資源簡介

7.3　定義、命題、定理（第1課時）
　　1．了解定義的概念、命題的概念與構成，會將命題改寫成“如果……那么……”的形式．
　　2．了解真命題與假命題的概念，會根據所學知識判斷命題的真假．
　　定義、命題的概念及分析命題的題設和結論．
　　定義、命題的概念及分析命題的題設和結論．
新課導入
【問題】1．請同學們讀出下列語句，你能發現什么？
　　（1）規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸；
（2）使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作方程的解；
（3）從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫作這個角的平分線；
（4）直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離．
2．已知|a|＝|b|，判斷下面哪個說法正確．
　　（1）a＝b；
　　（2）a＝－b；
　　（3）a＝b或a＝－b．
　　【師生活動】學生獨立回答，教師糾錯．
【答案】1．這些都是對數學對象進行的清晰、明確的描述．
2．最后一個說法正確．
　　【設計意圖】通過觀察之前對數學對象的描述，引入“定義”這一概念；通過一道簡單的判斷題，啟發學生在后面探究命題時往“判斷”上思考．
新知探究
一、探究學習
【探究】前面我們在學習一些新的數學對象時，對它們進行了清晰、明確的描述，例如：
　　（1）規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸；
（2）使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作方程的解；
（3）從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫作這個角的平分線；
（4）直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離．
【新知】這樣的描述稱為數學對象的定義，一個數學對象的定義揭示了它的本質特征，能夠幫助我們準確地理解它，并作出準確的判斷．
【思考】請同學們讀出下列語句，你能發現什么？
　　（1）如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等；
　　（2）對頂角相等；
（3）同位角相等，兩直線平行；
（4）如果一個數能被2整除，那么它也能被4整除；
　　（5）兩直線平行，同旁內角互補．
　　【師生活動】教師提出問題，學生獨立思考并回答，教師補充．
　　【答案】這些都是可以判斷正確與否的陳述語句．容易判斷，第4個語句是錯誤的，其他語句都是正確的．
【設計意圖】從學生已知的知識入手，讓學生觀察思考，為下面探究命題的概念做準備．
【問題】你知道在數學中，這些語句稱之為什么嗎？
　　【新知】像這樣可以判斷為正確（或真）或錯誤（或假）的陳述語句，叫作命題．被判斷為正確（或真）的命題叫作真命題，被判斷為錯誤（或假）的命題叫作假命題．
　　【設計意圖】給出命題與真假命題的概念，讓學生更容易理解和記憶．
　　【思考】下面的命題能改寫成“如果……那么……”的形式嗎？試一試．
　　（1）同位角相等，兩直線平行；
　　（2）兩直線平行，同旁內角互補．
　　【師生活動】教師引導，小組討論，然后找學生代表回答．
　　【答案】（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；
　　（2）如果兩條直線平行，那么這兩條直線被第三條直線所截而成的同旁內角互補．
　　【新知】數學中的命題常可以寫成“如果……那么……”的形式．這時“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論．
　　【設計意圖】通過改寫命題的形式，明確命題的題設和結論．
　　【問題】把命題“對頂角相等”改寫成“如果……那么……”的形式．
