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人教A版高一下冊數(shù)學(xué)-必修第二冊8.4.1平面 教學(xué)設(shè)計
課題 8.4 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 8.4.1 平面
課型 新授課 課時 1課時
學(xué)習(xí)目 標(biāo) 1.初步理解平面的概念、三個基本事實和推論，會用圖形、文字、符號三種語言形式表述三個基本事實和推論． 2.在探究三個基本事實的情境中，感悟立體幾何結(jié)論發(fā)現(xiàn)的過程，體驗研究幾何體的方法，提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
學(xué)習(xí)重 點 對三個基本事實和三個推論的理解及其集合符號語言表示．
學(xué)習(xí)難 點 對基本事實的理解和集合符號語言表示，對推論的說理證明．
學(xué)情分 析 在初中學(xué)生初步學(xué)面幾何的相關(guān)知識，掌握了平面內(nèi)點、直線的概念和性質(zhì),在學(xué)習(xí)新課時，可以通過類比“直線”來研究“平面”.通過以前的學(xué)習(xí)，學(xué)生對平面幾何已有一定的分析和推理能力，初步具備了學(xué)習(xí)點、直線、平面之間的位置關(guān)系的能力,但學(xué)生以前接觸的大多是平面圖形,習(xí)慣于在平面上解決問題,空間想象能力、思維能力較弱,需要教師做好引導(dǎo).
核心知 識 對三個基本事實和三個推論的理解及其集合符號語言表示．
教學(xué)內(nèi)容及教師活動設(shè)計 （含情景設(shè)計、問題設(shè)計、學(xué)生活動設(shè)計等內(nèi)容） 教師個人復(fù)備
一、引入新課 情境：在初中，我們已經(jīng)對點和直線有了一定的認(rèn)識，知道它們都是由現(xiàn)實事物抽象得到的，平面是構(gòu)成我們生活的空間的基本元素之一，增加了對平面的研究，幾何的學(xué)習(xí)就由二維到三維．你能舉例說明，生活中哪些物體給我們平面的感覺呢？ 答：教室里的黑板、平整的操場、桌面、平靜的湖面等，都給我們以平面的印象．幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的． 設(shè)計意圖：通過生活實例直觀感知平面，引出本節(jié)課平面的概念． 二、課堂探究 問題１：和點、直線一樣，平面也是從現(xiàn)實世界中抽象出來的不加定義的最基本的幾何概念．那么，類比直線的“直”和向兩端“無限延伸”的特征，平面有哪些特征呢？ 答：（1）平面是“平”的； 平面可以向四周“無限延伸”； 沒有厚度. 追問1：學(xué)習(xí)了一個數(shù)學(xué)概念，接下來就是學(xué)習(xí)它的表示，想一想，我們是怎么用圖形和符號表示直線的？類似地，如何用圖形和符號表示平面？ 答：類比用直線的局部，即線段表示直線，可以選取平面的一部分中最具代表性的矩形，用其直觀圖，即平行四邊形表示平面．當(dāng)平面水平放置的時候，通常把平行四邊形的一邊化成橫向；當(dāng)平面豎直放置的時候，通常把平行四邊形的一邊化成豎向． 平面通常用希臘字母，，，…等表示，也可以用表示平行四邊形頂點的字母表示，如平面；還可以用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面、平面． 當(dāng)兩個平面相交時，可以把被遮擋部分畫成虛線或者不畫，這樣看起來更加立體． 設(shè)計意圖：類比直線的圖形和符號表示給出平面的圖形和符號表示，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)研究方法的特點和一致性，平面的圖形表示實際也是其直觀圖表示，也可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)． 接下來，我們研究平面的基本性質(zhì)．要研究平面，首先要確定平面． 問題２：我們知道，兩點可以確定一條直線，那么幾個點可以確定一個平面？ 追問1：過一個點有多少個平面？ 答：無數(shù)個． 追問2：過兩個點有多少個平面？ 答：無數(shù)個． 追問3：過三個點有多少個平面？ 答：過同一條直線上的三個點有無數(shù)個平面，過不在同一直線上的三個點有且只有一個平面． 追問4：過四個點能確定一個平面嗎？ 答：不一定．如圖：點A，C，D，E確定一個平面；點A，C，D，D'形成了一個三棱錐，確定4個平面． 基本事實1：過不在一條直線的三個點，有且只有一個平面． 注意：①三點不共線；②“有”，指平面的存在性；③“只有一個”，指平面的唯一性． 思考：基本事實1說明“不共線的三點確定一個平面”，是從點和平面的位置關(guān)系的角度刻畫平面，如何將這一基本事實用圖形表示？如何用符號表示點和直線、平面的位置關(guān)系？ 