資源簡介

第八章 實數
8.1平方根
第1課時 平方根的概念和性質
本節課是人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第八章 實數 8.1平方根，內容包括:第1課時平方根的概念和性質.
本節課是在學生學習了有理數以及有理數乘方的基礎上來學習平方根，之前的有理數乘方的學習為本節課學習奠定了一定的知識基礎，更利于學生找出一個正數的兩個平方根.它不僅是對前面所學知識的鞏固，也為后面算術平方根的學習奠定了基礎.教材通過求具體數字的平方根引入，順勢給出平方根的定義，結合具體例子便于學生理解與掌握平方根的概念，并運用概念，會求一個數的平方根.
基于以上分析，本節課的教學重點是：掌握平方根的概念并會求一個數的平方根.
本節課平方根學習是建立有理數乘方學習的基礎上，由具體數字引入，讓學生更加清晰深刻地理解平方根的定義.本節課學生學習的困難之處在于能表示一個數的平方根，理解平方根，正的平方根，負的平方根表示的區別，能在具體題目中理解“”、“”、“”這三種所代表的不一樣的意義，一題一解讓學生對解題技巧和解題步驟有清楚的認知，最后通過拓展訓練培養學生綜合解題的能力.
基于以上分析，本節課的教學難點為:認識和會表示一個數的平方根.
1.了解平方根的概念，掌握平方根的特征；
2.能利用開平方與平方互為逆運算的關系，求某些非負數的平方根；
3.經歷探索平方根的概念的過程，感受平方根的求法；
4.學生經歷由特殊到一般，培養學生觀察，歸納，類比的能力，培養學生的分類能力和合作能力，體會數系擴張的實際應用價值.
重點：掌握平方根的概念并會求一個數的平方根；
難點: 認識和會表示一個數的平方根.
本章引入
當“天問一號”火星探測器的速度大于第二宇宙速度v(單位:m/s)時，它就會克服地球引力，永遠離開地球，飛向火星. v的大小滿足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8 (單位:m/s2)，R是地球半徑，R≈6.4×106 (單位:m).
追問：怎樣求v呢
這就要用到平方根的概念.
隨著對于數的認識的不斷深入，人們發現，邊長為1的正方形的對角線的長度值不是有理數，這就需要引入一種新的數——無理數.實際中對第二宇宙速度等的計算也要用到無理數.
在本章中，我們要學習以下內容：
①學習平方根與立方根；
②在此基礎上引入無理數，把數的范圍從有理數擴充到實數；
③類比有理數，引入實數在數軸上的表示和實數的運算，從中進一步感悟數系擴充的過程，并用這些知識解決一些實際問題.
情境導入
情境1：小明家裝修房間時需鋪地墊 10.8m2，剛好用去正方形的地墊 30 塊，小明想知道每塊地墊的邊長,該怎么計算呢
師生活動：教師提出問題，學生思考并回答問題.教師提示有時候需要找一個數，使得它的平方等于給定的數.引出課題.
分析：先計算出每塊地墊的面積，再根據每塊地墊的面積算出邊長.
解：10.8÷30=0.36(m2)
因為0.62=0.36，所以正方形地墊的邊長為0.6m.
情境2：小明的爸爸看中了一款正方形餐桌，可是不知道邊長是多少.小明看見桌子標簽顯示面積100后，告訴爸爸餐桌的邊長是10.這是怎么計算出來的呢？
答：因為102=100.
追問：已知一個數，通過平方運算可以求這個數的平方.反過來，如果已知一個數的平方，那么怎樣求這個數呢
設計意圖：回顧已學，用熟悉的情景問題吸引學生的注意力，激發學習自信.通過問題解決，從中感悟到有必要學習一種新的運算，進而引入平方根的概念及表示方法.
探究新知
活動一：探究平方根的概念
問題1：如果一個數的平方等于9，那么這個數是多少
師生活動：老師提出問題，學生思考并回答問題.教師鼓勵學生將思考過程用語言進行描述.
答：32=9，這個數可以是3；
追問：除了3以外，還有沒有別的數的平方等于9呢
答：(-3)2=9，這個數也可以是-3；
除 3，-3以外，任何一個數的平方都不等于9.
因此，如果一個數的平方等于 9，那么這個數是3或-3.
追問：3和3有什么特征？
答：互為相反數.
設計意圖：層層深入，讓學生自主探究，發展發散性思維.有效地吸引學生的注意力，激發學生的求知欲.
問題2：根據上面的探究結果填寫下表：
師生活動：選取幾個小組，讓他們派代表到黑板上填寫表格，然后組織其他小組的學生進行點評，指出不足之處，最后教師進行總結和補充，強調每個空需要填寫兩個數，且這兩個數互為相反數.
答：
一般地，如果一個數 x 的平方等于a，即x2＝a，那么這個數x叫做a的平方根或二次方根.例如：3 和 3都是9的平方根.
x2=a x叫作a的平方根
提示：通常把3和-3合在一起簡記為“±3”.
已知一個數，求它的平方的運算，叫做平方運算.反之，已知一個數的平方，求一個數的平方根的運算，叫作開平方.
