資源簡介

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23.1 圖形的旋轉
第二十三章 旋轉
第1課時 旋轉的概念與性質
學習目標
1. 掌握旋轉的有關概念及基本性質；（重點）
2. 能夠根據旋轉的基本性質解決實際問題.（難點）
導入新課
情境引入
這些運動有什么共同的特點？
講授新課
旋轉的概念
一
B
O
A
45
°
問題 觀察下面的現象，它有什么特點？
觀察與思考
鐘表的指針在不停地轉動，從 12 時到 4 時，時針轉動了______度.
120
把時針當成一個圖形，那么它可以繞著中心固定點轉動一定角度.
思考:怎樣來定義這種圖形變換？
雙擊打開
風車風輪的每個葉片在風的吹動下轉動到新的位置.
怎樣來定義這種圖形變換？
把葉片當成一個平面圖形，那么它可以繞著平面內中心固定點轉動一定角度.
雙擊打開
點擊按鈕播放
→
把一個平面圖形繞平面內某一點 O 轉動一個角度，叫做圖形的旋轉.
O
P′
P
旋轉中心
旋轉角
對應點
旋轉的定義
點 O 叫做旋轉中心.
轉動的角叫做旋轉角.
轉動的方向分為順時針與逆時針.
如果圖形上的點 P 經過旋轉變為點 P'，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點.
知識要點
例1 下列物體的運動是旋轉的有 .
①電梯的升降運動； ②行駛中的汽車車輪；
③方向盤的轉動； ④騎自行車的人；
⑤坐在摩天輪里的小朋友.
典例精析
②③⑤
方法點撥：判斷一種運動是否屬于旋轉，先看圖形是否在同一平面內運動，其次要看是否有旋轉中心、旋轉角、旋轉方向，還要注意判斷變化前后圖形大小是否發生了變化.
例2 若葉片 A 繞 O 順時針旋轉到葉片 B，則旋轉中心是_____，旋轉角是_________，
旋轉角等于____°，其中的對應點
有_______、_______、_______、
_______、_______、_______.
點 O
∠AOB
60
F 與 A
A 與 B
B 與 C
C 與 D
D 與 E
E 與 F
A
C
D
E
F
B
O
練習 如圖，△ABD 經過旋轉后到△ACE 的位置.
(1)旋轉中心是哪一點
(2)旋轉了多少度 順時針還是逆時針？
(3)如果 M 是 AB 的中點，經過上述旋轉后，點 M 轉到什么位置
A
B
C
E
M
解：(1)旋轉中心是點 A.
(2)旋轉了 60°，逆時針.
(3)點 M 轉到了 AC 的中點上.
D
60°
.
旋轉中心
旋轉角
旋轉方向
必須明確
確定一次圖形的旋轉時：
溫馨提示：旋轉的范圍是“平面內”，其中“旋轉中心，旋轉方向，旋轉角度”稱為旋轉的三要素；
歸納總結
A．30° B．45° C．90° D．135°
例 3 如圖，點 A、B、C、D 都在方格紙的格點上，若△AOB 繞點 O 按逆時針方向旋轉到△COD 的位置，則旋轉的角度為 ( )
解析：對應點與旋轉中心的連線的夾角，就是旋轉角，由圖可知，OB、OD 是對應邊，∠BOD 是旋轉角，所以旋轉角為 90°.
C
C
D
A
B
O
旋轉的性質
二
合作探究
A
B
B′
A′
C
．
M
．
．
．
．
45°
繞點 C 逆時針旋轉45°
△ABC 如何運動到△A′B′C 的位置？
N'
N
M′
旋轉中心是點_____；
圖中對應點有___________________
_______________________________；
圖中對應線段有_________________
_______________；
每對對應線段的長度關系是_____；
圖中旋轉角等于_____°.
C
點 A 與點 A′，點 B 與
點 B′，點 M 與點 M′，點 N 與點 N′
CA 與 CA′、CB 與
CB′、AB 與 A′B′
45
相等
根據右圖填空：
B'
A'
C'
A
B
C
O
AO = A'O，BO = B'O，CO = C'O
∠AOA' =∠BOB' =∠COC'
觀察下圖，你能找到相等的角和線段嗎？
雙擊打開
2. 對應點與旋轉中心所
連線段的夾角等于旋轉角；
E
A
B
F
C
O
1. 對應點到旋轉中心的
距離相等；
3. 旋轉前、后的圖形全等.
旋轉的性質
知識要點
D
想一想 如圖，將△ABC 逆時針旋轉得到△DEF，如何確定它們的旋轉中心位置？
D
E
B
F
C
A
答：如圖，兩組對應點所連線段的垂直平分線的交點 O
即為旋轉中心.
O
練一練 如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，已知△ABC
的頂點 A(1，2)、B(－2，2)、C(－1，0)．若將△ABC以某點為旋轉中心，順時針旋轉 90° 得到△DEF，則旋轉中心的坐標是(　　)
A.(0，0) B.(1，0)
C.(1，－1) D.(2.5，0.5)
方法點撥：旋轉中心在對應點連線的 垂直平分線上，要找旋轉中心，只需 找到兩組對應點連線的垂直平分線的交點即可.
