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專題06 用空間向量研究距離、夾角問題10種常見考法歸類
1．空間角的向量求法
角的分類 向量求法 范圍
兩異面直線l1與l2所成的角為θ 設l1與l2的方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos|＝
直線l與平面α所成的角為θ 設l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos|＝
平面α與平面β的夾角為θ 設平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cos θ＝|cos|＝
2．空間距離的向量求法
分類 向量求法
兩點距 設A、B為空間中的任意兩點，則d＝|AB| （注：設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)為空間中任意兩點，則d＝||＝＝）
點線距 設直線l的單位方向向量為u，A∈l，Pl，設＝a，則點P到直線l的距離d＝
點面距 已知平面α的法向量為n，A∈α，Pα，則點P到平面α的距離為d＝
3．空間距離的定義
(1)圖形與圖形的距離：一個圖形內的任一點與另一圖形內的任一點的距離中的最小值叫做圖形與圖形的距離．
(2)點到平面的距離：一點到它在一個平面內正射影的距離，叫做點到這個平面的距離．
(3)直線與其平行平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離，叫做直線與平面的距離．
(4)兩個平行平面的距離：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線．夾在平行平面間的部分，叫做兩個平面的公垂線段．兩平行平面的公垂線段的長度，叫做兩平行平面的距離．
4.求點到平面的距離的四步驟
注：線面距、面面距實質上都是求點面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行．　
5.求點到平面的距離的常用方法
(1)直接法：過P點作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面α的距離．
(2)轉化法：若點P所在的直線l平行于平面α，則轉化為直線l上某一個點到平面α的距離來求．
(3)等體積法：求點面距離可以轉化為求三棱錐的高，如四面體中點A到平面BCD的距離，用等體積法求得h＝.
(4)向量法：設平面α的一個法向量為n，A是α內任意點，則點P到α的距離為d＝.
6．向量法求空間距離的注意點
(1)數形結合：利用向量法求空間距離時，一定要注意結合圖形分析，再利用向量求解．
(2)向量式的共同點：空間兩幾何元素(點、直線、平面)之間的距離，除兩點間距離及點線距外都具有相同的表達形式．設平面的法向量為n(求異面直線間的距離時，取與兩異面直線都垂直的向量為n)，求距離的兩幾何圖形上各取一點A，B，則距離d＝.(如圖)
(3)特殊性：求距離還常采用等積變換法或歸結為解直角三角形．利用向量法實際取點時，要選取方便，容易計算的．
7.求異面直線所成的角主要方法有兩種：
一是向量法，根據幾何體的特殊性質建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；
注：用坐標法求異面直線所成角的一般步驟
(1)建立空間直角坐標系；
(2)分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標；
(3)利用向量的夾角公式計算兩條直線的方向向量的夾角；
(4)結合異面直線所成角的范圍求出異面直線所成的角．
二是傳統法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質求解．
8．兩條異面直線所成的角的兩個關注點
(1)余弦值非負：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負值，而對應的方向向量的夾角可能為鈍角．
(2)范圍：異面直線所成的角θ∈，故兩直線的方向向量夾角α的余弦值為負時，應取其絕對值．
9.求直線與平面的夾角的思路與步驟
思路一：找直線在平面內的射影，充分利用面與面垂直的性質及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數值)．
思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量．利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟．
(1)建立空間直角坐標系；
(2)求直線的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)計算：設線面角為θ，則sin θ＝.
10.求線面角的兩種方法
(1)將線面角轉化為線線角．根據直線與平面所成角的定義，確定出待求角，轉化為兩條直線所成的角來求解，此時要注意兩直線所成角的取值范圍．
(2)向量法．設直線AP的方向向量為a，平面α的法向量為n，所求直線與平面所成的角為θ(θ∈[0，])，a與n的夾角為φ，則
sinθ＝|cosφ|＝.求解步驟如下：
①分析圖形關系，建立空間直角坐標系；
②求出直線的方向向量a和平面的法向量n；
③計算：設線面角為θ，則sin θ＝；
④判斷直線和平面所成的角θ和〈a，n〉的關系，求出角θ.
11.二面角與平面的夾角區別和聯系
（1）二面角的范圍為[0，π]，而兩個平面的夾角是不大于直角的角，范圍是.
（2）兩平面的夾角與二面角的兩個半平面的法向量所成的角的關系：兩平面的法向量分別為u，v，若〈u，v〉為銳角時，兩平面的夾角等于〈u，v〉，若〈u，v〉為鈍角時，兩平面的夾角等于π－〈u，v〉．
12.利用向量法求兩平面夾角的步驟
(1)建立空間直角坐標系；
(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；
(3)求兩個法向量的夾角；
(4)法向量夾角或其補角就是兩平面的夾角(不大于90°的角)．
13.求二面角的兩種思路
（1）若AB，CD分別是二面角α l β的兩個平面α，β內與棱l垂直的異面直線，則向量與的夾角就是二面角的平面角(如圖)，可利用公式cos〈，〉＝求二面角．
（2）設n1，n2分別是二面角α l β的兩個半平面α，β所在平面的法向量，則向量n1與n2的夾角或其補角就是二面角的平面角(如圖所示)．
而我們做題時經常用第二種思路．
利用法向量求二面角的大小的一般步驟如下．
①建系：依據幾何條件建立適當的空間直角坐標系．
②求法向量：在建立的坐標系下求兩個面的法向量n1，n2.
③計算：求n1與n2所成銳角θ，cos θ＝.
④定值：若二面角為銳角，則為θ；若二面角為鈍角，則為π－θ.
注：確定二面角的平面角的大小，方法有：①根據幾何圖形直觀判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，從而決定其余弦值的正負；②依據“同進同出互補，一進一出相等”求解；③在二面角的一個半平面內取一點P，過P點作另一個半平面所在平面的垂線，若垂足在另一個半平面內，則所求二面角為銳角，若垂足在另一個半平面的反向延長面上，則所求二面角為鈍角．
圖示如下：
條件 平面α，β的法向量分別為u，v，α，β所構成的二面角的大小為θ，〈u，v〉＝φ
圖形
關系 θ＝φ θ＝π－φ
計算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ
14．向量法求空間角的一般步驟
(1)向量表示
法一：選不共面的三個向量為基底，進行基底表示；法二：建立適當的坐標系進行坐標表示．求出直線a、b的方向向量a、b，平面α、β的法向量m、n.
(2)向量運算
①求直線a、b所成的角，計算cos〈a，b〉；
②求直線a與平面α所成的角，計算cos〈a，m〉；
③求兩個平面的夾角的大小，計算cos〈m，n〉．
(3)解釋結論
①由于直線a、b所成角θ∈，故cos θ＝|cos〈a，b〉|.
②直線a與平面α所成角θ∈，由圖形知〈a，m〉與θ的余角相等或互補，故sin θ＝|cos〈a，b〉|.
③兩個平面的夾角為不大于直角的角，范圍θ∈，故cos θ＝|cos〈m，n〉
考點一 求點到直線的距離
（一）點到直線的距離
（二）兩平行線間的距離
考點二 求點到平面的距離
（一）點到平面距離
（二）直線到平面的距離
（三）平行平面間的距離
（四）異面直線的距離
考點三 有關距離的探索性問題
考點四 求兩條異面直線所成的角
考點五 已知線線角求其他量
考點六 求直線與平面所成的角
考點七 已知線面角求其他量
考點八 求平面與平面的夾角
（一）平面與平面的夾角
（二）二面角
考點九 已知面面角求其他量
考點十 有關夾角的探索性問題
考點一 求點到直線的距離
（一）點到直線的距離
1．（2023·全國·高二專題練習）已知空間三點，則點到直線的距離為 ．
2．（2023秋·高二課時練習）已知直線l的一個方向向量為，若點為直線l外一點，為直線l上一點，則點P到直線l的距離為 .
3．（2023春·江西贛州·高二上猶中學校考期末）已知四棱錐的底面為正方形，平面，，點是的中點，則點到直線的距離是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江溫州·統考三模）四面體滿足，點在棱上，且，點為的重心，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是 ．
6．（2023秋·高二課時練習）如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長為2，，，且，異面直線PB與CD所成的角為.

(1)求證:平面ABCD;
(2)若E是線段OC的中點，求點E到直線BP的距離.
7．（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學校考期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為的中點，是棱上兩點（在的上方），且.

(1)若，求證：平面；
(2)當點到平面的距離取得最大值時，求的長.
8．（2023·吉林·統考模擬預測）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.
(1)若平面平面，求證： ；
(2)若點是的中點，求點到直線的距離的取值范圍.
（二）兩平行線間的距離
9．（2023秋·山東濟寧·高二濟寧市育才中學校考階段練習）在棱長為2的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為 .
10．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段的中點．
（1）求點到直線的距離；
（2）求直線到直線的距離；
（3）求點到平面的距離；
（4）求直線到平面的距離．
考點二 求點到平面的距離
11．（2023春·甘肅臨夏·高二統考期末）如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，點在邊上，且，為的中點．以，，分別為軸，軸，軸的正方向，井以1為單位長度，建立空間直角坐標系，求：

(1)直線的一個方向向量；
(2)點到平面的距離．
12．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點，，則點到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
13．（2023春·江西·高二贛州市第四中學校考期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，、分別為、的中點．

(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
14．（2023春·云南楚雄·高二統考期中）如圖，在正三棱柱中，是線段上靠近點的一個三等分點，是的中點．

(1)證明：平面；
(2)若，求點到平面的距離．
15．（2023春·江蘇南京·高二統考期末）如圖，在三棱柱中，平面，，點為中點.