　　【師生活動】學生思考，教師提示：有些命題的題設和結論不明顯，需要經過分析才能找出題設和結論．
　　【答案】如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．
　　【設計意圖】通過改寫題設和結論不明顯的命題的形式，進一步掌握找出命題的題設和結論的方法．
　　【問題】下列語句是命題嗎？
　　（1）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；
　　（2）如果兩個角互補，那么它們是鄰補角；
　　（3）如果n是奇數，那么n＋1是偶數；
　　（4）你喜歡數學嗎？
　　【師生活動】教師引導，小組討論，然后找學生代表回答．
　　【答案】（1）（2）（3）是可以判斷正確與否的陳述語句，是命題．
　　（4）沒有對事情作出判斷，不是命題．
　　【設計意圖】通過判斷，鞏固學生對命題的概念的理解．
　　【思考】下列命題中的題設成立時，結論一定成立嗎？
　　（1）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；
　　（2）如果兩個角互補，那么它們是鄰補角；
　　（3）如果n是奇數，那么n＋1是偶數．
　　【師生活動】教師引導，小組討論，然后找學生代表回答．
　　【答案】（1）（3）題設成立時，結論一定成立．
　　（2）題設成立時，不能保證結論一定成立．
　　【新知】由題設和結論組成的命題，如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題就是正確的；如果題設成立，不能保證結論一定成立，這樣的命題就是錯誤的．
　　【設計意圖】通過區別題設成立時，結論是否成立，來確定命題正確與否，從而判斷命題真假．
二、典例分析
　　【例1】將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并判斷它們是真命題還是假命題．
　　（1）內錯角相等；
　　（2）等邊三角形的三個內角都是60°．
　　【答案】解：（1）改寫為：如果兩個角是內錯角，那么這兩個角相等；是假命題．
　　（2）改寫為：如果一個三角形是等邊三角形，那么這個三角形的三個內角都是60°；是真命題．
　　【思考】判斷一個命題是真命題還是假命題，首先要怎么做？
　　【答案】找出命題的題設和結論．
　　【歸納】判斷一個命題是不是真命題，首先找出此命題的題設和結論，然后看題設成立時結論是否一定成立，如果結論一定成立，此命題就是真命題，否則，就是假命題．
　　【設計意圖】檢驗學生對判斷真假命題的步驟的掌握情況．
　　【例2】判斷下列命題是真命題還是假命題，如果是假命題，你能舉出一個例子說明它是假命題嗎？
　　（1）兩個銳角的和是銳角；
　　（2）鄰補角是互補的角．
　　【答案】解：（1）假命題．例子：一個銳角為50°，另一個銳角為60°，它們的和為110°的角，為鈍角；
　　（2）真命題．
　　【歸納】對于真命題，題設成立時，結論無一例外，總是正確的；而假命題就不能保證總是正確的．
　　【設計意圖】通過該例向學生說明，真命題無一例外，總是正確的．
　　【例3】判斷下列語句是不是命題，如果是，改寫成“如果……那么……”的形式，并判斷其真假．
　　（1）畫線段AB＝2 cm；
　　（2）分數一定是有理數；
　　（3）兩個銳角互余．
　　【答案】解：（1）不是命題；
　　（2）是命題，改寫為：如果一個數是分數，那么它一定是有理數；是真命題；
　　（3）是命題，改寫為：如果兩個角都是銳角，那么這兩個角互余；是假命題．
　　【總結】命題是能判斷真假的陳述性語句，祈使句、疑問句等都不是命題．
　　【設計意圖】結合命題的判斷和真假命題的辨別，讓學生更加深入理解命題一般是什么樣的語句．
課堂小結
課后任務
　　完成教材第23頁練習第1～3題．7.3　定義、命題、定理（第2課時）
　　1．了解定理與證明的概念，理解定理可以作為繼續推理的依據．
　　2．初步接觸邏輯推理的形式，知道邏輯推理的根據主要有已知、定義、定理、基本事實等，理解證明中的每一步都要有根據．
