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平面向量
一、單選題
1．已知向量，滿足：，，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．若，是兩個單位向量，，則向量與向量的夾角的余弦值（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．已知向量，滿足，，則向量與的夾角的余弦值等于（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知直角梯形中，，，，點M在線段BC上，且，則（ ）
A． B．1 C． D．2
5．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若，，且，則的面積為（ ）
A．3 B．
C． D．3
6．已知，若表示向量的有向線段首尾相接能構成三角形，則向量為（ ）
A． B． C． D．
7．若非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
8．已知直線與圓相交于M、N兩點，則的最大值為（ ）．
A． B． C．4 D．
9．已知在正方形中，與相交于點為的中點，與相交于點為的中點，若，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
10．在中，．若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．已知為單位向量.，若，則在上的投影向量的坐標為 .
12．已知向量，則的最大值為 .
13．已知單位向量，，滿足，則 .
14．已知與為單位向量，且滿足，則與的夾角 .
15．已知正方形ABCD的邊長為2，且，，則 ．
16．設，，若，則的最大值為 ．
17．在中，D為邊BC的中點，中線AD上有一點P滿足，且，則 .
18．已知向量的夾角為，且，，則 ．
19．如圖，在中，，，，，，若D，E，F三點共線，則的最小值為 ．
20．已知銳角的內角的對邊分別為．若向量，，且，，則角 ；的面積的取值范圍為 ．
《平面向量》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A C D B B D C
1．D
【分析】根據題意結合數量積可得，再結合投影向量的定義運算求解.
【解析】由題意可知：，
因為，即，可得，
所以在上的投影向量為.
故選：D.
2．A
【分析】根據數量積的性質得到，然后整理得，最后求余弦值即可.
【解析】由題意得，即，
即，所以，.
故選：A.
3．D
【分析】利用已知可求得，，進而利用向量的夾角公式可求.
【解析】因為，兩邊平方得，所以，
，，
所以．
故選：D．
4．A
【分析】建立如圖所示直角坐標系，設，利用向量共線求出點，再利用向量的數量積求解即可.
【解析】依題意，在坐標系中表示直角梯形，，，，，
，設，
因為，所以，即，
所以，所以，，
所以．
故選：A
5．C
【分析】由向量平行的坐標表示結合余弦定理可得，再由三角形的面積公式求解即可；
【解析】因，，且，
所以，化為.
所以，解得.
所以.
故選：C.
6．D
【分析】由題意有，結合已知向量坐標及線性運算的坐標表示求向量.
【解析】由題設，，
由向量的有向線段首尾相接能構成三角形，
所以，則.
故選：D
7．B
【分析】運用投影向量的公式，結合數量積運算即可.
【解析】在上投影向量，
，，
則，
由于，，
故選：B．
8．B
【分析】先求出直線所過的定點，
方法一：取中點B，易得，進而可得出答案.
方法二：設、夾角為，將平方，結合數量積的運算律及余弦定理化簡即可得解.
【解析】由，得，
令，解得，
所以直線過定點，
由得圓心，半徑
方法一：如圖，取中點B，
，
當且僅當兩點重合時取等號，
所以的最大值為.
方法二：（平方法）設、夾角為，
，
當與垂直時，最小，并且最小值為，
此時，即．
故選：B.
9．D
【分析】結合圖形，由平面向量的加法法則求解即可；
【解析】如圖所示，因為與相交于點，所以為的中點，
又因為為的中點，所以為的重心，所以，
又因為為的中點，所以，
所以
.
所以，所以.
故選：D.
10．C
【分析】由為的中點得到，再由，即可求解；
【解析】因為，所以為的中點，所以．
又，所以，所以，
所以，
所以，所以．
故選：C
11．
【分析】根據模與向量的關系求出的值，再根據在上的投影向量公式求出答案即可.
【解析】，
由題可得：
，可得，
則在上的投影向量為.
故答案為：.
12．
【分析】首先表示出的坐標，再根據向量模的坐標表示、三角恒等變換公式及余弦函數的性質計算可得.
【解析】因為，
所以，
所以
，
所以當，即時取得最大值，且.
故答案為：
13．
【分析】由題意作圖，根據平面向量線性運算的幾何意義，結合數量積的定義式，可得答案.
【解析】由題意，作等腰，且，記的中點為，連接，如下圖：
設，，
由圖可知，
由為單位向量，則，
在等腰中，易知，
在中，，則，即，
所以.
故答案為：.
14．/
【分析】根據向量垂直，即可得，即可求解.
【解析】因為與為單位向量，則，，
又，
，
，則，
又，所以與的夾角為.
故答案為：.
15．/0.5
【分析】由平面向量的線性運算及數量積運算即可求解．
【解析】由題意，，則，
所以，，
所以
，
解得．
故答案為：．
16．
【分析】由已知，利用三角換元即可求得的最大值.
【解析】，，，
又，設，
則
，其中，
因為的最大值為1，
所以的最大值為．
故答案為：．
17．12
【分析】運用向量數量積的運算，結合向量三角形法則直接計算即可.
【解析】在中，因為D是邊BC的中點，
所以，
又，所以，所以.
又因為，所以，
所以
.
故答案為：12.
18．
【分析】借助向量模長與數量積的關系以及向量的數量積公式計算即可得.
【解析】
.
故答案為：.
19．
【分析】結合圖形由平面向量的基本定理可得，再利用基本不等式的乘“1”法可得答案.
【解析】由，得，即，
，E，F三點共線，
，
，
當且僅當，時取等號，
所以的最小值為
故答案為：.
20．
【分析】由坐標表示出向量平行的條件，利用正弦定理化角為邊，交由余弦定理求得角，再由正弦定理把用表示，用三角形的面積公式求得面積，利用正切函數性質得范圍．
【解析】由可知，，
由正弦定理得即，
∴，又，∴，
又由正弦定理，得
∴，是銳角三角形，∴，
∴，，，故的面積的取值范圍為．

故答案為：；．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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