(1)求證：平面；
(2)求點到直線的距離.
16．【多選】（2023春·江蘇鎮江·高二江蘇省鎮江中學校考期末）已知正方體的邊長為1，點分別是棱的中點，下列說法正確的有（ ）
A．
B．平面
C．平面截正方體的截面面積為
D．到平面的距離為
（二）直線到平面的距離
17．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．
(1)求點到平面的距離為；
(2)求到平面的距離．
18．【多選】（2023·高二課時練習）在棱長為1的正方體中，下列結論正確的是（ ）
A．異面直線AC與所成的角為
B．是平面的一個法向量
C．直線到平面的距離為
D．平面與平面間的距離為
（三）平行平面間的距離
19．（2023·全國·高三專題練習）若兩平行平面、分別經過坐標原點O和點，且兩平面的一個法向量為，則兩平面間的距離是 ．
20．（2023春·高二課時練習）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為 .
21．（2023秋·高二課時練習）已知正方體的棱長為4，設M、N、E、F分別是，的中點，求平面AMN與平面EFBD的距離．
22．（2023春·高二課時練習）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側棱，分別為的中點，分別是的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面的距離．
（四）異面直線的距離
23．（2023·北京石景山·校考模擬預測）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，則點P到直線AC的距離的最小值為（　　）

A．1 B． C． D．
24．（2023秋·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）如圖是一棱長為的正方體，則異面直線與之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
25．（2023春·高二課時練習）如圖，在長方體中，，，求：
(1)點到直線BD的距離；
(2)點到平面的距離；
(3)異面直線之間的距離.
26．（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，，頂點在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動點，則P，Q兩點間距離的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
考點三 有關距離的探索性問題
27．（2023·全國·高三專題練習）已知直三棱柱中，側面為正方形.，E，F分別為AC和的中點，.
(1)求四棱錐的體積；
(2)是否存在點D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1 若存在，求出此時線段DE的長；若不存在，請說明理由.
28．（2023秋·江蘇·高二專題練習）如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面，是的中點．
（1）求平面和平面夾角的余弦值；
（2）在線段（含端點）上是否存在點，使點到平面的距離為？請說明理由．
29．（2023秋·江蘇宿遷·高三沭陽縣建陵高級中學校考階段練習）如圖，在三棱錐中，平面平面， ，為的中點．
(1)證明：；
(2)已知是邊長為1的等邊三角形，且三棱錐的體積為，若點在棱上，且點到平面的距離為，求．
考點四 求兩條異面直線所成的角
30．（2023春·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；
(2)若，求與所成角的余弦值.
31．（2023春·江西贛州·高二江西省尋烏中學校考階段練習）如圖，設在直三棱柱中，，，E，F依次為的中點．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；
(2)求點到平面AEF的距離．
32．（2023秋·北京西城·高二北京市第三十五中學校考期中）已知四棱錐中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中點.

(1)求直線BD與直線PC所成角的余弦值；
(2)求證：平面
(3)求點到平面的距離.
33．（2023春·浙江溫州·高二統考學業考試）已知直三棱柱，各棱長均為，為的中點，為的中點．
(1)求直三棱柱的體積；
(2)求證：平面；
(3)求異面直線與所成角的余弦值．
34．（2023秋·安徽蚌埠·高二統考期末）在三棱錐中，平面，平面平面.

(1)證明：平面；
(2)若為中點，求向量與夾角的余弦值.
考點五 已知線線角求其他量
35．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）如圖，在三棱錐中，底面，.點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，.

(1)求證：平面；
(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．
36．（2023秋·浙江紹興·高三紹興一中校考階段練習）如圖，三棱錐中，底面于B，∠BCA＝90°，，點E是PC的中點．

(1)求證：側面PAC⊥平面PBC；
(2)若異面直線AE與PB所成的角為θ，且，求平面ABC與平面ABE所成角的大小．
37．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，點是線段上的動點.
(1)證明：平面平面；
(2)若點在線段上，，且異面直線與成30°角，求平面和平面夾角的余弦值.
38．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區第一中學校考階段練習）為正方體，動點P在對角線上，記．
(1)求證：；
(2)若異面直線AP與所成角為，求的值．
考點六 求直線與平面所成的角
39．（2023春·江西九江·高二校考期末）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
40．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學校考期末）如圖所示，在三棱錐C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中點，.

(1)證明：平面CBD⊥平面ABD；
(2)求直線BC與平面ACD所成角的正弦值．
41．（2023·廣東深圳·統考二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.

(1)證明：；
(2)設的中點為，點在棱上（異于點，，且，求直線與平面所成角的正弦值.
42．（2024·江西·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點是的中點.

(1)證明：；
(2)求直線與平面所成的角的正弦值.
43．（2023·江蘇揚州·統考模擬預測）如圖，平行六面體的體積為6，截面的面積為6．

(1)求點到平面的距離；
(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值．
考點七 已知線面角求其他量
44．（江西省新余市2022-2023學年高二下學期期末數學試題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點，為線段上的動點.

(1)證明：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.
45．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖,在直三棱柱中,是以為斜邊的等腰直角三角形，,分別為上的點,且.

(1)若,求證:平面;
(2)若,直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
46．（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，.

(1)證明：平面平面；
(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點E在線段上滿足，求二面角的余弦值.
47．（2023·福建漳州·統考模擬預測）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，平面，，，，分別為，的中點，平面與平面的交線為，在圓上.

(1)在圖中作出交線（說明畫法，不必證明），并求三棱錐的體積；
(2)若點滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.
考點八 求平面與平面的夾角
平面與平面的夾角
48．（2023·天津·統考模擬預測）如圖，在四棱錐中，平而為的中點，在上，且
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值；
(3)點是線段上異于兩端點的任意一點，若滿足異面直線與所成角的余弦值為，求的長．
49．（2023秋·湖北武漢·高二華中科技大學附屬中學階段練習）如圖，在等腰直角三角形中，，，，，分別是，上的點，且，，分別為，的中點，現將沿折起，得到四棱錐，連結．
(1)證明：平面；
(2)在翻折的過程中，當時，求平面與平面夾角的余弦值．
50．（福建省廈門市2022-2023學年高二下學期期末質量檢測數學試題）如圖所示，在三棱柱中，是正三角形，D為棱AC的中點，，平面交于點E.

(1)證明：四邊形是矩形
(2)若，，求平面與平面的夾角的余弦值.
51．（2023春·云南昆明·高二統考期末）如圖，三棱柱中，是的中點，平面.

(1)求證：；
(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.
52．（2023春·江蘇鎮江·高二江蘇省鎮江中學校考期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面是的中點.

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.
（二）二面角
53．（2023秋·天津河西·高二天津實驗中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，底面 ,點為棱的中點．

(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值．
54．（2023春·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學校聯考期末）如圖，已知五面體中，四邊形為矩形，為直角梯形，．

(1)求證：平面平面；
(2)若為中點，求二面角的余弦值．
55．（2023春·貴州黔東南·高二統考期末）在四棱錐中，底面是矩形，分別是棱的中點.

(1)證明：平面；
(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.
56．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預測）如圖，在三棱柱中，，．

(1)證明：；
(2)若，，，求二面角的余弦值．
考點九 已知面面角求其他量
57．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點為弧的中點，且，，，四點共面.

(1)證明：平面平面；
(2)若平面與平面所成二面角的余弦值為，且線段長度為2，求點到直線的距離.
58．（2023春·福建·高二校聯考期末）如圖，在正三棱柱中，點在棱上，且.

(1)求證：平面；
(2)若正三棱柱的底面邊長為，二面角的大小為，求直線到平面的距離.
59．（2023·浙江·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；
(2)若為側棱的中點，且平面與平面所成角的余弦值為，求點到平面的距離．
60．（2023·河北衡水·衡水市第二中學校考三模）如圖，在四棱錐中，，，，.

(1)證明：平面平面；
(2)已知，，.若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.
61．（2023春·河南安陽·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，，.

(1)證明：平面平面ABCD；
(2)若平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為，求直線PD與底面ABCD所成角的正切值.
考點十 有關夾角的探索性問題
62．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，，F，G分別是PB，AD的中點．
(1)求證：平面PCB；
(2)在AP上是否存在一點M，使得DM與PC所成角為60°？若存在，求出M點的位置，若不存在，請說明理由．
63．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區南陽中學校考階段練習）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．
(1)求證：平面；
(2)求點到直線的距離；
(3)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說明理由．
64．（2023春·河南焦作·高二溫縣第一高級中學校考階段練習）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，=2，.
(1)求點C到平面的距離；
(2)線段上是否存在點F，使與平面所成角正弦值為，若存在，求出，若不存在，說明理由.
65．（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側面為菱形，點在底面上的投影為AC的中點，且．
(1)求證：；
(2)求點到側面的距離；
(3)在線段上是否存在點，使得直線DE與側面所成角的正弦值為？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．
66．（2023秋·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，.

