資源簡介

(共33張PPT)
（浙教版）七年級
下
4.2提取公因式法
因式分解
第4章
“四”
教學目標
01
新知導入
02
新知講解
03
課堂練習
04
課堂總結
05
作業布置
06
目錄
07
內容總覽
教學目標
1.理解公因式的概念，會找出多項式中的公因式。
2.能用提取公因式法分解因式，理解添括號法則。
3.進一步理解因式分解的意義，感受整體思想的運用。
新知導入
一幢房屋一面墻的形狀由一個長方形和一個三角形組成(如圖)。若把該墻面設計成長方形,面積保持不變，且底邊長仍為a,則高度應為多少
新知講解
任務一：公因式
由m(a+b)=ma+mb,
可知ma+mb=m(a+b)。
ma，mb有什么特點？
有相同因式m
2ab，4abc呢？
有相同因式2ab
新知講解
pa+pb+pc
相同因式p
問題：觀察下列多項式，它們有什么共同特點？
x2＋x
相同因式x
新知講解
公因式：
一般地,一個多項式中每一項都含有的相同的因式,叫作這個多項式各項的公因式。
例如：m是多項式ma+mb各項的公因式,
2ab是多項式2ab+4abc各項的公因式。
新知講解
找 3x 2 – 6 xy 的公因式。
系數：
最大公因數
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是3x
指數：
相同字母的最低次數
1
問題：如何確定一個多項式的公因式？
新知講解
正確找出多項式的公因式的步驟：
1.定系數：公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數.
2.定字母：字母取多項式各項中都含有的相同字母.
3.定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即字母的最低次數.
新知講解
任務二：提取公因式法分解因式
由m(a+b)=ma+mb,
可知ma+mb=m(a+b)。
應用這一事實,怎樣把多項式2ab+4abc分解因式
2ab+4abc
＝2ab 1+2ab 2c
＝2ab（1+2c）
ma+mb
相同因式
m
2ab+4abc
相同因式
2ab
新知講解
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
提取公因式法：
如果一個多項式的各項含有公因式,那么可把該公因式提取出來進行因式分解.這種分解因式的方法,叫做提取公因式法.
新知講解
例1 把下列各式分解因式:
(1) 2x3＋6x2 ； (2) 3pq3＋15p3q；
(3) －4x2＋8ax＋2x ；(4) －3ab＋6abx－9aby.
解：(1) 2x3＋6x2＝2x2(x＋3).
(2) 3pq3＋15p3q＝3pq(q2＋5p2).
(3)－4x2＋8ax＋2x＝－2x(2x－4a－1).
(4)－3ab＋6abx－9aby＝－3ab(1－2x＋3y).
當多項式第一項的系數是負數時，可以先提出負號，但要注意括號里的各項都要變號。
新知講解
提取公因式法的一般步驟
（1）確定應提取的公因式；
（2）用公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式；
（3）把多項式寫成這兩個因式的積的形式.
注意：提取公因式后，應使多項式余下的各項不再含有公因式.
新知講解
注意：
1.公因式要提盡。分解因式的最后結果中，每個因式中不能含有同類項和公因式。
2.某項提出莫漏1。當多項式中某一項恰好與公因式相同時，該項提取公因式后剩下的應為1。
3.首項有負常提負。多項式第一項系數為負時，一般提出負號，且各項都變號。
新知講解
例2 把2(a-b)2-a+b分解因式.
分析：把-a+b變形成-(a-b)，原多項式就轉化為2(a-b)2-(a-b).若把(a-b)看做整體，原多項式就可以提取公因式(a-b).
解: 2(a-b) -a+b=2(a-b) -(a-b)
=(a-b)[2(a-b)-1]
=(a-b)(2a-2b-1)。
在求解時,我們把-a+b加上括號,變形成-(a-b),而不改變-a+b的值,這種方法叫作添括號。
新知講解
添括號法則：
括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變號；
括號前面是“-”號，括到括號里的各項都變號.
