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第八章 知識點清單
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第八章 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析
8. 1 成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系
8. 2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用
8. 3 分類變量與列聯(lián)表
第八章 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析
8. 1 成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系
一、變量的相關(guān)關(guān)系
1. 相關(guān)關(guān)系：兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.
2. 散點圖：將成對樣本數(shù)據(jù)用直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖就叫做散點圖.
3. 正相關(guān)與負(fù)相關(guān)：從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，就稱這兩個變量正相關(guān)；當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢，就稱這兩個變量負(fù)相關(guān).
4. 線性相關(guān)：一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，就稱這兩個變量線性相關(guān).
5. 非線性相關(guān)：一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).
二、樣本相關(guān)系數(shù)
1. 樣本相關(guān)系數(shù)：r= ，r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)，有時也稱樣本線性相關(guān)系數(shù).
2. 樣本相關(guān)系數(shù)r的特征
(1)r∈[-1，1].
(2)當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).
(3)當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本
數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.
2. 樣本相關(guān)系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)性可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征.
三、兩個變量相關(guān)性的判斷
1. 利用散點圖判斷兩個變量的相關(guān)性
（1）作兩個變量的散點圖，可觀察它們的相關(guān)性.
（2）若散點從左至右呈上升趨勢，則這兩個變量正相關(guān)；若散點從左至右呈下降趨勢，則這兩個變量負(fù)相關(guān)；若散點毫無規(guī)律，則這兩個變量無相關(guān)關(guān)系；若散點大致分布在一條直線附近，則這兩個變量線性相關(guān)，否則沒有線性相關(guān)關(guān)系.
2. 利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷兩個變量相關(guān)性的強弱
樣本相關(guān)系數(shù)r是從數(shù)值上來判斷變量間的線性相關(guān)程度的量，是定量分析法.
|r|刻畫了樣本點集中于某條直線的程度.
|r|越接近1，散點圖中的樣本點分布越接近一條直線，兩個變量的線性相關(guān)程度越強.
8. 2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用
一、一元線性回歸模型
1. 把式子稱為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型. 其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量， x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機誤差. 如果e=0，那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.
二、經(jīng)驗回歸方程與最小二乘法
1. 設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(xi，yi)(i=1，2，…，n)，通
常用各散點到直線y=bx+a的豎直距離的平方之和Q= 來刻畫各樣本觀測數(shù)據(jù)與該直線的“整體接近程度”.
（1）當(dāng)a，b的取值為 時，Q達(dá)到最小.
（2）將=x+稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線. 這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的， 叫做b，a的最小二乘估計.
三、殘差分析
1. 對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差. 殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.
四、回歸模型擬合效果的檢驗
1. 刻畫回歸效果的方式
(1)殘差圖法
作圖時以殘差為縱坐標(biāo)，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，
這樣作出的圖形稱為殘差圖. 在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在以橫軸為對稱軸的水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高.
(2)殘差平方和法：殘差平方和為 (yi-)2，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.
(3)決定系數(shù)R2法：R2=1-.
R2越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.
五、經(jīng)驗回歸方程的求解與應(yīng)用
1. 利用經(jīng)驗回歸方程可以對總體進行預(yù)測和估計，經(jīng)驗回歸方程將部分觀測值所反應(yīng)的規(guī)律進行延伸，從而成為我們對有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行分析和控制、依據(jù)自變量的取值估計和預(yù)報因變量值的基礎(chǔ)和依據(jù). 解決此類問題的步驟：
(1)畫出成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖；
(2)按照求經(jīng)驗回歸方程的步驟和公式，寫出經(jīng)驗回歸方程；
(3)利用經(jīng)驗回歸方程進行分析，分析過程中注意函數(shù)思想的應(yīng)用.
六、非線性回歸分析
1. 研究兩個變量的關(guān)系時，依據(jù)樣本畫出散點圖，從整體上看，如果樣本點沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，就稱這兩個變量之間不具有線性相關(guān)關(guān)系. 當(dāng)兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系時，依據(jù)樣本點的分布選擇合適的曲線方程來擬合數(shù)據(jù)，可通過變量代換，利用一元線性回歸模型建立兩個變量間的非線性經(jīng)驗回歸方程.
2. 常見的非線性經(jīng)驗回歸方程的轉(zhuǎn)換方式如表所示：
曲線方程 曲線(曲線的一部分) 變換公式 變換后的線性函數(shù)
y=axb c=ln a，v=ln x， u=ln y u=c+bv
y=aebx c=ln a，u=ln y u=c+bx
y=a c=ln a，v=， u=ln y u=c+bv
y=a+bln x v=ln x y=a+bv
3. 建立非線性回歸模型的基本步驟
(1)確定研究對象，明確涉及的變量；
(2)畫出確定好的變量間的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(是否存在非線性關(guān)系)；
(3)由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)有非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型、對數(shù)函數(shù)型模型等)；
(4)通過換元，將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為一元線性回歸模型；
(5)按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；
(6)消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程.
8. 3 分類變量與列聯(lián)表
一、分類變量與列聯(lián)表
1. 分類變量：為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為分類變量. 分類變量的取值可以用實數(shù)表示.
2. 2× 2列聯(lián)表
假設(shè)兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為
X Y 合計
y1 y2
x1 a b a+b
x2 c d c+d
合計 a+c b+d a+b+c+d
　　2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).
3. 兩個分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的定性分析方法
(1)頻率分析法：通過對樣本的每個分類變量的不同類別事件發(fā)生的頻率大小進行比較來分析分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系. 通常通過列聯(lián)表列出兩個分類變量的頻數(shù)表來進行分析.
(2)圖形分析法：與表格相比，圖形更能直觀地反映兩個分類變量間是否互相影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的頻率特征.
二、獨立性檢驗
1. 假定通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如表所示.
X Y 合計
Y=0 Y=1
X=0 a B a+b
X=1 c d c+d
合計 a+c b+d n=a+b+c+d
　則χ2=.
2. 利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.
3. χ2獨立性檢驗中5個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值如下表所示.
α 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001
xα 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828
獨立性檢驗的實質(zhì)是檢驗兩個分類變量是否相關(guān)及相關(guān)的程度有多大，其應(yīng)用過程如下：
　　根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算出χ2的值，其值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大，在假設(shè)X與Y沒有關(guān)系的前提下，可以通過查閱臨界值表得到P(χ2≥xα)，從而得到兩變量相關(guān)的程度.
三、由χ2進行獨立性檢驗
1. 應(yīng)用獨立性檢驗解決實際問題大致應(yīng)包括以下幾個主要環(huán)節(jié)：
(1)提出零假設(shè)H0：分類變量X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋；
(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較；
(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論；
(4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.
【注】上述幾個環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進行調(diào)整. 例如，在有些時候，分類變
量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問題中給定的.
四、獨立性檢驗與統(tǒng)計、概率的綜合應(yīng)用
1. 通過頻率分布直方圖的統(tǒng)計功能完善2×2列聯(lián)表，從而對事件進行獨立性檢驗，準(zhǔn)確讀取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，進行分組統(tǒng)計是解題的關(guān)鍵. 解決獨立性檢驗的問題要注意明確兩類主體，明確研究的兩類問題，再就是準(zhǔn)確列出2×2列聯(lián)表，準(zhǔn)確計算χ2. 在寫出2×2列聯(lián)表中a，b，c，d的值時，注意一定要按順序.

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