資源簡介

新教材 湘教版2019版數學選擇性必修第一冊
第4章知識點清單
目錄
第4章　計數原理
4. 1　兩個計數原理
4. 2　排列
4. 3 組合
4. 4 二項式定理
第4章　計數原理
4. 1　兩個計數原理
一、兩個計數原理的理解
計數原理 分類加法計數原理 分步乘法計數原理
相同點 兩個計數原理都可以用來計算完成某件事的方法種數，最終的目的都是完成某件事
不同點 1. 完成一件事有n類辦法，這n類
辦法之間是彼此獨立的. 2. 每一類中的每一種方法都能獨立完成這件事. 3. 把各類辦法中的方法數相加就是完成這件事的所有方法數 1. 完成一件事需要若干個步驟，完成每個步驟又有若干種方法. 2. 只有每個步驟都完成了才算完成這件事，每個步驟缺一不可. 3. 把完成每個步驟的方法數相乘就是完成這件事的所有方法數
注意點 類類獨立，不重不漏 步步相依，步驟完整
二、兩個計數原理的選擇與應用
1. 合理選擇兩個計數原理
當完成一件事可以分為相互排斥的幾類時，選擇分類加法計數原理；
當完成一件事可以分為幾個相互關聯的步驟時，選擇分步乘法計數原理. 在求解過程中要注意列舉法、樹狀圖法、間接法等的靈活應用.
2. 類中有步，步中有類問題

　　從A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5種方法.