答：如圖，不共線的三點，，確定一個平面，記為平面． 直線上有無數(shù)個點，平面內(nèi)也有無數(shù)個點，因此，直線、平面都可以看成是無數(shù)個點組成的集合，故點與直線、點與平面的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“”或“”表示． 如圖，點在直線上，記作；點在直線外，記作；點在平面內(nèi)，記作；點在平面外，記作． 說一說：你能舉出一些生活實例來驗證基本事實1嗎？ 答：如：自行車用一個腳架和兩個車輪著地就可以“站穩(wěn)”；三腳架的三腳著地就可以支撐照相機(jī)；將教室的門的兩個鉸鏈看成兩個點，門插銷看成一個點，當(dāng)插銷插上時，門不再動了． 設(shè)計意圖：類比確定直線的問題提出確定平面的問題，得到“不共線的三點確定一個平面”，并給出其圖形表示以及點和直線、平面之間位置關(guān)系的集合符號表示． 基本事實1刻畫了點與平面的位置關(guān)系，我們接下來研究直線與平面的位置關(guān)系． 問題３：如果直線與平面有一個公共點，直線是否在平面內(nèi)？如果直線與平面有兩個公共點呢？ 答：如圖，若直線上僅有一個點在平面內(nèi)，則直線不在平面內(nèi)，若直線上有兩個點（不妨設(shè)為、）在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)． 追問1：你能將上述事實歸納為一句話來表達(dá)嗎？ 答：將上述事實進(jìn)行抽象，可得： 基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)． 追問2：基本事實2反映了直線和平面的位置關(guān)系，如何將這一基本事實用圖形表示？如何用符號表示直線和平面的位置關(guān)系？ 答：如圖直線上有兩個點、在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)． 直線與平面都可以看成是由無數(shù)個點構(gòu)成的集合，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“”或“”表示． 如圖，直線上所有的點都在平面內(nèi)，就說直線在平面內(nèi)，記作；否則，就說直線不在平面內(nèi)，記作． 這樣，基本事實2也可以用符號表示為：，，且， ． 追問3：我們知道，平面具有“平”和“無限延展”的特征，而基本事實2反映了直線與平面的位置關(guān)系，我們能不能利用這種位置關(guān)系，用直線的“直”和“無限延伸”刻畫平面的“平”和“無限延展”？ 答：如圖，由基本事實1，給定不共線三點，，，它們可以確定一個平面；連接，，，由基本事實2，這三條直線都在平面內(nèi)，進(jìn)而連接這三條直線上任意兩點所得直線也都在平面內(nèi)，所有這些直線可以編織成一個“直線網(wǎng)”，這個“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面．組成這個“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”． 設(shè)計意圖：結(jié)合基本事實1和2，用直線的“直”和“無限延伸”的基本特征說明平面的“平”和“無限延展”的基本特征，這也說明對于不加定義的“平面”概念，就是用刻畫它的基本事實說明其基本特征的，從而也加深對于平面概念的理解． 基本事實1和2分別從點與平面、直線與平面關(guān)系的角度對平面進(jìn)行了刻畫，接下來，我們從平面與平面關(guān)系的角度對平面進(jìn)一步刻畫，思考下面的問題： 問題４：把三角尺的一個角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點？為什么？ 答：不止一個公共點．因為平面是無限延展的，把三角尺所在的平面延展，用它“穿透”課桌，可以想象，這兩個平面相交于一條直線． 追問1：你還能舉出生活中其它平面與平面相交的例子嗎？ 答：如，教室相鄰的兩個墻面在地面的墻角處有一個公共點，這兩個墻面相交于過這個點的一條直線等． 由此，我們可以歸納出基本事實3： 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． 符號語言：若P∈，且P∈且P∈l． 注：如無特殊說明，本章中的兩個平面均指兩個不重合的平面． 追問2：結(jié)合基本事實3，你能進(jìn)一步說明平面的“平”和“無限延展”的特征嗎？ 答：基本事實3說明：如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面一定相交于過這個公共點的一條直線．兩個平面相交成一條直線的事實，可以讓我們進(jìn)一步認(rèn)識了平面的“平”和“無限延展”． 問題５：基本事實1給出了確定一個平面的一種方法．利用基本事實1和基本事實2，再結(jié)合“兩點確定一條直線”，你還可以得到一些確定一個平面的方法嗎？ 