　　3．掌握利用反例來判斷一個命題錯誤的方法．
　　理解證明的必要性和證明的過程步步有根據．
　　理解什么是證明，填寫一些證明的關鍵步驟和根據．
新課導入
　　【問題】說出兩個我們學過的基本事實．
　　【師生活動】學生獨立回答，教師引導補充．
　　【答案】如“兩點確定一條直線”“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”等．
　　【問題】說出兩個經過推理得到的真命題．
　　【師生活動】學生思考，教師補充，并回顧是經過怎樣的推理得到的．
　　【答案】“對頂角相等”．
　　推理過程如下：
　　因為∠2與∠3互補，∠4與∠3互補（鄰補角的定義），
　　所以∠2＝∠4（同角的補角相等）．
　　“內錯角相等，兩直線平行”．
　　推理過程如下：
　　因為∠2＝∠3，而∠3＝∠1，
　　所以∠1＝∠2，即同位角相等．
　　從而a∥b．
　　【設計意圖】從學生已知的真命題出發，為下文探究定理的概念做準備．
新知探究
一、探究學習
　　【新知】一些命題，如“對頂角相等”“內錯角相等，兩直線平行”，它們的正確性是經過推理證實的，這樣的真命題叫作定理．定理也可以作為繼續推理的依據．
　　【問題】推理過程又稱為什么呢？
　　【師生活動】教師引導，學生思考．
　　【新知】在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫作證明．
　　【問題】推理和證明有區別嗎？（先不作答，帶著疑問繼續探究．）
　　【設計意圖】由已經過推理證實的真命題引出定理和證明的概念，讓學生更容易理解和記憶，最后給出的問題又能引導學生在后面的學習探究中深入思考推理和證明的本質．
　　【思考】判斷下列命題正確與否．
　　命題1：在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條．
　　【分析】題設：在同一平面內，一條直線垂直于兩條平行線中的一條．
　　結論：這條直線也垂直于兩條平行線中的另一條．
畫出圖形如下：
　　已知：如圖，直線b∥c，a⊥b．
　　求證：a⊥c．
　　分析：
　　【問題】在下面證明命題的過程中，嘗試把推理的根據填到括號內．
　　證明：∵a⊥b（已知），
　　∴∠1＝90°（垂直的定義）．
　　又b∥c（__________），
　　∴∠1＝∠2（________________________）．
　　∴∠2＝∠1＝90°（等量代換）．
　　∴a⊥c（_________________）．
　　【師生活動】教師引導，小組討論，然后找學生代表回答．
　　【答案】已知　　兩直線平行，同位角相等　　垂直的定義
　　【新知】證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”．這些根據，可以是已知條件，也可以是學過的定義、基本事實、定理等．
【歸納】推理和證明是有區別的，推理是證明過程中的組成部分．
　　命題1正確．
　　【設計意圖】通過證明該定理，了解邏輯推理的形式．
　　【思考】判斷下列命題正確與否．
　　命題2：相等的角是對頂角．
　　【分析】題設：兩個角相等．
　　結論：這兩個角互為對頂角．
　　對頂角：∠1與∠3，∠2與∠4
　　位置關系：有公共頂點，兩邊分別互為反向延長線．
　　【答案】反例：
　　OC是∠AOB的平分線，∠1＝∠2，但它們不是對頂角．
　　反例：
　　∠1＝∠2，但∠1與∠2不是對頂角．
　　【歸納】命題2錯誤．
　　【師生活動】教師追問：正確的命題需要通過推理才能作出判斷，那么，怎么判斷一個命題是錯誤的呢？小組討論，然后學生代表回答．
　　【新知】判斷一個命題是錯誤的，只要舉出一個例子（反例），它符合命題的題設，但不滿足結論就可以了．
二、典例分析
　　【例1】在下面的括號內，填上推理的依據．
　　已知：如圖，∠A＋∠B＝180°．
求證：∠C＋∠D＝180°．
　　證明：∵∠A＋∠B＝180°，
　　∴AD∥BC（__________________________）．
