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調和線束的斜率形式及應用
1.基本結論
若四點成調和點列，在這四點所在直線外任取一點，所形成的的四條射線，，，，稱為調和線束. 對于一組調和線束，本節給出其斜率之間所滿足的基本關系，并進一步用此結論去解決一些與極點極線有關的斜率恒等式.
結論[1]:如圖1.若調和線束，，，的方程為.
那么.
圖1 圖2
2.基本應用
此處，我們選擇比較經典的兩個問題，即2013年江西高考的文理科圓錐曲線題目來作為上述結論應用的范例.
例1.如圖2，橢圓經過點，離心率，直線的方程為.
（1）求橢圓的方程；
（2）AB是經過右焦點F的任一弦（不經過點P），設直線AB與直線相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.
證明：由于直線是點關于橢圓的極線，所以成調和點列，分別設直線為，那么四直線的交比,利用交比的性質可得，又由于，故，即
，證畢.
詳解：（1）橢圓的方程為.
（2）由題意可設的斜率為，則直線的方程為①，代入橢圓方程并整理，得，設，則有：
②，在方程①中令得，的坐標為.
從而. 注意到共線，則有，即有. 所以
可入可得：，
又，所以. 故存在常數符合題意.
結論：已知橢圓，過定點作一直線交橢圓于兩點，交點的極線于點，是橢圓上一點，且點橫坐標為,則直線的斜率成等差數列.
例2．橢圓的離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意一點，直線交軸于點，直線交于點，設的斜率為，的斜率為，試證明：為定值.
解析： （1）；
（2）如圖，連接，交與點，連接交軸于點，則點關于橢圓的極線為直線.又因點在軸上，則點對應的極線垂直于軸且過點和，則可知為一組調和點列，為一組調和線束，即有，則，因此，此時可認為直線的斜率為無窮大，則，即，即
，因此.
詳解（1），
（2）由（1）知,直線AD方程為：；直線BP方程：，聯立得直線BP和橢圓聯立方程組解得P點坐標為，因為D,N,P三點共線,所以有：
參考文獻：[1].田朋朋.三直線斜率等差性質的本質與推廣.[J].數學通訊.2019.11.
思考題：（2022武漢九月調考）已知橢圓，過點且與軸平行的直線與橢圓恰有一個公共點，過點且與軸平行的直線被橢圓截得的線段長為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設過點的動直線與橢圓交于兩點，為軸上的一點，設直線和的斜率分別為和，若為定值，求點的坐標.

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