．求：
(1)運動員拍球過程中對籃球所做的功；
(2)運動員拍球時對籃球的作用力的大小．
機械能守恒定律多與其他知識相結合，一般為多過程問題，難度較大．解答此類題目時一定要注意機械能守恒的條件，分析在哪個過程中機械能守恒，然后列式求解，必要時還需要綜合應用其他物理規(guī)律求解．
(2020·江蘇卷)如圖所示，鼓形輪的半徑為R，可繞固定的光滑水平軸O轉動．在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根直桿，桿上分別固定有質(zhì)量為m的小球，球與O的距離均為2R.在輪上繞有長繩，繩上懸掛著質(zhì)量為M的重物．重物由靜止下落，帶動鼓形輪轉動．重物落地后鼓形輪勻速轉動，轉動的角速度為ω.繩與輪之間無相對滑動，忽略鼓形輪、直桿和長繩的質(zhì)量，不計空氣阻力，重力加速度為g.求：
(1)重物落地后，小球線速度的大小v；
(2)重物落地后一小球轉到水平位置A，此時該球受到桿作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h.
　如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一固定光滑軌道，其中AB是長為R的水平直軌道，BCD是圓心為O、半徑為R的圓弧軌道，兩軌道相切于B點．在外力作用下，一小球從A點由靜止開始做勻加速直線運動，到達B點時撤除外力．已知小球剛好能沿圓弧軌道經(jīng)過最高點C，重力加速度為g.求：
(1)小球在AB段運動的加速度的大小；
(2)小球從D點運動到A點所用的時間．
1．(應用動能定理分析問題) 如圖所示，固定斜面的傾角為θ，整個斜面分為AB、BC兩段，且1.5AB＝BC.小物塊P(可視為質(zhì)點)與AB、BC兩段斜面之間的動摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2.已知P從A點由靜止釋放，恰好能滑動到C點而停下．那么θ、μ1、μ2間應滿足的關系式是(　　)
A．tan θ＝　　　　　 B．tan θ＝
C．tan θ＝2μ1－μ2 D．tan θ＝2μ2－μ1
　
2．(應用機械能守恒定律分析問題)一個小球以一定的初速度從圖示位置進入光滑的軌道，小球先進入圓軌道1，再進入圓軌道2.圓軌道1的半徑為R，圓軌道2的半徑是軌道1的1.8倍，小球的質(zhì)量為m.若小球恰好能通過軌道2的最高點B，則小球在軌道1上經(jīng)過最高點A處時對軌道的壓力為(　　)
A．2mg　　　B．3mg　　　C．4mg　　　D．5mg
　
3．(動能定理的綜合應用)如圖所示，與水平面夾角θ＝37°的斜面和半徑R＝0.4 m 的光滑圓軌道相切于B點，且固定于豎直平面內(nèi)．滑塊從斜面上的A點由靜止釋放，經(jīng)B點后沿圓軌道運動，通過最高點C時軌道對滑塊的彈力為零．已知滑塊與斜面間動摩擦因數(shù)μ＝0.25，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)滑塊在C點的速度大小vC；
(2)滑塊在B點的速度大小vB；
(3)A、B兩點間的高度差h.
4．(機械能守恒定律的綜合應用)如圖所示，豎直平面內(nèi)固定著由兩個半徑均為R的圓弧構成的細管道ABC，圓心連線O1O2水平．輕質(zhì)彈簧左端固定在豎直擋板上，右端靠著質(zhì)量為m的小球(小球的直徑略小于管道內(nèi)徑)，長為R的薄板DE置于水平面上，薄板的左端D到管道右端C的水平距離為R.開始時彈簧處于鎖定狀態(tài)，具有一定的彈性勢能．解除彈簧鎖定，小球離開彈簧后進入管道，最后從C點拋出(不計一切摩擦)，小球經(jīng)C點時對軌道外側的彈力的大小為mg.重力加速度為g.