　　∴∠C＋∠D＝180°（__________________________）．
　　【答案】同旁內角互補，兩直線平行　　兩直線平行，同旁內角互補
　　【歸納】注明的理由主要是依據的性質、定理、基本事實等，而“已知”式的理由可以不注明．
　　【設計意圖】檢驗學生對證明的步驟以及推理的根據的掌握情況．
　　【例2】命題“同位角相等”是正確的嗎？如果是，說出理由；如果不是，請舉出反例．
　　【答案】解：不是，反例如圖所示，∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2．
　　【歸納】舉反例是判斷一個命題錯誤的常用方法，舉反例的問題在生活中也常用到．
　　【設計意圖】檢驗學生對通過舉反例判斷一個命題錯誤的方法的掌握情況．
課堂小結
課后任務
完成教材第24頁練習第1題．7.3　定義、命題、定理（第3課時）
1．回顧與相交線和平行線有關的概念和定理，加深記憶．
2．能夠熟練運用角的性質及平行線的判定與性質解決相關問題．
有關概念和定理的回顧．
綜合運用相交線和平行線的相關知識解決問題．
知識回顧
【設計意圖】幫助學生梳理所學的知識，尋找重點內容之間的內在聯系，建立知識體系．
新知探究
一、探究學習
【例1】如圖，直線AB，CD相交于點O．EO⊥AB，∠3＝∠FOD，∠l＝27°，求∠2，∠3的度數．
【師生活動】教師引導學生對圖形進行分析，找出各個角之間的關系，利用垂直和鄰補角的性質求解．
【答案】解：∵EO⊥AB，∴∠AOE＝∠1＋∠2＝90°．
又∵∠1＝27°，∴∠2＝90°－∠1＝90°－27°＝63°．
又∵∠1＋∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°－27°＝153°．
又∵∠3＝∠FOD，∴∠3＝∠AOD＝76.5°．
∴∠2＝63°，∠3＝76.5°．
【歸納】垂直是兩條直線間的位置關系，一個角為90°是數量關系，垂直的定義建立起了兩條直線垂直(位置關系)與一個角的度數為90°(數量關系)之間的聯系．
【例2】如圖，AB交CD于點O，OE⊥AB．
（1）若∠EOD＝20°，求∠AOC的度數；
（2）若∠AOC∠BOC＝12，求∠EOD的度數．
【師生活動】教師引導：在涉及角度比例關系時，要選擇合適的對象作為未知數．
【答案】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，即∠DOE＋∠BOD＝90°．
（1）∵∠EOD＝20°，∴∠BOD＝90°－20°＝70°．
∵∠AOC與∠BOD是對頂角，∴∠AOC＝∠BOD＝70°．
（2）由∠AOC∠BOC＝12，可設∠AOC＝x，則∠BOC＝2x．
由補角的定義可知∠AOC＋∠BOC＝180°，∴x＋2x＝180°，解得x＝60°．
∴∠BOD＝∠AOC＝60°．
∴∠EOD＝90°－60°＝30°．
【歸納】解決相交線所成角的思路．
（1）有兩直線相交時，分清對頂角和鄰補角，考慮對頂角、鄰補角的性質．
（2）有垂直時，考慮直角、互為余角的關系．
（3）有兩條直線被第三條直線所截時，注意同位角、內錯角、同旁內角的應用．
【例3】如圖，一輛汽車在筆直的公路上由A向B行駛，M，N是位于公路AB兩側的兩所學校．若汽車在公路上行駛時會對學校教學造成影響，則當汽車行駛到何處時，分別對兩學校教學影響最大？在圖上標出．
【師生活動】教師引導學生對題目進行分析，找到對學校影響最大的點，知道可以利用垂線段最短來解決．
【答案】解：如圖，汽車行駛到點C時對學校M影響最大，行駛到點D時對學校N影響最大．
【歸納】在利用“垂線段最短”的性質來解決問題時，要注意區分它與“兩點之間，線段最短”的區別，它們的要求是不一樣的．
【例4】如圖，在用數字標出的八個角中，請辨別同位角有哪些，內錯角有哪些，同旁內角有哪些．
【師生活動】教師引導學生對圖形進行分析，從題圖中分離出如下三個基本圖形：
找到每個圖形中的截線與被截直線，便能根據角的位置關系做出判斷．
【答案】解：∠1與∠7為同位角，∠2與∠8為同位角，∠4與∠6為同位角；
