資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
分課時教學設計
《4.3用乘法公式分解因式（第1課時）》教學設計
課型 新授課√ 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 本節課主要讓學生經歷通過整式乘法的平方差公式的逆向運用得出因式分解的平方差公式的過程，發展學生的觀察能力和逆向思維能力，讓學生進一步了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系。它對學習完全平方公式因式分解和后面即將要學習的分式化簡和計算，對之后學習一元二次方程的解法和二次函數都有著重要的影響，所以學好本節課對后面的學習至關重要。
學習者分析 分解因式是整式乘法的逆運用，與整式乘法運算有著密切的聯系。分解因式的變形不僅體現了一種“化歸”的思想，也為學習分式，利用因式分解解一元二次方程的基礎，對整個教科書也起到了承上啟下的作用。探索分解因式的方法，實際上是對基式乘法的再認識，因此要借助學生已有的整式乘法運算的基礎，給學生創設一個新的、具有啟發性的情境，激勵學生通過獨立思考與討論交流發現問題情境中的交形關系，并運用數學符導進行表示，然后再運用新學的知識去解決相關的間題，同時在這一對比整式的乘法而探索分解國式方法的相關活動過程中，力圖滲透類比思想，讓學生體會、理解、認識分解因式的意義，感受其間的聯系，學生不僅能夠理解，歸納分解醫式變形的特點，同時也可以充分感受到這種豆逆交形的過程和數學知識的整體性。
教學目標 1.會用平方差公式分解因式，進一步掌握因式分解的一般步驟； 2.培養學生逆向思維能力，進一步體會整體、轉化思想的應用.
教學重點 利用平方差公式分解因式.
教學難點 領會因式分解的解題步驟和分解因式的徹底性，應用逆向思維的方向，演繹出平方差公式，對公式的應用首先要注意其特征，其次要做好式的變形，把問題轉化成能夠應用公式的方面上來.
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：新知導入教師活動1： 一座公園建筑的示意圖如圖所示。環形綠化帶的外圓半徑為7.5m,內圓半徑為5.5m。這個環形綠化帶的面積是多少 列式：7.52π-5.52π 怎樣計算比較簡便 學生活動1： 學生動腦思考。活動意圖說明： 通過已學知識的問題引入課題，引導學生思考，鞏固舊知，引發新知。環節二：用平方差公式分解因式教師活動2： 問題：整式乘法中的平方差公式是什么？ 平方差公式：(a+b)(a b)=a2 b2. 因式分解平方差公式： a b = (a+b) (a b) 兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積. 公式中的字母 a,b 可以表示數、單項式或多項式. 平方差公式的特點： 做一做：下列各式能用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式嗎 a,b分別表示什么 把下列各式分解因式. x2-1； (2) m2-9； (3) x2-4y2. (1) a表示x, b表示1, x2-1=(x+1)(x-1). (2) a表示m,b表示3, m2-9=(m+3)(m-3). (3) a表示x, b表示2y, x2-4y2=(x+2y)(x-2y). 例1 把下列各式分解因式: (1) 16a2-1；(2) -m2n2+4l2；（3）; (4)(x+z)2-(y+z)2. 解: (1) 16a2-1=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1); (2) -m2n2+4l2=(2l)2-(mn)2=(2l+mn)(2l-mn); (3)=-= (4)(x+z)2-(y+z)2=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =(x+y+2z)(x-y). 一般地,如果一個多項式可以轉化為a-b的形式,那么這個多項式就可以用平方差公式分解因式。 例2 分解因式:4x3y－9xy3. 解：4x3y－9xy3＝xy(4x2－9y2) ＝xy[(2x)2－(3y)2] ＝xy(2x＋3y)(2x－3y)． 分解因式前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止． 因式分解的步驟： （1）若多項式中有公因式，應先提取公因式，再進一步分解因式； （2）剩余因式若有兩項，異號，兩項是平方差，則用平方差公式繼續分解因式. 注意：每個因式要分解到不能繼續分解為止.學生活動2： 學生回答乘法的平方差公式，然后根據因式分解和整式乘法的互逆關系。歸納出用平方差公式來分解因式的方法。 學生理解因式分解平方差公式，了解公式特點。 學生思考，舉手回答。 學生完成例題，舉手展示答案。 學生與教師一起總結因式分解的步驟。 活動意圖說明： 讓學生探究、發現能用平方差公式因式分解的代數式所具備的特征，讓學生理解公式中的a和b并不只是單獨指數字、字母或單項式，也可是多項式，并運用平方差公式進行因式分解。通過對運用平方差公式進行因式分解的探究學習，在經歷猜想、驗證、歸納的學習過程中，體會歸納的數學思想方法，逐步養成用數學語言表達與交流的習慣，感悟數據的意義與價值.通過例題，檢驗學生的掌握程度，提高運算能力。