設計意圖：培養學生觀察圖表獲取信息的能力，培養數感和自主探究的習慣.讓學生從中感悟到存在一種新的運算，進而引入平方根的概念及表示方法、開平方概念.
問題3：觀察框圖，說一說平方運算和開平方運算具有怎樣的關系？
師生活動:學生獨立思考后小組討論，選代表回答問題，教師補充總結學生的結論.
答：平方運算和開平方運算互為逆運算.
根據這種互逆關系，可以求一個數的平方根.
設計意圖:鞏固開平方的概念，掌握開平方的運算，鍛煉學生的觀察總結能力.
活動二：探究平方根的性質
問題4：思考回答下列問題：
(1) 121的平方根是什么？
(2) 0的平方根是什么？
(3) 的平方根是什么？
(4) -9有沒有平方根？為什么？
師生活動:學生獨立思考，選四位學生回答問題，其他同學判斷正誤.
答：(1) ±11 (2)0 (3) ± (4)沒有，因為一個數的平方不可能是負數.
設計意圖:讓學生體驗正數、負數和0的平方根的個數及其關系，加深對平方根的理解和掌握，同時培養學生的說理能力，為后續學習打下基礎.
問題5：通過上面的題目請回答：正數的平方根有什么特點？0 的平方根是多少？負數有平方根嗎？
師生活動:通過學生思考，合作交流，探究，師生共同進行總結歸納平方根性質
答：①正數有兩個平方根，它們互為相反數；
②因為 02=0，并且任何一個不為0的數的平方都不等于0，所以0的平方根是0.
③正數的平方是正數，負數的平方也是正數，0的平方是0，即在我們所認識的數中，任何一個數的平方都不是負數，所以負數沒有平方根.
歸納：平方根的性質：
①正數有兩個平方根，它們互為相反數；
②0的平方根是0；
③負數沒有平方根.
注意：平方根等于本身的數只有0.
設計意圖:梳理所學，鞏固學生對平方根及其性質的認識和理解，培養自主學習及合作交流的能力.
活動三：探究平方根的表示方法
正數a的正的平方根記為“” ，讀作“根號a”，a叫作被開方數；正數a的負的平方根可以用“ ”表示.
正數 a 的平方根表示為： 讀作：“正、負根號 a”.
例如：表示9的平方根，.
注意：0的平方根記為 .
問題6：只有當a 大于或等于0時，有意義；而當a小于0時，沒有意義，為什么
答：當x2=a時，x= . 因為任何數的平方一定大于或等于0，所以根號下的數小于0無意義.
即當a 大于或等于0時， 有意義； a＜0 時，無意義.
總結：的雙重非負性：1.被開方數a≥0 2.正數a的正的平方根≥0
設計意圖：經歷概念形成的過程，發展學生觀察、分析、抽象、概括等思維能力并樹立應用意識.
應用新知
【教材例題】
例1 求下列各數的平方根:
(1) 64 ； (2) ； (3) 0.01.
師生活動:學生獨立完成解題過程，教師點評，規范格式.
分析：想求一個數的平方根，就想誰的平方等于它.
解:(1)因為(8)2 = 64，所以 64 的平方根是8；
(2) 因為 ，所以 的平方根是 ；
(3)因為(0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是0.1.
例2 下列各數有平方根嗎 如果有，求它的平方根；如果沒有，說明理由.
(1) 0.36 ； (2) -5； (3) (-4)2.
分析：根據平方根的性質：正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根進行解答.
解：(1)因為 0.36 是正數，所以 0.36 有兩個平方根，=0.6;
(2) 因為-5是負數，所以 -5 沒有平方根;
(3)因為(-4)2 = 16是正數，所以 (-4)2 有兩個平方根，=4.
教師活動：在黑板上展示例題，引導學生思考如何找出一個數的平方根.提示學生觀察式子的特點，嘗試將一個數變為某個數的平方的形式，講解完后，詢問學生是否理解每一步的操作，鼓勵學生提出疑問.
設計意圖：通過兩個例題，再次深入地理解平方根概念,會熟練進行有關平方根的計算.培養學生分析問題、解決問題的能力以及邏輯思維能力.
【經典例題】
例3 求下列各數的平方根:
(1) -42 ； (2) ； (3) 11.
分析：平方根的概念：如果一個數 x 的平方等于a，即x2＝a，那么這個數x叫做a的平方根，表示為.根據平方根的定義來求解.
解:(1)因為任何數的平方都是非負數，-42 是負數，沒有平方根；
(2) 因為，所以 的平方根是 ；
注意：求一個數的平方根可將帶分數化為假分數!
(3)11的平方根是 .
注意：非平方數的平方根只能用含根號的式子表示.
總結：求一個正數的平方根主要分兩步：
(1)找出平方等于這個正數的數，這樣的數有兩個；
(2)根據平方根的定義寫出這個正數的平方根.
例４ 解下列方程
(1) 4(2x -1)2 =36； (2) (2x -3)2 =(-7)2
分析：把方程變形為x2 = a的形式，然后根據平方根的定義求解即可.
解:(1)原方程可變形為：
(2x -1)2 =9
因為(3)2 = 9
所以2x -1=3或2x -1= -3
解得：x =2或x = -1
(2)因為(7)2 = (-7)2
所以2x -3=7或2x -3= -7
解得：x =5或x = -2
思路點撥：
師生活動：學生先獨立思考再作答.
