資源簡介

第9章 圖形的變換
9.1平移
第1課時
本節課《平移》是蘇科版初中數學七年級下冊第九章第一節第1課時，通過生活實例引入平移的概念，幫助學生在直觀感知的基礎上理解平移的幾何特征．教材結合方格紙操作，引導學生探索平移的性質：平移變換前后的兩個圖形可以重合，對應線段相等，對應角也相等．此外，教材還通過豐富的圖形變換實例，幫助學生掌握平移的方向和距離，并能夠利用這些性質解決簡單的幾何問題．
教材在呈現平移內容時，注重與學生已有的知識基礎和生活經驗相結合．例如，在引入平移概念時，通過扶梯、傳送帶運輸等生活場景，讓學生初步感知平移現象．隨后，通過畫平行線的操作活動，引導學生逐步探索平移的性質，培養學生的觀察、分析和動手能力．教材還設計了多樣化的練習題，幫助學生鞏固平移知識，并通過實際問題的應用，提升學生的空間觀念和幾何直觀能力．
學生在小學階段已經接觸過簡單的平移現象，對平移有一定的生活經驗和直觀感知．此外，學生在初中數學學習中已經掌握了平行線、線段等基本幾何知識，為理解平移的性質提供了基礎．然而，學生在抽象思維和邏輯推理能力上還不夠成熟，對平移的數學定義和性質的理解可能較為膚淺．教師在教學中需要結合學生的認知特點和知識儲備，通過直觀演示、動手操作和小組討論等方式，幫助學生深入理解平移的概念和性質，同時培養他們的空間觀念和幾何直觀能力．
1.通過具體實例認識平移，掌握它的性質（平移前后的兩個圖形重合，對應線段、對應角相等），體會變化中的不變性，進一步發展空間觀念.
2.能按照要求作出簡單圖形平移后的圖形，并能應用平移的知識解決數學問題，發展動手操作能力，培養幾何直觀和審美意識，提高學生解決問題的能力.
3.會運用平移知識進行圖案設計，提高學生的創新意識和空間想象能力．
重點：通過具體實例認識平移，掌握它的性質（平移前后的兩個圖形重合，對應線段、對應角相等）
難點：能按照要求作出簡單圖形平移后的圖形，并能應用平移的知識解決數學問題.
本章引入
平移、軸對稱和旋轉是圖形變換的基本形式．本章將在小學學習的基礎上進一步研究這些圖形變換的性質和應用．
我們可以通過折紙、剪紙、用方格紙畫圖、尺規作圖等表示圖形的變換過程，觀察變換前后圖形的關系，探索圖形變換的性質．
圖形的變換有助于我們從運動的角度來研究幾何，發現自然界和現實生活中的對稱美．圖形的變換也是藝術、設計的常用工具．
折紙與剪紙是中國民間傳統藝術，其中蘊含著豐富的圖形變換知識．
師生活動：教師帶領學生回顧圖形的運動變換，通過章首語，說明本章的學習對象及其與小學的聯系；闡明本章的學習特點，通過操作、觀察，利用方格紙等直觀工具研究變換的性質；交代圖形變換的價值，圖形變換不僅是研究幾何的有力工具，更具有重要的應用價值．
設計意圖：讓學生對本章有一個初步的感知，有利于激發學生的學習興趣，學生在頭腦中建立全章的思維導圖，形成體系．
情境導入
這些圖片中的運動有什么共同的特點呢？
答：都在沿一定方向平行移動一定的距離.
師生活動：教師投影，學生傾聽，獨立思考并回答．
設計意圖：通過情境創設，讓學生感悟數學來源于生活并應用于生活的辯證思想，鍛煉學生的獨立思考能力，為探究平移的概念做好鋪墊．
探究新知
活動一：探究平移的概念
　　如圖表示的是畫平行線的過程，其中哪些圖形的位置發生了變化？移動前后的圖形有什么關系？
答：三角尺ABC的位置發生了變化.
移動前后的圖形形狀和大小不發生改變,只有位置發生了變化.
師小結：
平移的概念：一般地，在平面內，將一個圖形沿直線的某個方向平行移動一定的距離后得到另一個圖形的平面變換叫作平移．
平移的要素：①平移的方向；②平移的距離．
問題：如圖，平移△ABC得到△A′B′C′ ，點A、B、C的對應點分別是 .
平移的方向： ；平移的距離： .
答：點A′、B′、C′ 射線BB′的方向，線段BB′（CC′）的長度.