板書設計 課題：4.3用乘法公式分解因式（第1課時） 1.因式分解平方差公式： a b = (a+b) (a b) 兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積. 2.因式分解的步驟：
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是(　B 　) A. x2+4y2 B. -x2+4y2 C. x2-2y+1 D. -x2-4y2 2.下列因式分解正確的是(　D　) A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2) 3.分解因式: (1) 25x2y2-64;(2) (2a-b)2-9a2;(3) a2(x-y)+b2(y-x);(4) 9(x+y)2-(x-y)2. 解： (1) (5xy+8)(5xy-8)　(2) -(a+b)(5a-b)　 (3) (x-y)(a+b)(a-b)　(4) 4(x+2y)(2x+y) 選做題： 4.如圖,在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形(a>b).把余下的部分剪成兩個直角梯形后,再拼成一個等腰梯形,通過計算陰影部分的面積,驗證了一個等式,這個等式為(　A　) A. a2-b2=(a+b)(a-b) B. (a+b)2=a2+2ab+b2 C. (a-b)2=a2-2ab+b2 D. a2-ab=a(a-b) 5.某同學粗心大意,分解因式時,把等式x4- =(x2+4)(x+2)(x- )中的兩個數弄污染了,則等式中的 , 對應的數分別是(　B　) A. 8,1 B. 16,2 C. 24,3 D. 64,8 【綜合拓展類作業】 6.學習了因式分解的知識后，老師提出了這樣一個問題：設n為整數，則(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除嗎？若能，請說明理由；若不能，請舉出一個反例．你能解答這個問題嗎？ 解：(n＋7)2－(n－3)2 ＝[(n＋7) ＋(n－3)][(n＋7)－(n－3) ] ＝10(2n＋4)＝20(n＋2)， 故(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除．
課堂總結 1.因式分解平方差公式： a b = (a+b) (a b) 兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積. 2.因式分解的步驟： （1）若多項式中有公因式，應先提取公因式，再進一步分解因式； （2）剩余因式若有兩項，異號，兩項是平方差，則用平方差公式繼續分解因式.
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1.因式分解：1－4y2＝(　A 　) A.(1－2y)(1＋2y) B. (2－y)(2＋y) C. (1－2y)(2＋y) D. (2－y)(1＋2y) 2.分解因式：ax2－ay2＝___a(x＋y)(x－y)__． 3.把下列各式分解因式： (1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；(2)x4－81y4； 解：(1)原式=[(3a－2b)＋(2a＋3b)][(3a－2b)－(2a＋3b)] ＝(3a－2b＋2a＋3b)(3a－2b－2a－3b) ＝(5a＋b)(a－5b)． (2)原式=a2(a2－9b2) ＝a2(a＋3b)(a－3b)． 選做題： 4.小明在抄分解因式的題目時,不小心漏抄了二項式x2-□y2中“□”的部分,若原二項式能分解因式,則“□”不可能是(　C　) A. x B. 4 C. -4 D. 9 5．若xy=5,a-b=3,a+b=4,則xya2-xyb2的值是(　A 　) A. 60 B. 45 C. 50 D. 75 【綜合拓展類作業】 6.觀察下列各式:32-12=8×1;52-32=8×2;72-52=8×3;92-72=8×4;…. (1) 根據你發現的規律直接寫出第8個式子. (2) 你能用一個含n(n為正整數)的代數式來表示上述規律嗎 如果能,請借助因式分解說明式子成立的理由. 解：(1) 第8個式子為172-152=8×8　 (2) 能,第n個式子為(2n+1)2-(2n-1)2=8n　 理由:(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n.