設計意圖：通過典型例題讓學生鞏固新知，培養學生邏輯思維能力，鍛煉學生的推理能力，教師規范寫出解答過程，給學生一個良好的示范過程.
課堂練習
【教材練習】
1.判斷題.
(1)1的平方根是1; (2)-1的平方根是-1;
(3)0.5是0.25的一個平方根; (4)0的平方根是 0.
解：(1)× (2) × (3)√ (4)√
2.求下列各數的平方根:
(1) ； (2) 62 ； (3) 0.49.
解：:(1)因為()2 = ，所以 的平方根是；
(2) 因為(6)2 = 62，所以62的平方根是6 ；
(3)因為(0.7)2 = 0.49，所以0.49的平方根是0.7.
3.求下列各式中x的值：
(1) x2 =25; (2) 9x2 =4; (3) (x-1)2 =1
解:(1)因為x2 =25，
解得：x =5或x = -5;
(2)原方程變形為：x2 = ，
因為()2 = ，
解得：x = 或x = - ;
(3)因為(1)2 =1
所以x -1=1或x -1= -1
解得：x =2或x = 0.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對平方根的概念及其性質的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.一個數的平方根與它本身相等，這個數是( )
A.-1 B.0 C.1 D.4
答：B
2.若x的平方等于3，則x等于( )
A.9 B.- C. D.9
答：C
3.的平方根是( )
A.7 B.-7 C. D.
答：C
4.已知|a|=3，b2=16，且a>b，則a+b的值為( )
A.1或7 B.-1或7 C.1或-7 D.-1或-7
分析：解:因為|a|=3，b2=16，
所以a=3，b= 4，
因為a>b，所以a=3，b= -4，
所以a+b=3+(-4)=-1，或a+b=-3+(-4)=-7,
故選:D.
答：D.
5.已知正數a的兩個平方根分別是x-5和2x-1，與互為相反數，求a+2b的值.
分析：根據正數a的兩個平方根分別是x-5和2x-1得到x-5+2x-1=0，求出x，即可得到a;
根據相反數的定義結合 的雙重非負性，求出b，再代入求值即可.
解:∵正數a的兩個平方根分別是x-5和2x-1，
∴x-5+2x-1=0，解得:x=2.
∴a=(2-5)2=9.
∵ 與 互為相反數，
∴ + =0
∴=0 ，=0
∴b=3，
∴a+2b=9+6=15.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.平方根的概念是什么？
3.平方根的表示方法是什么？
4.平方根的性質有哪幾條？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
同桌兩人互相給對方出幾道求一個數的平方根的計算題，看誰做的又快又對！
1.注重概念的直觀化呈現.在課程開始階段，利用具體實例，生動展示了平方運算與平方根的逆運算之間的關系，使抽象的數學概念變得形象易懂.這樣既符合學生的認知發展規律，也提高了他們對新知識的理解深度.幫助學生建立扎實的數學基礎知識，并培養其邏輯思維與解決問題的能力.平方根作為代數的基礎概念，對于后續諸如二次方程解法、函數以及立體幾何等相關知識的學習至關重要.因此，在教學中，力求讓學生深刻理解平方根的概念本質及其在實際生活中的應用價值，不僅要求他們記住定義，更強調對其內涵的領悟.
2.在探究平方根性質的過程中，采取了啟發式教學法，鼓勵學生自主探索、合作交流.設計了一系列富有層次的問題鏈，引導學生逐步發現并歸納平方根的性質，如非負性等，從而鍛煉了他們的邏輯推理能力和獨立思考能力.
3.在課堂組織上采用小組討論、同伴互評的方式，促進學生間的互動交流和合作學習，讓每個學生都有機會發表見解、解答疑惑，從而共同提升整體效果.
4.為了保證全體學生能夠跟上節奏，特別關注課堂節奏的把控和個體差異的關注，盡量兼顧不同層次學生的學習需求，適時調整講解速度和難度，提供有針對性的輔導和反饋.第八章 實數
8.1平方根
第2課時 算術平方根
本節課是在學生學方根的基礎上來學習算術平方根，之前的平方根的學習為本節課學習奠定了一定的知識基礎，更利于學生理解算術平方根的概念.它不僅是對前面所學知識的鞏固，也為后面估算算術平方根，求算術平方根的整數和小數部分的學習奠定了基礎.教材通過對平方根概念的復習引入，直接給出算術平方根的定義，再由具體例子講解便于學生理解與掌握算術平方根的概念，并運用概念，會求一個數的算術平方根.
基于以上分析，本節課的教學重點是：理解算術平方根的概念并會求一個數的算術平方根.
在本課學習之前，學生們已經掌握了一些完全平方數，對乘方運算也有一定的認識，熟練地掌握了求一個數的平方根，能很自然快速掌握求一個數的算術平方根，并對0的算術平方根作出規定，容易理解算術平方根的雙重非負性，但是對于用非負性解決問題存在難度，在實際問題中雙重非負性條件的隱蔽性，學生容易忽略，通過做題歸納初中階段所有的非負性，便于學生掌握知識.
