資源簡介

第九章 圖形的變化
9.3旋轉
9.3.3 中心對稱與中心對稱圖形
本節課是蘇科版初中數學七年級下冊第九章第三節第三課時，是本章的最后一項內容．本課教材通過豐富的活動，引導學生探究中心對稱及中心對稱圖形的性質，從而培養學生的觀察能力、操作能力和推理能力.與軸對稱學習路徑類似，本課也是先學習中心對稱，再研究中心對稱圖形.前者是兩個圖形之間的關系，后者雖然是一個圖形，但可以看作兩個圖形(一個圖形的兩個部分). 中心對稱的基本性質不僅可用于判斷兩個圖形是否成中心對稱，也給出了作一個圖形的中心對稱圖形的方法.本課在軸對稱及旋轉一課的的基礎上進行學習，在學習過程中，結合旋轉及軸對稱知識，引導學生注意中心對稱是一種特殊的旋轉，具有旋轉變換的所有性質，如對應圖形可以重合，對應邊相等，對應角相等，對應點與旋轉中心連線所成的角都等于旋轉角，增強知識的系統性，幫助學生構建知識體系.
本課第一個討論環節內容本身是開放的，但在教材中，給出對應點與對稱中心的關系及中心對稱區別于旋轉的特殊性質兩個方面的結論，在教學中需要注意把控討論方向. 第二個環節意在為后續八年級利用中心對稱的視角研究平行四邊形做鋪墊，不對平行四邊形進行嚴格定義，基于小學階段已經了解的簡單的性質，這里只要求和中心對稱建立直觀聯系，不要求學生給出解釋和論證.
嘗試環節中，要求學生應用所學知識通過一組對應點找到已知的中心對稱圖形對稱中心(對應點連線段的中點)以及已知對稱中心確定任意一點的對應點，在操作中發展學生圖形空間觀念及綜合運用知識解決問題的能力.
學生在學習本節課時，已具備一定的知識基礎和學習能力．學生在小學已初步接觸中心對稱及平行四邊形中心對稱圖形，了解一些相關的簡單性質. 在本章中，學生已經掌握了軸對稱及旋轉的相關知識，對對稱性及旋轉的性質有一定的認識.但由于中心對稱與軸對稱在概念和性質上有較大的區別，學生在理解和掌握上可能會有一定的難度.因此，在教學過程中，教師需要關注學生的認知差異，針對不同學生的學習情況，采取合適的教學策略，引導學生逐步理解和掌握中心對稱的概念和性質.
1.通過具體實例認識中心對稱和中心對稱圖形，明確它們之間的區別與聯系，培養了幾何直觀.
2.探索中心對稱的性質，并會畫已知圖形關于某點成中心對稱圖形，進一步培養學生解決問題的能力.
3.經歷觀察、操作、思考、討論等數學活動，發展學生圖形空間觀念及綜合運用知識解決問題的能力.
重點：了解中心對稱是特殊的旋轉，探索并理解中心對稱的性質；了解中心對稱圖形，探索中心對稱圖形的性質.
難點：理解中心對稱與旋轉的關系，理解中心對稱與中心對稱圖形的的區別與聯系.
情境導入
雙棒螺旋星系是棒旋星系的一種特殊形態，星系中的核球向外成對數螺旋在星系盤內延展，其中心存在一根或兩根由恒星聚集而成橫越過星系中心的明亮短棒.從短棒末端涌現出旋臂，向外伸展 . 這根短棒進一步分裂為兩部分，形成雙棒螺旋結構，這種螺旋結構使得星系的核心區域顯得更為復雜和有趣.
類似的螺旋結構的圖案還廣泛出在現實生活中，如中國傳統雙魚剪紙窗花等，其中存在除了軸對稱以外的另一種對稱.觀察下圖，你有什么發現
答：將其中一條魚(一個星系)繞某點旋轉180°可以與另一條魚(一個星系)重合.
答：繞某點旋轉180°.
師生活動：教師展示情境，學生獨立思考，舉手回答．
設計意圖：通過對宇宙星系及身邊窗花圖片的觀察，引導學生對中心對稱產生初步直觀的認識，為后續在感悟的基礎上揭示中心對稱的概念做鋪墊.
探究新知
活動一：認識中心對稱
師小結：
一般地，在平面內，若一個圖形是由另一個圖形繞某個點旋轉180°得到的, 則稱這兩個圖形成中心對稱這個點叫作對稱中心，兩個對稱圖形上的對應點叫作對稱點.
