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“彈簧問題”專題研析
重慶市潼南塘壩中學校 張大洪 402678
彈簧問題是各地高考命題中出現頻率很高、形式不斷更新的一類問題，由于該類問題涉及到運動和力的關系、功和能、沖量和動量等重要概念定律，還涉及到變力與動態過程的分析、彈簧本身的特點及其與連接物構成的系統的力學和運動學特點等；故這類問題的分析與解答對學生的綜合素質要求很高，因而高考中常將其作為選拔優秀學生的題目出現。下面我們就對該問題從以下幾類來分析。
一、彈簧的平衡類問題：抓住物體的受力情況及彈力，應用平衡條件，并作好示意圖注意彈簧長度的幾何關系求解
【例1】：圖1質量為的物體A連接在固定于水平地面上的豎直輕彈簧B上，現用細線跨過定滑輪將物體A與另一輕彈簧C連接；當C處在水平面位置且右端位于點時它沒有發生形變。已知彈簧B和C的勁度分別為，不計定滑輪、細線的質量及摩擦，將彈簧C的右端沿水平方向從點緩慢拉到點時彈簧B剛好沒有形變；求⑴、間距離？⑵當彈簧B上彈力的大小為時，端移動的距離多少？
分析：⑴開始時A位于彈簧B上靜止且彈簧C恰處于原長，因而彈簧B將被壓縮的長度 為：，設此時B、C二彈簧的長度分別為；當B彈簧剛無形變時彈簧C對物體的彈力恰等于物體的重力而使彈簧C伸長為：，此時彈簧B、C的長度分別為、；因而利用長度的幾何關系可得：。
⑵當彈簧B上的彈力大小為時：①若彈簧B被壓縮，則B的壓縮量為，此時彈簧B的長度為；由物體A的平衡得此時彈簧C上的彈力也為即彈簧C被伸長，故彈簧C的長度為；所以點將向右移動的距離為。
②若彈簧B被拉長使其上彈力大小為，則B將伸長；由物體A平衡得此時彈簧C上的彈力為，故C伸長為；同前面得點將向右移動的距離為。
二、彈簧的瞬態類問題：抓住彈簧自身的三個特點：1、彈簧的形變需要時間；2、彈簧形變時彈力是變力且滿足胡克定律；3、彈簧上的彈力是由連接于彈簧兩端的物體與彈簧間的相互作用而使彈簧發生形變產生的，因而當彈簧兩端均連接有物體時其中的彈力在瞬間狀態發生前、后將保持不變(即為漸變彈力)；當將形變的彈簧從中剪斷瞬間則兩段彈簧中的彈力必瞬間突變成0；同時在分析彈簧的瞬態問題時還必須注意瞬態前、后物體的受力情況。
【例2】：圖2中質量分別為的三個小球A、B、C通過二輕彈簧相連，并用不可伸長的輕細線OA豎直懸掛而靜止；⑴當細線OA被剪斷瞬間三小球的加速度大小、方向如何？⑵當只將A、B間的彈簧剪斷瞬間三小的加速度大小、方向如何？
分析：三小球處于圖2示靜止時細線OA上的拉力大小為，A、B間的彈簧上的彈力大小為，B、C間的彈簧上的彈力大小為
⑴當細線OA被剪斷瞬間小球A所受到的細線OA的拉力突然變為0，但小球A所受到的A、B間彈簧上的彈力不變即且小球A的重力不變，故球A受到的合力的大小即為且方向向下，所以此時小球A的加速度的大小為向下；此時二彈簧上的彈力均不變故B、C二求所受的合力均力0即。
⑵當只將A、B間的彈簧剪斷瞬間則A、B間連接在小球A及小球B上的一段彈簧上的彈力必突變為0，因而此時小球A只受到線OA的拉力及自身重力作用且因細線OA無彈性、不可伸長故OA上的拉力必隨連接在小球A上的一段彈簧上的彈力的突變而作相應的突變，故小球A的加速度必為0；剪斷后瞬間小球B只受B、C間彈簧的彈力（不變）及自身重力，故球B受到的合力大小為方向向下，因而小球B的加速度的大小為向下；此時小球C的受力情況沒變故其加速度為0。
三、彈簧相關的運動和力關系問題：正確分析物體的受力情況，注意彈簧的形變與物體位移的關系，把握動力學與運動學的極值狀態，運用牛頓定律與運動學求解。
【例3】：圖3托盤A托著質量為的物體B，B掛在勁度為的輕彈簧下端，彈簧上端懸于O點；開始時彈簧豎直且為原長，今讓托盤A豎直向下做初速度為0的勻加速直線運動，其加速度為；求經過多長時間A、 B開始分離？