基于以上分析，本節課的教學難點為：了解算術平方根的性質并用其解題.
1.了解算術平方根的概念，會用根號表示非負數的算術平方根；
2.會求某些非負數的算術平方根；了解算術平方根的性質并用其解題；
3.通過求一個數的算術平方根的近似值，初步了解開方開不盡的數的無限不循環性，理解用近似值表示無限不循環小數的實際意義；
4.體驗“無限不循環小數”的含義，感受存在著不同于有理數的一類新數，培養探求精神，提高學生學習數學的興趣.
重點：理解算術平方根的概念并會求一個數的算術平方根；
難點： 了解算術平方根的性質并用其解題.
情境導入
問題1：小明家有一塊面積為144m2的正方形農田，現需要沿著四周鋪設灌溉管道，管道要購買多少米呢？
問題2：裁縫有一塊面積為225cm2正方形布料，他想裁一個最大的正方形絲巾，這個絲巾的邊長是多少呢？
問題3：啟明中學規劃了一個正方形的小型足球場，其面積為900平方米，工作人員要根據這個足球場的邊長設置球門位置、劃分球場區域，這個邊長該怎么計算呢？
師生活動：教師提出問題，加以引導，自然而然地引入本節的課題，學生先獨立思考，再舉手回答問題．
答：情境1：122=144，所以正方形農田的邊長為12m. 12×4=48m.
情境2：252=225，所以正方形絲巾的邊長為25cm.
情境3：302=900，所以正方形足球場的邊長為30m.
追問：你能指出它們的共同特點嗎
答：上面的問題，實際上是已知一個正數的平方，求這個正數的問題.
設計意圖：從身邊的場景入手，抽象出本節課研究對象的幾何背景---正方形，進而提出數學問題，使學生利用己有求正方形面積的經驗出發，回顧一個非負數的平方運算，為后面利用逆向思維解決新問題做好鋪墊.
探究新知
活動一：探究算術平方根的概念
我們知道，正數a有兩個平方根，其中正的平方根叫作a的算術平方根.
問題4：怎么用符號來表示一個數的算術平方根？
師生活動：老師提出問題，學生思考并回答問題.教師鼓勵學生將思考過程用語言進行描述.
規定：0的算術平方根是0. 0的算術平方根也記為.
問題5：當a≥0時，，和 的區別是什么？
師生活動：學生先獨立思考，小組討論交流，然后教師指定學生回答，然后組織其他的學生進行點評.
答：(1)：表示一個非負數的算術平方根．
(2)：表示一個非負數的算術平方根的相反數．
(3) ：表示一個非負數的平方根．
問題6：由x2=a和x=思考：
(1)a的取值范圍是什么？
(2)算術平方根x的取值范圍是什么？
(3)一個正數有幾個算術平方根？負數有算術平方根嗎？
師生活動：組織學生進行討論，并選小組代表發言，其他小組補充.學生總結，老師補充.
答：(1)a是非負數，即a≥0；
(2)是非負數，即≥0，x≥0.
歸納： 的雙重非負性
1.被開方數a≥0；
2.a的算術平方根≥0 .
注意：到目前為止，我們學習了表示非負數的式子有：
|a|≥0；a2 ≥ 0；當a ≥ 0 時，≥ 0.
(3)①一個正數的算術平方根只有一個且一定為正數；
②負數沒有算術平方根，即當有意義時，a一定表示一個非負數；
③算術平方根等于它本身的數只有0和1.
問題7：求下列各數的算術平方根：
(1) 100 ； (2) ； (3) 0.000 1.
師生活動：學生獨立完成解題過程，教師點評，規范格式.
分析：對于正數x，如果x a，那么x是a的算術平方根.
解：(1)因為102 = 100，所以100的算術平方根是10，即=10；
(2)因為，所以的算術平方根是，即；
(3)因為0.012 =0.0001，所以0.0001的算術平方根是0.01，即=0.01；
注意：被開方數越大，對應的算術平方根就越大，這個結論對所有正數都成立.
設計意圖：通過例題，再次深入地理解算術平方根概念，會熟練進行有關算術平方根的計算.培養學生分析問題、解決問題的能力以及邏輯思維能力.
歸納：算術平方根與平方根的區別與聯系：
活動三：估算算術平方根的取值范圍
問題8：怎樣用兩個面積為 1 dm2 的小正方形拼成一個面積為 2 dm2 的大正方形？這個大正方形的邊長是多少？
師生活動：學生觀察、思考，動手操作，對問題充分討論與交流大膽，發表觀點，使用已有經驗解決問題，最后教師出示PPT進行講解.
答：如圖，把兩個小正方形分別沿對角線剪開，將所得的 4 個直角三角形拼在一起，就得到一個面積為 2 dm2 的大正方形．
問題9：你知道這個大正方形的邊長是多少嗎？
答：設大正方形的邊長為 x dm，x2=2．
由邊長的實際意義可知x= ，
所以大正方形的邊長為 dm．
追問：小正方形的對角線的長是多少呢
答：x=
總結：小正方形的對角線的長即為大正方形的邊長.
問題10：有多大呢？
師生活動：組織學生進行討論，并選小組代表發言，其他小組補充.學生總結，老師補充.
