資源簡介

21.1 一元二次方程
教學設計
教學主體分析與設計
1、內容
一元二次方程及其相關概念。
2、內容解析
本節內容屬于“數與代數”部分，方程是討論數量之間相等關系的有利數學工具。一元二次方程是刻畫現實世界中數量關系的有效的數學模型，在現實生活中有著廣泛的應用，所以對一元二次方程的學習有著重要的實際意義。學生已學過一元一次方程和二元一次方程的概念，經歷過由具體問題抽象出一元一次方程和二元一次方程的過程，具備了學習一元二次方程的基本技能。本節知識不僅是前面知識的延續和深化，也是今后學習二次函數等知識的基礎。因此研究一元二次方程在整個初中數學學習中有著承上啟下的作用。
3、學情分析
一元二次方程是學生學習的第四個方程知識,首先在初一學習了一元一次方程,接著擴展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程組的學習,八年級分式的教學,使得對實際問題的刻畫從整式推廣到有理式,分式方程得以出現，到一元二次方程第一次實現“次” 的提升。學生必然存在著疑問,為什么有些背景列得的方程是一次的呢 教學中要直面學生的疑問,顯化學生的疑問,啟發學生自己解釋疑問,才能避免“灌輸”, 體現知識存在的必要性,增強學好的信念。培養建模思想,進-步提升數學符號語言的應用能力,讓學生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式,對九年級學生是必須的,也是適可的。
教學目標分析
1、目標
（1）探索一元二次方程及其相關概念，能夠辨別各項系數；能夠從實際問題中抽象出方程知識。
（2）在探索問題的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界的一個模型，體會方程與實際生活的聯系。
（3）通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣，培養學生良好的研究問題的習慣，使學生逐步提高自己的數學素養。
2、目標解析
目標（1）的具體要求是：能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程；理解方程的意義。
目標（2）的具體要求是：初步感知一元二次方程數學模型的建模過程，從現實生活或者具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立一元二次方程表示數學問題中的數量關系，感悟數學應用的普遍性。
目標（3）的具體要求是：有意識地應用一元二次方程解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題。能感悟現實生活中蘊含著大量的與數量有關的問題，可以用數學的方法予以解決，養成理論聯系實際的習慣，發展實踐能力。
教學重難點分析
基于本節課內容的地位和作用，制定的教學重點為：掌握一元二次方程的概念及一般形式，會將一元二次方程化為一般形式。
學生掌握一元二次方程的特點，歸納出一元二次方程的一般形式。它與前面學過的一元一次方程、二元一次方程有著聯系也有著區別，為滲透類比思想、分類討論的數學思想提供了良好的素材。本節以生活中的實際題為背景，引出一元二次方程的概念，增強學生的建模能力。
基于以上學情的分析，制定教學難點：從實際問題中抽象出一元二次方程；正確識別一般形式中的“項”及“系數”。
教法、學法分析
1、教法:由于學生將實際問題轉化為數學方程的能力有限，所以，采用了“問題情境一啟發類比觀察一自主合作探究”為主線的教學方法，借助多媒體輔助教學，指導學生通過直觀形象的觀察，從具體的問題情景中轉為數學問題，建立數學方程，從而突破難點。讓學生自主探究和合作獲取知識。
2、學法:學生通過老師的提問啟發思考，觀察類比，讓學生積極參與課堂教學，經歷自主探索和合作交流的學習過程，充分調動學生非智力因素，使學生產生積極的情感體驗，進而創造性地解決問題，有效發揮學生的思維能力。
教學用具
多媒體平臺及多媒體課件。
教學過程
教學過程 設計意圖
一、復習舊知，以舊引新 【問題1】你能說說什么叫方程嗎？ 【問題2】什么是一元一次方程？它的一般形式是什么樣的？ 設置問題情境，激發學生的興趣，讓學生回顧方程的知識，為一元二次方程的學習做好鋪墊。
二、創設情景，提出問題 【問題1】有一塊矩形鐵皮，長100 cm,寬50 cm,在它的四個角分別切去一個正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒。如果要制作的無蓋方盒的底面積是3600 cm2那么鐵皮各角應切去多大的正方形 學生活動:獨立思考，嘗試解決問題。 教師活動:教師啟發學生設未知數、列方程。設切去的正方形的邊長為xcm,經整理得到方程x2-75x+350=0，由此方程可以得出所切正方形的尺寸。 【問題2】要組織-一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據場地和時間等條件,賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應該邀請多少個隊參賽 教師活動:教師引導學生思考并回答以下幾個問題： (1)全部比賽共有 場: (2)若設應邀請x個隊參賽，則每個隊要與其他 個隊各賽1場，全部比賽共有 場; (3)由此，我們可以列方程 ，化簡得 。 學生活動:根據題意填空，回答問題。 由實際問題入手，設置問題情境，激發學生的興趣，讓學生初步感受一元二次方程，同時讓學生體會方程這一刻畫現實世界的數學模型。
三、師生互動,探究新知 教師活動:教師引導學生思考并回答以下幾個問題： (1)上面兩個方程整理后含有幾個未知數 (2)按照整式中的多項式的規定，它們的最高次數是幾次 (3)有等號嗎 還是與多項式一樣只是式子 學生活動:學生先自主探索,再討論,分析、總結并交流. 師生共同小結:(1)都只含一個未知數x; (2)它們的最高次數都是2次; (3)都有等號,是等式; (4)類比一元-次方程定義，可以給這樣的方程定義為一元二次方程. 通過指向性明確的問題引導學生思考，點明主題，提高學生課堂探究的效率。