分析：物體B向下作勻加速直線運動中彈簧上的彈力變大，托盤A對物體B的支持力將變小，當支持力大小變為0時A、B恰好分離；故A、B剛分離時物體B的受力如圖3示重力和向上的彈力，二力之合產生向下的加速度；設此時彈簧伸長為則必有，再由物體B此過程作勻加速直線運動有，二式共得到時間為。
四：彈簧與簡諧振動的對稱性相關問題：正確分析物體的受力，抓住簡諧振動的回復力、相對于平衡位置的位移、加速度、速度的對稱性解題。
【例4】：圖4用質量不計的彈簧把質量為的木板A與質量為的木板B連接組成圖示裝置，B板置于水平地面上；現用一個豎直向下的力F緩慢下壓木板A，待A靜止后撤消F則木板B恰好被提離地面；由此可知力F的大小是：
A： B： C： D：
分析：當A上沒加壓力時A靜止于彈簧上端，此時彈簧上的彈力大小為，故彈簧被壓縮了；現用力F緩慢下壓彈簧待A靜止后撤去F，則物體A必以初位置O為平衡位置作簡諧振動；當物體A運動到最高點時彈簧上的彈力恰好將物體B提離地面，說明此時彈簧上的彈力 大小必為B的重力，故此時彈簧的伸長量；由此可見物體A作簡諧振動的振幅為，那么在F作用下A靜止在最低點處時彈簧的壓縮量必為，則此時彈力的大小必為，故A在最下端平衡時壓力F的大小為得“B”項正確。
【例5】：圖5示輕彈簧下端固定在水平地面上，彈簧位于豎直方向，其另一端靜止于B點；在B點正上方A點處有一質量為的物體從靜止下落，物體落在彈簧上壓縮彈簧到達C點時速度恰好為0；如果彈簧的形變始終未超出彈性限度，不計空氣阻力則：
A：物體在B點時動能最大，
B：物體從A經B到C，再由C經B到A的全過程中，物體的加速度的最大值必大于g，
C：物體從A經B到C，再由C經B到A的全過程中，物體作簡諧振動，
D：如果將物體從B點由靜止釋放，則物體仍能到達C點。
分析：當物體從B點由靜止釋放時物體必在以距離點B為處為平衡位置作簡諧振動，故振幅必為，此時物體運動到最下端時彈簧的壓縮量為，且此過程中物體在點B的重力勢能全轉化為物體在最低點時彈簧的彈性勢能；但當物體從A點落下時，其到點B時已有動能，故物體經過點B的能量較將物體從點B釋放時的能量要大，而物體運動到最低點時仍將點B處的能量轉化成最低點時彈簧的彈性勢，故物體到達最低點時彈簧的壓縮量必大于，因而物體在最低點處的合力必大于物體的重力且合力向上。
對“A”項：物體作自由落體運動到B點后由于出現彈力故先作加速度減小的加速運動到加速度為0時達到最大速度，再作加速度增大的減速運動到速度為0，因而物體的最大速度不是過點B時即“A”不對；對“B”項：由前面分析可見物體到達最低點時的加速度必為最大且大于重力加速度g，故“B”正確；對“C”項：物體從A到B的過程中只受恒力作用，故必不作簡諧振動即“C”不對；對“D”項：由前面分析知當物體從點B由靜止釋放時物體一定不能到達C點故“C”不對。
五、彈簧相關的動量守恒與能量守恒問題：在以彈簧的彈力為內力的系統相互作用中，抓住系統動量守恒，能量守恒來處理相關問題，特別注意分析系統間的作用過程與變化及臨界條件、極值條件。
【例6】：圖6示光滑水平面上放有A、B、C三個物體，其質量分別為、，用一輕彈簧連接物體A、B并用外力緩慢壓縮彈簧使三物體靠近，此過程中外力做功為；然后將系統完全釋放求：
①釋放后物體B對C一共做了多少功？②彈簧第二次被壓縮時彈簧具有的最大彈性勢能為多少？③求物體B具有的最大動能及此時的彈性勢能的大小？
分析：釋放后B、C作為一個物體與A通過彈簧發生作用，使物體A及B、C均作加速運動，當彈簧剛恢復原長時物體B、C分離；而后物體C因離開B而將作勻速直線運動，而物體A、B連接在彈簧兩端將與彈簧發生作用；設彈簧剛恢復原長時A的速度為，B、C的速度為則：