師提示：1.中心對稱是對于兩個圖形而言的，它表示的是兩個圖形之間的對稱關系；
2.中心對稱是旋轉的一種特殊情形, 具有旋轉變換的所有性質.
由于中心對稱是特殊的旋轉，所以具有旋轉的所有性質.例如，成中心對稱的兩個圖形可以重合，對應邊相等，對應角也相等.
如圖，△ABC繞點O旋轉180°后得到△A'B'C',△ABC 與△A'B'C'關于點O成中心對稱, 點O是對稱中心,點A關于點O 的對稱點是A',A'B'是AB 的對應線段,∠B'A'C'是∠BAC的對應角.
師追問：你還能找出其他對應點、線段或對應角嗎？
答：點B關于點O 的對稱點是B', 點C關于點O 的對稱點是C',
C'B'是CB 的對應線段, A'C'是AC的對應線段,
∠B'C'A'是∠BCA的對應角,∠A'B'C'是∠ABC的對應角.
（師根據學生情況可以繼續追問哪些是相等線段及相等的角）
師生活動：學生獨立思考，舉手回答，教師歸納總結．
設計意圖：通過對具體實例的觀察、思考，引導學生感悟中心對稱，在感悟的基礎上揭示中心對稱的概念. 引導學生將新知識與旋轉變化建立知識間的關聯，更好地理解新概念及其特殊性,并借助旋轉的性質為認識中心對稱的特殊性質做鋪墊.
活動二：探究中心對稱的性質
討論：如圖，連接點B,B',觀察AA',BB',CC',你能發現什么特征
答：對應點與旋轉中心連線所成的角都等于180°,三個點共線. A A ' , B B ' , C'C'都過點O，O是它們的中點.
師小結：
成中心對稱的兩個圖形中,對應點的連線段經過對稱中心, 且被對稱中心平分.
問題：在圖中,畫△ABC關于點C對稱的三角形.
答：解：如圖，延長AC到點A',使CA'=CA.點A'即為點A的對稱點.
類似地,找到點B關于點C的對稱點B',順次連接點A', B',C.△A'B'C即為所求.
師生活動：學生獨立思考，小組討論，代表發言，教師歸納總結．
設計意圖：在對圖形的觀察、思考的基礎上，引導學生積極討論，自主發現中心對稱的性質，提升學生對中心對稱的性質的應用能力.在此過程中培養學生的表達能力和總結能力，讓學生學會用數學思維思考，用數學的語言表達．
活動三：認識中心對稱圖形
在下圖中，連接AB',BA',得到四邊形 ABA'B',將四邊形ABA'B'繞點C旋轉180°,你有什么發現
答：將四邊形ABA'B'繞點C旋轉180°后能夠與其自身重合.
思考：你還見過哪些具有這種特征的圖案或圖形
旋轉后的圖形與原圖形重合（就是其本身）,長方形、正方形、平行四邊形、圓形、太極圖、雙魚圖……（言之有理即可）.
師小結：
把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形就是其本身,那么這個圖形叫作中心對稱圖形， 這個點就是它的對稱中心.
嘗試：圖中的三個圖形均為中心對稱圖形,請完成下列操作:
(1)分別找出它們的對稱中心;
(2)分別在各個圖形上任取一點,找出它的對稱點.
師適當的引導學生：對稱點的連線經過對稱中心, 且被對稱中心平分.
答：（1）它們的對稱中心為點O,如圖所示.
（答案不唯一）
師小結：確定對稱中心的方法：
連接兩對對應點，這兩條線段（不在同一直線上）的交點即為對稱中心；
連接任意一對對應點，取這條線段的中點，此中點即對稱中心.
師生活動：學生獨立思考，舉手回答，教師歸納總結．
設計意圖：在成中心對稱的兩個三角形的基礎上生成新圖形，從而引出新概念中心對稱圖形，并根據中心對稱的性質發現中心對稱圖形的概念.在此基礎上引導學生根據性質，嘗試尋找對稱中心及對稱點，發展學生靈活應用知識解決問題的能力．
活動四：中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系
問題：中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系是什么
答：
師生活動：學生先小組討論，匯報交流，師引導學生總結．
設計意圖：通過歸納總計中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系，讓學生明確概念之間的關系，提高學生歸納總結以及語言表達能力.
應用新知
例1 如圖,畫四邊形ABCD關于點O對稱的四邊形.
答：解：連接AO,延長AO到點A',使A'O= AO,點A'即為點A的對稱點,類似地,找到點B, C, D關于點O的對稱點B', C', D',順次連接點A', B',C', D'.四邊形A'B'C'D'即為所求.