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
1.多項式8x2y4-12xy2z的公因式為 (　　)
A. 4x2y2 B. 4xyz C. 4x2y4 D. 4xy2
D
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
2.把2a2－4a因式分解的最終結果是(　　)
A．2a(a－2)
B．2(a2－2a)
C．a(2a－4)
D．(a－2)(a＋2)
A
3．分解因式:
(1) 6ab-8b2;(2) -2x3y2+8x2y2-x3y3;
(3) (9x+y)(2y-x)-(3x+2y)(x-2y);(4) x2(a-1)+x(1-a).
解： (1) 2b(3a-4b)　
(2) -x2y2(2x-8+xy)　
(3) 3(2y-x)(4x+y)　
(4) x(a-1)(x-1)
【知識技能類作業】必做題：
課堂練習
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
4.多項式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一個因式為(　　)
A．x2－x＋1
B．x2＋x＋1
C．x2－x－1
D．x2＋x－1
B
5．長、寬分別為a,b的長方形的周長為20,面積為16,則a2b+ab2的值為 .
【知識技能類作業】選做題：
課堂練習
160
【綜合拓展類作業】
課堂練習
6. 利用提取公因式法說明:對于任意正整數n,2n+4-2n必有一個因數30.
解：因為2n+4-2n=2n×(24-1)=2n×15=2n-1×2×15=30×2n-1,
所以對于任意正整數n,2n+4-2n必有一個因數30
課堂總結
1.公因式：
一般地,一個多項式中每一項都含有的相同的因式,叫作這個多項式各項的公因式。
2.提取公因式：
如果一個多項式的各項含有公因式,那么可把該公因式提取出來進行因式分解.這種分解因式的方法,叫做提取公因式法.
課堂總結
3.提取公因式法的一般步驟：
（1）確定應提取的公因式；
（2）用公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式；
（3）把多項式寫成這兩個因式的積的形式.
4.添括號法則：
括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變號；
括號前面是“-”號，括到括號里的各項都變號.
板書設計
1.公因式：
2.提取公因式法分解因式：
課題：4.2提取公因式法
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
1．將多項式2a2－4ab因式分解應提取的公因式是(　　)
A．a
B．2a
C．2ab
D．4a2b
B
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
2．將多項式x2y(a-b)-xy(b-a)+y(a-b)提取公因式y(a-b)后,另一個因式為(　 　)
A. x2-x+1 B. x2+x+1
C. x2-x-1 D. x2+x-1
B
【知識技能類作業】必做題：
作業布置
3．因式分解：
(1)m(m－n)＋3n(n－m)；(2)6a(b－a)2－3(a－b)3.
解：(1) m(m－n)＋3n(n－m)
＝m(m－n)－3n(m－n)＝(m－n)(m－3n)．
(2) 6a(b－a)2－3(a－b)3＝6a(a－b)2－3(a－b)3
＝3(a－b)2(2a－a＋b)＝3(a－b)2(a＋b)．
【知識技能類作業】選做題：
作業布置
4.把多項式a3b4-abnc(n為正整數)分解因式時,提取的公因式為ab4,則n的值可能為(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
A
5.若實數a,b滿足a=5-2b,a2b+2ab2=-10,則ab的值是(　　)
A. -2 B. 2 C. -50 D. 50
A
【知識技能類作業】選做題：
作業布置
【綜合拓展類作業】
作業布置
6.已知a，b，c滿足ab＋a＋b＝bc＋b＋c＝ca＋c＋a＝3，求(a＋1)(b＋1)(c＋1)的值(a，b，c均為正數)．
解：由題意，得ab＋a＋b＝3，
∴(a＋1)(b＋1)＝4.
同理可得(b＋1)(c＋1)＝4，(a＋1)(c＋1)＝4.
∴[(a＋1)(b＋1)(c＋1)]2＝4×4×4＝64.
∵a，b，c均為正數，∴(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝8.
