資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
數(shù)列
一、單選題
1．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．520 B．521 C．1033 D．1034
2．已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，若該數(shù)列前3項(xiàng)的和為3，最后三項(xiàng)的和為63，所有項(xiàng)的和為110，則n的值為（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．等差數(shù)列的前16項(xiàng)和為640，前16項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為11：9，則公差的值分別是（ ）
A． B． C． D．
5．已知數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）
A． B．
C． D．
6．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則m的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知等比數(shù)列的公比q大于0，前n項(xiàng)和為，則“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
9．如果等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，且，設(shè)，那么（ ）
A． B． C． D．
10．大衍數(shù)列來(lái)源《乾坤諾》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程．已知大衍數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
11．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．
C． D．中最大的是
12．設(shè)，分別為等差數(shù)列的公差與前項(xiàng)和，若，則下列論斷中正確的有（ ）
A．時(shí)，取最大值 B．
C．若， D．若時(shí)，
13．設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B． C． D．當(dāng)時(shí)，的最大值為18
15．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．最小 C． D．
16．已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，公差為，是和的等比中項(xiàng)，則（ ）
A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
C． D．有最大值為
17．1202年，斐波那契從“兔子繁殖問(wèn)題”得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，，該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.記為該數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．為奇數(shù)
C． D．
18．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A． B．?dāng)?shù)列是公差為1的等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的前2025項(xiàng)的和為-2024
19．已知定義在上的函數(shù)滿足，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[，．當(dāng)時(shí)，，設(shè)為從小到大的第n個(gè)極小值點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．
20．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《解析九章算法商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，，依此類推．設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的總數(shù)為，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
21．將正整數(shù)n分解成兩個(gè)正整數(shù)，的積，即，當(dāng)，的兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，稱為正整數(shù)n的最優(yōu)分解，如為20的最優(yōu)分解．當(dāng)為n的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前2025項(xiàng)和為 ．
22．某停車場(chǎng)在統(tǒng)計(jì)停車數(shù)量時(shí)數(shù)據(jù)不小心丟失一個(gè)，其余六個(gè)數(shù)據(jù)分別是10，8，8，11，16，8，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為 .
23．若數(shù)列是等比數(shù)列，且其前n項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)
24．已知公比不為的等比數(shù)列中，存在，滿足，則的最小值為 ．
25．已知數(shù)列滿足若為最大項(xiàng)，則 .
26．?dāng)?shù)列中，滿足，，則 ．
27．已知數(shù)列滿足，則 .
28．已知數(shù)列滿足，則 ．
29．已知數(shù)列解前項(xiàng)和為，若，則 ， .
30．已知等比數(shù)列的公比大于2，存在，使恰是中的某一項(xiàng)，則q的值為 ．
《數(shù)列》參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D D B D C C A
題號(hào) 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 BD BC BC AB ACD AC ACD AC BC BCD
1．C
【分析】根據(jù)給定條件，利用求出，進(jìn)而求出即可得解.
【解析】數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即，則，
而，解得，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則，即，于是，所以．
故選：C
2．A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式得解.
【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)，則，，
因此，即，
則，解得
故選：A
3．A
【分析】首先對(duì)已知等式進(jìn)行變形，得到數(shù)列的性質(zhì)，判斷出它是等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及已知的來(lái)逐步求出的值.
【解析】已知，等式兩邊同時(shí)除以（因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，），
可得.這表明數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.
已知，那么.
對(duì)于等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為（為公差），這里.
當(dāng)時(shí)，.
把代入上式，可得，解得.
故選：A.
4．D
【分析】根據(jù)給定條件，求出前16項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，再利用等差數(shù)列性質(zhì)及前和公式求解.
【解析】在等差數(shù)列中，設(shè)，
依題意，，解得，
而，，
所以.
故選：D
5．D
【分析】根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系，得到，從而有，再利用裂項(xiàng)相消法，即可求解.
【解析】因?yàn)棰伲?br/>當(dāng)時(shí)，②，
由①②得到，得到，
又時(shí)，，滿足，所以，則，
所以，
則數(shù)列的前項(xiàng)和為，
故選：D.
6．B
【分析】先利用與的關(guān)系求出和，進(jìn)而得到公差，再結(jié)合求出，最后根據(jù)通項(xiàng)公式求出.
【解析】根據(jù)與的關(guān)系，（）.
已知，，那么.
又因?yàn)椋?
所以公差.
已知，將其代入前項(xiàng)和公式，因?yàn)?，所?
又已知，那么.
已知，，，代入通項(xiàng)公式可得：
, 得.
故選：B.
