資源簡介

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分課時教學設計
第9課時《三角形單元小結與評價》教學設計
課型 新授課 復習課 試卷講評課 其他課
教學內容分析 本章系統梳理了三角形的基本概念、分類、內角與外角性質、三角形的三邊關系、多邊形的內角和與外角和定理，以及正多邊形鋪設地面的應用。通過復習，幫助學生鞏固幾何基礎，強化邏輯推理能力，提升解決實際問題的綜合素養。
學習者分析 學生已掌握三角形的基本性質，但對多邊形內角和公式的靈活應用存在不足，正多邊形鋪設地面的實際問題中易忽略角度匹配條件。部分學生在復雜圖形分析中缺乏空間想象力，需通過針對性訓練加強。
教學目標 1.復習三角形的基本性質(內角和、外角、三邊關系)及分類。 2.掌握多邊形內角和與外角和定理，能快速計算相關角度。 3.理解正多邊形鋪設地面的條件，能設計合理的鋪設方案。 4.通過實際問題分析與幾何建模，培養邏輯推理與空間想象能力。
教學重點 1.三角形內角和定理與三邊關系的應用。 2.多邊形內角和公式的推導與計算。 3.正多邊形平面鑲嵌的條件分析。
教學難點 1.復雜圖形中多角度關系的綜合運用。 2.正多邊形組合鋪設地面的角度匹配邏輯。
學習活動設計
教師活動學生活動環節一:構建知識體系教師活動1: 知識結構圖 學生活動1: 給學生充分的時間把課本知識簡單復習，然后梳理總結形成本章的知識結構框架。 活動意圖說明: 在知識體系的指導下，我們可以更有針對性地進行學習。當我們需要掌握某個領域的知識時，可以清晰地了解需要學習的內容和順序，避免盲目學習造成的時間和精力浪費。環節二: 思考回顧教師活動2: 1.三角形按邊如何分類？ 三角形按邊分類分為不等邊三角形和等腰三角形，等腰三角形分為底邊與腰不相等的等腰三角形和等邊三角形. 2.三角形三邊有什么關系？ 任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊 3.三角形中三條重要線段指的是什么？它們有什么重要作用？ 高、中線、角平分線.每種都有三條，且所在直線都相交于一點.除了高線有可能在三角形的外部或邊上外，中線和角平分線都在三角形的內部. 中線用來求線段長或等分面積，角平分線用來求角，高用來求面積. 4.三角形的內角和定理是什么？三角形外角和是多少度？三角形外角的性質是什么？ 三角形內角和等于180°；三角形外角和為360°；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和. 5.多邊形的內角和定理是什么？多邊形的外角和是多少度？ (1)n邊形的內角和等于(-2)×180°；(2)多邊形的外角和等于360° 6.用正多邊形鋪設地面的關鍵條件是什么？ 圍繞一點的角度和為360°(如正三角形:60°×6=360°) 要點: 1. 本章通過對三角形和多邊形的一系列探索活動， 歸納得到關于三角形的邊、 角及多邊形的角的一些推斷， 演繹證明了某些推斷的正確性. 2. 推理的數學思想在本章得到了充分體現: 我們運用歸納推理， 從具體的多邊形著手分析， 發現其中的邏輯關系， 歸納出多邊形內角和公式; 我們還對探索得到的 “三角形的內角和等于 180°” 這一推斷， 進行了演繹推理， 基本依據是有關平行線的一些基本事實和推導所得的結論. 3. 本章還將學習得到的數學結論用于實際生活， 理解某些正多邊形能夠鋪滿地面的道理.學生活動2: 學生回顧本章知識點，學生思考回答.活動意圖說明: 通過知識點的回顧，讓學生明晰本章的知識結構，重點內容的理解和掌握。環節三:典例精析教師活動3: 例1如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則( B ) A.線段CD是△ABC的AC邊上的高線 B.線段CD是△ABC的AB邊上的高線 C.線段AD是△ABC的BC邊上的高線 D.線段AD是△ABC的AC邊上的高線 例2如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BE，CD相交于點F，∠ABC=42°，∠A=60°，則∠BFC的度數是( ) A.118° B.119° C.120° D.121° 分析:利用三角形內角和定理，建立要求的角與已知角之間的關系解決問題 解:∵∠A=60°，∠ABC=42°， ∴.∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°. ∵∠ABC，∠ACB的平分線分別為BE，CD， ∴. ∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120° 答案:C 方法點撥:運用三角形內角和定理求角的度數時，先找出所求角所在的三角形，然后結合已知條件分析要求的角與已知角之間的關系. 