(1)取的中點N，求證：平面；
(2)求直線與所成角的余弦值.
(3)在線段上，是否存在一點M，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為 如果存在，求出與平面所成角的大小；如果不存在，請說明理由.
67．（2023春·福建寧德·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，．

(1)證明：平面平面；
(2)已知，在線段上是否存在一點，使得二面角的平面角為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．專題06 用空間向量研究距離、夾角問題10種常見考法歸類
1．空間角的向量求法
角的分類 向量求法 范圍
兩異面直線l1與l2所成的角為θ 設l1與l2的方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos|＝
直線l與平面α所成的角為θ 設l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos|＝
平面α與平面β的夾角為θ 設平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cos θ＝|cos|＝
2．空間距離的向量求法
分類 向量求法
兩點距 設A、B為空間中的任意兩點，則d＝|AB| （注：設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)為空間中任意兩點，則d＝||＝＝）
點線距 設直線l的單位方向向量為u，A∈l，Pl，設＝a，則點P到直線l的距離d＝
點面距 已知平面α的法向量為n，A∈α，Pα，則點P到平面α的距離為d＝
3．空間距離的定義
(1)圖形與圖形的距離：一個圖形內的任一點與另一圖形內的任一點的距離中的最小值叫做圖形與圖形的距離．
(2)點到平面的距離：一點到它在一個平面內正射影的距離，叫做點到這個平面的距離．
(3)直線與其平行平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離，叫做直線與平面的距離．
(4)兩個平行平面的距離：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線．夾在平行平面間的部分，叫做兩個平面的公垂線段．兩平行平面的公垂線段的長度，叫做兩平行平面的距離．
4.求點到平面的距離的四步驟
注：線面距、面面距實質上都是求點面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行．　
5.求點到平面的距離的常用方法
(1)直接法：過P點作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面α的距離．
(2)轉化法：若點P所在的直線l平行于平面α，則轉化為直線l上某一個點到平面α的距離來求．
(3)等體積法：求點面距離可以轉化為求三棱錐的高，如四面體中點A到平面BCD的距離，用等體積法求得h＝.
(4)向量法：設平面α的一個法向量為n，A是α內任意點，則點P到α的距離為d＝.
6．向量法求空間距離的注意點
(1)數形結合：利用向量法求空間距離時，一定要注意結合圖形分析，再利用向量求解．
(2)向量式的共同點：空間兩幾何元素(點、直線、平面)之間的距離，除兩點間距離及點線距外都具有相同的表達形式．設平面的法向量為n(求異面直線間的距離時，取與兩異面直線都垂直的向量為n)，求距離的兩幾何圖形上各取一點A，B，則距離d＝.(如圖)
(3)特殊性：求距離還常采用等積變換法或歸結為解直角三角形．利用向量法實際取點時，要選取方便，容易計算的．
7.求異面直線所成的角主要方法有兩種：
一是向量法，根據幾何體的特殊性質建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；
注：用坐標法求異面直線所成角的一般步驟
(1)建立空間直角坐標系；
(2)分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標；
(3)利用向量的夾角公式計算兩條直線的方向向量的夾角；
(4)結合異面直線所成角的范圍求出異面直線所成的角．
二是傳統法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質求解．
8．兩條異面直線所成的角的兩個關注點
(1)余弦值非負：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負值，而對應的方向向量的夾角可能為鈍角．
(2)范圍：異面直線所成的角θ∈，故兩直線的方向向量夾角α的余弦值為負時，應取其絕對值．
9.求直線與平面的夾角的思路與步驟
思路一：找直線在平面內的射影，充分利用面與面垂直的性質及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數值)．
思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量．利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟．
(1)建立空間直角坐標系；
(2)求直線的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)計算：設線面角為θ，則sin θ＝.
10.求線面角的兩種方法
(1)將線面角轉化為線線角．根據直線與平面所成角的定義，確定出待求角，轉化為兩條直線所成的角來求解，此時要注意兩直線所成角的取值范圍．
(2)向量法．設直線AP的方向向量為a，平面α的法向量為n，所求直線與平面所成的角為θ(θ∈[0，])，a與n的夾角為φ，則
sinθ＝|cosφ|＝.求解步驟如下：
①分析圖形關系，建立空間直角坐標系；
②求出直線的方向向量a和平面的法向量n；
③計算：設線面角為θ，則sin θ＝；
④判斷直線和平面所成的角θ和〈a，n〉的關系，求出角θ.
11.二面角與平面的夾角區別和聯系
（1）二面角的范圍為[0，π]，而兩個平面的夾角是不大于直角的角，范圍是.
（2）兩平面的夾角與二面角的兩個半平面的法向量所成的角的關系：兩平面的法向量分別為u，v，若〈u，v〉為銳角時，兩平面的夾角等于〈u，v〉，若〈u，v〉為鈍角時，兩平面的夾角等于π－〈u，v〉．
12.利用向量法求兩平面夾角的步驟
(1)建立空間直角坐標系；
(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；
(3)求兩個法向量的夾角；
(4)法向量夾角或其補角就是兩平面的夾角(不大于90°的角)．
13.求二面角的兩種思路
（1）若AB，CD分別是二面角α l β的兩個平面α，β內與棱l垂直的異面直線，則向量與的夾角就是二面角的平面角(如圖)，可利用公式cos〈，〉＝求二面角．
（2）設n1，n2分別是二面角α l β的兩個半平面α，β所在平面的法向量，則向量n1與n2的夾角或其補角就是二面角的平面角(如圖所示)．
而我們做題時經常用第二種思路．
利用法向量求二面角的大小的一般步驟如下．
①建系：依據幾何條件建立適當的空間直角坐標系．
②求法向量：在建立的坐標系下求兩個面的法向量n1，n2.
③計算：求n1與n2所成銳角θ，cos θ＝.
④定值：若二面角為銳角，則為θ；若二面角為鈍角，則為π－θ.
注：確定二面角的平面角的大小，方法有：①根據幾何圖形直觀判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，從而決定其余弦值的正負；②依據“同進同出互補，一進一出相等”求解；③在二面角的一個半平面內取一點P，過P點作另一個半平面所在平面的垂線，若垂足在另一個半平面內，則所求二面角為銳角，若垂足在另一個半平面的反向延長面上，則所求二面角為鈍角．
圖示如下：
條件 平面α，β的法向量分別為u，v，α，β所構成的二面角的大小為θ，〈u，v〉＝φ
圖形
關系 θ＝φ θ＝π－φ
計算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ
14．向量法求空間角的一般步驟
(1)向量表示
法一：選不共面的三個向量為基底，進行基底表示；法二：建立適當的坐標系進行坐標表示．求出直線a、b的方向向量a、b，平面α、β的法向量m、n.
(2)向量運算
①求直線a、b所成的角，計算cos〈a，b〉；
②求直線a與平面α所成的角，計算cos〈a，m〉；
③求兩個平面的夾角的大小，計算cos〈m，n〉．
(3)解釋結論
①由于直線a、b所成角θ∈，故cos θ＝|cos〈a，b〉|.
②直線a與平面α所成角θ∈，由圖形知〈a，m〉與θ的余角相等或互補，故sin θ＝|cos〈a，b〉|.
③兩個平面的夾角為不大于直角的角，范圍θ∈，故cos θ＝|cos〈m，n〉
考點一 求點到直線的距離
（一）點到直線的距離
（二）兩平行線間的距離
考點二 求點到平面的距離
（一）點到平面距離
（二）直線到平面的距離
（三）平行平面間的距離
（四）異面直線的距離
考點三 有關距離的探索性問題
考點四 求兩條異面直線所成的角
考點五 已知線線角求其他量
考點六 求直線與平面所成的角
考點七 已知線面角求其他量
考點八 求平面與平面的夾角
（一）平面與平面的夾角
（二）二面角
考點九 已知面面角求其他量
考點十 有關夾角的探索性問題
考點一 求點到直線的距離
（一）點到直線的距離
1．（2023·全國·高二專題練習）已知空間三點，則點到直線的距離為 ．
【答案】
【分析】根據點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】易知，
則，，
故點到直線的距離為．
故答案為：.
2．（2023秋·高二課時練習）已知直線l的一個方向向量為，若點為直線l外一點，為直線l上一點，則點P到直線l的距離為 .
【答案】
【分析】根據空間中點到直線的距離公式求解即可.
【詳解】∵，，
∴，又，
∴，
∴，又，
∴點P到直線l的距離為.
故答案為:.
3．（2023春·江西贛州·高二上猶中學校考期末）已知四棱錐的底面為正方形，平面，，點是的中點，則點到直線的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用坐標法，根據點到直線的距離的向量求法即得.
【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，
所以，
所以，
所以點到直線的距離是.
故選：D.
4．（2023·浙江溫州·統考三模）四面體滿足，點在棱上，且，點為的重心，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，建立空間直角坐標系，再利用向量求出點到直線的距離作答.
【詳解】四面體滿足，即兩兩垂直，
以點O為原點，以射線的正方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，
因為，，則，
于是，，
所以點到直線的距離.
故選：A
5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是 ．
【答案】/
【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出、，進而可計算得出點到直線的距離為.
【詳解】因為平面，底面為正方形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則點、、，
，，，
所以，，
所以，的中點到直線的距離.
故答案為：.
6．（2023秋·高二課時練習）如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長為2，，，且，異面直線PB與CD所成的角為.

(1)求證:平面ABCD;
(2)若E是線段OC的中點，求點E到直線BP的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）根據線面垂直的性質定理、判定定理證明；
（2）利用空間向量的坐標運算，求點到直線的距離.
【詳解】（1）因為四邊形為菱形，所以,
因為，平面，
所以平面，
因為平面，所以,
因為，為中點，
所以，
又因為平面，
所以平面.
（2）以為原點，方向為軸方向，建系如圖，

因為,所以為異面直線所成的角，
所以，在菱形中，，
因為，所以,
設，則，
在中，由余弦定理得，，
所以，解得，
所以,
,
所以,
所以點E到直線BP的距離為.
7．（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學校考期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為的中點，是棱上兩點（在的上方），且.

