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第二章 機械振動
第4節 單擺
擺動的鐘擺、蕩起的秋千，它們在平衡位置附近做往復運動，這種運動是不是簡諧運動呢？
課堂引入
帶著這個問題，讓我們認識一個新的模型——單擺。
一、單擺
2.特點：
(3)擺線：細而長、不可伸長
(1)懸點：固定
(2)擺球：體積小、質量大
擺長 ：L=L0+R
注意：實際應用的單擺小球大小不可忽略。
1.定義：細線一端固定在懸點，另一端系一個小球，如果細線的質量與小球相比可以忽略；球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫做單擺。
3.單擺是實際擺的理想化模型
(1)擺線質量m遠小于擺球質量 M，即m << M 。
(3)擺球所受空氣阻力遠小于擺球重力及繩的拉力，可忽略。
(2)擺球的直徑d遠小于單擺的擺長Ｌ，即 d <<Ｌ。
(4)擺線的伸長量很小，可以忽略。
一、單擺
鐵鏈
粗棍上
細繩掛在
細繩
橡皮筋
2
3
4
1
O
O’
長細線
5
鋼球

學以致用：下列裝置能否看作單擺？
一、單擺
思考：單擺振動的運動性質是簡諧運動嗎？
方法一：從單擺的振動圖象（x-t圖像）判斷
一、單擺
如圖，細線下懸掛一除去柱塞的注射器，其內裝上墨汁。注射器擺動時，沿垂直擺動方向勻速拖動木板，觀察注射器噴出的墨跡圖像。
注意：表達式計時開始位移為0，隨后位移增加并為正；將每一個點的位移時間（測量值）數值代入表達式中，比較測量值與函數值是否相等，若可視相等，則為正弦曲線。
假設法:假定圖像為正弦曲線，測量振幅與周期，寫出正弦函數表達式。
一、單擺
C
B
A
O
θ
T
G
G2
G1
思考：單擺平衡位置在哪？哪個力提供回復力？
1.平衡位置：最低點O
2.受力分析:如圖
3.回復力來源：重力沿切線方向的分力G2
方法二：從單擺的受力特征判斷
一、單擺
切向：
法向：
（向心力）
（回復力）
Fx G2 mgsin

x

x
mg
T
F回=mgsinθ
二、單擺的回復力
角很小時，用弧度制表示的與它的正弦值近似相等 sin
則：F mgsin mg x
位移方向與回復力方向相反F x
可以寫成：F k x
單擺的回復力為重力沿圓弧切向的分力：
可見，在擺角很小（θ＜50）的情況下，單擺做簡諧振動。
擺角θ 正弦值 弧度值
1° 0.01754 0.01745
2° 0.03490 0.03491
3° 0.05234 0.05236
4° 0.06976 0.06981
5° 0.08716 0.08727
6° 0.10453 0.10472
7° 0.12187 0.12217
8° 0.13917 0.13963
在擺角小于5度的條件下：Sinθ≈θ（弧度值）
返回