教學反思 探索分解因式的方法，實際上是對整式乘法的再認識，因此要借助學生已有的整式乘法運算的基礎，給學生創設一個新的、具有啟發性的情境，激勵學生通過獨立思考與討論交流發現問題情境中的變形關系，并運用數學符號進行表示，然后再運用所學的知識去解決相關的問題.同時在這一對比整式的乘法而探索分解因式方法的相關活動過程中，力圖滲透類比思想，讓學生體會、理解、認識分解因式的意義，感受因式分解與整式乘法之間的聯系，讓學生不僅能夠理解，歸納分解因式變形的特點，同時也可以充分感受到這種互逆變形的過程和數學知識的整體性，為后面學習因式分解完全平方公式法打下良好的基礎一一加深整式乘法與因式分解的互逆關系的認識、培養自主學習探究學習的習慣.
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學 科 數學 年 級 七年級 設計者
教材版本 浙教版 冊、章 下冊、第4章
課標要求 【內容要求】能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進行因式分解（指數為正整數）。【學業要求】能用提公因式法、公式法（對二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）進行因式分解（指數為正整數）。
內容分析 本章主要內容：（1）因式分解的意義；（2）提取公因式法；（3）用乘法公式分解因式。因式分解是整式的一種重要的恒等變形、它和整式的乘法，尤其是多項式的乘法聯系十分密切。因式分解的幾種基本方法都是直接依據整式乘法的各個法則和乘法公式。因式分解又是分式的化簡、運算和解一元二次方程的重要基礎，是學生進一步學習數學不可缺少的基礎知識和基本技能。
學情分析 學生已經熟悉乘法的分配律與其逆運算，并且學習了整式的乘法運算，因此，對于因數分解的引入，學生不會感到陌生，它為學習分解因式打下了良好根底，由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過程，而逆向思維對于七年級學生還比較生疏，承受起來還有一定的困難，通過觀察、類比等手段，尋求因式分解與因數分解之間的關系，為深入學習提供了必要的根底.所以對于學生來說，尋求因式分解的方法是一個難點。學生已經學方差公式與完全平方公式，將其逆用就是主體知識.對于公式逆用，分析公式的結構特征，整體思想換元進行分解因式以與要求分解徹底等是又一個難點。
單元目標 教學目標1.了解因式分解的意義，會判別各項的公因式，能用提取公因式法分解因式。2.會用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超過兩次）分解因式（指數是正整數）。3.通過對平方差公式、完全平方公式的逆向變形，體會類比、換元思想，提高處理數學問題的技能。(二)教學重點、難點教學重點：能準確、熟練、靈活地運用因式分解的根本方法對多項式進展因式分解。教學難點：分解要徹底、靈活運用因式分解解決問題。
單元知識結構框架及課時安排 單元知識結構框架
（二）課時安排課時編號單元主要內容課時數4.1因式分解的意義1課時4.2提取公因式法1課時4.3用乘法公式分解因式2課時
達成評價 課題課時目標達成評價評價任務4.1因式分解的意義1.了解因式分解的概念。2.體會因式分解與整式的乘法的區別與聯系，并會運用整式的乘法運算檢驗因式分解的正確性，強化運算能力。1.了解因式分解的概念。2.知道因式分解與整式的乘法的區別與聯系3.會運用整式的乘法運算檢驗因式分解的正確性，強化運算能力。任務一：設置問題，引出新課任務二：因式分解任務三：因式分解與整式乘法的關系4.2提取公因式法1.理解公因式的概念，會找出多項式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括號法則。3.進一步理解因式分解的意義，感受整體思想的運用。1.理解公因式的概念，會找出多項式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括號法則。任務一：設置問題，引出新課任務二：公因式任務三：提取公因式法分解因式4.3用乘法公式分解因式（第1課時）1.會用平方差公式分解因式，進一步掌握因式分解的一般步驟；2.培養學生逆向思維能力，進一步體會整體、轉化思想的應用.1.掌握因式分解平方差公式。2.會用平方差公式分解因式，進一步掌握因式分解的一般步驟。任務一：設置問題，引出新課任務二：用平方差公式分解因式4.3用乘法公式分解因式（第2課時）1.理解完全平方公式的特點；2.能熟練地運用完全平方公式分解因式；3.能綜合運用提公因式、完全平方公式分解因式這兩種方法進行求值和證明．1.理解完全平方公式的特點；2.能熟練地運用完全平方公式分解因式；3.能綜合運用提公因式、完全平方公式分解因式這兩種方法進行求值和證明．任務一：設置問題，引出新課任務二：用完全平方公式分解因式
《第4章 》因式分解 單元教學設計
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