例3老師讓同學們用20cm，90cm，100cm長的三根木條搭一個三角形，小明不小心把100cm的木條折斷了，他用折斷后剩下的較長木條與另兩根木條怎么搭也不能搭成三角形. (1)你知道這是為什么嗎？ (2)小明把100cm的木條至少折去了多少厘米？ (3)如果100cm的木條折去了40cm，你能通過截90cm長的木條的辦法幫小明搭一個小的三角形嗎？ 分析:判斷三條線段能否組成三角形，關鍵是看其是否滿足三角形的三邊關系 解:(1)構成三角形的三條線段必須滿足任意兩條線段之和大于第三條線段，任意兩條線段之差小于第三條線段.小明不能搭成三角形的原因是所用的木條與的兩根木條不符合該條件。 (2)設把的木條折去后，與另兩根木條可搭成三角形。 根據題意得 解得. 小明把的木條至少折去了 (3)設的木條截去后，與另兩根木條可以搭成一個小的三角形. 根據題意得(100-40)-20<90-a<(100-40)+20，解得104)材料能夠把地面鋪得既平整又無空隙，那么n的值為多少？ 分析:緊扣密鋪的規則:圍繞一點的幾個內角的和等于360°，列出方程和不等式解決問題. 解:設正n邊形內角的度數為x° 因為，所以. 設用塊正方形，塊正n邊形拼，則有 (其中為正整數) 因為，所以， 即，故，所以或 若，則，則x為270的因數 又因為，所以 ，∴. 若，則， 則為的因數，而，故無解 綜上，的值為8. 方法點撥:用兩種正多邊形密鋪，既要考慮兩種正多邊形每個內角的度數，又要考慮每種正多邊形選用的塊數，而密鋪的規則是列方程的依據。學生活動3: 教師引導學生充分思考、練習和交流，同時從典型例題里找出對應的解題策略。活動意圖說明: 通過知識點的回顧與例題的學習，讓學生理解三角形的內角和與外角的性質、多邊形的內角和與外角和，正多邊形鋪設地面。提高解決實際問題的能力，使學生對本章知識內容有進一步的理解和掌握.培養學生積極思考，合作交流的習慣。
板書設計 第8章小結與評價 一、三角形基本性質 內角和:180°；外角性質:外角=不相鄰兩內角和 三邊關系:a+b>c，a-b課堂練習 【知識技能類作業】 必做題: 1．如圖，BE是△ABC的高的是(　　) 2．從數學角度看下列四幅圖片有一個與眾不同，該圖片是(　　) 3．一個多邊形，它的內角和比外角和的4倍多180°，則這個多邊形的邊數是(　　) A．9　B．10　C．11　D．12 選做題: 4．如圖，在△ABC中，∠C＝60°，把△ABC沿直線DE折疊，使得點B與點A重合．若AD恰好平分∠BAC，則∠BDE的度數為(　　) A．30° B．40° C．50° D．60° 5．如圖，△ABC中，D、E、F分別是BC、AD、EC的中點，若S△ABD＝4，則S△BFC＝(　　) A．2 B．1 C． D． 6．如圖，在△ABC中，BE是角平分線，點D在邊AB上(不與點A，B重合)，連結CD交BE于點O. (1)若CD是中線，BC＝3，AC＝2，求△BCD與△ACD的周長差； (2)若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度數． 【綜合拓展類作業】 7.閱讀小明和小紅的對話，解決下列問題． (1)這個“多加的銳角”是________°. (2)若這是個正多邊形，則這個正多邊形的一個內角是多少度？ 1．C　解析:A.BE不是△ABC的高，不符合題意；B.BE不是△ABC的高，不符合題意；C.BE是△ABC的高，符合題意；D.BE不是△ABC的高，不符合題意．故選C. 2．C　解析:∵C選項中的伸縮門是利用了四邊形的不穩定性，A、B、D選項都是利用了三角形的穩定性，∴選項C中的圖片與眾不同．故選C. 3．C　解析:設這個多邊形的邊數為n，根據題意，得 (n－2)·180°＝360°×4＋180°， 解得n＝11.則這個多邊形的邊數是11.故選C. 4．C　解析:由折疊可知∠B＝∠DAB，∠BED＝∠AED＝90°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∠C＝60°，∴3∠B＝120°.解得∠B＝40°.∴∠BDE＝90°－40°＝50°.故選C. 5．A　解析:如圖，連結BE， ∵點D、E、F分別是BC、AD、EC的中點， ∴AE＝DE＝AD，EF＝CF＝CE，BD＝DC＝BC. ∵S△ABD＝4， ∴S△ABD＝S△ACD＝4， S△ABE＝S△BED＝S△ABD＝2，S△AEC＝S△CDE＝S△ACD＝2. ∴S△BEC＝S△BDE＋S△CDE＝2＋2＝4. ∴S△BFC＝S△BEF＝S△BEC＝×4＝2.