資源簡介

(共20張PPT)
概率的應用
1、抓鬮是否公平
假設有三個鬮,其中一個標有“獎”,另兩個為空,甲、乙、丙依次從箱中摸出一個,誰最有機會摸到標有“獎”的鬮呢?
乙的機會如何呢?甲沒有摸到的概率是2/3,乙摸到標有“獎”的鬮的概率是2/3×1/2=1/3
。
甲的機會是三摸一,摸到標有“獎”的鬮的概率是1/3。
丙只有在甲、乙都沒有摸到的情況下才可能摸到,丙的概率是1-1/3-1/3=1/3。
2、源于博弈成科學
保險業
賭
博
據傳,當時有一個賭徒梅勒和他的一個朋友每人出30個金幣,兩人誰先贏滿三局誰就得到全部賭注。在游戲進行了一會兒后,梅勒贏了兩局,他的朋友贏了一局.這時候梅勒由于一個緊急事情必須離開。他們該如何分配賭桌上的60個金幣呢?梅勒的朋友認為,既然他接下來贏的機會是梅勒的一半,那么他該拿到梅勒所得的一半,即他拿20個金幣,梅勒拿40個金幣。然而梅勒爭執道:再擲一次色子,即使他輸了,游戲是平局,他最少也能得到全部賭注的一半（30個金幣）；但如果他贏了,就可以拿走全部的賭注。在下一次擲色子之前,他實際上已經擁有了30個金幣,他還有50%的機會贏得另外30個金幣,所以,他應分得45個金幣。賭本究竟如何分配才合理呢?
梅勒把這個問題告訴了當時法國著名的數學家帕斯卡,這居然也難住了帕斯卡,因為當時并沒有相關的知識來解決此類問題。帕斯卡又寫信告訴了另一個著名的數學家費爾馬,于是在這兩位偉大的法國數學家之間開始了具有劃時代意義的通信,在通信中,他們最終正確地解決了這個問題。
如果繼續賭下去,梅勒(設為A)和他的朋友(設為B)最終獲勝的機會如何呢?
先做一個樹結構圖，根據樹結構圖，A勝的概率是3／4時，就把賭錢的3／4分給A，把剩下的1／4分給B就可以了。
A勝
A概率為
1/2+1/4=3/4
B概率為1/2×1/2=1/4
A勝
A勝
B勝
B勝
1/2
1/2
1/2
1/2
后來,荷蘭著名的數學家惠更斯把這一問題置于更復雜的情形之下,試圖總結出更一般的規律,于1657年寫成了《論賭博中的計算》一文,這就是最早的概率論著作。由賭徒的問題引起,概率逐漸演變成一門嚴謹的科學。
3、彩票中獎是個夢
我們以前段時間比較流行的“6+1”中國體育福利彩票為例來計算一下。買一注彩票,你只需在0到9
的10個數字中任意選取7個,可以重復。在每一期開獎時有一個專門的搖獎機按順序隨機搖出7個標有數字的小球,如果你買的號碼與開獎的號碼一致,那你就中了特等獎,其獎金最高是500萬元。
計算這種搖獎方式能產生出多少種不同的情況:
10×10×10×10×10×10×10=10000000種!這就是說,假如你只買了一注彩票,7個號碼按順序與開獎號碼完全一致的機會是一千萬分之一。
“一千萬分之一”是一個什么樣的概念呢?如果每星期你堅持花20元買10注彩票,那在每19230年中有贏得一次大獎的機會；即使每星期堅持花2000元買1000注,也大致需要每192年才有一次中大獎的機會。這幾乎是單靠人力所不能完成的,“獲大獎”僅是我們期盼中的偶然事件。
4、直覺想象靠不住
舉一個有趣的小例子:給你一張美女照片,讓你猜猜她是模特還是售貨員?
5、輕易估計最易錯
以1年365天計,在某人群中至少要有兩人的生日相同,那么需要多少人呢?
