資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
分課時教學設計
《4.3用乘法公式分解因式（第2課時）》教學設計
課型 新授課√ 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 分解因式是在學習了整式運算的基礎上提出來的，是整式乘法的逆向變形。運用完全平方公式因式分解不僅是現階段的學習重點，也為以后學習分式的通分和約分，二次根式的計算與化簡，以及解方程都奠定了基礎。
學習者分析 學生已經學習了因式分解的概念，掌握了因式分解的方法——提公因式法和利用平方差公式分解因式法，而且在第三章學習了完全平方公式，為本節課奠定了基礎；學生經過一學期的小組合作的學習模式，小組交流趨于成熟，有較高的學習興趣，也為本節課自主探究，合作交流的教學模式做好充分的準備。
教學目標 1.理解完全平方公式的特點； 2.能熟練地運用完全平方公式分解因式； 3.能綜合運用提公因式、完全平方公式分解因式這兩種方法進行求值和證明．
教學重點 用完全平方式分解因式.
教學難點 綜合運用提取公式式、公式法分解因式.
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：新知導入教師活動1： 1.因式分解： 把一個多項式轉化為幾個整式的積的形式. 2.我們已經學過哪些因式分解的方法？ 提公因式法 平方差公式 a2–b2=(a+b)(a–b) 3.完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2學生活動1： 學生思考，一起回答。活動意圖說明： 通過設置問題，引發學生的思考，激發學生的學習興趣，在回憶舊知識的同時，自然切入本節課所要學習的內容.環節二：用完全平方公式分解因式教師活動2： 你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？ 這個大正方形的面積可以怎么求？ 將上面的等式倒過來看，能得到： 由乘法的完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，可得： a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2 兩數的平方和，加上（或者減去）這兩數的積的2倍，等于這兩數和（或者差）的平方. 我們把多項式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫作完全平方式. 在運用完全平方公式進行因式分解時,關鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式。 例如:多項式9x2-6x+1能用完全平方公式分解因式嗎 一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一個多項式分解因式的方法，叫做公式法. 注意：公式中的a，b可以是數，也可以是整式. 做一做：填寫下表 你能總結出完全平方式的特點嗎？ a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2 完全平方式的特點： 1.必須是三項式(或可以看成三項的)； 2.有兩個同號的數或式的平方； 3.中間有兩底數之積的±2倍. 簡記口訣：“首平方，尾平方，首尾兩倍在中央”. 例3 把下列各式分解因式: (1)4a2+12ab+9b2. (2) -x2+4xy-4y2. (3) 3ax2+6axy+3ay2. 解： (1) 4a2+12ab+9b2 =(2a)2+2·(2a)·(3b)+(3b)2 =(2a+3b)2. (2) -x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·(2y)+(2y)2] =-(x-2y)2. (3) 3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2. 先提公因式，再套用公式，平方項為負的先提出負號．注意分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止． 例4 分解因式:(2x+y)2-6(2x+y)+9. 分析：把(2x+y)看做一個整體,多項式就是一個關于(2x+y)的完全平方式. 解： (2x+y)2-6(2x+y)+9 =(2x+y)2-2·(2x+y)·3+32 =[(2x+y)-3]2 =(2x+y-3)2. 1.利用完全平方公式因式分解的關鍵是識別完全平方式； 先找某兩數平方和 再驗證兩數積的 2 倍 利用完全平方公式因式分解 2.多項式分解因式時要先觀察是否有公因式，有公因式要先提公因式，再判斷多項式因式是否可以繼續分解.學生活動2： 學生思考。 學生在教師的引導下回答。 學生掌握理解因式分解完全平方公式。 學生完成做一做，總結完全平方式的特點。 學生完成例題，舉手展示答案。 學生與教師一起總結用完全平方公式因式分解的注意事項。 活動意圖說明： 在對完全平方公式因式分解的探究中，了解完全平方公式的幾何意義，掌握公式的特征。通過對運用完全平方公式進行因式分解的探究學習，在經歷猜想、驗證、歸納的學習過程中，體會歸納的數學思想方法，逐步養成用數學語言表達與交流的習慣，感悟數據的意義與價值。
板書設計 課題：4.3用乘法公式分解因式（第2課時） 1.完全平方公式： 2.公式法：