師小結：平移前后的兩圖形中，原圖形上的某一點到它對應點的方向就是平移的方向，任意一對對應點所連線段的長度都等于平移的距離.
師生活動：教師帶領學生回顧畫平行線的過程，學生傾聽，小組交流，學生自主歸納平移的定義，找到平移的要素.
設計意圖：回顧三角板的“平行移動”過程理解平移的定義，平移描述的是兩個圖形之間的關系，其中一個是由另一個“平行移動”得到的，所以它們只是位置不同，其他幾何量都不變．引導學生感悟平移的定義推導出平移要素.
活動二：探究平移前后對應線段、對應角的關系
如圖，平移△ABC得到△A′B′C′ ，點A、B、C的對應點分別是點A′、B′、C′，
對應線段： ,
∠對應角： .(A′B′與AB，A′C′與AC，B′C′與BC，∠B′A′C′與∠BAC，∠A′B′C′與∠ABC，∠A′C′B′與∠ACB.）
思考：對應線段、對應角之間有什么關系呢？
師小結：由平移的定義可知：平移前后的兩個圖形可以重合，對應線段相等，對應角也相等.
因為平移△ABC得到△A′B′C′，所以A′B′=AB，A′C′=AC，B′C′=BC，∠B′A′C′=∠BAC，∠A′B′C′=∠ABC，∠A′C′B′=∠ACB.
　　討論：在下圖中，哪些三角形可以由△ABC平移得到 寫出平移前后的對應點、對應邊與對應角.
答：
解：△DAE可以由△ABC平移得到，對應點：點D和點A，點A和點B，點E和點C；對應邊：DA和AB，AE和BC，DE和AC；對應角：∠DAE和∠ABC，∠AED和∠BCA，∠EDA和∠CAB.
△FGA可以由△ABC平移得到，對應點：點F和點A，點G和點B，點A和點C；對應邊：FG和AB，GA和BC，FA和AC；對應角：∠FGA和∠ABC，∠GAF和∠BCA， ∠AFG和∠CAB.
師小結：書寫對應邊、對應角時，一般把對應點寫在對應的位置上.、
師生活動：教師投影演示平移過程，學生觀察思考，完成填空，然后師生互動交流，由平移的定義可知：平移前后的兩個圖形可以重合，對應線段相等，對應角也相等．
設計意圖：引導學生感悟平移的定義是推導平移的性質最為基本的依據，不能僅憑觀察得到平移性質，平移的性質反映的是平移運動的共性，其中由“兩個圖形可以重合”實際上可以推出“對應線段相等，對應角相等”的性質，此性質可作為后續相關推理的依據．通過討論的活動，讓學生加深對“對應線段相等，對應角相等”的理解.
應用新知
例1 如圖，畫出將線段AB向右平移5個單位長度后的圖形．
答：(1)分別畫出點A，B向右平移5個單位長度后的點A'，B'，(2)連接A'B'，線段A'B'即為所求.
師小結：要畫出一條線段平移后的對應線段，只需畫出兩個端點的對應點，連接這兩個對應點就得到對應線段.
師生活動：學生先獨立思考，完成畫圖，再小組交流討論，師生校對答案．
設計意圖：本題的網格為作圖提供腳手架，也有助于分析各種變換的基本性質.
例2 在圖中，沿AA'方向平移△ABC，使點A移動到點A'的位置，畫出平移后的△A'B'C'，并討論對應點連線段AA'，BB'，CC'之間的關系．
師適當提示解題的關鍵是找到三個頂點的對應點.
答：如圖，△A'B'C'即為所求. AA' = BB' =CC'， AA'∥BB'∥CC'.
師生活動：學生先獨立思考，完成畫圖，再小組交流討論，師生校對答案．
師總結：平移作圖的一般步驟：
(1)定：確定平移的方向和距離；
(2)找：找出表示圖形的關鍵點(圖形的頂點、拐點、連接點)；
(3)移：過關鍵點作平行（或在同一條直線上）且相等的線段，得到關鍵點的對應點；
(4)連：按原圖順次連接個各關鍵點的對應點．
設計意圖：本題是方格紙中的三角形平移，與上題的線段平移結合，通過根據要求在網格中作出簡單圖形平移后的圖形，認識到圖形的平移本質是圖形關鍵點的平移，并能總結平移作圖的一般步驟．
課堂練習
　　1.圖中哪些圖形可以由其他圖形平移得到 寫出平移前后的兩個對應圖形.
