資源簡(jiǎn)介

第九章 圖形的變換
9.2軸對(duì)稱
9.2.3 軸對(duì)稱的基本性質(zhì)
本節(jié)課是蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第九章第二節(jié)第三課時(shí)的內(nèi)容，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱的基本概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.本節(jié)課主要深入探討了軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，以及軸對(duì)稱在圖形變換中的應(yīng)用，這些內(nèi)容既是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的鞏固、深化和發(fā)展，又是為后續(xù)學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)等幾何變換奠定了基礎(chǔ)，因此本節(jié)課具有承前啟后的重要作用.
本課教材通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而引入軸對(duì)稱的基本性質(zhì).這種從實(shí)際到抽象的過渡，有助于學(xué)生更好地理解軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.在探索軸對(duì)稱性質(zhì)的過程中，學(xué)生需要觀察、分析和歸納軸對(duì)稱圖形的特征，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和邏輯推理能力.
本節(jié)課不僅傳授了重要的幾何知識(shí)，更注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升.通過實(shí)際問題的引入和探索，學(xué)生不僅能夠掌握軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，還能學(xué)會(huì)如何將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題，從而提升他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維.
學(xué)生在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的基本性質(zhì)時(shí)，已具備一定的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力.因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱的基本概念、對(duì)稱軸，并能夠初步運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問題.此外，學(xué)生在前面幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)積累了一定的幾何直觀能力和空間想象能力，能夠通過觀察和分析圖形的特征理解幾何性質(zhì)的本質(zhì).這些知識(shí)為學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的基本性質(zhì)提供了重要的支撐.
同時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐漸形成了初步的邏輯推理能力和歸納總結(jié)能力，能夠通過觀察具體軸對(duì)稱圖形的特征，歸納出軸對(duì)稱的基本性質(zhì).此外，學(xué)生在日常生活中對(duì)軸對(duì)稱現(xiàn)象（如建筑、自然物體等）有一定的感性認(rèn)識(shí)，這為理解軸對(duì)稱的幾何意義和應(yīng)用提供了現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ).因此，學(xué)生具備了從簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形過渡到深入探索軸對(duì)稱性質(zhì)的認(rèn)知基礎(chǔ)，能夠較好地理解和掌握軸對(duì)稱的基本性質(zhì)及其應(yīng)用.
1.探索軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，理解并掌握軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生抽象能力.
2.能利用軸對(duì)稱的性質(zhì)畫已知圖形的軸對(duì)稱圖形，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀的能力.
3.經(jīng)歷探索軸對(duì)稱的性質(zhì)的活動(dòng)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和有條理地思考和表達(dá)能力.
重點(diǎn)：探索軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，理解并掌握軸對(duì)稱的基本性質(zhì).
難點(diǎn)：能利用軸對(duì)稱的性質(zhì)畫已知圖形的軸對(duì)稱圖形.
情境導(dǎo)入
問題：如圖，△ABC和△A'B'C關(guān)于直線l對(duì)稱，圖中有哪些相等的線段？有哪些相等的角？
.
解：由軸對(duì)稱的定義可知成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形可以重合，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角也相等.
A'B'=AB、A'C'=AC、C'B'=CB、∠A'=∠A、∠B'=∠B、∠C'=∠C.
思考：連接C、C'，CC'與直線l有什么關(guān)系呢？
師生活動(dòng)：獨(dú)立思考，學(xué)生代表講述，教師板書，學(xué)生傾聽.
設(shè)計(jì)意圖：通過情境創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，也鍛煉學(xué)生的獨(dú)立思考能力，為探究軸對(duì)稱的基本性質(zhì)奠定基礎(chǔ).
探究新知
活動(dòng)一：探究軸對(duì)稱的基本性質(zhì)
①把一張紙折疊后，用針扎一個(gè)孔；
②再把紙展開，兩個(gè)針孔分別記為點(diǎn)A、點(diǎn)A′，折痕記為l；
③連接AA′，AA′與l相交于點(diǎn)O
問題：線段AA′與l有什么關(guān)系？
答：l垂直且平分AA′
∵把紙沿折痕l折疊時(shí)，點(diǎn)A、A′重合，
∴線段OA、OA′重合，即O是AA′的中點(diǎn)
∵∠1=∠2且∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠2=90°．∴l(xiāng)垂直且平分AA′．
　　問題：如圖，仿照上面的操作，找第二個(gè)點(diǎn)B，再扎孔，展開、標(biāo)記、連接BB′、 AB、A′B′，線段AB與線段A′B′關(guān)于直線l 對(duì)稱，線段BB′與直線 l 有什么位置關(guān)系？
答：l垂直且平分BB′
　　問題：再仿照上面的操作，找第三個(gè)點(diǎn)C，再扎孔、展開、標(biāo)記、連線，△ABC和△A'B'C關(guān)于直線l對(duì)稱，連接C、C'，線段CC′與 l 有什么關(guān)系？
答：l垂直且平分CC′
師小結(jié)：
軸對(duì)稱的基本性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，不在對(duì)稱軸上的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分.也就是說，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)稱軸是任意兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)連線段的垂直平分線.
∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l成軸對(duì)稱，
∴直線l垂直平分AA′、BB′、CC′.
師生活動(dòng)：獨(dú)立思考，學(xué)生代表講述，教師板書，學(xué)生傾聽.
設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)手操作、問題引導(dǎo)和歸納總結(jié)，幫助學(xué)生直觀地理解軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，培養(yǎng)他們的觀察能力、分析能力和數(shù)學(xué)推理能力，同時(shí)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)幾何學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).通過從特殊到一般的歸納過程，學(xué)生能夠掌握軸對(duì)稱的核心性質(zhì)，并學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中.