C
例4 如圖，將△ABC 繞點 A 逆時針旋轉 150°，得到△ADE，這時點 B，C，D 恰好在同一直線上，求∠B 的度數.
解：∵將△ABC 繞點 A 逆時針旋轉 150°，得到△ADE，
∴∠BAD = 150°，AB = AD.
∴∠B = (180°－150°) = 15°.
變式 如圖，△ABC 為鈍角三角形，將△ABC 繞點 A 逆時針旋轉 120°，得到△AB'C' ，連接 BB' . 若 AC'∥BB' ，則∠CAB' 的度數為多少？
解：∵將△ABC 繞點 A 逆時針旋轉120°，得到△AB'C'，
∴∠BAB' =∠CAC' = 120°，AB = AB' .
∴∠AB'B = (180°－120°) = 30°.
又∵AC'∥BB' ，
∴∠B'AC' =∠AB'B = 30°.
∴∠CAB' =∠CAC'－∠B'AC' = 120°－30° = 90°.
例5 如圖，四邊形 ABCD 是正方形，△ADF 按順時針方向旋轉一定角度后得到△ABE. 已知 AF＝5，AB＝8，求 DE 的長度．
解：∵△ADF 按順時針方向旋轉一定角度后得到△ABE，
∴AE＝AF＝5，AD＝AB＝8.
∴DE＝AD－AE＝8－5＝3.
方法點撥：利用旋轉的性質解決問題時應抓住以下幾點：
(1)明確旋轉中的“變”與“不變”；
(2)找準旋轉前后的“對應關系”；
(3)充分挖掘旋轉過程中的相等關系.
視頻來源：洋蔥數學
視頻：正 n 邊形的旋轉特性
點擊視頻開始播放
1. 下列現象中屬于旋轉的有 ( )
①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉動；④水龍頭開關的轉動；⑤鐘擺的運動；⑥蕩秋千運動.
A. 2 個 B. 3 個 C. 4 個 D. 5 個
2. 下列說法正確的是 ( )
A. 旋轉改變圖形的形狀和大小
B. 平移改變圖形的位置
C. 平移圖形可以向某方向旋轉一定距離得到
D. 由平移得到的圖形也一定可由旋轉得到
B
C
當堂練習
3. △ABC 繞點 A 旋轉一定角度后得到 △ADE，若 BC = 4，AC = 3，則下列說法正確的是（ ）
A. DE = 3
B. AE = 4
C. ∠CAB 是旋轉角
D. ∠CAE 是旋轉角
D
4. 如圖，在平面直角坐標系中，有一個 Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1 是由△ABC 旋轉得到的，則旋轉中心的坐標是 (　　)
A．(0，0)
B．(－1，0)
C．(1，0)
D．(0，－1)
A
D
A
B
C
E
E′
5. 如圖，點 E 是正方形 ABCD 內一點，連接 AE，BE，CE，將△ABE 繞點 B 順時針旋轉 90° 到△CBE′ 處，若 AE＝1，BE＝2，CE＝3，則∠BE′C＝____度．
解析：連接 EE′.
由旋轉性質知 BE = BE′，∠EBE′ = 90°，
AE = CE′，∴∠BE'E = 45°，
EE′
在△EE′C 中，E′C = 1，CE = 3，
EE′
由勾股定理逆定理可知∠EE′C = 90°.
∴∠BE′C=∠BE′E＋∠EE′C = 135°.
135
拓展訓練
如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 3，
E、F 分別是 AB、BC 邊上的點，且∠EDF = 45°，將△DAE 繞點 D 按逆時針方向旋轉 90°，得到△DCM．
(1) 求證：EF = MF；
證明：∵△DAE 繞點 D 逆時針旋轉 90° 得到△DCM，
∴DE = DM，∠EDM = 90°.
∵∠EDF = 45°，∴∠FDM = 45°.
∴∠EDF =∠FDM．
又∵DF = DF，DE = DM，
∴△DEF≌△DMF. ∴EF = MF.
解：設 EF = MF = x，
∵ AE = CM = 1，AB = BC = 3，
∴ EB = AB - AE = 3－1 = 2，
BM = BC + CM = 3 + 1 = 4.
∴ BF = BM－MF = 4－x.
在 Rt△EBF 中，由勾股定理得 EB2 + BF2 = EF2，
即 22 + (4－x)2 = x2，
解得 x =
故 EF 的長為 .
(2) 當 AE = 1 時，求 EF 的長．
課堂小結
旋轉
定義
三要素：旋轉中心，旋轉方向和旋轉角度
性質
1. 對應點到旋轉中心的距離相等；
2. 對應點與旋轉中心所連線段的
夾角等于旋轉角；
3. 旋轉前、后的圖形全等

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