(1)若，求證：平面；
(2)當點到平面的距離取得最大值時，求的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接交于，連接，證明，根據線面平行的判定定理即可證明結論；
（2）根據三棱錐的等體積法判斷要使點到平面的距離最大，則需的面積最小，即到的距離最小；建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，利用空間距離的向量求法，即可求得答案.
【詳解】（1）連接交于，連接，
因為為的中點，是正方形，
所以；
因為，所以，所以，
因為平面平面，所以平面；
（2）在四棱錐中，因為，所以的面積為定值，
又點A到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，
即三棱錐的體積為定值；
要使點到平面的距離最大，則需的面積最小，
即到的距離最小；
由題知，以A為坐標原點，為軸建立如圖空間直角坐標系，
則，
由于平面，平面，故,
而，故為等腰直角三角形，即；
設到的距離為，則，
，
故到的距離為，
對于二次函數，其圖象對稱軸為，
當時，取到最小值，此時到的距離最小，
此時點到平面的距離最大，
所以.

8．（2023·吉林·統考模擬預測）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.
(1)若平面平面，求證： ；
(2)若點是的中點，求點到直線的距離的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意得到四邊形是平行四邊形，證得，進而證得平面，結合線面平行的性質定理，即可證得.
（2）取中點，以為原點，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，設，求得和向量，得到，且，結合點到直線的距離，即可求解.
【詳解】（1）證明：在梯形中，因為且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又因為平面，且平面，所以平面，
因為平面，且平面平面，所以.
（2）解：取中點，連接，因為是等邊三角形，可得
以為原點，所在直線為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
設，
則，
所以，，，且，
則點到直線的距離
因為，所以當時，；
當時，，所以點到直線的距離的取值范圍是.
（二）兩平行線間的距離
9．（2023秋·山東濟寧·高二濟寧市育才中學校考階段練習）在棱長為2的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為 .
【答案】
【分析】建立合適的空間直角坐標系，寫出相關點坐標，將直線到直線的距離轉化為到的距離，利用空間向量點到直線的距離公式即可得到答案.
【詳解】以為原點分別為軸,軸,軸建立空間坐標系,則由題意得,,,
,,,故，
點到的距離就是到的距離,,
.
故答案為：.
10．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段的中點．
（1）求點到直線的距離；
（2）求直線到直線的距離；
（3）求點到平面的距離；
（4）求直線到平面的距離．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）建立坐標系，求出向量在單位向量上的投影，結合勾股定理可得點到直線的距離；
（2）先證明再轉化為點到直線的距離求解；
（3）求解平面的法向量，利用點到平面的距離公式進行求解；
（4）把直線到平面的距離轉化為到平面的距離，利用法向量進行求解.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
（1）
因為，
所以.
所以點到直線的距離為.
（2）因為所以，即
所以點到直線的距離即為直線到直線的距離.
所以直線到直線的距離為
（3）設平面的一個法向量為，
.
由
令，則，即.
設點到平面的距離為，
則，即點到平面的距離為.
（4）因為所以平面，
所以直線到平面的距離等于到平面的距離.
，由（3）得平面的一個法向量為，
所以到平面的距離為，
所以直線到平面的距離為.
考點二 求點到平面的距離
11．（2023春·甘肅臨夏·高二統考期末）如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，點在邊上，且，為的中點．以，，分別為軸，軸，軸的正方向，井以1為單位長度，建立空間直角坐標系，求：

(1)直線的一個方向向量；
(2)點到平面的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意得到點的坐標，可得直線的一個方向向量；
（2）根據點面距的向量公式可求出結果.
【詳解】（1）依題意得，，
所以為直線的一個方向向量.
（2），，， ，
設平面的一個法向量為，
則，取，得，，則，
所以點到平面的距離為.
12．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點，，則點到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.
【詳解】如圖，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則，
因為是的中點，，
所以，
所以，．
設是平面的法向量，

則，令，得．
故點到平面的距離為．
故選：B
13．（2023春·江西·高二贛州市第四中學校考期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，、分別為、的中點．

(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取線段的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；
（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得點到平面的距離.
【詳解】（1）證明：取中點，連接、，
因為、分別為、的中點，則且，
因為四邊形為矩形，則且，
因為為的中點，所以，且，
所以，且，故四邊形為平行四邊形，故，
因為平面，平面，因此，平面.
（2）解：因為平面，底面為矩形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，
設平面的法向量為，，，
則，令，可得，
因為，故點到平面的距離為.
14．（2023春·云南楚雄·高二統考期中）如圖，在正三棱柱中，是線段上靠近點的一個三等分點，是的中點．

(1)證明：平面；
(2)若，求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取線段的中點，連接，記，連接，證明，，從而可證得平面平面，再根據面面平行的性質即可得證；
（2）取棱的中點，以為原點，分別以，的方向為，軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）取線段的中點，連接，記，連接，
因為，分別是，的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
由題意可知四邊形是矩形，則是的中點，
因為是的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為平面，且，所以平面平面，
因為平面，所以平面；
（2）取棱的中點，以為原點，分別以，的方向為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，所以，，，，
則，，，
設平面的法向量為，
則，令，則，所以，
故點到平面的距離．

15．（2023春·江蘇南京·高二統考期末）如圖，在三棱柱中，平面，，點為中點.

(1)求證：平面；
(2)求點到直線的距離.
【答案】(1)證明見解析.
(2) .
【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明.
（2）利用空間向量坐標法即可解決空間點到直線的距離問題.
【詳解】（1）證明：連接，交于點，則為中點.
因為點為中點，
所以，
因為，
所以平面；

（2）如圖,以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
可得，，
設夾角為，則，故可得，
又，設點到直線的距離為，則.

16．【多選】（2023春·江蘇鎮江·高二江蘇省鎮江中學校考期末）已知正方體的邊長為1，點分別是棱的中點，下列說法正確的有（ ）
A．
B．平面
C．平面截正方體的截面面積為
D．到平面的距離為
【答案】ACD
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則
所以，所以，故A正確，
,由于，故與不垂直，故與平面不可能垂直，故B錯誤，
分別取的中點，連接,則六邊形即為平面截正方體的截面，由于六邊形為邊長為的正六邊形，所以其面積為，故C正確，
設平面的法向量為，則
，取，則，所以，
又
所以點到平面的距離為，故D正確，
故選：ACD

（二）直線到平面的距離
17．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．
(1)求點到平面的距離為；
(2)求到平面的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求點到平面的距離為即可；
（2）利用法向量的來證明線面平行，將到平面的距離進行轉化為點到面的距離即可.
【詳解】（1）以為原點，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標系，
則，
所以，
設平面的一個法向量為，
則，
令，
所以平面所的法向量為，又
所以點到平面的距離.
（2）由（1）可得平面的法向量為，
∵，∴，
，
，
∴平面，
所以到平面的距離可以轉化為點到平面的距離，
由，
所以到平面的距離為.
18．【多選】（2023·高二課時練習）在棱長為1的正方體中，下列結論正確的是（ ）
A．異面直線AC與所成的角為
B．是平面的一個法向量
C．直線到平面的距離為
D．平面與平面間的距離為
【答案】ABD
【分析】對A，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量關系可求出；對B，說明平面即可；對C，等價于點到直線的距離；對D，根據向量關系可求出.
【詳解】如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則，
所以，，設異面直線AC與所成的角為，
則，因為，所以，故A正確；
在正方體中，平面，平面，
所以，又，，，，
所以平面，所以是平面的一個法向量，故B正確；
因為平面，所以直線平面，
則直線到平面的距離等于點到平面的距離，等于點到直線的距離，為，故C錯誤；
設平面的一個法向量，
則，即，所以，
則平面與平面間的距離，故D正確．
故選：ABD．
（三）平行平面間的距離
19．（2023·全國·高三專題練習）若兩平行平面、分別經過坐標原點O和點，且兩平面的一個法向量為，則兩平面間的距離是 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，結合平行平面距離的意義，利用空間向量計算作答.
【詳解】依題意，平行平面間的距離即為點O到平面的距離，
而，所以平行平面、間的距離.
故答案為：
20．（2023春·高二課時練習）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，計算平面AMN的一個法向量，然后使用等價轉化的思想，面面距轉為點面距，最后計算即可.
【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系Dxyz，
則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，
F(2，4，4)，N(4，2，4).
∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)，
∴，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
設=(x，y，z)是平面AMN的一個法向量，
則解得
取z=1，則x=2，y=-2，得=(2，2，1).
平面AMN到平面EFBD的距離就是點B到平面EFBD的距離.
∵=(0，4，0)，∴平面AMN與平面EFBD間的距離d=.
故答案為：
【點睛】本題考查面面距，使用數形結合，形象直觀，并采用向量的方法，將幾何問題代數化，便于計算，屬基礎題.
21．（2023秋·高二課時練習）已知正方體的棱長為4，設M、N、E、F分別是，的中點，求平面AMN與平面EFBD的距離．
【答案】
【分析】建立適當空間直角坐標系，求出平面EFBD的法向量，并證明平面平面EFBD.于是兩平面的距離轉化為點到平面的距離．利用向量距離公式求出即可.
【詳解】以D為坐標原點，以所在直線分別為x軸，y軸，z軸．
則，
.
設是平面EFBD的一個法向量，
則，即，解得，所以 ．
又因為，
所以，從而，所以平面，
所以平面平面EFBD，所以兩平面的距離即是點A到平面BDEF的距離．
從而兩平面間距離為．
22．（2023春·高二課時練習）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側棱，分別為的中點，分別是的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可證明；法二：如圖所示，建立空間直角坐標系，通過證明，再由面面平行的判定定理即可證明.
（2）法一: 平面與平面的距離到平面的距離,再由等體積法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面與平面的距離等于到平面的距離，由點到平面的距離公式即可求出答案.
【詳解】（1）法一:證明：連接分別為的中點，
分別是的中點，
，平面，平面，
平面，平行且等于，
是平行四邊形，，
平面，平面，平面，
，平面平面；
法二: 如圖所示，建立空間直角坐標系，