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是(　C 　) A. 4x2-1 B. 4x2+4x-1 C. x2-x+ D. x2-xy+y2 2.若多項式x2－3(m－2)x＋36能用完全平方公式分解因式，則m的值為(　A　 ) A．6或－2 B．－2 C．6 D．－6或2 3.分解因式: (1) 9x2-12x+4;(2) -a2+6ab-9b2; (3) (x-y)2+10(x-y)+25;(4) x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1). 解：(1) (3x-2)2　 (2) -(a-3b)2　 (3) (x-y+5)2　 (4) (y+1)(y-1)(x+1)2 選做題： 4.如圖是一個正方形，分成四部分，其面積分別是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，則原正方形的邊長是(　B 　) A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2 5.若多項式x2-3(m-2)x+36能用完全平方公式分解因式,則m的值為(　A　) A. 6或-2 B. -2 C. 6 D. -6或2 【綜合拓展類作業】 6.我們知道對于二次三項式x2＋2ax＋a2這樣的完全平方式可以用公式法將它們分解成(x＋a)2的形式，但是，對于二次三項式x2＋4ax＋3a2，就不能直接用完全平方公式因式分解，可以采用如下方法： x2＋4ax＋3a2 ＝x2＋4ax＋4a2－a2① ＝(x＋2a)2－a2② ＝(x＋3a)(x＋a)③ (1)在第①步中，將“＋3a2”改寫成“＋4a2－a2”，獲得的式子“x2＋4ax＋4a2”叫___完全平方式___； (2)從第②步到第③步，運用的數學公式是___平方差公式__； (3)用上述方法把a2－8a＋15分解因式． 解：a2－8a＋15＝a2－8a＋16－1＝(a－4)2－1 ＝(a－4＋1)(a－4－1)＝(a－3)(a－5)．
課堂總結 1.完全平方公式： a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2 兩數的平方和，加上（或者減去）這兩數的積的2倍，等于這兩數和（或者差）的平方. 完全平方式的特點： （1）必須是三項式(或可以看成三項的)； （2）有兩個同號的數或式的平方； （3）中間有兩底數之積的±2倍. 2.公式法： 一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一個多項式分解因式的方法，叫做公式法.
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1.下列因式分解正確的是(　C 　) A. 16a2-4ab+b2 =(4a-b)2 B. m2+mn+n2=(m+n)2 C. 9x2-24xy+16y2=(3x-4y)2 D. m2+2mn+n2=(m+n)2 2.把8a3－8a2＋2a進行因式分解，結果正確的是(　C　) A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1) C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2 3.分解因式： (1)m2＋4m＋4＝__(m＋2)2__； (2)x2＋2x＋1＝__(x＋1)2__． 選做題： 4.有下列各式:① 10am-15a;② 4xm2-9x;③ 4am2-12am+9a;④ -4m2-9.其中,含有因式2m-3的有(　C　 ) A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 5．把(a-3b)2-4(a-3b)c+4c2分解因式的結果是(　 B 　) A. (a-3b+3c)2 B. (a-3b-2c)2 C. (a+3b+2c)2 D. (a+3b-2c)2 【綜合拓展類作業】 6.已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值． 解：[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy] ＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2) ＝(x＋y)2(x－y)2 ＝[(x＋y)(x－y)]2 ＝(x2－y2)2＝400.
教學反思 探索分解因式的方法，實際上是對整式乘法的再認識，因此要借助學生已有的整式乘法運算的基礎，經過上節課對平方差公式法的探究學習，學生加深了對因式分解和整式乘法關系的理解，并且掌握了一定的探究方法，可以用類比探究的方法激勵學生通過獨立思考與討論交流提出對完全平方公式法的猜想，并運用數學符號進行表示，然后再運用所學的知識去驗證、總結。在這一對比整式的乘法而探索分解因式方法的相關活動過程中，滲透類比思想，讓學生體會、理解、認識分解因式的意義，感受因式分解與整式乘法之間的聯系，可以充分感受到這種互逆變形的過程和數學知識的整體性，加深整式乘法與因式分解的互逆關系的認識、培養自主學習探究學習的習慣。
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（浙教版）七年級
下
4.3用乘法公式分解因式（第2課時）
因式分解
第4章
“四”
教學目標
01
新知導入
02
新知講解
03
課堂練習
04
課堂總結
05
作業布置
06
目錄
07
內容總覽
教學目標
1.理解完全平方公式的特點；
2.能熟練地運用完全平方公式分解因式；
3.能綜合運用提公因式、完全平方公式分解因式這兩種方法進行求值和證明．
新知導入
1.因式分解：
把一個多項式轉化為幾個整式的積的形式.
2.我們已經學過哪些因式分解的方法？
提公因式法
平方差公式
a2–b2=(a+b)(a–b)
3.完全平方公式
(a±b)2=a2±2ab+b2
新知講解
任務：用完全平方公式分解因式
你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？
同學們拼出圖形為：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
新知講解
這個大正方形的面積可以怎么求？
a2+2ab+b2
(a+b)2
=
a
b
a
b
a
ab
ab
b
(a+b)2
a2+2ab+b2
=
將上面的等式倒過來看，能得到：
新知講解
由乘法的完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，可得：
a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2
我們把多項式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫作完全平方式.