7．D
【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷兩命題之間的邏輯推理關(guān)系，即得答案.
【解析】若取，，那么，則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
此時(shí)，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，
所以“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”不能推出“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”，
若取，，則，
顯然數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，
此時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，
所以“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”不能推出“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”，
綜上“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.
故選：D
8．C
【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可得，進(jìn)而可得的值．
【解析】由，得，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，顯然，則，
因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，，
則，所以.
故選：C
9．C
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知可得，求解可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求得.
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以?br/>所以，解得或，
又等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，
所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
10．A
【分析】通過(guò)令時(shí)，得到，當(dāng)時(shí)得到，兩式聯(lián)立得到，從而得到奇數(shù)項(xiàng)，再由遞推公式得到偶數(shù)項(xiàng)，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可；
【解析】因?yàn)椋?br/>令且，
當(dāng)時(shí)，①；
當(dāng)時(shí)，②，
由①②聯(lián)立得．
所以，
累加可得．
令(且為奇數(shù))，得，
當(dāng)時(shí)滿足上式，
所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
所以，其中為偶數(shù)．
所以，故C正確．
所以，故A錯(cuò)誤．
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，
綜上可得，故B正確．
因?yàn)?br/>，故D正確．
故選：A．
11．BD
【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到，，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得的范圍可判斷AC；進(jìn)而得可判斷B；利用可判斷D，從而得解.
【解析】對(duì)于AC：因?yàn)椋?br/>且，
所以，，又因?yàn)椋?br/>所以，解得；
所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，故AC錯(cuò)誤；
對(duì)于B：因?yàn)?，所以，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞減數(shù)列，
且，，則，，
所以，，故D正確.
故選：BD.
12．BC
【分析】首先根據(jù)得到，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.
【解析】等差數(shù)列中，
∵，∴，解得，
對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)闊o(wú)法確定的正負(fù)性，所以無(wú)法確定是否有最大值，故A錯(cuò)誤，
對(duì)選項(xiàng)B，，故B正確，
對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，故C正確，
對(duì)選項(xiàng)D，，，
∵，∴、，，故D錯(cuò)誤，
故選：BC.
13．BC
【分析】由可求得，結(jié)合可排除，知B正確；由等比數(shù)列通項(xiàng)公式知A錯(cuò)誤；利用作差法可知C正確；根據(jù)等比數(shù)列求和公式可判斷D錯(cuò)誤.
【解析】對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，又，，
或；
當(dāng)時(shí)，，，與矛盾，，B正確；
對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，，，即，C正確；
對(duì)于D，，又，，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
14．AB
【分析】對(duì)于A：根據(jù)等差數(shù)列定義分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)等差數(shù)列的函數(shù)特征分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)前項(xiàng)和的定義分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)等差數(shù)列的求和公式結(jié)合的符號(hào)性分析判斷.
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，
可得，即，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可知等差?shù)列的公差，
所以等差數(shù)列為遞減數(shù)列，即，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為18，故D錯(cuò)誤；
故選：AB.
15．ACD
【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，由題可得，據(jù)此結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可判斷各選項(xiàng)正誤.
【解析】對(duì)于D，設(shè)等差數(shù)列公差為d，由題意，知，則，即，故D正確；
對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B ，因，則，
故，
當(dāng)，又離最近整數(shù)為4或5，則或最大，由題無(wú)法確定符號(hào)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由D分析，，則由等差數(shù)列性質(zhì)可得，
則，故C正確.
故選：ACD
16．AC
【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)以及等比中項(xiàng)定義計(jì)算可得，可得A正確；由于不明確公差的符號(hào)，所以BD錯(cuò)誤，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得C正確.
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由是和的等比中項(xiàng)可得，
可得，即，即A正確；
對(duì)于B， 由A可知，因?yàn)椴恢赖恼?fù)，因此公差的符號(hào)不確定，
所以數(shù)列的單調(diào)性不確定，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，易知，所以C正確，
對(duì)于D，根據(jù)B選項(xiàng)可知數(shù)列的單調(diào)性不確定，因此不一定有最大值，可得D錯(cuò)誤.
故選：AC
17．ACD
【分析】列出數(shù)列前幾項(xiàng)，可計(jì)算得選項(xiàng)A正確，再觀察數(shù)列數(shù)字的特點(diǎn)可得B；由遞推公式計(jì)算判斷選項(xiàng)C，選項(xiàng)D.
【解析】解：對(duì)于A，記該數(shù)列為，由題意知，，，，，，，，
，，，故A正確;
對(duì)于B，因?yàn)樵摂?shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，
此數(shù)列中數(shù)字以奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)一組，而，
故為偶數(shù)，故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C，由題意知，所以，
，故C正確;
對(duì)于D，，，，，
，
將這些等式左右兩邊分別相加得：
，
所以，D選項(xiàng)正確.