則，
，
，
，，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又，平面平面，
（2）法一:平面與平面的距離到平面的距離．
中，，，，
由等體積可得，．
法二:
設平面的一個法向量為，
則，則可取，
，
平面與平面的距離為
（四）異面直線的距離
23．（2023·北京石景山·校考模擬預測）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，則點P到直線AC的距離的最小值為（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】以D為坐標原點，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線距離可得.
【詳解】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，
以D為坐標原點，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），設P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），
，
設異面直線的公共法向量為，
則，取x＝1，得，
∴點P到直線AC的距離為：
，
點P到直線AC的距離的最小值為.
故選：C.

24．（2023秋·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）如圖是一棱長為的正方體，則異面直線與之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標系，求出與和垂直的向量坐標，求出異面直線間的距離.
【詳解】以D為原點，DA，DC，分別為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標系，
則，，設與和都垂直，
則，即，取，又因為，
所以異面直線和間的距離為.
故選：B.
25．（2023春·高二課時練習）如圖，在長方體中，，，求：
(1)點到直線BD的距離；
(2)點到平面的距離；
(3)異面直線之間的距離.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)建立空間直角坐標系，求直線的方向向量和向量的坐標，再求在上的投影向量的大小，結合勾股定理求點到直線BD的距離；(2)求平面的法向量，再求向量在向量上的投影的大小即可；(3)證明平面，利用向量方法求點到平面的距離即可.
【詳解】（1）以點為原點，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，因為，，則，，，，，
所以，，所以在上的投影向量的大小為，又，所以點到直線BD的距離；
（2）由(1) ，，，
設平面的法向量，則，所以，
取，可得，，所以是平面的一個法向量，向量在法向量上的投影為，所以點到平面的距離為；
（3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以異面直線之間的距離與點到平面的距離相等，設平面的法向量，因為，則，所以，
取，可得，，所以是平面的一個法向量，向量在法向量上的投影為，所以點到平面的距離為；故異面直線之間的距離為.
26．（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，，頂點在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動點，則P，Q兩點間距離的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】設是底面正的中心，平面，，以直線為軸，為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標系，P，Q兩點間距離的最小值即為異面直線與間的距離用空間向量法求異面直線的距離．
【詳解】如圖，是底面正的中心，平面，平面，則，
，則，又，，
，直線交于點，，
以直線為軸，為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，
，，，
，
設與和都垂直，
則，取，則，，
P，Q兩點間距離的最小值即為異面直線與間的距離等于．
故選：D．
考點三 有關距離的探索性問題
27．（2023·全國·高三專題練習）已知直三棱柱中，側面為正方形.，E，F分別為AC和的中點，.
(1)求四棱錐的體積；
(2)是否存在點D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1 若存在，求出此時線段DE的長；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)1
(2)存在，或
【分析】（1）找到四棱錐的高，利用四棱錐體積公式求出體積；
（2）根據題目中的條件建立空間直角坐標系，表達出與，均垂直的向量，進而利用異面直線BF，DE的距離為1建立等式求出a.
【詳解】（1）
∵側面為正方形，∴，
又，且，面，
∴平面，又，
∴平面，取BC中點G，
則，∴平面.
∴.
（2）以為原點，分別以BA，BC，所在直線建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，
設，則，，.
設與，均垂直的向量為，
則，即，取，
∴異面直線BF，DE的距離，解得或.
∴或.
故存在點D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1，且此時或.
28．（2023秋·江蘇·高二專題練習）如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面，是的中點．
（1）求平面和平面夾角的余弦值；
（2）在線段（含端點）上是否存在點，使點到平面的距離為？請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，理由見解析．
【分析】（1）建立空間直角坐標系，分別求兩個平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解；
（2）設，，，利用點到平面的向量距離公式，列出等式即得解
【詳解】（1）取的中點，連接，，則，，
平面，平面，
，，兩兩垂直，
如圖，以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，
則，2，，，2，，，2，，，0，，
，2，，，2，，，2，，
設平面的法向量，，，
則，取，得，1，，
設平面的法向量，，，
則，取，得，0，，
設平面和平面的夾角為，由圖知為銳角，
則，
平面和平面夾角的余弦值為．
（2）假設在線段（含端點）上是否存在點，使點到平面的距離為，
設，，，，則，，，
點到平面的距離為，，
解得（舍或，
在線段上存在點（端點處），使點到平面的距離為．
29．（2023秋·江蘇宿遷·高三沭陽縣建陵高級中學校考階段練習）如圖，在三棱錐中，平面平面， ，為的中點．
(1)證明：；
(2)已知是邊長為1的等邊三角形，且三棱錐的體積為，若點在棱上，且點到平面的距離為，求．
【答案】(1)證明過程見解析；
(2)2
【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，進而得到線線垂直；
（2）作出輔助線，建立空間直角坐標系，求出各點坐標，求出平面的法向量，從而利用點到平面的距離為，列出方程，求出答案.
【詳解】（1）因為，為的中點，
所以，
因為平面平面，交線為，平面，
所以平面，
因為平面，
所以.
（2）取OD的中點G，連接CG，過點O作OFCE，交BC于點F，
因為是邊長為1的等邊三角形，
所以CG⊥OD，則OF⊥OD，
結合（1）知：兩兩垂直，
以O為坐標原點，OF所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
因為，，
所以，
因為三棱錐的體積為，
所以，
解得：，
設，則，
設平面的法向量為，
則，
令得：，，
所以，
則點到平面的距離為
解得：或，
因為點在棱上，所以，所以舍去，
故.
考點四 求兩條異面直線所成的角
30．（2023春·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；
(2)若，求與所成角的余弦值.
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）通過已知條件建立空間直角坐標系，利用空間向量法求兩直線所成角的余弦值即可.
【詳解】（1）證明：因為底面是菱形，
所以，
又平面，平面
所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）設
因為，
所以
以為坐標原點,射線分別為軸,軸的正半軸
建立空間直角坐標系，
如圖：

則，
所以 ，
設與所成角，
所以
，
即與所成角的余弦值為.
31．（2023春·江西贛州·高二江西省尋烏中學校考階段練習）如圖，設在直三棱柱中，，，E，F依次為的中點．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；
(2)求點到平面AEF的距離．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據給定的幾何體，建立空間直角坐標系，利用空間向量求出異面直線夾角余弦作答.
（2）由（1）中坐標系，利用空間向量求出點到平面的距離作答.
【詳解】（1）在直三棱柱中，，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
，，
所以異面直線所成角的余弦值為．
（2）設平面AEF的一個法向量為，而，
則，令，得，又，
于是．
所以點到平面AEF的距離為．
32．（2023秋·北京西城·高二北京市第三十五中學校考期中）已知四棱錐中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中點.

(1)求直線BD與直線PC所成角的余弦值；
(2)求證：平面
(3)求點到平面的距離.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標系，利用空間向量法計算異面直線所成角的余弦值；
（2）利用數量積坐標運算得線線垂直，利用線線垂直證明線面垂直；
（3）利用點到平面距離向量公式直接計算即可.
【詳解】（1）以點為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖空間直角坐標系.

由題意，，，，，，
設直線BD與直線PC所成的角為，
因為，，所以，
所以直線BD與直線PC所成角的余弦值為；
（2）因為，，，
所以，，
所以，又平面，
所以平面；
（3）由（2）知，為平面的一個法向量，
設點到平面的距離為，則為向量在向量上的投影的絕對值，
由，得，
所以點到平面的距離為.
33．（2023春·浙江溫州·高二統考學業考試）已知直三棱柱，各棱長均為，為的中點，為的中點．
(1)求直三棱柱的體積；
(2)求證：平面；
(3)求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）依題意，利用棱柱的體積公式求解即可；
（2）利用線面平行的判定定理即可得解；
（3）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.
【詳解】（1）因為直三棱柱中，各棱長均為，
所以底面是正三角形，，側棱，且底面，
故，
所以.
（2）記的中點為，連接，如圖，
又因為為的中點，所以，，
因為為的中點．所以，，
故，，則四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，所以平面.
（3）依題意，以為原點，以為軸，以在平面內垂直于的直線為軸，如圖所示，
則，
故，
記異面直線與所成角為，則，
所以，
故異面直線與所成角的余弦值為.
34．（2023秋·安徽蚌埠·高二統考期末）在三棱錐中，平面，平面平面.

(1)證明：平面；
(2)若為中點，求向量與夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直和面面垂直的性質定理和判定定理證明即可；
（2）由，求出，，由空間向量夾角的公式代入求解即可.
【詳解】（1）證明：過點作于點，

平面平面，平面平面平面，
平面，又平面.
平面平面.
平面平面.
（2）由（1）知，設，
則.
為中點，，
與夾角的余弦值為.
考點五 已知線線角求其他量
35．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）如圖，在三棱錐中，底面，.點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，.