兩數的平方和，加上（或者減去）這兩數的積的2倍，
等于這兩數和（或者差）的平方.
新知講解
在運用完全平方公式進行因式分解時,關鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式。
例如:多項式9x2-6x+1能用完全平方公式分解因式嗎
完全平方式
新知講解
一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一個多項式分解因式的方法，叫做公式法.
注意：公式中的a，b可以是數，也可以是整式.
新知講解
做一做：填寫下表
多項式 是否是完全平方式 表示成(a±b)2的形式 a表示什么 b表示什么
是
是
不是
不是
是
是
你能總結出完全平方式的特點嗎？
新知講解
a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2
完全平方式的特點：
1.必須是三項式(或可以看成三項的)；
2.有兩個同號的數或式的平方；
3.中間有兩底數之積的±2倍.
簡記口訣：“首平方，尾平方，首尾兩倍在中央”.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
新知講解
例3 把下列各式分解因式:
(1)4a2+12ab+9b2. (2) -x2+4xy-4y2. (3) 3ax2+6axy+3ay2.
解： (1) 4a2+12ab+9b2 =(2a)2+2·(2a)·(3b)+(3b)2
=(2a+3b)2.
(2) -x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2)
=-[x2-2·x·(2y)+(2y)2]
=-(x-2y)2.
(3) 3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2.
先提公因式，再套用公式，平方項為負的先提出負號．
注意分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．
新知講解
例4 分解因式:(2x+y)2-6(2x+y)+9.
解： (2x+y)2-6(2x+y)+9
=(2x+y)2-2·(2x+y)·3+32
=[(2x+y)-3]2
=(2x+y-3)2.
分析：把(2x+y)看做一個整體,多項式就是一個關于(2x+y)的完全平方式.
新知講解
1.利用完全平方公式因式分解的關鍵是識別完全平方式；
先找某兩數平方和
再驗證兩數積的 倍
利用完全平方公式因式分解
2.多項式分解因式時要先觀察是否有公因式，有公因式要先提公因式，再判斷多項式因式是否可以繼續分解.
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
1.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是(　 　)
A. 4x2-1 B. 4x2+4x-1
C. x2-x+ D. x2-xy+y2
C
2.若多項式x2－3(m－2)x＋36能用完全平方公式分解因式，則m的值為(　　 )
A．6或－2 B．－2 C．6 D．－6或2
A
3．分解因式:
(1) 9x2-12x+4;(2) -a2+6ab-9b2;
(3) (x-y)2+10(x-y)+25;(4) x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1).
解：(1) (3x-2)2　
(2) -(a-3b)2　
(3) (x-y+5)2　
(4) (y+1)(y-1)(x+1)2
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
4.如圖是一個正方形，分成四部分，其面積分別是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，則原正方形的邊長是(　 　)
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
B
5． 若多項式x2-3(m-2)x+36能用完全平方公式分解因式,則m的值為(　 　)
A. 6或-2 B. -2 C. 6 D. -6或2
　
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
A
6.我們知道對于二次三項式x2＋2ax＋a2這樣的完全平方式可以用公式法將它們分解成(x＋a)2的形式，但是，對于二次三項式x2＋4ax＋3a2，就不能直接用完全平方公式因式分解，可以采用如下方法：
x2＋4ax＋3a2
＝x2＋4ax＋4a2－a2①
＝(x＋2a)2－a2②
＝(x＋3a)(x＋a)③
【綜合拓展類作業】
課堂練習
【綜合拓展類作業】
課堂練習
(1)在第①步中，將“＋3a2”改寫成“＋4a2－a2”，獲得的式子“x2＋4ax＋4a2”叫________________；
(2)從第②步到第③步，運用的數學公式是________________；
(3)用上述方法把a2－8a＋15分解因式．
完全平方式
平方差公式
解：a2－8a＋15＝a2－8a＋16－1＝(a－4)2－1
＝(a－4＋1)(a－4－1)＝(a－3)(a－5)．
課堂總結
1.完全平方公式：
a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2
兩數的平方和，加上（或者減去）這兩數的積的2倍，等于這兩數和（或者差）的平方.
完全平方式的特點：
（1）必須是三項式(或可以看成三項的)；
（2）有兩個同號的數或式的平方；
（3）中間有兩底數之積的±2倍.
課堂總結
2.公式法：
一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一個多項式分解因式的方法，叫做公式法.