　　解：圖中②表示的三角形是由①表示的三角形平移得到的；圖中④表示的三角形是由③表示的三角形平移得到的；圖中②④組合的圖形可由①③組合的圖形平移得到的.
　　2.在圖中畫出線段AB 向左平移4個單位長度后得到的線段A'B'；再畫出線段A'B'向上平移3個單位長度后得到的線段A″B″.
　　
　　解：A'B'、A″B″如圖所示.
　　
限時訓練
　1.下列圖形中，不能通過基本圖形平移得到的是( )
如圖，△ABC平移到△DEF的位置，則下列說法：①AD=CF=BE，AB∥DE；②∠ACB=∠DEF；③平移的方向是點C到點F的方向；④平移距離為線段BD的長.其中說法正確的有（ ）
A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④
3.如圖，將正方形ABCD沿BD方向平移得到正方形A′B′C′D′，已知B′D=3 cm，A和A′之間的距離為2cm，則B′D′= cm.
答：1.C. 2.B . 3.5.
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
運用平移的相關知識進行圖案設計.
本節課教學以“平移”的概念為教學核心，通過多種教學手段引導學生理解平移的定義、性質以及在方格紙中作圖，要求學生能夠準確描述平移的特征，如“平移前后的兩個圖形可以重合，對應線段相等，對應角也相等”，并且能夠在簡單的幾何圖形中識別平移的方向和距離．學生在學習上的難點是平移的方向和距離存在模糊之處，在描述平移過程時，常常混淆方向的表述，或者不能準確測量平移的距離，故而在教學設計中增加了針對性的練習，幫助學生進一步鞏固平移的特征．
為了讓學生更好地理解平移，本課的教學設計采用了多媒體演示、動手操作畫圖和小組討論等多種教學方法．多媒體演示直觀地展示了平移的過程，幫助學生快速建立起平移的視覺印象．在方格紙上畫圖就是讓學生通過動手操作，親身體驗平移的特征，這種操作方式極大地激發了學生的學習興趣，課堂氛圍活躍，學生參與度高．小組討論環節，學生在討論中積極發言，這不僅拓展了學生的思維，還深入思考平移的原理和應用．
部分學生在解決復雜的平移問題時存在困難，尤其是在作圖部分，這可能是因為他們在課堂上對平移的理解還停留在直觀層面，缺乏對平移性質的深入思考和系統總結，在教學中，要更加關注學生的學習需求，優化教學方法，提高教學質量，讓學生在數學學習中不斷進步.第9章 圖形的變換
9.1平移
第2課時 平移的基本性質
本節課是蘇科版初中數學七年級下冊第九章第一節的第二課時，教材首先通過圖形的平移操作，引導學生觀察平移前后圖形的位置變化和形狀、大小關系，總結出：“平移前后的兩個圖形中，兩組對應點的連線段平行(或在同一條直線上)且相等”．本節課還設計了豐富的例題和練習，幫助學生鞏固對平移基本性質的理解和應用．
學生在上節課已經學移的概念，對平移有一定的感知．此外，學生在初中數學學習中已經掌握了平行線、線段等基本幾何知識，為理解平移的基本性質提供了基礎．然而，學生對圖形變換的理解還處于初步階段，尤其是對平移的性質：平移前后的兩個圖形中，兩組對應點連線平行(或在同一條直線上)且相等，需要通過直觀演示和動手操作來加深理解．教師在教學中需要結合學生的認知特點和知識儲備，通過直觀演示、動手操作和小組討論等方式，幫助學生深入理解平移的性質，同時培養他們的空間觀念和幾何直觀能力．
1.通過具體實例，探索平移的基本性質，體會變化中的不變性，進一步發展空間觀念．
2.能按照要求作出簡單圖形平移后的圖形，并能應用平移的性質解決數學問題，發展動手操作能力，提高學生解決問題的能力．3.能用直尺、圓規或三角板作一個簡單圖形平移后的圖形，發展學生的幾何直觀．
3.鼓勵學生運用平移的性質等相關知識進行圖案設計等創造性活動，提高學生的創新意識和空間想象能力．
重點：通過具體實例，探索平移的基本性質，體會變化中的不變性，進一步發展空間觀念.
難點：能按照要求作出簡單圖形平移后的圖形，并能應用平移的性質解決數學問題．
情境導入
如圖，沿AA'的方向平移△ABC，使點A移動到點A'的位置，得到△A'B'C'．圖中有哪些相等的線段？有哪些相等的角？
答：A'B'=AB、A'C'=AC、C'B'=CB、
∠B'A'C'=∠BAC、∠B'=∠B、∠C'=∠C.