　　從A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)種方法.
“類”用“+”連接，“步”用“×”連接，“類”獨立，“步”連續，“類”標志一件事的完成，“步”則缺一不可.
三、涂色問題
1. 涂色問題的兩種解決方案
(1)選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，應用分步乘法計數原理進行計算；
(2)先根據涂色時所用顏色種數進行分類處理，再在每一類的涂色方法數的計算中應用分步乘法計數原理，最后根據分類加法計數原理對每一類的涂色方法數求和，即得到最終的涂色方法數.
4. 2　排列 4. 3 組合
一、排列與組合概念的理解
1. 排列的定義包含兩個過程：(1)取出元素：從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素(可分成m步，一步取一個、不放回地取)；(2)按序排列：把這m個不同的元素按照一定的順序排成一列. 因此，兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素及其排列順序完全相同.
2. 組合是從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，不論次序地構成一組. 兩個
組合相同，當且僅當這兩個組合的元素完全相同.
二、排列數公式與組合數公式
1. 排列數公式
(1)=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(常用來求值)；
(2)=(常用來化簡或證明).
2. 組合數公式
(1)==；
(2)=；
(3)=（反映對稱性，當m>時，通常將轉化為）；
(4)=+.
三、 與排列數、組合數有關的計算
1. 求解此類問題時要注意對公式的選擇與靈活應用.
2. 解有關排列數、組合數的方程或不等式的步驟
四、有限制條件的排列問題
1. “在”與“不在”問題
　　解決此類問題，常用的方法是特殊位置(元素)分析法，遵循的原則是優先排特殊位置(元素)，即需先滿足特殊位置(元素)的要求，再處理其他位置(元素)，如果有兩個及以上的約束條件，那么在考慮一個約束條件的同時要兼顧其他條件；當直接求解困難時，可考慮用間接法解題.
2. “相鄰”與“不相鄰”問題
(1)當元素被要求相鄰時，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體并與其他元素進行排列.
(2)當元素被要求不相鄰時，通常采用“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰元素插在前面元素形成的空中.
3. “定序”問題
　在排列問題中，某些元素已排定了順序，對這些元素進行排列時，不再考慮其順序. 在具體的計算過程中，可采用“除階乘法”解決，即n個元素的全排列中有m(m≤n)個元素的順序固定，則滿足題意的排法有種.
五、分組與分配問題
1. 分組問題的求解策略
(1)非均勻不編號分組：將n個不同元素分成m(m≤n)組，每組元素數目均不相等，依
次記為m1，m2，…，mm，不考慮各組間的順序，不管是否分盡，分法種數N=··
·…·.
(2)均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m(m≤n)組，假定其中r組元素個
數相等，不管是否分盡，其分法種數為(其中N為非均勻不編號分組中的分法種
數). 若再有k組均勻分組，則應再除以.
(3)非均勻編號分組：將n個不同元素分成m(m≤n)組，各組元素數目均不相等，且考
慮各組間的順序，其分法種數為N·(其中N為非均勻不編號分組中的分法種數).
(4)均勻編號分組：將n個不同元素分成m(m≤n)組，其中r組元素個數相等且考慮各
組間的順序，其分法種數為·(其中N為非均勻不編號分組中的分法種數).
2. 相同元素分配問題的處理策略
(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，那么可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”. 每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此方法稱為隔板法. 隔板法專門用于解決相同元素的分配問題.
(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有種方法. 可理解為(n-1)個
空中插入(m-1)塊板.
六、排列、組合的綜合問題
1. 解決排列、組合問題首先要區分是排列問題還是組合問題，有序則用排列知識求解，無序則用組合知識求解，要遵循兩個原則：
(1)按元素(或位置)的性質進行分類；
(2)按事情發生的過程進行分步.
4. 4 二項式定理
一、二項式定理及相關概念
1. 公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn稱為二項式定理.
(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N+)叫作二項式系數，在定理中，令a=1，b=x，
則得到公式(1+x)n=+x+x2+…+xr+…+xn.
2. 二項展開式的通項為Tr+1=an-rbr，它是(a+b)n展開式的第(r+1)項.
二、二項式系數的有關性質
1. 對稱性
　　在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即=.
2. 單調性和最大值
二項式系數從兩端向中間逐漸增大，
當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大；
當n為奇數時，中間兩項的二項式系數，相等，且同時取得最大值.
3. 各二項式系數的和
(1)++…+=2n；
(2)+++…=+++…=2n-1.
三、求二項展開式中的特定項(項的系數)
1. 對于常數項，隱含的條件是字母的指數為0.
2. 對于有理項，一般先寫出展開式的通項，然后令其所有的字母的指數都等于整數. 求解時必須合并通項中同一字母的指數，根據具體要求，令其為整數，再根據數的整除性來求解.
3. 對于整式項，其通項中同一字母的指數合并后應是非負整數，求解方式與求有理項一致.
四、三項展開式問題
1. 求三項式中特定項的方法
(1)因式分解法：先通過因式分解將三項式變成兩個二項式，然后用二項式定理分別展開.
(2)逐層展開法：先將三項式分成兩組，用二項式定理展開，再把其中含兩項的展開.
(3)利用組合知識：把三項式(a+b+c)n看成n個(a+b+c)的積，利用組合知識分析項的構成，注意最后把各個同類項合并.
五、賦值法求展開式中的系數和
1. 賦值法是解決展開式中系數或展開式中系數的和、差問題的常用方法. 要根據所求，靈活地對字母賦值，通常賦的值為0，-1或1.
(1)對形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a，b，c∈R，m，n∈N+)的式子，常令x=1；
對形如(ax+by)n(a，b∈R，n∈N+)的式子，常令x=y=1.
(2)一般地，令f(x)=(ax+b)n，即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，
則(ax+b)n的展開式中各項系數之和為f(1)；
奇數項系數之和為a0+a2+a4+…=；
偶數項系數之和為a1+a3+a5+…=.
六、二項式系數的性質及應用
1. 求展開式中二項式系數最大的項時，可直接根據性質求解.
2. 求二項展開式中系數的最值問題有兩種思路：(1)看成關于n的函數，結合函數的單調性判斷系數的增減性，從而求出系數的最值；(2)在系數均為正值的前提下，求它們的最大值只需比較相鄰兩個系數的大小，根據其展開式的通項列出不等式(組)即可.
3. 根據二項式系數的性質求參數時，關鍵是正確列出與參數有關的式子，然后解此關系式即可. 必要時，需檢驗所求參數是否符合題目要求.
七、楊輝三角問題
1. 解決與楊輝三角有關的問題的一般思路

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