三、歸納新知,形成概念 教師活動:出示相關概念。 像這樣的等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程,叫做一元二次方程，一般地，任何一個關于x的一元二次方程,經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。這種形式叫做一元二次方程的一般形式。 教師活動:教師強調a≠0,并提出以下問題。 觀察、思考: (1)x2-8x-1=0; (2)7x2+5x-2.2=0; (3)4x2-81=0; (4)x2+2x=0. 上述一元二次方程有哪些不同點和相同點 學生活動:學生交流回答。 不同點:方程左邊的項數不同，項中的系數不同， 相同點:每個一元二次方程都能整理化成ax2+bx+c=0的形式。 教師活動:教師提出并板書有關項及系數的概念。 一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次項,a是二次項系數；bx:是-次項，b是一次項系數;c是常數項。 本節課的主體活動，探索一元二次方程的定義及其相關概念。
四、運用新知，理解概念 例1 將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數及常數項。 解:去括號,得 3x2- 3x=5x+10. 移項,合并同類項,得一元二次方程的一般形式: 3x2-8x-10=0. 其中二次項系數是3,一次項系數是-8，常數項是-10。 教師活動:引導學生分析例題,指出要確定二次項系數，一次項系數和常數項，必須先把一元二次方程化成一般形式,因為各項名稱都是在方程為一般形式的前提下定義的。 學生活動:學生自主解決問題，通過去括號、移項等步驟把方程化為一般形式，然后指出各項系數。 教師活動:在學生指出各項系數的環節中,分析可能出現的問題(比如系數的符號問題)。 通過例題進一步鞏固一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。
五、課堂練習，深化概念 1、將下列方程化成一元二次方程的般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數及常數項: (1)5x2-1+4x=4x; (2)(3x-2)(x+1)=8x-3. 教師活動:組織學生練習，教師輔導，并選取兩名學生拍照上傳解答過程，對于重點問題進行強化、點明方法，總結解題關鍵，即先把一元二次方程化成一般形式，再確定各項系數，同時引導學生關注易錯點即系數的符號，特別地，練習第(1)題的一般形式為5x2-1 =0,所以一次項系數是0， 對于共性的問題，進行及時補充說明,對于好的做法及時加以鼓勵表揚。 學生活動:學生獨立完成練習后，集體交流評價，體會方法，形成規律。 讓學生在練習過程中，進一步理解并掌握本節課的知識與枝能。
例2 當m= 時，關于x的方程(m+1)x2+3x-1=0是一元二次方程。 學生活動:學生獨立思考，嘗試自主解決， 教師活動:請一位學生回答解題思路，訂正答案，并與學生一同小結例2 的解題關鍵是依據一元二次方程的定義，一元二次方程中二次項系數不為0。 【變式訓練】當m 時，關于x的方程是一元二次方程。 學生活動:學生獨立思考，嘗試自主解決。 教師活動:這個問題容易忽略二次項系數m+ 1≠0，只注重二次項的未知數的次數是2。 由一元二次方程的定義可知，當這兩個條件同時滿足時，此方程才是一元二次方程。因此必須滿足,所以m=1。 通過例題及變式訓練讓學生進一步深化學生對一元二次方程相關概念的理解，促進知識向能力的轉化。
六、課堂小結，布置作業 1.課堂小結: (1)本節課你學習了哪些知識 (2)本節課你掌握了哪些數學方法 (3)本節課你最大的體驗是什么 2布置作業: （1）必做題：教科書第4頁習題21.1第1、2題. （2）選做題：求證:關于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不論m取何值，該方程都是一元二次方程。 通過學生在問題的引導下自主小結，可以很好的將知識系統化。通過分層布置作業，讓學生在課后進一步對知識進行鞏固，提升綜合能力。
七、教學反思
本節課是第二十一章的起始課，也是一節概念教學課，概念課很容易讓學生覺得枯燥無味，我在這節課的設計及教學中以一元二次方程的相關概念的講解及練習為載體，以提升學生的思維分析能力為主線，以學生原有的認知為基礎，重視過程教學，從而發展學生的科學精神和創新意識，培養他們獲取知識、運用知識以及運用數學語言進行交流的能力。教學過程中，強調自主學習，注重交流合作，讓師生交流、生生交流合作貫穿在整堂課中，使學生們在自主探索的過程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并獲得數學活動的經驗，提高探究、發現和創造的能力。
我在教學中緊緊抓住本節知識的本質與現象，鼓勵學生用自己的語言闡述自己的看法，學生在對源于實際背景的數量關系、方程進行分析比較后，抽象概括出它們的一般結構，從而形成一元二次方程的概念，并在辯析與應用中進一步理解概念，在知識的獲取過程中，始終交織著舊知與新知、相同與不同的對立與統一,這些都觸動著學生對數學學習的情感。也很好的落實了通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣，培養學生良好的研究問題的習慣，使學生逐步提高自己的數學素養這一情感態度與價值觀目標。

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