答：12=1， 22=4，12<2<22 1<<2
1.42=1.96，1.52=2.25，1.42<2<1.52 1.4< <1.5
1.412=1.988 1， 1.422=2.016 4，1.412<2<1.422 1.41<<1.42
1.4142=1.999 396，1.4152=2.002 225，1.4142<2<1.4152 1.414< <1.415
……
如此進行下去，可以得到的更精確的近似值．
事實上，=1.414 213 562 373…，它是一個無限不循環小數．
追問：無限不循環小數是指小數位數無限，且小數部分不循環的小數．你以前見過這種數嗎？
答：像 π，0.001 000 100 001…這樣的數就是無限不循環小數．
實際上，很多正有理數的算術平方根(例如，，等)都是無限不循環小數.
設計意圖：通過學生自主探究，引出求的一種方法，并舉例說明什么是無限不循環小數，讓學生理解其概念.層層深入，發展發散性思維.有效地吸引學生的注意力，激發學生的求知欲.
應用新知
【經典例題】
例1 估計的運算結果應在哪兩個連續自然數之間( ).
A.4和5 B.3和4 C.2和3 D.1和2
分析：∵2.52=6.25，32=9，
∴2.5<<3
∴5<<6
∴3<<4
故選B.
總結：估計算術平方根的取值范圍的一般步驟：
第1步：將算術平方根平方；
第2步：找出其結果在哪兩個相鄰的完全平方數之間；
第3步：確定算術平方根的取值范圍.
例2 若 |m2| + =0，求 m+n 的值.
分析：直接利用絕對值和算術平方根的非負性，求出m，n的值，進而得出答案.
解： ∵|m2| + =0，
∴|m2| =0， =0
∴m2=0，n+2=0
∴m=2，n=-2
∴m+n=0.
總結：算術平方根和絕對值都是非負數.當幾個非負數的和等于0時，每一個非負數都為0.
例3 已知2a+1的算術平方根是其本身，b+的算術平方根是，求ab的算術平方根.
分析：一個非負數的正的平方根即為這個數的算術平方根.算術平方根等于本身的數有1和0，然后根據已知條件分別求出a和b值，最后再求出 ab的算術平方根.
解：由題意得：b+，解得b=
∵算術平方根是其本身的數是0和1,
∴當2a+1=0時，解得：a=
∴ab=，
∴.
當2a+1=1時，
解得：a=0
∴ab=0,
∴.
師生活動：教師在黑板上展示例題，提示學生觀察式子的特點，引導學生思考根據算術平方根的性質和概念找出問題的突破點.學生思考并嘗試解答.教師講解完后，詢問學生是否理解每一步的操作，鼓勵學生提出疑問.
設計意圖：通過典型例題讓學生鞏固新知，培養學生邏輯思維能力，鍛煉學生的推理能力，教師規范寫出解答過程，給學生一個良好的示范過程.
課堂練習
【教材練習】
1.求下列各數的算術平方根：
(1)0.09; (2); (3)52.
分析：根據算術平方根的定義，即可求出各數的算術平方根.
解：(1)因為0.32 = 0.09，所以0.09的算術平方根是0.3，即=0.3；
(2)因為，所以的算術平方根是，即；
(3)因為52 = 52，所以52的算術平方根是5，即=5.
2.求下列各式的值：
(1) ; (2) ; (3)
分析：根據算術平方根的定義，即可求出結果.
解：(1)；
(2) ；
(3) .
總結：在求 a 的算術平方根時，若 a 是有理數的平方，則 a 的算術平方根就不帶根號；若 a 不是有理數的平方，則 a 的算術平方根就帶有根號，如 ．
3.排球比賽場地呈長方形，長是寬的2倍，面積為162m2. 它的長與寬分別是多少
分析：可設排球場地的寬是x m，則長為2x m，根據矩形的面積公式列出方程，求解即可.
解：設：排球場地的寬是x m，則長為2x m.
根據題意得：2x·x =162
∴x2 = 81
∴x = 9
∵x >0
∴x = 9
∴2x = 18
答：排球場地的寬是9 m，長為18 m.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對算術平方根的概念及其性質的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.填空：
(1)16的算術平方根是 ；(2)的算術平方根是 ；
(3)9的算術平方根是 ；(4)算術平方根是9的數為 ； (5)的算術平方根是 ；(6)的算術平方根是 .
答：4；2；3；81；；3
2.下列說法正確的是( )
A.-1的算術平方根是-1 B.0沒有算術平方根
C.-1的相反數沒有算術平方根 D.(-1)2的算術平方根是1
答：D
3.估計+1的運算結果應在哪兩個連續自然數之間( )
A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5
解：因為+1<+1< +1,
即2+1< +1<3+1,
所以3< +1<4,
故選：C.
4.已知=0，求的值.
解：由題意得：
，，
解得：，，.
.
設計意圖：題目設計由淺入深，由易到難，層層深入.對學生完成學習目標情況分層要求，分層達標，充分發揮教學評價的激勵、調控功能，使全體學生即使是學習有困難的學生都達到基本的學習目標，獲得成功感.