師生活動：教師板演示范，學生模仿．
設計意圖：通過例題講解，及時練習鞏固所學，培養學以致用、積極思考的習慣，提升學生對中心對稱的性質的應用能力及動手操作能力．
課堂練習
1. 如圖,在△ABC中,O是AC的中點,畫出△ABC關于點 O對稱的△A'B'C'.
2. 線段是中心對稱圖形嗎 如果是,找到它的對稱中心.
3. 如圖,四邊形①,②,③,④的頂點都在格點上,直線x,y是網格線,指出圖形①,②,③,④中每兩個圖形之間的對稱關系.
答：1. 連接BO,延長BO到點B',使BO'= BO,點B'為點B的對稱點，
點A '為點A的對稱點,點C為點C '的對稱點,連接C'B',A'B',△A'B'C'即為所求.
2.是，對稱中心是線段的中點.
3.解：圖①與②、④與③關于直線y成軸對稱；
圖①與④、②與③關于直線x成軸對稱；
圖①與③、②與④關于點O成中心對稱.
限時訓練
1. 在我國傳統的房屋建筑中，窗欞是門窗重要的組成部分，它們不僅具有功能性作用，而且具有高度的藝術價值．下列關于窗欞的圖案中，不是中心對稱圖形的是（　　）
2．下面的幾何圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（　　）
A．線段 B．圓 C．平行四邊形 D．正五邊形
3．如圖是由邊長為1的小等邊三角形構成的網格，其中有3個小等邊三角形已涂上陰影，請在余下的空白小等邊三角形中選取一個涂上陰影，使得4個陰影小等邊三角形組成一個中心對稱圖形．滿足條件的小等邊三角形有 　 　個．
4. 如圖，方格紙中有三個點A、B、C，要求作一個四邊形使這三個點在這個四邊形的邊(包括頂點)上，且四邊形的頂點在方格的頂點上.
(1)在圖甲中作出的四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形;
(2)在圖乙中作出的四邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形;
(3)在圖丙中作出的四邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.
5. 如圖，已知△A1B1O1是由△ABO旋轉得到的，
（1）畫出旋轉中心M；
（2）先將△ABO沿直線x翻折，再沿直線y翻折得到△A2B2O2，畫出△A2B2O2并觀察△ABO 與△A2B2O2的位置關系；
（3）在橫線下方添加一個點P，使A，B，O，P四個點為頂點的四邊形成為一個中心對稱圖形．
答：1.C;
2.D;
3. 故答案為2;
4. ；
5. (1)解：旋轉中心M如圖所示.
(2) △△A2B2O2如圖所示，△ABO 與△A2B2O2關于點O中心對稱
(3) 點P的位置如圖所示.
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃玻璃上的剪紙，是中國古老的漢族傳統民間藝術之一，是農耕文化的特色藝術.農村的生活地理環境、農業生產特征以及社會的習俗方式，也使這種鄉土藝術具有了鮮明的漢族民俗情趣和藝術特色.請結合所學中心對稱的相關知識，創作一張富有本土特色的窗花.
對于中心對稱的概念，應引導學生理解兩個方面：首先，中心對稱是對于兩個圖形而言的，它表示的是兩個圖形之間的對稱關系；其次，中心對稱是旋轉的一種特殊情形.在探索中心對稱的基本性質時，教學中要注意引導學生從兩個層次進行探索：先探索成中心對稱的兩個點與對稱中心的關系，并用操作來確認；其次探索成中心對稱的兩個圖形不僅具有旋轉的一切性質，而且還具有特殊的性質——對應點連線段經過對稱中心，且被對稱中心平分.
在中心對稱圖形概念的教學中，要幫助學生理解：中心對稱圖形有一個對稱中心，把這個圖形繞對稱中心旋轉180°，旋轉后得到的圖形能夠與原來的圖形重合；中心對稱圖形是對一個圖形而言的，中心對稱性是一個圖形具有的性質.在例題教學中，教材安排的例題是利用中心對稱的性質畫圖.雖然教材給出了畫圖的方法，但要在弄清畫法道理的基礎上再畫圖，要引導學生自己對問題進行分析和思考，提高學生分析問題的能力.最后，通過思維導圖和快速回顧的方式，幫助學生鞏固本節課的知識點.注重學生的反饋，通過讓學生自己總結學到的內容，更好地檢測他們對知識的掌握情況，協助學生構建知識體系，力爭全體學生能系統掌握對稱的聯系與區別、旋轉與中心對稱的關聯.

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