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2
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分課時教學設計
《4.2提取公因式法》教學設計
課型 新授課√ 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 本節課的內容是提取公因式法。要求學生能確定多項式各項的公因式，會用提公因式法把多項式分解因式。學生在經歷探索多項式各項公因式的過程，體會數學化歸思想。本節課的學習為下面學習用乘法公式分解因式作鋪墊。
學習者分析 學生在小學時已經學習了關于把一個數分解為若干因數的乘積的知識，之后又系統學習了整式乘法的相關知識，對于本堂課的學習有了一定基礎。同時七年級的學生具有好動、好間、好奇的心理特征，課堂上教師應該發揮引導者的作用，由淺入深的啟發誘導，讓學生多動腦、動手、動口，提高學生學習的積極性和主動性。
教學目標 1.理解公因式的概念，會找出多項式中的公因式。 2.能用提取公因式法分解因式，理解添括號法則。 3.進一步理解因式分解的意義，感受整體思想的運用。
教學重點 掌握用提公因式法把多項式分解因式.
教學難點 正確地確定多項式的最大公因式.
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：新知導入教師活動1： 一幢房屋一面墻的形狀由一個長方形和一個三角形組成(如圖)。若把該墻面設計成長方形,面積保持不變，且底邊長仍為a,則高度應為多少 學生活動1： 學生動腦進行思考.活動意圖說明： 通過設置問題，從身邊淺顯的問題出發，激起學生求知的興趣，即體現數學知識源于生活，又能很好地激發學生學習的興趣。環節二：公因式教師活動2： 由m(a+b)=ma+mb, 可知ma+mb=m(a+b)。 ma，mb有什么特點？ 有相同因式m 2ab，4abc呢？ 有相同因式2ab 問題：觀察下列多項式，它們有什么共同特點？ 公因式： 一般地,一個多項式中每一項都含有的相同的因式,叫作這個多項式各項的公因式。 例如：m是多項式ma+mb各項的公因式, 2ab是多項式2ab+4abc各項的公因式。 問題：如何確定一個多項式的公因式？ 正確找出多項式的公因式的步驟： 1.定系數：公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數. 2.定字母：字母取多項式各項中都含有的相同字母. 3.定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即字母的最低次數. 學生活動2： 學生思考并回答問題. 學生理解公因式的概念。 學生掌握正確找出多項式的公因式的步驟。 活動意圖說明： 通過設置問題，讓學生發現、總結得出公因式的概念，提高學生的觀察及總結歸納能力；通過實際例題，讓學生總結出找出多項式的公因式的步驟，培養學生的邏輯思考及歸納能力。環節三：提取公因式法分解因式教師活動3： 由m(a+b)=ma+mb, 可知ma+mb=m(a+b)。 應用這一事實,怎樣把多項式2ab+4abc分解因式 2ab+4abc ＝2ab 1+2ab 2c ＝2ab（1+2c） 提取公因式法： 如果一個多項式的各項含有公因式,那么可把該公因式提取出來進行因式分解.這種分解因式的方法,叫做提取公因式法. 例1 把下列各式分解因式: (1) 2x3＋6x2 ； (2) 3pq3＋15p3q； (3) －4x2＋8ax＋2x ；(4) －3ab＋6abx－9aby. 解：(1) 2x3＋6x2＝2x2(x＋3). (2) 3pq3＋15p3q＝3pq(q2＋5p2). (3)－4x2＋8ax＋2x＝－2x(2x－4a－1). (4)－3ab＋6abx－9aby＝－3ab(1－2x＋3y). 當多項式第一項的系數是負數時，可以先提出負號，但要注意括號里的各項都要變號。 提取公因式法的一般步驟： （1）確定應提取的公因式； （2）用公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式； （3）把多項式寫成這兩個因式的積的形式. 注意：提取公因式后，應使多項式余下的各項不再含有公因式. 注意： 1.公因式要提盡。分解因式的最后結果中，每個因式中不能含有同類項和公因式。 2.某項提出莫漏1。當多項式中某一項恰好與公因式相同時，該項提取公因式后剩下的應為1。 3.首項有負常提負。多項式第一項系數為負時，一般提出負號，且各項都變號。 例2 把2(a-b)2-a+b分解因式. 分析：把-a+b變形成-(a-b)，原多項式就轉化為2(a-b)2-(a-b).若把(a-b)看做整體，原多項式就可以提取公因式(a-b). 解: 2(a-b) -a+b=2(a-b) -(a-b) =(a-b)[2(a-b)-1] =(a-b)(2a-2b-1)。 