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.算術平方根的概念是什么？
3. 算術平方根的非負性指是什么？
4.什么是無限不循環小數？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
同桌兩人互相給對方出幾道求一個數的算術平方根的計算題，看誰做的又快又對！
算術平方根是在學生學方根的基礎上的進一步學習.同學們對平方根的概念已經掌握熟悉.這就為更好地引進算術平方根的概念打下基礎.
這節課主要讓學生理解并掌握算術平方根的定義、會求一個正數的算術平方根.利用多媒體教學首先分設三個問題情境，從而讓學生體會數學與生活的聯系，激發學習的興趣.再根據問題引出算術平方根的定義，通過這樣的具體例子，幫助學生深刻地理解所學的內容.讓同學們發現平方根和算術平方根的區別與聯系，總結算術平方根的非負性，并能根據其性質解決問題.
其次，通過剪正方形得出面積為2的大正方形的邊長，從而解決了生活實際問題，讓學生體會生活中的數學，探究如何估算算術平方根的取值范圍，進而引出無限不循環小數的概念.
最后，引導學生談收獲，并相互交流，培養學生歸納的能力與養成總結的.良好學習習慣，給學生表達的機會，從而再次鞏固所學內容.
在本節課中，本著以學生為主，突出重點的意圖，結合學生的實際情況，在引入算術平方根的定義時，讓學生發掘生活中已知面積而求邊長的問題，把實際問題抽象成數學問題，通過例題和練習讓學生總結，并關注算術平方根的寫法格式，讓學生體會算術平方根的含義，將想和做有機地結合起來，使學生在想與做中感受和體驗，主動獲取數學知識.第八章 實數
8.1平方根
第3課時
本節課是人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第八章 實數 8.1平方根，內容包括：第3課時算術平方根的估算.
本節課是在前面學習了乘方運算的基礎上安排的，并以算術平方根為前提，是學習實數的準備知識，為學習二次根式做出了鋪墊，提供了知識積累.新課標中提出，義務教育階段的數學課程，要從數學本身的特點出發，從學生學習數學的心理規律和學生已有的知識經驗出發，讓學生經歷一個實踐、思考、探索交流、解釋、應用的學習過程，本節課就在這個思想的指導下設計的：教材先講解如何利用計算器求一個數的算術平方根，讓學生在操作、探索、交流的過程中感悟算術平方根的意義及規律，同時讓學生在學習知識技能的同時，注意數學思想方法和良好學習習慣的養成，使學生體驗數學的“實踐第一”和數學來源于實踐，又服務于實踐的思想.然后實際問題引出疑問如何估算一個數的大小？
基于以上分析，本節課的教學重點是：了解用計算器計算算術平方根的大小，掌握被開方數和其算術平方根近似值的小數點的移動規律，并能利用規律解題.
在本課學習之前，學生們已經掌握了一些完全平方數和如何求一個非負數的平方根和算術平方根，計算器也不陌生，所以學生很快能掌握用計算器計算非負數的平方根的近似值，學生能通過觀察被開方數和其算術平方根近似值的小數點的移動得出規律，但估計一個含有根號的數的大小，并能用估算解決實際問題會有難度，應給予足夠時間讓學生理解.
基于以上分析，本節課的教學難點為：會估計一個含有根號的數的大小，并能用估算解決實際問題.
1.會用計算器求一個正數的算術平方根，知道算術平方根的小數點移動規律，培養學生的數感；
2.會估計一個含有根號的數的大小，并能用估算解決實際問題；
3.體驗現代科技產品快捷、精確的功能，體會利用計算器給探求數量間的關系與變化帶來的方便，激發學習、探索知識的興趣；
4.感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性.
重點：了解用計算器計算算術平方根的大小，掌握被開方數和其算術平方根近似值的小數點的移動規律，并能利用規律解題.；
難點: 會估計一個含有根號的數的大小，并能用估算解決實際問題.
情境導入
問題1：《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有這樣一幅圖：如圖，若在屋內墻角處堆放米(米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆的體積為36立方尺，米堆的高為5尺，米堆底部的弧長為多少尺 (取3)(圓錐體積公式=)
師生活動：教師提出問題，學生獨立思考，教師引導，共同分析解決問題.
分析：求米堆底部弧長，即求圓的周長，根據圓的周長公式只要求出半徑即可得出答案，但是根據圓錐體積公式，只能得出.
追問：28.8的算術平方根怎么求呢
設計意圖：通過提供生活原型，反映了“數學是從人的需要中產生的”這一基本觀點，尋機對學生進行熱愛數學的宣傳激勵教育，點燃學生學習數學的興趣之火和民族自豪感，培養學生探究生活實際問題的意識.
探究新知
活動一：探究用計算器求算術平方根
問題1：你能快速計算出的值嗎？
師生活動:學生口答，引出計算器.
答：可以用計算器計算.
設計意圖：讓學生感受到對于被開方數較復雜，無法直接進行開方運算的數，我們可以用計算器來輔助計算．
大多數計算器都有鍵，用它可以求出一個正有理數的算術平方根(或其近似值).
按鍵順序：
注意：計算器的型號不同，按鍵順序可能有所不同，要注意閱讀使用說明書.
問題2：請大家用計算器求下列各式的值：
； (2)(結果保留小數點后三位)；
師生活動:學生仔細閱讀計算器使用說明書，找到關于開方運算的說明，并按說明書上的范例操作，然后組內成員進行討論，回答下列問題.