O
思考：擺球運動到最低點O（平衡位置）時回復力是否為零？合力是否為零？
平衡位置：
x=0， ， 回復力為零
，合外力不為零
FT
G
二、單擺的回復力
猜想？
振幅
質量
擺長
重力加速度
單擺振動的周期與哪些因素有關呢？
思考
三、單擺的周期
實驗方法:控制變量法
實驗1：擺球質量相同，擺長L相同，觀察周期T與振幅的關系？
結論：單擺的振動周期與其振幅無關(等時性)。
三、單擺的周期
伽利略的發現：18歲的伽利略在比薩大學念書時，一次偶然的機會觀察到教堂的吊燈發生了輕微的擺動，隨著擺幅的縮小，吊燈的擺動周期似乎沒有發生變化。經過思考，他想到一個辦法進行驗證。如果你是伽利略，你打算如何驗證自己的想法？
伽利略所處的年代還沒有手表或者電子計時器，他使用的是人體的脈搏計時，只能半定量地判斷出擺動時的周期不變，但無法測量出擺動的具體周期。
今天我們可以用哪些工具來測量時間？
秒表、打點計時器、手機、傳感器等
實驗方法:控制變量法
實驗2：擺長L相同，振幅相同，觀察周期T與擺球質量的關系？
結論：單擺的振動周期與擺球質量無關。
三、單擺的周期
實驗方法:控制變量法
實驗3：擺球質量相同，振幅相同，觀察周期T與擺長L的關系？
結論：單擺的振動周期與其擺球質量有關。
三、單擺的周期
用秒表測量單擺完成30次全振動（或50次）所用的時間t，求出完成一次全振動所需要的時間，這個平均時間就是單擺的周期。
測周期：把單擺從平衡位置拉開一個角度（θ＜5o）放開它。
三、單擺的周期
次數n 1 2 3 4 5
擺線長L
球直徑d
擺長l
周期T
在同一個地方，單擺周期T與擺球質量和振幅無關，
僅與擺長 l 有關系，且擺長越長，周期越大。
荷蘭物理學家惠更斯（1629-1695）通過實驗進一步得到：
單擺做簡諧運動的周期T與擺長L的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，與振幅、擺球質量無關．
單擺的周期公式：
三、單擺的周期
１.利用單擺的等時性計時
惠更斯在1656年首先利用擺的等時性發明了帶擺的計時器（1657年獲得專利權）。
四、單擺的應用
2. 用單擺測定重力加速度（第5節內容）
3.幾種常見的擺
圓槽擺
釘擺
圓錐擺
四、單擺的應用
4.物理之美：試用本節所學內容解釋下圖中的現象。
四、單擺的應用
5.秒擺:周期為2s的單擺為秒擺。試計算出秒擺的擺長？（g=9.8m/s2)
l ≈1m
四、單擺的應用
6.一位廣州人去哈爾濱旅游，在一家大型超市以高價購買了一臺精致的擺鐘，買的時候發現它走時很準。回到廣州不到兩天就走時相差一分多鐘。于是大呼上當，心里極其氣憤。后來，他求助了“消費者權益保護協會”，準備與該超市打一場索賠官司，消費者協會調查研究發現產品貨真價實，那么問題出在哪兒呢？你能為這位廣州人指點迷津嗎？
提示：兩地的重力加速度g不同。
從日晷到原子鐘
我國制造的空間冷原子鐘
日晷
科學漫步
課堂小結
① 線的伸縮和質量不計
②小球可看作質點（擺長為懸點到球心的距離）
① F ＝ mg sinθ
② θ 很小時，F＝－k x (簡諧運動的條件)
單擺概念
回復力
周期
應用
sin
F mgsin
mg x
【典例1】（2022·江蘇南通·高三階段練習）如圖所示，小球在半徑為R的光滑球面上的A、B之間作小角度的往返運動，則（ ）
A．小球的質量越大，其振動的頻率越大
B．OA、OB之間夾角越小，小球振動的頻率越小
C．球面半徑R越大，小球振動的頻率越小
D．將整個裝置移至我國空間站“天和”核心艙中，小球振動的頻率減小
典例分析
【正確答案】C
【典例2】（2022·湖南·高二階段練習）(多選）兩個單擺的懸掛位置的高度相同，其擺球質量相等，它們做簡諧運動的振動圖像如圖所示．關于兩單擺的擺動情況，下列說法中錯誤的是（　　）
A．擺動周期有
B．擺長有
C．擺動過程中的t1時刻，擺角相等
D．擺動過程中的t2時刻，兩擺球有最大勢能差
典例分析
【正確答案】BC
【典例3】水平地面上固定一段光滑絕緣圓弧軌道，過軌道左端N點的豎直線恰好經過軌道的圓心（圖中未畫出），緊貼N點左側還固定有絕緣豎直擋板。自零時刻起將一帶正電的小球自軌道上的M點由靜止釋放。小球與擋板碰撞時無能量損失，碰撞時間不計，運動周期為T，MN間的距離為L并且遠遠小于軌道半徑，重力加速度為g，以下說法正確的是（　　）
A．圓弧軌道的半徑為
B．空間加上豎直向下的勻強電場，小球的運動周期會增大
C．空間加上垂直紙面向里的勻強磁場，若小球不脫離軌道，運動周期會增大
D． T時小球距N點的距離約為
典例分析
【正確答案】A
典例分析
【典例4】（2021·福建·上杭縣才溪中學高二階段練習）圖甲是一個單擺振動的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的最遠位置，設擺球向右運動為正方向，圖乙是這個單擺的振動圖象。根據圖象回答：
（1）單擺振動的頻率是多大？
（2）若當地的重力加速度為10m/s2，
試求這個擺的擺長是多少？
（結果保留兩位有效數字）
典例分析
典例分析
典例分析
【典例6】一擺長為L的單擺,在懸點正下方5L/9處有一釘子，這個單擺的周期應該怎么算？
L

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