(1)求證：平面；
(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【分析】（1）以點為原點，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得平面；
（2）設，則，利用空間向量法可得出關于的方程，解出的值，即可得出結論.
【詳解】（1）證明：因為底面，，
如圖，以點為原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、、、、、，
，，
設平面的法向量為，則，
取，可得，
又因為，則，所以，，
又因為平面，所以，平面.
（2）解：依題意，設，則，
所以，，，
由已知，得，
整理可得，解得或，
所以，線段的長為或.
36．（2023秋·浙江紹興·高三紹興一中校考階段練習）如圖，三棱錐中，底面于B，∠BCA＝90°，，點E是PC的中點．

(1)求證：側面PAC⊥平面PBC；
(2)若異面直線AE與PB所成的角為θ，且，求平面ABC與平面ABE所成角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)60°
【分析】（1）由線面垂直的性質得PB⊥AC，再由線面垂直、面面垂直的判定證結論；
（2）構建空間直角坐標系，根據已知異面直線所成角求的長，進而求出平面ABC與平面ABE的法向量，應用向量法求面面角的大小.
【詳解】（1）由PB⊥平面ABC，面，所以PB⊥AC，
因為∠BCA＝90°，即AC⊥BC；
又PB∩BC＝B，面，
所以AC⊥平面PBC，又平面PAC，
所以面PAC⊥面PBC.
（2）以C為原點，CA、CB所在直線為x，y軸建立空間直角坐標系，設BC＝m＞0，
則，
所以，
由得：，由，
∴，解得m，則，
設面ABE的一個法向量為，則，取x＝1，則．
取面ABC的一個法向量，故，
所以，結合面面角的范圍易知：平面ABC與平面ABE所成角的大小為60°．

37．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，點是線段上的動點.
(1)證明：平面平面；
(2)若點在線段上，，且異面直線與成30°角，求平面和平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）要證明面面垂直，需證明線面垂直，利用垂直關系轉化為證明平面，即可證明；
（2）首先建立空間直角坐標系，利用向量公式求點的坐標，并分別求平面和平面的法向量，利用二面角的向量公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：∵平面平面，且平面平面，，且平面，
∴平面，平面，∴，
∵，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴平面平面；
（2）因為，過點作垂直于平面，
以為原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系，
所以
設，，，
，，
因為異面直線與所成30°角，
，
，
由題意知，平面的一個法向量為，，
設平面的一個法向量為，則，
所以，
所以，
平面和平面夾角的余弦值為.
38．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區第一中學校考階段練習）為正方體，動點P在對角線上，記．
(1)求證：；
(2)若異面直線AP與所成角為，求的值．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)．
【分析】（1）連接，，可證明平面，即可證得線線垂直；
（2）建立空間直角坐標系，得到點的坐標，由已知可得，代入點的坐標即有，求解即可得到的值．
【詳解】（1）
證明：如圖，連接，.
由已知可得，平面，平面，所以，
又是正方形，所以，
又平面，平面，，
所以平面，
又動點P在對角線上，所以平面，所以平面，
所以.
（2）
以點為坐標原點，分別以、、所在的直線為、、軸，如圖建立空間直角坐標系，
設，則，，，，，，，
則，.
由已知，可得，設點，則，
所以，所以，即，所以，
.
又異面直線AP與所成角為，所以，
即，
整理可得，因為，所以，即點位于點處時，滿足條件.
考點六 求直線與平面所成的角
39．（2023春·江西九江·高二校考期末）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據條件建立空間直角坐標系,得兩直線方向向量,利用向量數量積運算證明即可；
（2）建立方程組得平面法向量,再根據線面角的向量求法,結合空間向量數量積運算可得結果.
【詳解】（1）因為在直四棱柱中，面，
又面，所以，
又因為，所以，即兩兩垂直，
故以方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，
則，
，
，.
（2）因為，，
設平面的法向量為，則由得，
令，則，故，
設直線與平面所成角為，
因為，所以，
故直線與平面所成角的正弦值為.
40．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學校考期末）如圖所示，在三棱錐C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中點，.

(1)證明：平面CBD⊥平面ABD；
(2)求直線BC與平面ACD所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取BD的中點O，連接OC，OE，令，則，，，OC⊥BD，然后由勾股定理逆定理可得OC⊥OE，再由線面垂直的判定可得OC⊥平面ABD，最后由面面垂直的判定定理可證得結論；
（2）分別以OE、OD、OC所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.
【詳解】（1）證明：取BD的中點O，連接OC，OE，
令，因為AB⊥BD，，所以，
因為 E是AD的中點 ，所以 ，
因為BC⊥CD，，所以，OC⊥BD，
因為，所以OC⊥OE，
因為平面ABD，，
所以OC⊥平面ABD，
因為平面CBD，所以平面CBD⊥平面ABD
（2）分別以OE、OD、OC所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則
，
所以，
設平面ACD的法向量為，則，
，令，則，
設直線BC與平面ACD所成角為，則
，
所直線BC與平面ACD所成角的正弦值為.

41．（2023·廣東深圳·統考二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.

(1)證明：；
(2)設的中點為，點在棱上（異于點，，且，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性質可得，由面面垂直的性質可得平面，則，所以由線面垂直的判定可得平面，從而可得結論；
（2）以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.
【詳解】（1）證明：因為，點是的中點，所以.
因為平面平面，所以平面平面，
因為四邊形為矩形，所以，
因為平面平面，平面，
所以平面，所以，
因為，平面，
所以平面，
因為平面，所以.
（2）解：由題意可得兩兩垂直，
設，如圖，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，

因為點是的中點，所以，
所以，
設平面的法向量為，則，
令可得，所以平面的一個法向量.
，設，
即，所以.
又，
所以，
化簡得，解得或（舍去）.
所以，
設直線與平面所成的角為，則
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
42．（2024·江西·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點是的中點.

(1)證明：；
(2)求直線與平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點，證明得到四邊形是正方形，進而得到平面，所以，根據直角三角形相關性質可得到；
（2）先建立空間直角坐標系，結合線段長度寫出坐標，求平面的一個法向量，再結合線面角計算公式求出答案.
【詳解】（1）取中點，連接，則，

又因為，所以四邊形是平行四邊形，
因為，，所以四邊形是正方形，
所以，即是等腰三角形，則，
所以，即，
因為平面，平面，所以，
又因為平面，，
所以平面，
因為平面，所以，
又因為點是的中點，所以由直角三角形性質易得
（2）因為平面，平面，所以，，
又因為四邊形是正方形，所以，
如圖，以為正交基底建立空間直角坐標系，

則，
所以，
設平面的一個法向量為，
則，令，則，
設直線與平面所成的角為，
所以，
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
43．（2023·江蘇揚州·統考模擬預測）如圖，平行六面體的體積為6，截面的面積為6．

(1)求點到平面的距離；
(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）應用等體積法求出點到平面距離；
（2）空間向量法求線面角的正弦值即可.
【詳解】（1）在平行六面體中，是三棱柱，
，
設點到平面的距離為，則，所以，
即點到平面的距離為1．
（2）在中，，所以是菱形，連接交于，則，
由（1）知點到平面的距離為1，所以平面．
設點在直線上射影為點，
則，且，
所以和重合，即．
以為坐標原點，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
則，
根據，則，
，設平面的一法向量為，
則，取，則，
設直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角正弦值為．

考點七 已知線面角求其他量
44．（江西省新余市2022-2023學年高二下學期期末數學試題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點，為線段上的動點.

(1)證明：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由底面，證得，再由為正方形，得到，證得平面，得到，結合，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；
（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，得到，利用平面的一個法向量為，利用夾角公式列出方程求得，再求得平面的法向量為，結合向量的距離公式，即可求解.
【詳解】（1）證明，因為底面，且底面，所以，
因為為正方形，所以，
又因為，且平面，所以平面，
因為平面，所以，
由，為線段的中點，所以，
因為且平面，所以平面.
（2）解：因為底面，且，
以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，所以，
設，則，
因為軸平面，所以平面的一個法向量為
所以，解得，所以；
又因為，，
設平面的法向量為，則，
取，可得，所以.
因為，所以點到平面的距離為.

45．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖,在直三棱柱中,是以為斜邊的等腰直角三角形，,分別為上的點,且.

(1)若,求證:平面;
(2)若,直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）當時可得點分別為的中點,根據已知條件證明四邊形為平行四邊形,再依據線面平行的判定定理即可證明.
（2）以為正交基底空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,根據直線與平面所成角的正弦值為求出值,再分別求出平面和平面的法向量,根據公式求解即可.
【詳解】（1）
當時,,即點分別為的中點,
在直三棱柱中,,所以,
所以四邊形為平行四邊形,所以,，
又,所以,
所以四邊形為平行四邊形,則,
又因為平面平面,
所以平面.
（2）平面,又,以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系,

則點,
由得,
所以.
設平面的一個法向量,則,即,
取,得,
設直線與平面所成角為,則,
得,解得或,又因為,所以.
而,
所以,
設平面的一個法向量為,則,即,
取,則,
又平面的一個法向量為,得,
觀察得二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.
46．（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，.