解：(1)依次按鍵 ，
顯示：56.
所以 .
(2)依次按鍵 ，
顯示：1.414213562.
所以 .
提示：計算器上顯示的1.414 213 562 是的近似值.
設計意圖：明確使用計算器進行開方運算的按鍵順序，并進行實際操作，初步學會計算器的使用方法．通過自主探索，讓學生親身體驗操作方法，充分體現了學生的主體作用．
問題3：你能利用計算器求出本章引言中提出的問嗎？
當“天問一號”火星探測器的速度大于第二宇宙速度v(單位:m/s)時，它就會克服地球引力，永遠離開地球，飛向火星. v的大小滿足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8 (單位:m/s2)，R是地球半徑，R≈6.4×106 (單位:m).怎樣求v呢
師生活動:學生獨立思考完成計算，教師巡視幫助有計算困難的學生.
解： 由v2=2gR及v的實際意義，得v=，其中g≈9.8 (單位:m/s2)，R≈6.4×106 (單位:m).用計算器求得
v≈=1.12×104 .
因此，第二宇宙速度v約為 1.12×104 m/s，即 11.2 km/s.
設計意圖： 用計算器輔助解決情境中的問題，體驗現代科技產品快捷、精確的功能，體會計算器對我們深入認識世界的幫助作用．
活動二：探究算術平方根的規律
問題4：用計算器計算下表中的算術平方根，并將計算結果填在表中，你發現了什么規律？你能說出其中的道理嗎？
師生活動:學生使用計算器計算開方數并完成表格，學生獨立思考后，合作交流討論，教師根據學生回答的情況進行評價，引導學生總結得出規律．
答：
規律：被開方數的小數點向右或向左移動2位，算術平方根的小數點相應地向右或向左移動1位.
追問：你能用數學知識解釋發現的規律嗎？
答：被開方數小數點向右或向左移動2位，相當于被開方數乘以或除以100，所以開方后算術平方根就相應的乘以或除以10，故算術平方根的小數點向右或向左移動1位.
設計意圖：鍛煉計算器計算算術平方根的方法，培養學生掌握利用圖表整理數據和觀查圖表獲取信息的能力，培養數感和自主探究的習慣.
問題5：用計算器計算(結果保留小數點后三位)，并利用你在(1)中發現的規律求出，，的近似值，你能根據的值求出的近似值嗎
師生活動：學生合作交流討論，得出答案，教師根據學生回答的情況進行評價．
答：依次按鍵 ，顯示：1.732 050 808，所以.
； ；
算術平方根的小數點相應地向右或向左移動一位.不符合規律.
結論：不能根據的值求出的近似值.
設計意圖：計算器的使用可以使學生從繁雜的運算中解放出來，將更多的精力放在更有意義的活動中，可以使學生的學習重點更好地集中到理解數學本質上來，并能運用探索出的規律解決問題，培養學生從特殊到一般解決數學問題的思想．
活動三：探究算術平方根的應用
問題6：小麗想用一塊面積為400 cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300 cm2的長方形紙片，使它的長與寬的比為3∶2，但她不知能否裁得出來，正在發愁，小明見了說：“別發愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片！”
你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出想要的紙片嗎？
分析：可根據長寬之比為 3:2 和邊長與面積的關系設方程，得到長方形的長和寬，再與正方形的邊長作比較.估計邊長的大小可用前面學習的方法.
解：設長方形紙片的長為 3x cm ，寬為 2x cm，根據邊長與面積的關系，得
3x 2x = 300 ，
6x2 = 300 ，
x2 = 50.
由邊長的實際意義，得 x = ，
因此長方形紙片的長為 3 cm . （ 3就是3）
因為50 > 49，所以 > 7.
由上可知 3 > 21，即長方形紙片的長應該大于 21 cm.
因為 = 20，所以正方形紙片的邊長只有 20 cm.
這樣，長方形紙片的長將大于正方形紙片的邊長.
答：不同意小明的說法，小麗不能用這塊紙片裁出想要的紙片.
估算算術平方根的值的方法：
估算(a≥0)的值時，首先要找到與被開方數a最接近的兩個連續完全平方數m，n(m應用新知
【經典例題】
例1 已知面積為37的正方形的邊長為x，則x的取值范圍是( )
A. 4分析：∵面積為37的正方形的邊長為x，
∴x2 =37,
∵x>0，∴x= ,
∵36<37<49，
∴6故選C.
總結：估計一個有理數的算術平方根的近似值，必須先判斷這個有理數位于哪兩個數的平方之間.
例2 通過估算比較下列各組數的大小:
(1)與 1.9； (2) 與 1.5.
解: (1)∵5>4，
∴ > 1.9
(2)∵6>4，
∴ > 2，
∴> ，即 >1.5
總結：比較數的大小，先估計其算術平方根的近似值.
例3 閱讀下面的文字:
∵22<7<32，∴2<<3
∴的整數部分為2，小數部分為.
請解答下面的問題:
(1)的整數部分是 ，小數部分是 ；
(2)如果的小數部分為a，的整數部分為b，求a+b-的值.