師生活動：教師投影，學生獨立思考，在學案紙上完成作圖．
設計意圖：通過學生互助共同復習平移的性質（平移前后兩個圖形可以重合，對應線段相等，對應角相等），為探究平移的基本性質做好鋪墊．
探究新知
活動一：探究平移基本性質
如圖，沿AA'的方向平移△ABC，使點A移動到點A'的位置，得到△A'B'C'．請你分別連接BB'，CC'．線段BB'，CC'與AA'有怎樣的位置關系？
答：對應點的平移方向都與AA'相同，所以BB'∥AA'，CC'∥AA'．
師追問：再多取幾組對應點連接，這些線段還具備這種關系嗎？
答：除了平行，還可能在同一直線上．
師繼續追問：線段BB'，CC'與AA'有怎樣的數量關系？
答：BB'=CC'=AA'．
師繼續追問：再多取幾組對應點連接，這些線段還具備這種關系嗎？
答：相等，因為任意一對對應點所連線段的長度都等于平移的距離.
師生活動：教師帶領學生動手操作，學生獨立思考后，小組交流，學生自主歸納平移性質中的位置關系，學生代表回答．
設計意圖：要得到平移前后的兩個圖形中，兩組對應點的連線段平行(或在同一條直線上)，兩組對應點的連線段相等，重點是把平移的方向化歸為平行線段，平移的距離化歸為平行線段的長度，為用尺規作平移圖形做準備．
活動二：探究平移的基本性質
一般地，圖形的平移具有如下性質：
平移前后的兩個圖形中，兩組對應點的連線段平行(或在同一條直線上)且相等．
師小結：平移的性質包括兩種關系：
(1)位置關系：平行(或在同一條直線上)；(2)數量關系：相等．
師生活動：教師帶領學生動手操作，學生獨立思考后，小組交流，學生自主歸納平移基本性質學生代表回答．
設計意圖：引導學生歸納總結平移的基本性質，有助于學生更好掌握平移的基本性質.．
應用新知
例1 如圖，在長方形ABCD中，點P在邊AB上，連接DP，平移△APD，得到△BP'C．
(1)寫出△APD平移后的對應頂點、對應線段和對應角；
(2)寫出圖中與PP'相等的線段、與∠APD相等的角．
答：(1)點A，P，D的對應點分別為B，P'，C；AP，PD，DA的對應線段分別為BP'，P'C，CB；∠A，∠APD，∠ADP的對應角分別為∠CBP'，∠BP'C，∠BCP'．
(2)與PP'相等的線段：PP'＝AB＝DC；與∠APD相等的角：∠APD＝∠BP'C＝∠CDP.　
師生活動：學生獨立思考，一問一答，如遇到困難，建議小組討論．
設計意圖：在理解本題的題意時，要具體闡明平移△APD得到△BP'C的過程，邊讀句邊畫圖，并用對應點描述平移的方向和距離，如平移的方向是點A到點B的方向，平移的距離是線段 AB 的長度．
例2 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC．平移四邊形ABCD得到四邊形A'B'C'D'．你能找到哪些平行且相等的線段？畫出來并用圖中的字母表示．
答：依據平移的定義，平行且相等的線段有：AD與A′D′，BC與B′C′，AB與A′B′，DC與D′C′；
依據平移的基本性質，平行且相等的線段有：AA′與BB′、CC′、DD′．
師小結：尋找平行且相等的線段需要分類討論，既不重復，又不遺漏．
師生活動：教師帶領學生讀題并分析，結合動態演示，學生獨立思考后，學生代表回答．
設計意圖：引導學生分類討論平移的性質: (1)AA'與BB'平行且相等的依據是平移的基本性質; (2)DC與 D'C'平行且相等的依據是平移的定義，加上方格紙的目的是方便學生觀察，根據學情，也可以移除方格紙，讓學生連接對應點后再討論．
例3 在圖中，平移線段AB，使點A移到點A'的位置，
畫出平移后的線段．
(2)設D為線段AB的中點，線段AB平移到A'B'后，點D的對應點是哪一個點？
答：(1)如圖，連接AA'，過點B畫BB'∥AA'，并使得BB'＝AA'，連接A'B'．線段A'B'即為所求.