板書設計
1.完全平方公式：
2.公式法：
課題：4.3用乘法公式分解因式（第2課時）
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
1．下列因式分解正確的是(　 　)
A. 16a2-4ab+b2 =(4a-b)2 B. m2+mn+n2=(m+n)2
C. 9x2-24xy+16y2=(3x-4y)2 D. m2+2mn+n2=(m+n)2
C
2．把8a3－8a2＋2a進行因式分解，結果正確的是(　　)
A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2
C
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
3.分解因式：
(1)m2＋4m＋4＝________；
(2)x2＋2x＋1＝________．
(m＋2)2
(x＋1)2
【知識技能類作業】選做題：
作業布置
4.有下列各式:① 10am-15a;② 4xm2-9x;③ 4am2-12am+9a;④ -4m2-9.其中,含有因式2m-3的有(　　 )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
C
5.把(a-3b)2-4(a-3b)c+4c2分解因式的結果是(　 　)
A. (a-3b+3c)2 B. (a-3b-2c)2
C. (a+3b+2c)2 D. (a+3b-2c)2
B
【綜合拓展類作業】
作業布置
6.已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
解：[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]
＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2)
＝(x＋y)2(x－y)2
＝[(x＋y)(x－y)]2
＝(x2－y2)2＝400.
Thanks!
2
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學 科 數學 年 級 七年級 設計者
教材版本 浙教版 冊、章 下冊、第4章
課標要求 【內容要求】能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進行因式分解（指數為正整數）。【學業要求】能用提公因式法、公式法（對二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）進行因式分解（指數為正整數）。
內容分析 本章主要內容：（1）因式分解的意義；（2）提取公因式法；（3）用乘法公式分解因式。因式分解是整式的一種重要的恒等變形、它和整式的乘法，尤其是多項式的乘法聯系十分密切。因式分解的幾種基本方法都是直接依據整式乘法的各個法則和乘法公式。因式分解又是分式的化簡、運算和解一元二次方程的重要基礎，是學生進一步學習數學不可缺少的基礎知識和基本技能。
學情分析 學生已經熟悉乘法的分配律與其逆運算，并且學習了整式的乘法運算，因此，對于因數分解的引入，學生不會感到陌生，它為學習分解因式打下了良好根底，由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過程，而逆向思維對于七年級學生還比較生疏，承受起來還有一定的困難，通過觀察、類比等手段，尋求因式分解與因數分解之間的關系，為深入學習提供了必要的根底.所以對于學生來說，尋求因式分解的方法是一個難點。學生已經學方差公式與完全平方公式，將其逆用就是主體知識.對于公式逆用，分析公式的結構特征，整體思想換元進行分解因式以與要求分解徹底等是又一個難點。
單元目標 教學目標1.了解因式分解的意義，會判別各項的公因式，能用提取公因式法分解因式。2.會用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超過兩次）分解因式（指數是正整數）。3.通過對平方差公式、完全平方公式的逆向變形，體會類比、換元思想，提高處理數學問題的技能。(二)教學重點、難點教學重點：能準確、熟練、靈活地運用因式分解的根本方法對多項式進展因式分解。教學難點：分解要徹底、靈活運用因式分解解決問題。
單元知識結構框架及課時安排 單元知識結構框架
（二）課時安排課時編號單元主要內容課時數4.1因式分解的意義1課時4.2提取公因式法1課時4.3用乘法公式分解因式2課時
達成評價 課題課時目標達成評價評價任務4.1因式分解的意義1.了解因式分解的概念。2.體會因式分解與整式的乘法的區別與聯系，并會運用整式的乘法運算檢驗因式分解的正確性，強化運算能力。1.了解因式分解的概念。2.知道因式分解與整式的乘法的區別與聯系3.會運用整式的乘法運算檢驗因式分解的正確性，強化運算能力。任務一：設置問題，引出新課任務二：因式分解任務三：因式分解與整式乘法的關系4.2提取公因式法1.理解公因式的概念，會找出多項式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括號法則。3.進一步理解因式分解的意義，感受整體思想的運用。1.理解公因式的概念，會找出多項式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括號法則。任務一：設置問題，引出新課任務二：公因式任務三：提取公因式法分解因式4.3用乘法公式分解因式（第1課時）1.會用平方差公式分解因式，進一步掌握因式分解的一般步驟；2.培養學生逆向思維能力，進一步體會整體、轉化思想的應用.1.掌握因式分解平方差公式。2.會用平方差公式分解因式，進一步掌握因式分解的一般步驟。任務一：設置問題，引出新課任務二：用平方差公式分解因式4.3用乘法公式分解因式（第2課時）1.理解完全平方公式的特點；2.能熟練地運用完全平方公式分解因式；3.能綜合運用提公因式、完全平方公式分解因式這兩種方法進行求值和證明．1.理解完全平方公式的特點；2.能熟練地運用完全平方公式分解因式；3.能綜合運用提公因式、完全平方公式分解因式這兩種方法進行求值和證明．任務一：設置問題，引出新課任務二：用完全平方公式分解因式
《第4章 》因式分解 單元教學設計
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