活動(dòng)二：根據(jù)軸對(duì)稱的基本性質(zhì)作圖
　　問題：如果直線l外有一點(diǎn)A，那么怎樣畫出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′
作法：過點(diǎn)A作AE⊥l，垂足為E，在AE的延長(zhǎng)線上截取線段EA'，使得EA'=AE.點(diǎn)A′即為所求.
問題：如圖，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規(guī)作線段AB關(guān)于直線l對(duì)稱的線段 .
解：①過點(diǎn)A作AE⊥l，垂足為E，在AE的延長(zhǎng)線上截取線段EA'，使得EA'=AE.
②過點(diǎn)B作BF⊥l，垂足為F，在BF的延長(zhǎng)線上截取線段FB'，使得FB'=BF，連接A'B'.線段A'B'即為所求.
問題：已知△ABC和直線l，點(diǎn)C在l上，用直尺和圓規(guī)作△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的三角形 .
解：①過點(diǎn)A作AE⊥l，垂足為E，在AE的延長(zhǎng)線上截取線段EA'，使得EA' =AE.②過點(diǎn)B作BF⊥l，垂足為F，在BF的延長(zhǎng)線上截取線段FB'，使得 FB'=BF.③連接CA'，A'B'，B'C，△A'B'C即為所求.
師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生：解題的關(guān)鍵是作出三角形頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).對(duì)稱軸上點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是其自身.
師小結(jié)：
師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立完成，再同伴之間互相說一說.
設(shè)計(jì)意圖：借助軸對(duì)稱的基本性質(zhì)作圖，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和表達(dá)能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)．
應(yīng)用新知
例1 如圖所示，△ABC和△A′B′C′關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，請(qǐng)畫出它們的對(duì)稱軸．
解：連接AA'，找線段AA'的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線l⊥AA'，直線l即為所求.
師小結(jié)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)稱軸是任意兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)連線段的垂直平分線.
師生活動(dòng)：教師指定學(xué)生回答，然后全班集體交流．
設(shè)計(jì)意圖：通過例題講解，讓學(xué)生知道如何找對(duì)稱軸.
例2 在圖中，四邊形ABCD與四邊形EFGH關(guān)于直線l對(duì)稱．連接AC、BD.設(shè)它們相交于點(diǎn)P.怎樣找出點(diǎn)P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)Q？
解：如圖，連接HF、EG，點(diǎn)Q即為所求.
師生活動(dòng)：此題可以讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后指定學(xué)生回答.(可能需師適當(dāng)學(xué)生利用成軸對(duì)稱圖形的任何對(duì)應(yīng)部分也成軸對(duì)稱來解）
設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)可以鞏固本課知識(shí)點(diǎn)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖，感悟成軸對(duì)稱圖形的任何對(duì)應(yīng)部分也成軸對(duì)稱．
課堂練習(xí)
　　1. 畫出下圖中成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸.
　　2.在四邊形ABCD中，點(diǎn)D，C在直線l上，AD⊥l，BC⊥l.畫四邊形ABCD關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形.
答：
1.畫出下圖中成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸，如圖所示.
2.①延長(zhǎng)AD，在AD的延長(zhǎng)線上截取線段DA'，使得DA'=AD.
②延長(zhǎng)BC，在BC的延長(zhǎng)線上截取線段CB'，使得 CB'=BC.
③連接A'B'，四邊形A'B'CD即為所求.
限時(shí)訓(xùn)練
1.如圖，在小方格中畫與△ABC成軸對(duì)稱的三角形(不與△ABC重合)，這樣的三角形有(　　)
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2.方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，點(diǎn)E在邊BC上，且點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，連接AE.
(1) 在圖中畫出△AEF，使△AEF與△AEB關(guān)于直線AE對(duì)稱，F(xiàn)與B是對(duì)稱點(diǎn)；
(2)求△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積．
　　
3.如圖，作△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的三角形.
答：1.C
2. (1)解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接AE，EF，AF，△AEF即為所求.
解：重疊部分的面積為2×4－×2×2＝8－2＝6.
解：①過點(diǎn)A作AE⊥l，垂足為E，在AE的延長(zhǎng)線上截取線段EA'，使得EA'=AE.
②同理，分別畫出點(diǎn)B，C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，C'；
③連接A'B'，B'C'，C'A'，則△A'B' C'即為所求.
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，教師批閱.
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)鞏固新知，加深對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的理解及應(yīng)用.
歸納總結(jié)
設(shè)計(jì)意圖：通過歸納總結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
本課通過引入一個(gè)問題——“連接C、C'，CC'與直線l有什么關(guān)系呢？”來吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，探究軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生探究和解決問題的能力.通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的的問題來引入新知識(shí)，通過點(diǎn)、線段、三角形的軸對(duì)稱圖形探索出軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，幫助學(xué)生掌握軸對(duì)稱的基本性質(zhì).鼓勵(lì)學(xué)生參與討論，自主推導(dǎo)出軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱的基本性質(zhì)的理解.
本課時(shí)選擇了一些典型的利用軸對(duì)稱性質(zhì)作對(duì)稱圖形的題目，幫助學(xué)生理解并掌握作圖方法，更多地讓學(xué)生自己嘗試作圖，而不是僅僅依賴于老師的講解，從而提高學(xué)生的獨(dú)立作圖能力.
通過思維導(dǎo)圖和快速回顧的方式，幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn).注重學(xué)生的反饋，通過讓學(xué)生自己總結(jié)學(xué)到的內(nèi)容，更好地檢測(cè)他們對(duì)知識(shí)的掌握情況，追尋數(shù)學(xué)本質(zhì)，力爭(zhēng)全體學(xué)生正確理解軸對(duì)稱性質(zhì)的形成過程，并規(guī)范使用.

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