(1)求彈簧鎖定時具有的彈性勢能Ep；
(2)試通過計算判斷小球能否落在薄板DE上．
章末強化練(四)　機械能及其守恒定律
(時間：90分鐘　滿分：100分)
一、選擇題(本題共12小題，共48分，1～7題為單選題，每小題4分，8～12題為多選題，全都選對的得4分，有選對但不全的得2分，有選錯或不選的得0分)
1．如圖所示實例中均不考慮空氣阻力，系統(tǒng)機械能守恒的是(　　)
　
2．一名小孩從公園中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其能量的變化情況是(　　)
A．重力勢能減少，動能不變，機械能減少
B．重力勢能減少，動能增加，機械能減少
C．重力勢能減少，動能增加，機械能增加
D．重力勢能減少，動能增加，機械能守恒
　
3．在平直公路上以一定速率(約為5 m/s)行駛的自行車所受阻力為車和人總重量的，則騎車人的功率最接近于(車和人的總質(zhì)量約為100 kg)(　　)
A．0.1 kW　　　　　　　　 B．1×103 kW
C．1 kW D．10 kW
　
4．某物體做自由落體運動，其相對于地面的重力勢能Ep與下落速度v的關系圖像正確的是(　　 )
　
5．如圖所示，半徑為R的半圓形軌道豎直固定放置，軌道兩端等高．一個質(zhì)量為m的質(zhì)點自軌道端點P由靜止開始滑下，滑到最低點Q時，對軌道的正壓力為2mg.重力加速度大小為g，質(zhì)點自P滑到Q的過程中，克服摩擦力所做的功為(　　)
A．mgR B．mgR
C．mgR D．mgR
　
6．(2021·湖南卷)“復興號”動車組用多節(jié)車廂提供動力，從而達到提速的目的．總質(zhì)量為m的動車組在平直的軌道上行駛．該動車組有四節(jié)動力車廂，每節(jié)車廂發(fā)動機的額定功率均為P，若動車組所受的阻力與其速率成正比(F阻＝kv，k為常量)，則動車組能達到的最大速度為vm.下列說法正確的是(　　)
A．動車組在勻加速啟動過程中，牽引力恒定不變
B．若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，則動車組從靜止開始做勻加速運動
C．若四節(jié)動力車廂輸出的總功率為2.25P，則動車組勻速行駛的速度為vm
D．若四節(jié)動力車廂輸出功率均為額定值，動車組從靜止啟動，經(jīng)過時間t達到最大速度vm，則這一過程中該動車組克服阻力做的功為mv－Pt
　
7．(2022·全國甲卷)2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺局部示意圖如圖所示．運動員從a處由靜止自由滑下，到b處起跳，c點為a、b之間的最低點，a、c兩處的高度差為h.要求運動員經(jīng)過c點時對滑雪板的壓力不大于自身所受重力的k倍，運動過程中將運動員視為質(zhì)點并忽略所有阻力，則c點處這一段圓弧雪道的半徑不應小于(　　)
A． B．
C． D．
　
8．如圖所示，有一內(nèi)壁光滑的閉合橢圓形管道，置于豎直平面內(nèi)，MN是通過橢圓中心O點的水平線．已知一小球從M點出發(fā)，初速率為v0，沿管道MPN運動，到N點的速率為v1，所需時間為t1；若該小球仍由M點以初速率v0出發(fā)，而沿管道MQN運動，到N點的速率為v2，所需時間為t2，則(　　)
A．v1＝v2 B．t1>t2
C．t1　
9．如圖所示為某汽車在平直公路上啟動時發(fā)動機功率P隨時間t變化的圖像，P0為發(fā)動機的額定功率．已知在t2時刻汽車的速度已經(jīng)達到最大vm，汽車所受阻力大小與速度大小成正比．由此可得(　　)
A．在t3時刻，汽車速度一定等于vm
B．在t1～t2時間內(nèi)，汽車一定做勻速運動
C．在t2～t3時間內(nèi)，汽車一定做勻速運動
D．在發(fā)動機功率達到額定功率前，汽車一定做勻加速運動
　
10．將質(zhì)量為m的物體從地面上方H高處無初速度釋放，落到地面后出現(xiàn)一個深為h的坑，如圖所示，在此過程中(　　 )
A．重力對物體做功mgH
B．物體重力勢能減少mg(H＋h)
C．合力對物體做的總功為零
D．地面對物體的平均阻力為
　
11．物體沿直線運動的v t圖像如圖所示，已知在第1 s內(nèi)合力對物體做功為W，則(　　 )
A．從第1秒末到第3 s末合力做功為4W
B．從第3秒末到第5 s末合力做功為－2W
