資源簡介

第九章 圖形的變換
9.3旋轉
9.3.2 旋轉的基本性質
本節課是蘇科版初中數學七年級下冊第九章第三節第二課時的內容，它是在學生學習了旋轉的基本概念及其初步應用的基礎上進行的，深入探討了旋轉的基本性質及其在圖形變換中的應用.這些內容既是對前面所學知識的鞏固、深化和發展，又是為后續學習更復雜的幾何變換（如中心對稱、相似變換）奠定了基礎，因此本節課具有承前啟后的重要作用.
本課通過創設問題情境，如“旋轉前后的圖形還有具備哪些性質？”引導學生從具體問題中抽象出數學模型，進而引入旋轉的基本性質.這種從實際到抽象的過渡，有助于學生更好地理解旋轉的現實意義，激發他們的學習興趣.在探索旋轉性質的過程中，學生需要觀察、分析和歸納旋轉圖形的特征，這有助于培養學生的幾何直觀能力和邏輯推理能力.
本節課不僅傳授了重要的幾何知識，更注重學生數學素養的全面提升.通過實際問題的引入和探索，學生不僅能夠掌握旋轉的基本性質，還能學會如何將數學知識應用于解決實際問題，從而提升他們的數學應用能力和創新思維.同時，旋轉作為幾何變換的重要內容，為學生今后學習更復雜的幾何知識奠定了堅實的基礎。通過本節課的學習，學生能夠進一步理解幾何變換的本質，為后續學習圖形的綜合變換提供重要的知識儲備.
學生在學習旋轉的基本性質時，已具備一定的知識基礎和學習能力。因為學生已經學習了旋轉的基本概念，掌握了旋轉的三要素（旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度），并能夠初步運用這些知識解決簡單問題.此外，學生在前面幾何內容的學習中，已經積累了一定的幾何直觀能力和空間想象能力，能夠通過觀察和分析圖形的特征，理解幾何變換的本質.這些知識為學習旋轉的基本性質提供了重要的支撐.
1.理解并掌握旋轉的基本性質，并能應用其解決簡單的旋轉問題，培養了幾何直觀，提高學生解決問題的能力.
2.能夠利用旋轉的基本性質畫出簡單的平面圖形旋轉后的圖形，培養幾何直觀和空間觀念
3.通過解決實際問題，體會數學的應用價值，培養用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界的能力.
重點：能夠利用旋轉的基本性質畫出簡單的平面圖形旋轉后的圖形.
難點：理解并掌握旋轉的基本性質，并能應用其解決簡單的旋轉問題
情境導入
課件出示動圖：（師可以適當的引導學生說說圖中有哪些相等的線段和角）
師小結：旋轉前后的兩個圖形可以重合，對應線段相等，對應角也相等，除此之外，旋轉還具備哪些性質呢？
師生活動：獨立思考，學生代表講述，學生傾聽.
設計意圖：通過復習上節課的內容，自然的引出本節課的主題，激發學生的學習興趣和探究旋轉其他性質的欲望.
探究新知
活動一：探究旋轉的基本性質
在正方形ABCD中，點E在邊CD上，△AED繞點A按順時針方向旋轉90°得到△AFB.
問題：AD與AB，AE與AF的數量關系？
答：AD=AB，AE=AF即對應點到旋轉中心的距離關系.
問題：∠BAD與∠FAE的數量關系？
答：∠BAD=∠FAE，即旋轉角相等
問題3：將△ABC繞點O順時針轉某個角度得到△A'B'C'，上述結論還成立嗎？
答：成立.
AO=A'O,BO=B'O,CO=C'O；∠AOA'=∠BOB'=∠COC'.
師小結：旋轉的基本性質：
旋轉前后的兩個圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心連線所成的角都等于旋轉角.
師生活動：同伴互相說一說，學生代表講述，學生傾聽，教師板書.
設計意圖：通過3個問題，引導學生從具體實例出發，深入探究旋轉的基本性質,幫助學生理解旋轉前后對應點到旋轉中心的距離關系以及旋轉角的性質，培養觀察能力、歸納總結能力和幾何直觀能力.同時，通過探索旋轉的基本性質，為后續學習更復雜的幾何變換（如中心對稱、旋轉作圖）奠定理論基礎，激發學生的學習興趣和探究欲望.
活動二：利用旋轉的基本性質畫圖
問題：在圖中，畫出線段AB繞點A按順時針方向旋轉60°后的線段．
作法：(1)如圖，以AB為一邊按順時針方向畫∠BAD，使得∠BAD=60°.
在射線AD上取點B′，使得AB′=AB．
線段A′B′即為所求.
問題：在圖中，畫出線段AB繞點O按逆時針方向旋轉60°后的圖形 .
作法：
(1)連接OA、OB；
(2)分別將AO、BO分別繞點O逆時針旋轉60°得到射線OC、OD；
(3)在射線OC、OD上分別截OA'=OA,OB'=OB；
(4)連接A'B'，則A'B'即為所求.
討論：將一條線段繞其一個端點旋轉60°，連接對應點可以得到怎樣的圖形呢？ 旋轉90°呢
△ABB'是等邊三角形． △ABB'是等腰直角三角形．
思考：如果都是逆時針旋轉，得到的三角形的形狀會變嗎？
答：不變
師小結：無論是逆時針還是順時針旋轉，得到三角形的形狀是不變的.