故選：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)“斐波那契數(shù)列”的遞推關(guān)系列出數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察數(shù)列數(shù)字的特點(diǎn)，再由遞推公式即可求得結(jié)果.
18．AC
【分析】根據(jù)求出，再結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)公式，利用裂項(xiàng)相消法和分組求和計(jì)算判定即可.
【解析】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，
而滿足上式，因此.
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，C正確；
對(duì)于D，，
則數(shù)列的前2025項(xiàng)的和為，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
19．BC
【分析】應(yīng)用已知計(jì)算判斷A，化簡(jiǎn)計(jì)算判斷B，應(yīng)用極值點(diǎn)定義結(jié)合等差數(shù)列定義判斷C，應(yīng)用遞推公式得出等比數(shù)列計(jì)算判斷D.
【解析】因?yàn)?，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，等式兩邊同時(shí)加，得，
故，，故B選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則極小值點(diǎn)為，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，的極小值點(diǎn)為，
即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，故C選項(xiàng)正確；
所以設(shè)，則，，，
為首項(xiàng)是，公比為2的等比數(shù)列，
所以，當(dāng)時(shí)，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
綜上所述，應(yīng)選BC．
故選：BC.
20．BCD
【分析】由題意及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，進(jìn)而求出前幾項(xiàng)及判斷A、B、C；應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和判斷D.
【解析】由題意知，，，，，，
故，
所以， ，，故A錯(cuò)誤;
故，故B正確；
因?yàn)椋蔆正確；
因?yàn)?，所以?br/>所以，故D正確．
故選：BCD
21．/
【分析】利用最優(yōu)分解的思想，結(jié)合分類討論，就可得到數(shù)列通項(xiàng)，從而求和即可.
【解析】當(dāng)，時(shí)，，所以；
當(dāng)，時(shí)，，所以；
所以數(shù)列的前2025項(xiàng)和為：
.
故答案為：.
22．32
【分析】設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為，根據(jù)題意求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，分、和三種情況，結(jié)合等差中項(xiàng)運(yùn)算求解.
【解析】設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為，
則平均數(shù)為，眾數(shù)是8，
若，則中位數(shù)為8，此時(shí)，解得舍去）；
若，則中位數(shù)為，此時(shí)，解得；
若，則中位數(shù)為10，此時(shí)，解得；
所有可能的值為9，23，其和為32.
故答案為：32.
23．
【分析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)即可求解；
【解析】 ∵，且為等比數(shù)列，
由等比數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)，
可得：，即．
故答案為：
24．
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再根據(jù)基本不等式結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【解析】設(shè)的公比為，因?yàn)?，則，故，.
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，但.
結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，故的最小值為，此時(shí).
故答案為：
25．5或6
【分析】先由遞推公式構(gòu)造數(shù)列，得到等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，借助指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，得到最大項(xiàng)時(shí)的項(xiàng)數(shù).
【解析】由得，，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
從而可得到，
所以最大項(xiàng)是第5項(xiàng)或第6項(xiàng)，故或
故答案為：或
26．/
【分析】先利用“累乘法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用“裂項(xiàng)求和法”求和.
【解析】因?yàn)椋?
所以，，，…，（）.
各式相乘，可得：，
顯然滿足上式，則，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以.
故答案為：.
27．；
【分析】由題意可得，可得，兩式相減可求通項(xiàng)公式.
【解析】由，可得，
所以，
兩式相減得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，適合上式，
所以.
故答案為：.
28．
【分析】由題意整理數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用列舉法與觀察可得通項(xiàng)，可得答案.
【解析】由，則，
所以，
可得，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，
故.
故答案為：.
29． 78
【分析】由，當(dāng)時(shí)解得，當(dāng)時(shí)解得即可求出；當(dāng)時(shí)由即可得，即得數(shù)列為等比數(shù)列即可求解.
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，則.
當(dāng)時(shí)，由得，
兩式相減整理得，
即，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為9，公比為9的等比數(shù)列，則，即.
故答案為：78；
30．
【分析】假設(shè)，且，列出等式，再對(duì)分情況討論，即可求得結(jié)果.
【解析】假設(shè)，且，
即，
，
從而，
當(dāng)時(shí)，（舍去）；
當(dāng)時(shí)，，
；
當(dāng)時(shí)，記，
則．證明如下：
，
，
．
綜上，．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題干得到，列出等式，再對(duì)分情況討論.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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