如果一個班有50個人,他們中間有人生日相同的概率是多少?
a.50個人可能的生日組合是:365×365……365
b.50個人生日都不重復的組合是:365×364……316
這里,50個人生日全不相同的概率是b/a≈0.03,
因此,50個人生日有重復的概率是1-0.03≈0.97=
97%。
歷史上有名的生日問題，記n為相關的人數，n
個人中至少有兩人的生日在同一天的概率為P(A)，則有下表：
n
P(A)
10
20
30
40
50
23
0.12
0.41
0.51
0.71
0.89
0.97
字母
空格
E
T
O
A
N
I
R
S
頻率
0.2
0.105
0.071
0.0644
0.063
0.059
0.054
0.053
0.052
字母
H
D
L
C
F
U
M
P
Y
頻率
0.047
0.035
0.029
0.023
0.0221
0.0225
0.021
0.0175
0.012
字母
W
G
B
V
K
X
J
Q
Z
頻率
0.012
0.011
0.0105
0.008
0.003
0.002
0.001
0.001
0.001
6、概率的應用舉例
例1.下面就是英文字母使用頻率的一份統計表。
空格的使用頻率最高.人們在設計鍵盤時，空格鍵不僅最大,而且安排在最便于使用的位置，這樣就把它放在鍵盤的下方中央。其他字母鍵也參考其使用概率的大小，配合手指在鍵盤上的操作規律，被安排在它們應在的位置。
如圖，當輸入拼音“shu”，則提示有以下幾種可供選擇：1.數，2.書，3.樹，4.屬，5.署……這個顯示順序基本上就是按照拼音為“shu”的漢字出現頻率從大到小排列的。
▼
1
數
2
書
3
樹
4
屬
5
署
6
輸
7
淑
8
術
9
舒
數
例2.1965年，發明了一種應用概率知識來消除這種不愿意情緒的方法，叫做“隨機化應答方法”，要求人們隨機地回答所提兩個問題中的一個，而不必告訴采訪者回答的是哪個問題。兩個問題中有一個是敏感的或者是令人為難的；另一個問題是無關緊要的。這樣應答者將樂意如實地回答問題，因為只有他知道自己回答的是哪個問題。
例如，在調查運動員服用興奮劑的時候，無關緊要的問題是“你的身份證號碼的尾數是奇數嗎”，敏感的問題是“你服用過興奮劑嗎”，然后要求被調查的運動員擲一枚硬幣。如果出現正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題。
假如我們把這種方法用于200個被調查的運動員，得到54個“是”的回答。
因為擲硬幣出現正面的概率為1/2，我們期望大約有100人回答了第一個問題。因為身份證號碼尾數是奇數或偶數的可能性是同樣的，因而在回答第一個問題的100人中大約有一半人，即50人，回答了“是”。其余4個回答“是”的人服用過興奮劑。由此我們估計這群人中大約有4%的人服用過興奮劑。
例3.深夜，一輛出租車被牽涉進一起交通事故，該市有兩家出租車公司：紅色出租車公司和藍色出租車公司，其中藍色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個
城市出租車的85%和15%，據現場目擊證人說，事故現場的出租車是紅色的，對證人的辨別能力作了測試，測得他辨認顏色的正確率為80%，于是警察就認定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑。請問警察的認定對紅色出租車公平嗎？試說明理由。
解：設該城市有出租車1000輛，依題意可得如下信息：
從表中可以看出，當證人說出租車是紅色時，
且經確認是紅色的概率為:
120/290≈0.41
而是藍色的概率為:
170/290≈0.59
在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據，
對紅色出租車顯然是不公平的。
證人所說的顏色（正確率80％）
藍色
紅色
合計
藍色（85％）
紅色（15％）
真
實
顏
色
合計
680
170
850
30
120
150
710
290
1000
小
結
　　運用概率論的知識，我們能對許多不可思議的現象，給出令人信服的解釋。掌握一定的數學知識，能幫助我們在日常生活中作出更明智的選擇。

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