答：事實上，如圖（1），設(shè)點是直線外一點，在直線上任取兩點和，則由基本事實1，經(jīng)過，，三點確定一個平面，再由基本事實2，直線也在平面內(nèi)，因此平面經(jīng)過直線和點，即一條直線和這條直線外一點確定一個平面． 對圖（2）、（3）用類似的方法，可以得出兩條相交直線確定一個平面、兩條平行直線確定一個平面． 總結(jié)： 推論1：一條直線和該直線外一點確定一個平面； 推論2：兩條相交直線確定一個平面； 推論3：兩條平行直線確定一個平面． 以上三條推論與基本事實1都是確立平面的依據(jù)． 三、知識應(yīng)用 例1 用符號表示下列語句，并畫出圖形： （1）點在平面內(nèi)但在平面外； （2）直線經(jīng)過平面內(nèi)一點，外一點B； （3）直線在平面內(nèi)，也在平面內(nèi)． 解：（1），.(如圖①) （2），，，，.(如圖②) （3）.(如圖③) 例2 已知：，，，． 求證：直線，，共面． 分析：因為直線與點可以確定平面，所以只需證明，，都在平面內(nèi)． 證明：因為，所以與可以確定平面（推論1）． 因為，所以． 又，所以（基本事實2）． 同理，，所以，，在同一平面內(nèi)，即它們共面． 例3 如圖，在長方體中，為棱的中點，畫出由，，三點所確定的平面與長方體表面的交線． 分析：因為點既在平面內(nèi)又在平面內(nèi)，所以點在平面與平面的交線上.同理，點在平面與平面的交線上.因此，就是平面與平面的交線． 作法：連接，，，它們就是平面與長方體表面的交線． 設(shè)計意圖：通過例題，考查學(xué)生對3個基本事實及其推論的理解，并鍛煉學(xué)生對點、直線、平面位置關(guān)系的“三種”語言的轉(zhuǎn)化能力． 四、課堂練習(xí) 1.判斷正誤，并說明理由： （1）平面α與平面β相交，它們只有有限個公共點． （2）一個點和一條直線確定一個平面． （3）兩兩相交的三條直線確定一個平面． （4）如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合． 2.下列推理錯誤的是（ ） A. B. C. D. 3.如圖，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，過對角線AC′的截面為菱形AEC′F，試著畫出截面AEC′F與底面ABCD的交線． 4.若直線l與平面相交于點O，A，B∈l，C，D∈，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關(guān)系是 ． 參考答案： 1.（1）錯誤，根據(jù)基本事實3，兩平面交于一條直線，有無限個公共點，錯誤． （2）錯誤，根據(jù)推論1，只有當(dāng)點在線外，才能確定一個平面，若點在線上，則確定無數(shù)個平面，錯誤． （3）錯誤，若交點不重合，則能確定一個平面，若交點重合，則可能確定三個平面，錯誤． （4）正確，若兩平面平行，無公共點；若相交，交點共線.故重合，正確． 2.A選項，，可能，所以A選項推理錯誤； B選項，根據(jù)基本事實2可知，B選項正確； C選項，因為，所以，所以，C選項正確； D選項，顯然正確． 故選擇A選項． 3.延長CB、C′E交于點M， 延長CD、C′F交于點N，連接MN， 則平面C′MN即截面AEC′F， 故MN即所需畫的交線． 4.解：如圖，∵AC∥BD， ∴AC，BD確定一個平面，設(shè)為平面， 則C，D，l均在平面內(nèi)， ∵點O在直線l上， ∴點O在平面內(nèi)， 又點O，C，D在平面內(nèi)， ∴平面相交于O，C，D所在直線（基本事實3）， 故O，C，D三點共線． 五、歸納總結(jié) 回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？ 答：三個基本事實即三個推論，具體內(nèi)容如下： 基本事實1：過不在一條直線的三個點，有且只有一個平面． 基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)． 基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． 推論1：一條直線和該直線外一點確定一個平面． 推論2：兩條相交直線確定一個平面． 推論3：兩條平行直線確定一個平面確定一個平面． 平面的三個基本事實通過點、直線與平面的相互關(guān)系刻畫了平面的基本性質(zhì)“平”和“無限延展”．
板書設(shè)計
作業(yè)設(shè)計 精準(zhǔn)化作業(yè)8.4.1；教材后習(xí)題
教學(xué)反思 在教學(xué)過程中，要與平面幾何作比較，理解虛線與輔助線的區(qū)別，規(guī)范畫圖；另外，要注重理論與實踐的結(jié)合，類似判斷桌子四條腿的底端是否在同一個平面內(nèi)的方法。

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