(2)點D的對應點是線段A'B'的中點．
師生活動：學生先獨立思考，嘗試完成畫圖，學生代表展示，師生校對答案．
師總結：(1)任意一對等長的平行線段都可以看作平移的結果．(2)圖形上的每一個點都可以在對應圖形上找到唯一的對應點．
平移作圖的一般步驟：
(1)定：確定平移的方向和距離；
(2)找：找出表示圖形的關鍵點(圖形的頂點、拐點、連接點)；
(3)移：過關鍵點作平行且相等的線段，得到關鍵點的對應點；
(4)連：按原圖順次連接對應點．
設計意圖：本題強化變換中對“對應點”的理解:圖形上的每一個點都可以在對應圖形上找到唯一的對應點: 目前只要求討論一些特殊的對應點，如除線段中點外，還可以確定三等分點、四等分點的對應點.歸納總結平移作圖的一般步驟.
例4 如圖，將周長為8cm的三角形ABC沿BC方向向右平移3cm，得到三角形A'B'C'，求四邊形AA'C'B的周長.
解：由平移的性質可知，A'C'=AC，AA'=BB'=3cm，B'C'=BC，
因為△ABC的周長為8cm，所以AB+BC+AC=8(cm)，
所以四邊形AA'C'B的周長為AB+BC'+A'C'+A'A=AB+BB'+B'C'+A'C'+A'A=8+6=14(cm)，
答:四邊形AA'C'B的周長為14cm.
師生活動：學生先獨立思考，嘗試完成畫圖，學生代表展示，師生校對答案．
設計意圖：運用平移的性質解決數學問題，進一步提高分析問題和解決問題的能力
課堂練習
1.如圖，平移四邊形ABCD，得到四邊形A'B'C'D'．你能找到哪些平行且相等的線段？畫出來并用圖中的字母表示．
答：1.AD與A′D′，BC與B′C′，AD與A′D′，BC與B′C′；
AA′與BB′、CC′、DD′．
2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，平移△ABE，使點B移到點C的位置，畫出平移后的圖形，并寫出相等的線段和相等的角．
答：畫出平移后的圖形△DCF,如圖所示.相等的線段：AD＝BC＝EF，AB＝DC，AE＝DF，BE＝CF，相等的角：∠B＝∠DCF＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，∠AEB＝∠DAE＝∠ADF＝∠AEF＝∠F，∠BAE＝∠CDF．
限時訓練
1.如圖，將△ABC 沿著某一方向平移一定的距離得到△DEF，則下列的結論：①AD=CF；②AC∥DF ；③∠ABC=∠DEF；④∠DAE=∠AEB．其中，正確的有( )
A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①②
2.如圖，經過平移，四邊形ABCD的頂點A移動到點A′，畫出平移后的四邊形．
3.如圖，在△ABC中，BC＝8 cm．將△ABC沿BC向右平移，得到△DEF（點E在線段BC上），若要使AD＝3CE成立，則平移的距離是（　）
A．4 cm　　 B．5 cm C．6 cm 　D．7 cm
答：1.A .
2.如圖，連接AA'，過點B畫BB'∥AA'，并使得BB'＝AA'，同理作CC'，DD'，連接A'B' ，B'C'，C'D'，D'A'則四邊形A'B'C'D'即為所求．
3.C
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
平移作為幾何變換的基礎內容，對于學生空間觀念的培養具有關鍵作用.在教學過程中，通過多媒體演示平移的動態過程，讓學生直觀地感受到平移前后的兩個圖形兩組對應點的連線段平行(或在同一條直線上)且相等，這種直觀的演示方式極大地激發了學生的學習興趣，使他們能夠迅速抓住平移的本質特征．
教學方法上，采用小組合作探究的方式，讓學生自主探索平移的基本性質，學生們在小組討論中積極發言，互相啟發，通過動手操作和交流分享，得出了平移的基本性質．這種方式不僅培養了學生的合作意識和探究能力，還增強了他們對知識的理解和記憶．在組織小組合作時，需要明確任務分工和要求，加強對小組討論的引導和監督，確保每個學生都能積極參與到學習過程中，真正發揮小組合作的優勢．
教學評價方面，要注重對學生學習過程的評價，及時給予學生反饋和鼓勵．當學生在課堂上回答問題正確時，給予肯定和表揚，增強他們的自信心；當學生遇到困難時，要耐心地引導他們思考，幫助他們找到解決問題的方法．通過這樣的評價方式，學生的學習積極性得到了充分調動，課堂氛圍也更加活躍．

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