①由系統動量守恒與機械能守恒有解之得，故物體B對C所做的功全用來增加C的動能即；
②在C分離后的B、A作用中，當A、B有共同速度時彈簧被壓縮為最短使彈簧的彈性勢能達最大，故由可得；再由系統機械能守恒有得。
③在A、B通過彈簧發生相互作用中要使B具有最大動能，則由系統動量守恒知A、B必向相反方向運動且均具有最大速度，故A也必均具有最大動能，那么說明此時彈簧的彈性勢能；設此時A、B的速度大小分別為則有即解之有，故物體B的最大動能為。
六、彈簧相關的功、能關系問題：由于該類問題難度很大、能力要求很高，故學生在解答該問題時應當抓住彈力為變力，認真分析物體的受力情況及運動過程，注意運動、力的極值狀態與臨界狀態和相應條件；用動能定理或能量的轉化與守恒定律求彈力在某過程所做的功，或者用彈性勢能求某狀態的彈性勢能及某過程中彈性勢能的變化，或者用此過程中的平均彈力當作恒力作功來求彈力做的功；同時還要特別注意彈簧對物體系統的作用效果是否相同來找尋物理過程及物理問題間的相互聯系。
【例7】：圖7示傾角為θ的斜面底端固定一檔板M，質量為的滑塊A靜止于斜面上的P點并通過一輕彈簧與擋板M相連，開始時彈簧處于自然伸長狀態，另一個與A相同的滑塊B以速度沿斜面勻速下滑與A相撞后立刻一起向下運動，但A、B不粘連。它們到達一個最低點后又反向運動，滑塊B向上運動最后停在與P相距為L的Q點；求：①滑塊A、B靠在一起的運動過程中通過的路程及A、B分離時的速度？②若滑塊A仍靜放于P點，讓相同材料制成的質量為的滑塊C從Q點處以速度向下運動，經歷同樣的過程最后木塊C停在斜面上的D點，求P、D的距離L/=？
分析：①由于滑塊B沿斜面勻速下滑則B受重力、支持力及滑動摩擦力之合為0，即有故動摩擦因數為；當滑塊B與A碰撞后一起運動的過程中A、B系統滿足動量守恒，設碰撞后的共同速度為則有即；然后A、B一齊下滑并壓縮彈簧，此過程中A、B系統受重力、支持力、滑動摩擦力及彈力如圖示，由于故四力之合即為彈力，故A、B系將向下作加速度增大的減速運動到最低點時速度為0；然后再向上運動中由于滑動摩擦力方向沿斜面向下，故A、B系將向上作加速度減小的加速運動，到重力、支持力、滑動摩擦力f及彈力F之合為0即時系統達到向上運動的最大速度；然后系統繼續向上作加速度增大的減速運動直到A、B間的相互作用力為0時A、B恰好分離，因而A、B恰好分離時二物的受力及運動情況必相同即均只受重力、斜面支持力及摩擦力，故A、B恰好分離時彈簧必處于自然長度即恰在回到P點時二物分離。
設A、B恰分離時二物體的速度為，且從二物碰后到分離經過的路程為S，對該過程用能量轉化與守恒有（因為系統的重力勢能及彈性勢能沒有變）；由于二物在P點分離后滑塊B向上運動最后停在與P相距為L的Q點，對該過程中有；由以上二式現將代入得、。
附：法二：A、B系統從碰后到彈簧被壓縮到最短的過程中等效于只有彈力做功，故系統最初的動全部轉化成了最低點的彈性勢能即，設此時彈簧被壓縮了故有，再系統從最低點運動到P的過程中由能量轉化與守恒有，由⑵⑶⑷及可得上述結果。
②若將滑塊C從Q點以下滑，則C必勻速下滑到點P并與靜止滑塊A碰撞后一齊運動，設其共同速度為故有：有，A、C用在合力為彈力F作用下向下作加速度增大的減速運動到速度為0后又反向向上作加速度減小的加速度運動到最大速度再作加速度增大的減速運動到P點而分離；此過程中A、C系統的初動能為與第一次A、B系統碰撞后的初動能相同，因而兩次中系統的初動能全部轉化成最低點的彈性勢能必相同，故兩次中彈簧被壓縮的長度相同即兩次中系統從P點開始到回到P點所經過的路程必相同均為。
設A、C回到P點時的速度為，對A、C從碰后開始到回到P過程由能量轉化與守恒定律有：，再對C從P點分離后的運動，由⑸⑹及可得。

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