(1)證明：平面平面；
(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點E在線段上滿足，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意，在中，由余弦定理求得，得到，證得，再由，證得平面，即可證得平面平面；
（2）若O為中點，證得，，兩兩垂直，以為原點，建立空間直角坐標系，設，由平面的一個法向量為，列出方程求得，進而得到，求得平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：由題知且，所以為等邊三角形，
則，
又由四邊形為梯形，，則，
在中，，
所以，即，
因為，且，平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
（2）解：若O為中點，，則，
由（1）得平面平面，平面平面，平面，
則平面，
連接，則，且平面，所以，，
所以，，兩兩垂直，
以為原點，，，分別為為軸、軸和軸的正方向建立空間直角坐標系，
如圖所示，可得，，，，
設且，則，由平面的一個法向量為，
可得，解得，
因為，所以，可得，
所以，，，
設是平面的一個法向量，則，
取，可得，所以
則，
由圖形可得的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

47．（2023·福建漳州·統考模擬預測）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，平面，，，，分別為，的中點，平面與平面的交線為，在圓上.

(1)在圖中作出交線（說明畫法，不必證明），并求三棱錐的體積；
(2)若點滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.
【答案】(1)答案見解析，
(2)或
【分析】（1）由線線平行即可找到直線，由等體積法即可求解體積，
（2）建立空間直角坐標系，利用向量夾角即可求解線面角，進而可求解.
【詳解】（1）過點作交圓于點，（ ，分別為，的中點，所以,又，所以,故為平面與平面的交線）
因為是圓的直徑，所以，，
所以，所以四邊形為矩形，
因為，，所以，
因為平面，為的中點，
所以點到平面的距離為，
所以
（2）以為坐標原點，分別以，，的方向作為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，，，
所以，，，
，
設平面的法向量為，則
即，不妨取，得
因為與平面所成角的正弦值為，
所以
所以，所以或
考點八 求平面與平面的夾角
平面與平面的夾角
48．（2023·天津·統考模擬預測）如圖，在四棱錐中，平而為的中點，在上，且
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值；
(3)點是線段上異于兩端點的任意一點，若滿足異面直線與所成角的余弦值為，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明推理作答.
（2）由（1）中坐標系，求出平面的法向量，再二面角的余弦值作答.
（3）利用空間向量運算求出點F的坐標，再利用向量求出異面直線夾角余弦即可求解作答.
【詳解】（1）在四棱錐中，平面，平面，則，
而，則以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，又，則有，
，因為，則，
，因此，即，
而，于是得，而平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，設平面的法向量為，
則，令，得，顯然平面的法向量為，
令平面與平面所成二面角為，則，
所以平面與平面所成二面角的正弦值.
（3）由（1）知，，令，，則，
，而，則，整理得，
而，解得，有，.
49．（2023秋·湖北武漢·高二華中科技大學附屬中學階段練習）如圖，在等腰直角三角形中，，，，，分別是，上的點，且，，分別為，的中點，現將沿折起，得到四棱錐，連結．
(1)證明：平面；
(2)在翻折的過程中，當時，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接，，利用面面平行的判定證明平面平面，再利用面面平行的性質即可證明；
（2）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出相關平面的法向量，利用面面角的空間向量求法即可得到答案.
【詳解】（1）在四棱錐中，取的中點，連接，，
因為，分別為，的中點，，則，，
因為平面，平面，則平面，同理可得，平面，
又，，平面，故平面平面，因為平面，
故平面；
（2）因為在等腰直角三角形中，，，
所以，則在四棱錐中，，，
因為，則，，又，平面，
故平面，又平面，故，
因為，，，則，所以，故．
以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則：
，，，，故，
設平面的法向量為，則，
令，則，故；
設平面的法向量為，則，
令，則，，故，
所以，
故平面與平面夾角的余弦值為．
50．（福建省廈門市2022-2023學年高二下學期期末質量檢測數學試題）如圖所示，在三棱柱中，是正三角形，D為棱AC的中點，，平面交于點E.

(1)證明：四邊形是矩形
(2)若，，求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接和，可證得為平面與棱的交點， 從而可得四邊形是平行四邊形，由可得，從而可證得結論；
（2）連接，可證得兩兩垂直，所以以為坐標原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可.
【詳解】（1）取的中點，則點為平面與棱的交點，
證明如下：連接和，
因為點分別是和的中點，所以∥，，
因為∥，，所以∥，，
所以四邊形是平行四邊形，
所以點為平面與棱的交點，
因為，∥，所以
所以四邊形是矩形，
（2）連接，
在正中，為的中點，所以，
因為，，平面，所以平面，
因為，，所以為正三角形，
因為為棱的中點，所以，
以為坐標原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，
設三棱柱的棱長為2，則，
所以,，
設平面的法向量為，則
，令，則
所以平面的一個法向量為，
設平面的法向量為，則
，令，則，
所以平面的一個法向量為，
設平面與平面的夾角的大小為，則
，
所以平面與平面的夾角的余弦值為

51．（2023春·云南昆明·高二統考期末）如圖，三棱柱中，是的中點，平面.

(1)求證：；
(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據線面垂直判定定理先證平面，然后由線面垂直的性質可得；
（2）建立空間直角坐標系，利用法向量求解可得.
【詳解】（1）因為平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）知兩兩垂直，
建立空間直角坐標系如圖所示，

不妨設，則，則，
所以，
可得，
設平面的法向量為，
由得取，得，
又，
設平面的法向量為，
由得取，得
所以，
所以，平面與平面夾角的余弦值為.
52．（2023春·江蘇鎮江·高二江蘇省鎮江中學校考期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面是的中點.

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性質定理證明平面，從而得到，由正三角形的性質可得，再利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解.
【詳解】（1）在正方形中，，
又側面底面，側面底面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因為 是正三角形，是的中點，則，
又，，平面，
所以平面；
（2）取中點為，中點為，連接,建立如圖所示的空間直角坐標系，
,
所以,
設平面的法向量為，則
，取，則，
由（1）知是平面的一條法向量，,
設平面與平面所成二面角的平面角為，
則

（二）二面角
53．（2023秋·天津河西·高二天津實驗中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，底面 ,點為棱的中點．

(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)．
【分析】（1）建立空間直角坐標系，即可利用向量的坐標運算求解，
（2）根據法向量與方向向量的夾角即可求解，
（3）根據共線和垂直關系得點坐標，即可由法向量夾角求解.
【詳解】（1）∵底面
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

∵,點為棱的中點．．
∴
∴，
∵，∴BE⊥DC；
（2）∵，，
設平面的法向量，
由，得，
令，則，
則直線與平面所成角滿足：
，
故直線與平面所成角的正弦值為．
（3）∵，，
由為棱上一點，設，
故，
由，得，
解得，
即，
設平面的法向量為，
由，得
令，則，
取平面的法向量，
則二面角的平面角滿足：由圖可知為銳角，所以
，
故二面角的余弦值為．
54．（2023春·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學校聯考期末）如圖，已知五面體中，四邊形為矩形，為直角梯形，．

(1)求證：平面平面；
(2)若為中點，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據條件得到面，再根據面面垂直的判定定理即可證明結果；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，再利用平面角的向量法即可求出結果.
【詳解】（1）因為四邊形為矩形，所以，又，，面，
所以面，又面，
所以平面平面.
（2）因為，為中點，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，過作直線，建立如圖所示空間直角坐標系，
設，又，
則，，，，
所以，，，
設平面的法向量為，則由，得到，
令，得到，所以，
設平面的法向量為，則由，得到，
令，得到，所以，
所以，由圖知，二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值.

55．（2023春·貴州黔東南·高二統考期末）在四棱錐中，底面是矩形，分別是棱的中點.

(1)證明：平面；
(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點，連接、，即可證明，從而得證；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.
【詳解】（1）如圖，取中點，連接、，根據題意，因為點為中點，
所以且，又因為四邊形為矩形，為的中點，
所以且

所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面．
（2）如圖建立空間直角坐標系，則，，，，
所以，，，
設平面的一個法向量為，則，令，則，
設平面的一個法向量為，則，令，則，
顯然二面角為銳二面角，設其平面角為，
則，
所以二面角的余弦值為.
56．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預測）如圖，在三棱柱中，，．

(1)證明：；
(2)若，，，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接，，即可證明平面，從而得證；
（2）證明平面，以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，再由空間向量求解．
【詳解】（1）取的中點，連接，，
，，，，
又，平面，平面，
而平面，
；

（2）在中，，，
可得，，
在中，，，可得，
在中，，，，
可得，即，
由（1）知，平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，
平面，以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
，，，
設平面與平面的一個法向量分別為，，
由，取，得，
由，取，得．
．
由圖可知，二面角的平面角為鈍角，
二面角的余弦值為．
考點九 已知面面角求其他量
57．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點為弧的中點，且，，，四點共面.

(1)證明：平面平面；
(2)若平面與平面所成二面角的余弦值為，且線段長度為2，求點到直線的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）過作，交底面弧于，連接，有為平行四邊形，根據題設可得，即，再由線面垂直的性質可得，最后根據線面、面面垂直的判定即可證結論.
（2）構建如下圖示空間直角坐標系，令半圓柱半徑為，高為，確定相關點坐標，進而求平面、平面的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示及已知條件可得，即可求出點到直線的距離.
【詳解】（1）過作，交底面弧于，連接，易知：為平行四邊形，
所以，又為弧的中點，則是弧的中點，
所以，而由題設知：，則，
所以，即，由底面，平面，則，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）由題意，構建如下圖示空間直角坐標系，
令半圓柱半徑為，高為，則，，，，
所以，，，，
若是面的一個法向量，則，令，則，
若是面的一個法向量，則，令，則，
所以，
整理可得，則，又，
由題設可知，此時點，，，
則，，
所以點到直線的距離.
.
58．（2023春·福建·高二校聯考期末）如圖，在正三棱柱中，點在棱上，且.