故選A. 6．解:(1)∵△BCD的周長為BC＋CD＋BD，△ACD的周長為AC＋CD＋AD， ∴△BCD與△ACD的周長差為BC－AC＋BD－AD. ∵CD是△ABC的中線， ∴AD＝BD. 又∵BC＝3，AC＝2， ∴BC－AC＋BD－AD＝BC－AC＝3－2＝1，即△BCD與△ACD的周長差為1. (2)∵BE是∠ABC的平分線，∠ABC＝62°， ∴∠ABE＝∠ABC＝×62°＝31°. ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°. ∴∠BOC＝∠CDB＋∠ABE＝90°＋31°＝121°. 7．解:(1)30 (2)由(1)知，這個多邊形是正十二邊形， 所以這個正多邊形的一個內角是180°－＝150°.
作業設計 【知識技能類作業】 必做題: 1.如圖，△ABC的角平分線AD，中線BE相交于點O，則下列結論:①AO是△ABE的角平分線；②BO是△ABD的中線；③DE是△ADC的中線；④ED是△EBC的角平分線.其中正確的結論是　　　.(填序號) 第1題圖 2.如圖，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是邊AB上的高，AE是∠CAB的平分線，則∠AEB的度數是　　　. 第2題圖 3.如圖，在△ABC中，已知D、E、F分別為BC、AD、CE的中點. (1)若S△ABC＝1，則S△BEF＝　　　； (2)若S△BFC＝1，則S△ABC＝　　　. 4.已知a、b、c是△ABC的三邊長. (1)化簡:｜a－b＋c｜＋｜a－b－c｜； (2)若a和b滿足方程組且c為偶數，求這個三角形的周長. 選做題: 5.如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥BC交AB于點E，∠BDC＝85°，則∠BDE的度數為　　　. 6.如圖，在△ABC中，∠A＝20°，CD是∠BCA的平分線，在△CDA中，DE是邊CA上的高，如果∠EDA＝∠CDB，求∠B的度數. 【綜合拓展類作業】 7.在一個三角形中，如果一個內角是另一個內角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“三倍角三角形”.例如，三個內角分別為25°、75°、80°的三角形是“三倍角三角形”. (1)△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”嗎？為什么？ (2)若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最大內角的度數. 1.①③　2.100°　3.(1)　(2)4 4.(1)2c　(2)這個三角形的周長為11或13. 5.25° 6. 解：∵DE 是 CA 邊上的高， ∴∠DEA=∠DEC=90°.∵∠A=20°，∴∠EDA=90°-20° =70°. ∵∠EDA= ∠CDB，∴∠CDE=180° -70°×2=40°. 在 Rt△CDE中，∠DCE=90°-40°=50°. ∵CD是∠BCA的平分線，∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°. ∴∠B=180°-∠BCA-∠A=60°. 7. 解:(1)是，理由如下： ∵∠A=20°，∠B=40°，∴∠C=120°， ∵120=3×40，∴△ABC是“三倍角三角形”. (2)∵ △ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°， ∴∠A+∠C＝150°. 設△ABC的最大內角為x， 當最大內角是∠B的三倍時，即x＝90°. 當最大內角是另一個角的三倍時，即x+3x＝150° ∴x＝37.5°，3x＝112.5° 當∠B是∠A或∠C的三倍時， 則10°+30°+x＝180°， ∴x=140°. ∴△ABC中最大內角的度數為90°或112.5°或140°
教學反思 本次復習課以三角形與多邊形為核心，通過例題解析與實際應用結合，強化了幾何推理能力。多數學生能熟練應用內角和公式，但在正多邊形組合鋪設的抽象分析中表現不足。未來可引入動態幾何工具(如GeoGebra)，直觀展示圖形拼接過程，幫助學生理解角度匹配原理。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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