C．從第5秒末到第7 s末合力做功為W
D．從第3秒末到第4 s末合力做功為－0.75W
　
12．(2020·全國卷Ⅰ)一個物塊在高3.0 m、長 0.5 m的斜面頂端從靜止開始沿斜面下滑，其重力勢能和動能隨下滑距離s的變化如圖中直線Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.則(　　)
A．物塊下滑過程中機械能不守恒
B．物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.5
C．物塊下滑時加速度的大小為6.0 m/s2
D．當物塊下滑2.0 m時機械能損失了12 J
　
二、非選擇題(本題共4小題，共52分)
13．(12分)(2021·河北卷)某同學利用圖甲中的實驗裝置探究機械能變化量與力做功的關系，所用器材有：一端帶滑輪的長木板、輕細繩、50 g的鉤碼若干、光電門2個、數(shù)字計時器、帶遮光條的滑塊(質(zhì)量為200 g，其上可放鉤碼)、刻度尺，當?shù)刂亓铀俣葹?.80 m/s2，實驗操作步驟如下：
甲
①安裝器材，調(diào)整兩個光電門距離為50.00 cm，輕細繩下端懸掛4個鉤碼，如圖甲所示；
②接通電源，釋放滑塊，分別記錄遮光條通過兩個光電門的時間，并計算出滑塊通過兩個光電門的速度；
③保持最下端懸掛4個鉤碼不變，在滑塊上依次增加一個鉤碼，記錄滑塊上所載鉤碼的質(zhì)量，重復上述步驟；
④完成5次測量后，計算出每次實驗中滑塊及所載鉤碼的總質(zhì)量M、系統(tǒng)(包含滑塊、滑塊所載鉤碼和輕細繩懸掛鉤碼)總動能的增加量ΔEk及系統(tǒng)總機械能的減少量ΔE，結果如下表所示：
M/kg 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
ΔEk/J 0.582 0.490 0.392 0.294 0.195
ΔE/J 0.393 0.490 0.686 0.785
回答下列問題．
(1)實驗中輕細繩所懸掛鉤碼重力勢能的減少量為________J(保留3位有效數(shù)字).
(2)步驟④中的數(shù)據(jù)所缺數(shù)據(jù)為________．
(3)以M為橫軸，ΔE為縱軸，選擇合適的標度，在圖乙中繪出ΔE M圖像．
乙
(4)若系統(tǒng)總機械能的減少量等于克服摩擦力做的功，則滑塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為________(保留2位有效數(shù)字).
14．(12分)如圖所示，露天娛樂場空中列車由許多節(jié)完全相同的車廂組成，列車先沿光滑水平軌道行駛，然后滑上一固定的半徑為R的空中圓形光滑軌道，若列車全長為L(L>2πR)，R遠大于一節(jié)車廂的長度和高度，那么列車在運行到圓形軌道前的速度至少要多大，才能使整個列車安全通過固定的圓形軌道(車廂間的距離不計)
15．(13分)一個小孩蕩秋千，已知小孩的質(zhì)量為40 kg，秋千底板質(zhì)量為20 kg，每根系秋千的繩子長為4 m，每根繩能承受的最大張力是450 N．如圖，當秋千底板擺到最低點時，速度為3 m/s.(g取10 m/s2，小孩當作質(zhì)點處理，繩的質(zhì)量不計)
(1)在最低點時，小孩對秋千板的壓力是多少？每根繩子受到拉力T是多少？
(2)為了安全，小孩擺起的高度(相對最低點)不能超過多少米？
16．(15分)如圖所示是質(zhì)量可忽略不計的秋千，懸點O離地面高度H＝2 m.質(zhì)量m＝5 kg的小猴(可視為質(zhì)點)趴在秋千上，它到懸點O的距離l1＝1.6 m．飼養(yǎng)員在圖中左側推秋千，每次做功都為W＝5 J．秋千首次從最低點被推動，以后每次推動都是在秋千蕩回左側速度為零時進行．若不計空氣阻力，則：(g取10 m/s2)
(1)經(jīng)1次推動，小猴蕩起的最高點比最低點高多少？
(2)經(jīng)多少次推動，小猴經(jīng)過最低點的速度v＝4 m/s
(3)某次小猴向右經(jīng)過最低點時，一個掛在秋千繩上C點的金屬小飾物恰好脫落，并落在地上D點．D到C的小平距離x＝0.96 m，C到O的距離l2＝1.28 m，則小猴此次經(jīng)過最低點時對秋千的作用力多大？

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