在求解時,我們把-a+b加上括號,變形成-(a-b),而不改變-a+b的值,這種方法叫作添括號。 添括號法則： 括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變號； 括號前面是“-”號，括到括號里的各項都變號.學生活動3： 學生思考回答問題. 學生理解提取公因式法的概念。 學生獨立完成例題，并舉手展示答案。 學生與教師一起總結提取公因式法的一般步驟。 學生完成例題，相互交流答案。 學生通過例題，在教師的引導下總結出添括號法則。 活動意圖說明： 通過實際例子，讓學生總結出提公因式法的概念，培養學生的總結能力；展示例題，讓學生加強對提公因式法的理解與掌握，提高運算能力，通過例題，得出提公因式法的步驟及添括號法則，培養學生的總結歸納能力。
板書設計 課題：4.2提取公因式法 1.公因式： 2.提取公因式法分解因式：
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1.多項式8x2y4-12xy2z的公因式為 (　D　) A. 4x2y2 B. 4xyz C. 4x2y4 D. 4xy2 2.把2a2－4a因式分解的最終結果是(　A　) A．2a(a－2) B．2(a2－2a) C．a(2a－4) D．(a－2)(a＋2) 3．分解因式: (1) 6ab-8b2;(2) -2x3y2+8x2y2-x3y3; (3) (9x+y)(2y-x)-(3x+2y)(x-2y);(4) x2(a-1)+x(1-a). 解： (1) 2b(3a-4b)　(2) -x2y2(2x-8+xy)　 (3) 3(2y-x)(4x+y)　(4) x(a-1)(x-1) 選做題： 4.多項式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一個因式為(　B　) A．x2－x＋1 B．x2＋x＋1 C．x2－x－1 D．x2＋x－1 5.長、寬分別為a,b的長方形的周長為20,面積為16,則a2b+ab2的值為 160 . 【綜合拓展類作業】 6. 利用提取公因式法說明:對于任意正整數n,2n+4-2n必有一個因數30. 解：因為2n+4-2n=2n×(24-1)=2n×15=2n-1×2×15=30×2n-1, 所以對于任意正整數n,2n+4-2n必有一個因數30.
課堂總結 1.公因式： 一般地,一個多項式中每一項都含有的相同的因式,叫作這個多項式各項的公因式。 2.提取公因式： 如果一個多項式的各項含有公因式,那么可把該公因式提取出來進行因式分解.這種分解因式的方法,叫做提取公因式法. 3.提取公因式法的一般步驟： （1）確定應提取的公因式； （2）用公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式； （3）把多項式寫成這兩個因式的積的形式. 4.添括號法則： 括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變號； 括號前面是“-”號，括到括號里的各項都變號.
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．將多項式2a2－4ab因式分解應提取的公因式是(　B　) A．a B．2a C．2ab D．4a2b 2．將多項式x2y(a-b)-xy(b-a)+y(a-b)提取公因式y(a-b)后,另一個因式為(　B　) A. x2-x+1 B. x2+x+1 C. x2-x-1 D. x2+x-1 3．因式分解： (1)m(m－n)＋3n(n－m)；(2)6a(b－a)2－3(a－b)3. 解：(1) m(m－n)＋3n(n－m) ＝m(m－n)－3n(m－n)＝(m－n)(m－3n)． (2) 6a(b－a)2－3(a－b)3＝6a(a－b)2－3(a－b)3 ＝3(a－b)2(2a－a＋b)＝3(a－b)2(a＋b)． 選做題： 4．把多項式a3b4-abnc(n為正整數)分解因式時,提取的公因式為ab4,則n的值可能為(　A　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5．若實數a,b滿足a=5-2b,a2b+2ab2=-10,則ab的值是(　A　) A. -2 B. 2 C. -50 D. 50 【綜合拓展類作業】 6.已知a，b，c滿足ab＋a＋b＝bc＋b＋c＝ca＋c＋a＝3，求(a＋1)(b＋1)(c＋1)的值(a，b，c均為正數)． 解：由題意，得ab＋a＋b＝3， ∴(a＋1)(b＋1)＝4. 同理可得(b＋1)(c＋1)＝4，(a＋1)(c＋1)＝4. ∴[(a＋1)(b＋1)(c＋1)]2＝4×4×4＝64. ∵a，b，c均為正數，∴(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝8.