∠3與∠4為內錯角，∠1與∠5為內錯角，∠2與∠6為內錯角，∠4與∠8為內錯角；
∠1與∠6為同旁內角，∠2與∠5為同旁內角，∠2與∠4為同旁內角，∠4與∠5為同旁內角．
【歸納】分離法辨別復雜圖形中的“三線八角”．
要在一個復雜的圖形中確定“三線八角”，先在復雜的圖形中分離出“三線”．一般是從相鄰的兩個頂點處的角入手，其中兩個角的公共邊或在同一直線上的邊所在的直線是截線，另一邊所在的直線是被截直線，然后根據角的位置關系來進一步判斷．
【設計意圖】例1～例4主要是通過相交線有關知識，進行幾何問題中有關角的計算．
【例5】如圖，已知直線a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，則a與c平行嗎？
【師生活動】學生獨立解決，組內交流糾錯．
【答案】解：a與c平行．理由如下：
∵∠1與∠2是內錯角，且∠1＝∠2，
∴a∥b(內錯角相等，兩直線平行)．
∵∠3與∠4是同旁內角，且∠3＋∠4＝180°，
∴b∥c(同旁內角互補，兩直線平行)．
∴a∥c(平行于同一條直線的兩條直線平行)．
【歸納】平行線判定的五種方法：
（1）同一平面內，不相交的兩條直線互相平行；
（2）平行于同一條直線的兩條直線平行；
（3）同位角相等，兩直線平行；
（4）內錯角相等，兩直線平行；
（5）同旁內角互補，兩直線平行．
【設計意圖】對平行線的判定方法進行系統復習，讓學生進一步鞏固對這些方法的理解．
【例6】工人師傅把一個如圖所示的零件進行加工，首先把材料彎成了一個45°的銳角，然后準備在A處進行第二次彎折加工，若要保證彎折后的部分與BC保持平行，則彎折處的角度應是___________．
【師生活動】學生以組為單位，對圖形進行分析，知道解決該題分兩種情況：第一種情況就是被彎過來的部分與BC在AB的同一側，且平行，如圖①，此時彎折處的角度為135°(利用同旁內角互補，兩直線平行)；第二種情況是被彎過來的部分與BC分別在AB的兩側，但也是平行的，如圖②，此時彎折處的角度為45°(利用內錯角相等，兩直線平行)．
【答案】45°或135°
【歸納】用平行線的判定方法解決實際問題的兩個步驟：
第1步：將實際問題轉化為數學問題；
第2步：借助于平行線的判定方法加以判定，進而解決問題．
【例7】如圖，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB，則∠3＝______．
【師生活動】教師帶領學生對圖形進行分析，找到各個角之間的關系．
∵∠2＝∠MEN，∠1＝∠2＝40°，∴∠l＝∠MEN．
∴AB∥CD．∴∠3＋∠BMN＝180°，∠EMB＋∠MEN＝180°．
又∵MN平分∠EMB，
∴∠BMN＝(180°－∠MEN)＝×(180°－40°)＝70°，
∴∠3＝180°－∠BMN＝180°－70°＝110°．
【答案】110°
【歸納】解決此類問題的途徑是由角的關系找出平行線，再由平行線的性質得到角相等或互補，從而結合角的有關性質進行角度的有關計算．
【例8】如圖，已知FC∥AB，FC∥DE，∠α∠D∠B＝234，分別求∠α，∠D，∠B的大小．
【師生活動】學生獨立解決，教師巡視糾錯．
【答案】解：由題意可設∠α＝2x，∠D＝3x，∠B＝4x．
∵FC∥AB，FC∥DE，
∴∠2＋∠B＝180°，∠l＋∠D＝180°．
∴∠2＝180°－∠B＝180°－4x，
∠l＝180°－∠D＝180°－3x．
又∵∠1＋∠2＋∠α＝180°，
∴(180°－3x)＋(180°－4x)＋2x＝180°，
解得x＝36°．
∴∠α＝2x＝72°，∠D＝3x＝108°，∠B＝4x＝144°．
【歸納】解決這類問題，不僅要掌握圖形的性質，還要善于進行等量代換，把未知量和已知量逐步聯系起來，當解決問題的過程比較復雜時，思路要清晰，語言表達要嚴謹．
【設計意圖】解決此類問題涉及到了方程思想，解題過程中要注意正確分析題意，合理利用已知信息，設方程解未知數．
課堂小結
課后任務
完成教材第25頁習題7.3第4題．

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