分析：(1)∵42<20<52，∴4<<5
∴的整數部分為4，小數部分為.
(2)分別得出，的取值范圍進而得出答案.
解:(2)∵22<5<32，∴2<<3
∴的小數部分為a=2
∵52<35<62，∴5<<6
∴的整數部分為b=5
∴a+b- =-2+5- =3.
師生活動：教師在黑板上展示例題，提示學生仔細審題，找出問題的突破點.學生思考并嘗試解答.教師講解完后，詢問學生是否理解每一步的操作，鼓勵學生提出疑問.
設計意圖：通過典型例題讓學生鞏固新知，培養學生邏輯思維能力，鍛煉學生的推理能力.
課堂練習
【教材練習】
1.用計算器求下列各式的值:
(1); (2); (3)(結果保留小數點后三位).
解:(1)依次按鍵 ，
顯示：31.
所以 = 31.
(2)依次按鍵 ，
顯示：9.81835.
所以 ≈9.818.
(3)依次按鍵，
顯示：31.
所以 = 31.
2.下列各數分別介于哪兩個相鄰的整數之間
(1); (2); (3).
分析：解題關鍵是求出被開方數在哪兩個相鄰的平方數之間，根據算術平方根的定義，估計這些數的大小即可.
解:(1)∵4<5<9，
∴2<<3
即在2與3之間.
(2)∵25<26<36，
∴5<<6
即在5與6之間.
(3)∵1<<4，
∴1<<2
即在1與2之間.
3.長方形畫紙的面積為 700cm2，長與寬的比為5:4. 王芳想從中裁出半徑為 12 cm 的圓形畫紙，她的想法可行嗎
分析：長方形畫紙的寬大于或等于圓形畫紙的直徑，想法可行，反之則不可行.
可設長方形畫紙的長是5x m，則寬為4x m.列方程可求出長方形畫紙的寬，再讓長方形畫紙的寬與直徑比較即可得出結果.
解：設長方形紙片的長為 5x cm ，寬為 4x cm，根據邊長與面積的關系，
得 5x 4x = 700 ，
20x2 = 700 ，
x2 = 35.
由邊長的實際意義，得 x = ，
因此長方形畫紙的寬為 4 cm
圓形畫紙的直徑為12×2=24cm
因為35<36，所以<6，
所以4<24.
所以不能裁出半徑為12cm的圓形畫紙.
答：王芳的想法不可行.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.在計算器上按鍵顯示的結果是( )
A.7 B.-7 C.29 D.18
答：A
2.已知≈2.449，不再利用其它工具，能確定出近似值的是( )
A. B. C. D.
答：C
3.①已知≈7.2801，則≈ ;
②已知≈2.65，≈8.37，則≈ ;
③已知≈4.4889，若≈0.044889，則x≈ .
答：①72.801；②0.0837；③0.002015
4.設2+的整數部分和小數部分分別是x、y，試求x、y的值與x-1的算術平方根.
解:因為4<6<9，所以2<<3，
即的整數部分是2，
所以2+的整數部分是4，小數部分是2+-4=-2,即x=4，y=-2，
所以==.
5.已知一個長方形的長為11m，寬為9m，按照長方形的邊進行裁剪，裁剪出兩個大小不一的正方形，使它們的邊長之比為5:4.面積之和為82m2，這兩個正方形的面積分別是多少 能否裁出這兩個正方形，并說明理由.
分析：根據正方形的邊長比設大正方形的邊長為5x，小正方形的邊長為4x ，兩個正方形的面積之和為82m2，列出方程求出x.
再把兩個正方形邊長之和與長方形的長進行比較，若邊長之和>長，則不能裁出.
解:設大正方形的邊長為5xm，小正方形的邊長為4xm，
由題意可知：(5x)2+(4x)2 = 82，即41x2=82
由邊長的實際意義，得 x = ，
∴大正方形的面積為(5x)2=(5)2=50m2，
小正方形的面積為(4x)2=(4)2=32m2，
兩個正方形的邊長之和為：5x+4x=9x=m.
∵，∴，∴>11.
答：不能裁出這樣兩個正方形.
設計意圖：設置分層作業，兼顧不同水平的學生，關注差異，使學生獲得各自的發展，加深學生對知識進一步理解的同時，擴展學生的思維，讓優秀生有施展的舞臺．
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.如何用計算器求一個數的算術平方根？
3.算術平方根小數點移動的規律是什么？
4.如何估算在哪兩個整數之間？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
同桌兩人互相給對方寫幾個非負數，并用計算器求出這些數的算術平方根(結果保留三位小數)，看誰算的又快又對！
在本節課中，本著以學生為主，突出重點的意圖，結合學生的實際情況，在引入用計算器求算術平方根的同時，發現算術平方根小數點移動規律，培養學生掌握利用圖表整理數據和觀查圖表獲取信息的能力，培養數感和自主探究的習慣.
在解決問題的同時引導學生對解決方法進行總結，和學生一起歸納出估算的方法，讓學生從被動學習到主動探究，激發學生的學習熱情，培養學生自主學習數學的能力，通過獨立思考與小組討論相結合的方式解決新的實際問題，讓學生初步體會數學知識的實際應用價值.

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