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不等式與不等關系
一、單選題
1．已知，.設，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知正數(shù)x，y滿足，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知，滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．若、都有恒成立，則（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．若關于x的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)a的可能值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知，且恒成立，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．函數(shù)，若，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，且關于x的不等式的解集為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．命題“，”為假命題
D．若的解集為M，則
二、填空題
11．已知公比不為的等比數(shù)列中，存在，滿足，則的最小值為 ．
12．若命題“，使得”為假命題，則實數(shù)的取值范圍 ．
13．已知函數(shù)的值域為，且，則的取值范圍是 .
14．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 ．
15．已知動直線恒過點，且到動直線的最大距離為3，則的最小值為 ．
16．已知命題“，使得”為假命題，則實數(shù)a的范圍為 ．
17．已知定義在上的函數(shù)，則關于的不等式的解集為 ．
18．若關于的不等式的解集為，則的最小值為 .
19．已知，若關于的不等式在上恒成立，則的最小值為 .
20．設奇函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且．若函數(shù)對所有的都成立，則當時，的取值范圍是 ．
《不等式與不等關系》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A A C A B B C
1．D
【分析】由題意整理對數(shù)式，根據(jù)已知的大小關系，結(jié)合對數(shù)的運算律與公式，可得答案.
【解析】由題意可得，，
因為，，所以兩邊取對數(shù)整理可得，，所以
又，，，
且，即，
所以，，所以.
故選：D.
2．C
【分析】對A，利用基本不等式即可判斷；對B，利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式即可判斷；對C，利用基本不等式即可判斷；對D，表達為的函數(shù)，取當 接近 時，表達式趨近于 ，可否的D.
【解析】對于A：因為，則，
當且僅當，即，時取等號，故A錯誤；
對于B：，
當且僅當，即，時取等號，故B錯誤；
對于C：因為，則，
當且僅當，即，時取等號，故C正確；
對于D：代入 ，得 ，
當 接近 時，表達式趨近于 ，超過 ，因此D錯誤.
故選：C.
3．B
【分析】由已知得，代入后利用基本不等式可得答案.
【解析】因為，，所以，
所以，
當且僅當即時等號成立.
故選：B.
4．A
【分析】推導出，，將代入各選項中的代數(shù)式，利用基本不等式逐項判斷即可.
【解析】顯然不滿足等式，所以，，則，
所以，，
當且僅當時，即當時，等號成立，故，A對B錯；
，
當且僅當時，即當時，等號成立，即，CD都錯.
故選：A.
5．A
【分析】條件轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用基本不等式求右側(cè)的最大值，即可求得參數(shù)范圍.
【解析】因為，所以恒成立等價于恒成立，
又，當且僅當時取等號，故.
故選：A
6．C
【分析】利用基本不等式求最值.
【解析】對于A：由，得，當且僅當時，等號成立，
，解得，即，故A不正確；
對于B：由，得，當且僅當時，等號成立，
即，解得，或（舍去），故B錯誤；
對于C：，
令，，即，故C正確；
對于D，，令，，即，故D不正確，
故選：C．
7．A
【分析】將轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)基本不等式得到，最后列不等式求的范圍即可.
【解析】∵，則，
原題意等價于對任意恒成立，
由，，則，
可得，
當且僅當，即時取得等號，
∴，解得．
故正實數(shù)的取值集合為.
故選：A．
8．B
【分析】根據(jù)條件，得到，又，利用基本不等式，即可求解.
【解析】因為，則，又恒成立，
即恒成立，
又，
當且僅當，即時取等號，所以，
故選：B.
9．B
【分析】先應用奇函數(shù)定義及單調(diào)性判斷，再轉(zhuǎn)化恒成立問題為最值問題，最后應用基本不等式求最小值，計算一元二次不等式即可.
【解析】因為函數(shù)，為減函數(shù)；
又因為所以為奇函數(shù)，
若，不等式恒成立，
則不等式，因為為奇函數(shù)，所以，
因為為減函數(shù)，所以恒成立，
所以恒成立，所以，
，
當且僅當時取最小值3，所以，
所以，所以實數(shù)m的取值范圍是.
故選：B.
10．C
【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程的關系可得，，可判斷選項A；利用二次函數(shù)對稱軸可判斷選項B；根據(jù)關系化簡不等式可判斷選項C；利用兩不等式的關系可判斷選項D.
【解析】因為，且關于x的不等式的解集為，
所以，且的根為和2，所以，得，，
對于A，因為，所以，故A錯誤；
對于B，，所以，，
因為，，所以，故B錯誤；
對于C，即為，即，無解，
故命題“，”為假命題，故C正確；
對于D，因為是由向上平移一個單位，所以 ，故D錯誤.
故選：C．
11．
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再根據(jù)基本不等式結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【解析】設的公比為，因為，則，故，.
則，
當且僅當，即時等號成立，此時，但.
結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)，當時，；
當時，，
因為，故的最小值為，此時.
故答案為：
12．
【分析】由題意可得“，使得”為真命題，分離參數(shù)可得在內(nèi)有解，利用基本不等式求出即可.
【解析】因為“，使得”為假命題，
所以“，使得”為真命題，
即在內(nèi)有解，即，
因為
，
當且僅當，即時等號成立，
所以，所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：.
13．
【分析】根據(jù)的值域為，得到，且，根據(jù)得到，再由和基本不等式求解.
【解析】因為的值域為，
所以，解得，且，
又，即，
所以，
又，當且僅當時，等號成立，
所以的取值范圍是，
故答案為：
14．
【分析】根據(jù)不等式可得，即可利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解。
【解析】因為正實數(shù)a，b滿足，故，當且僅當時等號成立，，
由于函數(shù)在單調(diào)遞減，故，
故答案為：
15．
【分析】先由題意求出，利用基本不等式“1”的妙用，求出的最小值.
【解析】因為動直線恒過點，
所以，又到動直線的最大距離為3，
由圖知當且僅當時，點到動直線的距離最大，
此時，解得，所以．
，
當且僅當時取等號．
故答案為：.
16．
【分析】利用已知得到真命題，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解即可；
【解析】由題意可得命題“，使得”為真命題，
即在上有解，
令，，則，
在為減函數(shù)，所以，
所以，即實數(shù)a的范圍為.
故答案為：.
17．
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性可得，即可利用二次不等式的解法得解.
【解析】由和在上都是單調(diào)遞增，知在上單調(diào)遞增，
又，則為奇函數(shù)．
由，得，即，即有，解得．
故答案為：
18．
【分析】由題意可得，進而代入可得，進而由基本不等式可得.
【解析】關于的不等式的解集為，
所以，，即，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
19．8
【分析】分別分析一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由可得是方程的根，則，進而，結(jié)合基本不等式計算即可求解.
【解析】設，
由已知在上單調(diào)遞增，
當時，；當時，.
由圖象開口向上，，可知方程有一正根一負根，
即函數(shù)在上有且僅有一個零點；
由題意，則當時，；當時，，
所以是方程的根，
則，即，且，
所以（當且僅當時取等號）.
故答案為：8
20．
【分析】求出函數(shù)在上的值域，可得出當時，恒成立，令，其中，結(jié)合題意可得出，解此不等式組即可得出實數(shù)的取值范圍.
【解析】為奇函數(shù)，，，
又在上是單調(diào)函數(shù)，，
當時，恒成立，即恒成立．
令，其中，
所以，，解得或或．
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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