(1)求證：平面；
(2)若正三棱柱的底面邊長為，二面角的大小為，求直線到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據正三棱柱和得，即可得D是AB的中點，從而由中位線得，證明結論.
（2）由二面角的大小為，解得平面的一個法向量，根據第一問的平行和點到平面的距離公式得出答案.
【詳解】（1）在正三棱柱中，是側棱，所以平面ABC，
又平面ABC，所以.
又，，，平面，所以平面，
因為平面，所以，又因為，所以D是AB的中點.
如圖，連接，交于點M，連接DM.因為M是的中點，
所以DM是的中位線，所以，
又平面，平面，所以平面.

（2）取的中點，可知，所以平面ABC.以D為原點，
分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設三棱柱的高為h，則，，，，，，，，.
設平面的一個法向量為，則，取，得.
設平面的一個法向量為，則，
取，得.
所以，解得，所以，
由（1）知平面，所以直線到平面的距離即點A到平面的距離，
因為，所以直線到平面的距離為.

59．（2023·浙江·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；
(2)若為側棱的中點，且平面與平面所成角的余弦值為，求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點，連接，由正三角形、面面垂直的性質易得面，再由線面垂直的性質及判定證，即可得結論；
（2）構建空間直角坐標系，設并求面、面的法向量，結合面面角的余弦值求參數，應用向量法求點面距.
【詳解】（1）取中點，連接，為正三角形，則，
面面，面面，面，則面，

面，故，又，面，，
所以面，面，故，則平行四邊形為矩形.
（2）如下圖，以為原點，為軸，為軸建立坐標系，設，
則，，，，，
所以，，

設面的法向量為，則，令，則，
設面的法向量為，則，令，則，
由，解得，
則面的法向量為，，
點到平面的距離.
60．（2023·河北衡水·衡水市第二中學校考三模）如圖，在四棱錐中，，，，.

(1)證明：平面平面；
(2)已知，，.若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直；
（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，然后利用夾角余弦值建立方程求解即可.
【詳解】（1）如圖，取的中點分別為，連接BE，AF，EF，CF，
所以，且，
又，，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為，，所以，
因為，，所以，
又，所以，
所以，即.
又，，平面，
所以平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，因為，平面，
所以，，所以.
在Rt中，，，
則，則.
因為，，所以，
所以，，兩兩垂直，
以為坐標原點，向量，，的方向分別為軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，，
，，.
由，，
得.
設平面的法向量為，則，即，
取，則，得平面的一個法向量為，
設平面的法向量為，
則，即，
取，則，，所以，
設平面與平面的夾角為，
則，
解得，故的值為.
61．（2023春·河南安陽·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，，.

(1)證明：平面平面ABCD；
(2)若平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為，求直線PD與底面ABCD所成角的正切值.
【答案】(1)證明見解析
(2)3
【分析】（1）首先利用菱形的性質得，再利用線面垂直的判定證得平面，從而得，最后利用面面垂直的判定即可證明；
（2）建立合適的空間直角坐標系，從而得到兩個平面的法向量，利用面面角的空間向量求法得到的長度，再根據線面角的定義即可得到答案.
【詳解】（1）四邊形是菱形，
是的中點，，
平面，
平面.
平面，
是的中點,，
平面平面，
平面.
平面平面平面.
（2）設菱形的邊長為，
根據余弦定理可得,解得.
由（1）可知平面，平面，
又兩兩垂直，
以為坐標原點,分別以,,所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,
則，
設,則，
設為平面的法向量，
由可得取，則.
平面，所以平面的一個法向量為，
平面與平面的夾角的余弦值為，
，所以 ，
，
平面為直線與底面所成的角，
，
故直線與底面所成角的正切值為3.

考點十 有關夾角的探索性問題
62．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，，F，G分別是PB，AD的中點．
(1)求證：平面PCB；
(2)在AP上是否存在一點M，使得DM與PC所成角為60°？若存在，求出M點的位置，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)在AP上存在一點M，點M為AP中點，使得DM與PC所成角為60°
【分析】（1）以點D為原點，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，建立平面PBC的法向量，證得，即GF⊥平面PCB;
（2）設＝λ，求得點M坐標表示，使用空間向量數量積公式，求得的值，即得到點M的坐標.
【詳解】（1）以D為原點，DA、DC、DP分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，
∴，，，
設平面PCB的法向量為，
則，即，令，則，，∴，
∴，故平面PCB．
（2）設，則，∴，
∵DM與PC所成角為60°，，
∴，解得，
故在AP上存在一點M，點M為AP中點，使得DM與PC所成角為60°．
63．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區南陽中學校考階段練習）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．
(1)求證：平面；
(2)求點到直線的距離；
(3)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算即可.
【詳解】（1）因為底面，，
建立空間直角坐標系如圖所示，
則，
所以，
設為平面的法向量，
則，即，不妨設，可得 ，
又，
可得，因為平面，
所以平面 ，
（2）因為，
所以點到直線的距離.
（3）設，，則，
設平面的法向量為，
則令，則，
所以，
即，解得或（舍去），
所以.
64．（2023春·河南焦作·高二溫縣第一高級中學校考階段練習）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，=2，.
(1)求點C到平面的距離；
(2)線段上是否存在點F，使與平面所成角正弦值為，若存在，求出，若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）建立空間直角坐標系，由向量法可得；
（2）設點F坐標，根據向量法求線面角建立方程求解可得.
【詳解】（1）如圖所示，取中點，連結，，
因為三角形是等腰直角三角形，所以，
因為面面，面面面，
所以平面，又因為，
所以四邊形是矩形，可得，
則，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則：
據此可得，
設平面的一個法向量為，
則，令可得，
從而，又，
故求點到平面的距離.
（2）假設存在點，，滿足題意，
點在線段上，則，
即：，，，，，
據此可得：，，從而，，，，
設與平面所成角所成的角為，
則，
整理可得：，
解得：或（舍去）.
據此可知，存在滿足題意的點，點為的中點，即.
65．（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側面為菱形，點在底面上的投影為AC的中點，且．
(1)求證：；
(2)求點到側面的距離；
(3)在線段上是否存在點，使得直線DE與側面所成角的正弦值為？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在滿足條件的點，1
【分析】（1）由已知條件可證平面，即可得到；
（2）以點為坐標原點，直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，利用點到平面的距離公式即可求解；
（3）假設存在滿足條件的點E，并，利用向量的加減運算，求出，利用線面夾角公式得出，求得，即可求出的長.
【詳解】（1）證明：由點在底面ABC上的投影為AC的中點，知平面ABC，
又平面ABC，故，
因是以AC為斜邊的等腰直角三角形，故，
而，平面，，故平面，
由平面，得．
（2）由點，為AC的中點，側面為菱形，知，
由是以AC為斜邊的等腰直角三角形，，可得，，
由（1）知直線，，兩兩垂直，故以點為坐標原點，
直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，，
，，
設平面的一個法向量為，
則，取，得，
又，故點到平面的距離為：
（3）假設存在滿足條件的點E，并，
則，
于是，由直線DE與側面所成角的正弦值為，
可得，
即，解得．
又，故．
因此存在滿足條件的點，且．
66．（2023秋·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，.

(1)取的中點N，求證：平面；
(2)求直線與所成角的余弦值.
(3)在線段上，是否存在一點M，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為 如果存在，求出與平面所成角的大小；如果不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，
【分析】取的中點，連接，則，以A為原點，AE所在的直線為x軸，所在直線分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系.
（1）計算，利用向量法求證即可；
（2）利用向量的夾角公式計算異面直線所成的角；
（3）假設存在點M符合題意，根據二面角、線面角的向量求法計算即可.
【詳解】（1）取的中點，連接，則，，
所以四邊形為矩形，所以，
以A為原點，所在的直線為x軸，所在直線分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則，，
取中點，則，，
所以，故，又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，，
.
故直線AC與PD所成角的余弦值為.
（3）假設存在，且，
則點為，所以，
設平面的法向量是，
，
令，，（易知t=1不合題意）
又是平面的一個法向量，
，
解得(舍去)，則．
此時平面的一個法向量可取，，
設與平面所成的角為，
則，
由知，.
與平面所成角的大小為．
67．（2023春·福建寧德·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，．

(1)證明：平面平面；
(2)已知，在線段上是否存在一點，使得二面角的平面角為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；
【分析】（1）根據勾股定理證明線線垂直，結合線面垂直得線線垂直，即可由線面垂直的判斷定理證明線面垂直，進而可證面面垂直.
（2）建立空間之間坐標系，利用向量的夾角求解二面角，即可.或者利用幾何法找到二面角的平面角，即可利用三角形的邊角關系求解.
【詳解】（1）底面是平行四邊形，則，
∵，∴，∴
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面
（2）以為坐標原點，以、、的方向分別為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，設，

則，，，，
則平面的一個法向量為，
所以，，
設平面的一個法向量為，
則，取，則，
，
∴，∴，所以
解法二：
連接，由（1）知，，，平面，平面,
所以平面，
由平面,所以，
所以為二面角的平面角，
所以，
在中，因為，所以，
所以為等邊三角形，
所以為中點，所以

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