旋轉作圖的基本步驟：
(1)定：明確旋轉三要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度.
(2)找：找出原圖的關鍵點;
(3)作：作出關鍵點的對應點；
(4)連：連接對應點畫出新圖形;
(5)寫：寫出結論.
對應點的作法：
①連接圖形的每一個關鍵點與旋轉中心；
②把連線繞旋轉中心，按旋轉方向旋轉
相同的角度（作旋轉角）；
③在作得的角的另一邊上截取與關鍵點到旋轉中心的距離相等的線段，得到各關鍵點的對應點.
師生活動：獨立思考，學生代表講述，學生傾聽.
設計意圖：讓學生掌握旋轉作圖的基本方法，培養幾何直觀能力、空間想象能力和問題解決能力.同時，為后續學習更復雜的幾何變換奠定基礎.這一設計旨在幫助學生將數學知識應用于實際問題，提升數學素養和作圖技能.
應用新知
例1 如圖，把△ABC繞點A按逆時針方向旋轉60°得到△AB'C'，已知∠BAC=50°，求∠CAB'，∠BAC'的大小.
解：根據題意，點B，C的對應點分別為B'，C'，
所以∠BAB'=60°.
因為∠CAB'=∠BAB'－∠BAC，∠BAC=50°，
所以 ∠CAB'=60°－50°=10°.
因為 ∠BAC'=∠BAB'+∠B'AC'，∠B'AC'=∠BAC=50°，
所以 ∠BAC'=60°+50°=110°.
師生活動：學生獨立完成后，教師指定學生講解，全班集體交流.
設計意圖：通過例題講解，掌握旋轉的性質并能利用其解決數學問題，培養空間想象能力和邏輯推理能力，并提高他們的數學表達能力.
課堂練習
如圖，△ABC是由△DEF經過旋轉得到的.
(1)寫出兩個三角形的對應點、對應邊和對應角;
(2)寫出相等的線段和相等的角.
2. 如圖，在方格紙中先把△ABC繞點O按逆時針方向旋轉90°，得到△A1B1C1;再把△A1B1C1按同樣方式旋轉，得到△A2B2C2;把△A2B2C2按同樣方式旋轉，得到△A3B3C3.畫出所有的三角形，它們所圍成的是什么圖形
答案：
1.解：(1)對應點：點D和點A，點F和點C，點E和點B.
對應邊：DE和AB，FE和BC，DF和AC.
對應角：∠FDE和∠CAB，∠DFE和∠ACB，∠FED和∠CBA
相等線段：DE=AB，FE=BC，DF=AC，OD=OA，OF=OC，OE=OB.
相等的角：∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠ACB，∠FED=∠CBA，
∠DOA=∠FOC=∠EOB，∠DOF=∠AOC，∠FOE=∠COB.
2.解：所有的三角形如圖所示，它們所圍成的圖形是一個大正方形內含一個小正方形.
限時訓練
1.如圖，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉至△OA′B′，使點B恰好落在邊A′B′上，已知AB=4 cm，BB′=1 cm，則A′B的長度是( )
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
2.如圖，△OAB繞點O順時針旋轉得到△OCD，若∠BOC＝15°，∠AOD＝95°．則∠AOB的度數是（　?。?br/>A．85° B．60° C．55° D．40°
3.如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°，得到△A′B′C，連接AA′，若∠1＝25°，則∠BAA′的度數是( 　)
A．55° B．60° C. 65° D．70°
（第2題） （第3題）
4.如圖，△ABC 繞點C旋轉后，頂點A的對應點為點D．試確定頂點B對應點的位置以及旋轉后的三角形．
答案：1. C
C
C
解：(1)如圖，連接CD；
(2)以CB為一邊，作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；
(3)在射線CE 上截取線段CF，使得CF＝CB，點F即為點B的對應點；
(4)連接 DF，CF，則△DFC 即為旋轉后的三角形．
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
用紙片或模型模擬旋轉現象
如用紙片剪出一個三角形，繞一個固定點按不同角度旋轉，觀察旋轉前后圖形
的位置和形狀變化,理解旋轉的基本性質.
本課時通過引入問題——“旋轉還有哪些特殊的性質呢？”來引導學生深入思考旋轉的基本性質.這種創設性問題的設計有助于學生從實際問題中抽象出數學概念，激發他們的學習興趣，同時培養他們自主探究和解決問題的能力.
通過復習之前的知識來引入新知識，幫助學生理解旋轉的基本性質，包括旋轉前后圖形的形狀和大小不變、對應點到旋轉中心的距離相等、對應線段之間的夾角等于旋轉角度等.教學中，鼓勵學生通過觀察和討論，自主推導出這些性質，從而加深他們對知識的理解.
本課時的問題以及例題，幫助學生掌握如何利用旋轉的性質進行圖形變換和解決實際問題。教學中，更多地讓學生自己嘗試解決問題，而不是僅僅依賴于老師的講解，從而提高他們的獨立思考和空間想象能力。
通過思維導圖和快速回顧的方式，幫助學生系統地梳理本節課的知識點.例如，旋轉的基本性質？旋轉的作圖方法有哪些步驟？注重學生的反饋，通過讓學生自己總結學到的內容，更好地檢測他們對知識的掌握情況.教學中，追尋數學本質，力爭全體學生正確理解旋轉性質的形成過程，并規范使用旋轉的作圖方法.

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