教學反思 本節課要求學生能確定多項式各項的公因式，會用提公因式法把多項式分解因式. 使學生經歷探索多項式各項公因式的過程，依據數學化歸思想方法進行因式分解。 培養學生分析、類比以及化歸的思想，增進學生的合作交流意識，主動積極地積累確定公因式的初步經驗，體會其應用價值.
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學 科 數學 年 級 七年級 設計者
教材版本 浙教版 冊、章 下冊、第4章
課標要求 【內容要求】能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進行因式分解（指數為正整數）。【學業要求】能用提公因式法、公式法（對二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）進行因式分解（指數為正整數）。
內容分析 本章主要內容：（1）因式分解的意義；（2）提取公因式法；（3）用乘法公式分解因式。因式分解是整式的一種重要的恒等變形、它和整式的乘法，尤其是多項式的乘法聯系十分密切。因式分解的幾種基本方法都是直接依據整式乘法的各個法則和乘法公式。因式分解又是分式的化簡、運算和解一元二次方程的重要基礎，是學生進一步學習數學不可缺少的基礎知識和基本技能。
學情分析 學生已經熟悉乘法的分配律與其逆運算，并且學習了整式的乘法運算，因此，對于因數分解的引入，學生不會感到陌生，它為學習分解因式打下了良好根底，由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過程，而逆向思維對于七年級學生還比較生疏，承受起來還有一定的困難，通過觀察、類比等手段，尋求因式分解與因數分解之間的關系，為深入學習提供了必要的根底.所以對于學生來說，尋求因式分解的方法是一個難點。學生已經學方差公式與完全平方公式，將其逆用就是主體知識.對于公式逆用，分析公式的結構特征，整體思想換元進行分解因式以與要求分解徹底等是又一個難點。
單元目標 教學目標1.了解因式分解的意義，會判別各項的公因式，能用提取公因式法分解因式。2.會用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超過兩次）分解因式（指數是正整數）。3.通過對平方差公式、完全平方公式的逆向變形，體會類比、換元思想，提高處理數學問題的技能。(二)教學重點、難點教學重點：能準確、熟練、靈活地運用因式分解的根本方法對多項式進展因式分解。教學難點：分解要徹底、靈活運用因式分解解決問題。
單元知識結構框架及課時安排 單元知識結構框架
（二）課時安排課時編號單元主要內容課時數4.1因式分解的意義1課時4.2提取公因式法1課時4.3用乘法公式分解因式2課時
達成評價 課題課時目標達成評價評價任務4.1因式分解的意義1.了解因式分解的概念。2.體會因式分解與整式的乘法的區別與聯系，并會運用整式的乘法運算檢驗因式分解的正確性，強化運算能力。1.了解因式分解的概念。2.知道因式分解與整式的乘法的區別與聯系3.會運用整式的乘法運算檢驗因式分解的正確性，強化運算能力。任務一：設置問題，引出新課任務二：因式分解任務三：因式分解與整式乘法的關系4.2提取公因式法1.理解公因式的概念，會找出多項式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括號法則。3.進一步理解因式分解的意義，感受整體思想的運用。1.理解公因式的概念，會找出多項式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括號法則。任務一：設置問題，引出新課任務二：公因式任務三：提取公因式法分解因式4.3用乘法公式分解因式（第1課時）1.會用平方差公式分解因式，進一步掌握因式分解的一般步驟；2.培養學生逆向思維能力，進一步體會整體、轉化思想的應用.1.掌握因式分解平方差公式。2.會用平方差公式分解因式，進一步掌握因式分解的一般步驟。任務一：設置問題，引出新課任務二：用平方差公式分解因式4.3用乘法公式分解因式（第2課時）1.理解完全平方公式的特點；2.能熟練地運用完全平方公式分解因式；3.能綜合運用提公因式、完全平方公式分解因式這兩種方法進行求值和證明．1.理解完全平方公式的特點；2.能熟練地運用完全平方公式分解因式；3.能綜合運用提公因式、完全平方公式分解因式這兩種方法進行求值和證明．任務一：設置問題，引出新課任務二：用完全平方公式分解因式
《第4章 》因式分解 單元教學設計
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