資源簡介

第九章 圖形的變換
9.2軸對稱
9.2.2 垂直平分線
本節是蘇科版初中數學七年級下冊第九章第二節的《垂直平分線》．本節課是在學生已經學習了一些軸對稱概念、小學階段有過尺規作圖的經驗以及初步形成了空間觀念的基礎上教學的，為此在設計活動時十分注重直觀性和可操作性，通過觀察、動手操作等幫助學生體會線段的軸對稱性.本節課幫助學生在原有的生活經驗和對軸對稱圖形感性認知的基礎上，進一步認識線段的軸對稱性，總結得出線段的垂直平分線的定義，以及通過尺規作圖加深理解中垂線的內涵.為后續學習研究線段垂直平分線的性質奠定基礎，也為學生今后進一步學習幾何圖形的有關知識打下良好的基礎，并在學習過程中引導學生發現和創造生活中的美.
學生在學習線段的垂直平分線時，已具備一定的知識基礎和學習能力．因為學生在小學階段學習過簡單的尺規作圖的基礎，以及在第九章的第一課時已經學習過軸對稱的概念，這為學習線段的垂直平分線提供了知識支撐．
1.理解線段垂直平分線的概念，熟練掌握線段垂直平分線的尺規；
2. 理解用尺規作線段垂直平分線的理論依據，并能過一點作已知直線的垂線.
3.通過觀察、操作、猜想、驗證等數學活動，培養學生的動手實踐能力、邏輯思維能力和合作交流能力，體會數學中的轉化思想和類比思想．
重點：理解線段垂直平分線的概念，熟練掌握線段垂直平分線的尺規作法.
難點：理解尺規作線段垂直平分線的理論依據，并能過一點作已知直線的垂線.
情境導入
同學們，我們收到了一張神秘的藏寶圖，上面標注著兩個地點A 和 B，寶藏就埋藏在到這兩個地點距離相等的地方.但是，這樣的地點有很多，我們該如何縮小范圍，找到寶藏的確切位置呢？
師生活動：學生傾聽，獨立思考．
設計意圖：通過問題導入激發學生學習本節課的興趣．
探究新知
活動一：探究線段的垂直平分線
嘗試 1. 在長方形透明紙上畫線段，折疊紙片，使點，重合.
2. 展開紙片，記折痕所在的直線為，將與線段的交點記為點在上任取一點，連接 ，.
師追問：和相等嗎？
答：=.
師生活動：學生獨立思考，并說相等的理由的，然后全班交流.
討論 若點滿足，點一定在直線上嗎 與有怎樣的位置關系
　答：解：點D一定在直線l上. AB與CD互相垂直，且CD平分AB.
師生活動：學生獨立思考，并說說理由的，然后全班交流.
設計意圖：通過觀察、動手、歸納出線段的垂直平分線，在此過程中培養學生的表達能力和總結能力，讓學生學會用數學思維思考，用數學的語言表達．
活動二：線段的垂直平分線
師小結：垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線.
師：如圖，如果直線是線段的垂直平分線，點為垂足，那么線段與關于成軸對稱，，為對稱點，點的對稱點是其自身.
師生活動：教師演示，學生傾聽，獨立思考．
師總結：線段有2條對稱軸：一條是線段本身所在的直線；另一條是線段的垂直平分線.
　　討論 在上述活動得到的圖形中，與關于直線成軸對稱嗎 還可以找出哪些成軸對稱的三角形
答：△COA與△COB關于直線l成軸對稱. 與，與關于直線成軸對稱.
師生活動：學生獨立思考，然后指定學生答;
設計意圖：進一步讓學生理解線段垂直平分線的的概念，加深對成軸對稱的圖形的理解，進一步培養學生的表達能力和總結能力，讓學生學會用數學思維思考，用數學的語言表達．
應用新知
例1 尺規作圖：如圖，已知線段，作線段的垂直平分線.
師引導學生分析：由上述活動得到啟發，要作線段的垂直平分線，關鍵是確定點和點的位置.因為與，與都關于對稱，所以，.為了作圖方便，可以取 .
答：作法：① 分別以點，點為圓心，取大于長為半徑，作兩條相交的弧，交點記為，. ② 作直線，與交于點.直線 即為所求.
師追問：為什么弧的半徑要大于？
答:弧的半徑要大于才能保證這兩段弧能交于兩點從而作出直線CD.
討論 在上面尺規作圖得到的圖形中，你能畫出哪些以為對稱軸的對應線段 直線是線段的垂直平分線嗎
答：以CD為對稱軸的對應線段AC與BC，AD與BD，AO與BO.
直線是線段的垂直平分線.
師生活動：學生獨立思考，然后指定學生說說理由，全班集體交流.
變式 如圖，中，，根據圖中尺規作圖的痕跡填空：
(1) 若，則的長為 ；
(2) 與 成軸對稱；
(3) 若，則.
答：（1）6；（2）；（3）30°
師生活動：教師板演示范，學生模仿．
設計意圖：通過例題講解，讓學生理解用尺規作線段垂直平分線的理論依據，并能過一點作已知直線的垂線，培養學以致用、積極思考的習慣，提升學生計算能力．
課堂練習
【教材習題】
1. 如圖，畫正方形一條對角線的中垂線.
2.如圖，用直尺和圓規分別過點作直線的垂線.
答：1.如圖所示.
2.解：(1)以點P為圓心，任意長為半徑畫弧，交直線于點A和點B.
(2)以點A，B為圓心，取大于長為半徑，作兩條相交的弧，交點記為C.
(3)作直線PC，直線PC即為所求.
解：(1)以點P為圓心，適當的半徑畫弧交直線l于E,F；
(2)分別以點E，F為圓心，取大于長為半徑，作兩條相交的弧，交點記為D；
(3)作直線PD，直線PD即為所求.
【限時訓練】
1.過直線 外一點P作直線的垂線.下列尺規作圖錯誤的是（ ）．
2.如圖，點是的邊上一點，過點分別作的垂線.（利用直尺和圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.
3.如圖，在中，將折疊，使點落在點處，折痕為，點在上，點在上.
(1)用直尺和圓規作出折痕 ；(不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)連接，請寫出圖中相等的線段并說明理由.
答：1.C
2.
3.
(2)
理由：由題意可知與關于直線成軸對稱，所以.
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
在探究線段的垂直平分線的過程中，學生通過動手操作（折紙張）、觀察和思考，逐步總結出線段的垂直平分線的概念，這種探究式學習方式讓學生成為課堂的主體，他們通過自主思考和小組討論，逐步建構起對線段垂直平分線的理解.例如，在“作線段的垂直平分線”活動中，學生能夠直觀地感受到x線段垂直平分線的特點，并嘗試用自己的語言描述這一現象.這種從具體到抽象的學習過程，有助于學生深刻理解線段垂直平分線.
在應用新知環節，通過例題和變式練習，幫助學生掌握如何利用線段垂直平分線的性質解決實際問題.學生在解題過程中容易出現對稱點找不準、線段垂直平分線畫錯等問題，因此在教學中注重引導學生逐步分析問題，并通過示范和糾錯，幫助學生掌握正確的解題方法.
本節課通過情境創設、探究活動、例題講解和課堂練習，幫助學生理解了線段垂直平分線的概念，并能夠在實際中應用.在今后的教學中，將繼續注重學生的探究能力和應用能力的培養，設計更多有趣且具有挑戰性的教學活動，激發學生的學習興趣，提升他們的數學素養.

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