資源簡介

第八章 整式乘法
8.3多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
本節(jié)課《多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式》是蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第八章第三節(jié)的內(nèi)容，具有承上啟下的重要作用.從知識體系上看，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式等知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行的拓展，為后續(xù)學(xué)習(xí)整式的乘法、因式分解以及更復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．
本課教材通過求長方形面積引導(dǎo)學(xué)生從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而引入多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的概念.這種從實(shí)際到抽象的過渡，有助于學(xué)生更好地理解多項(xiàng)式乘法的現(xiàn)實(shí)意義，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.在探索多項(xiàng)式乘法的過程中，學(xué)生需要將復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡單的單項(xiàng)式乘法運(yùn)算，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力.
學(xué)生在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式時(shí)，已具備一定的知識基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力．因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的加減、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握了用字母表示數(shù)的技能，能夠熟練地進(jìn)行整式的加減運(yùn)算，并理解了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的的運(yùn)算規(guī)則.此外，學(xué)生能夠?qū)⒊朔ǚ峙渎蛇\(yùn)用于簡單的代數(shù)運(yùn)算中.這些知識為學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式提供了知識支撐.同時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中積累了一定的代數(shù)思維能力和邏輯推理能力，能夠通過類比和遷移的方法探索新的運(yùn)算規(guī)則.因此，學(xué)生具備了從單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式過渡到多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的認(rèn)知基礎(chǔ)，能夠較好地理解和掌握多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算方法及其幾何意義.
1.掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，并能運(yùn)用其進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算，發(fā)展運(yùn)算能力；
2.通過幾何圖形（如長方形面積模型）理解多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何意義，能夠?qū)⒋鷶?shù)運(yùn)算與幾何直觀相結(jié)合，解決相關(guān)問題.
3.讓學(xué)生主動參與到探索過程中，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和初步解決問題的能力.
重點(diǎn)：掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，并能運(yùn)其進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算，發(fā)展運(yùn)算能力
難點(diǎn)：通過幾何圖形（如長方形面積模型）理解多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何意義，能夠?qū)⒋鷶?shù)運(yùn)算與幾何直觀相結(jié)合，解決相關(guān)問題.
情境導(dǎo)入
問題：單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則是什么？
答：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.
問題：單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則是什么？
答：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.
追問：如果將(a+b)x中的x換成(c+d)，你會計(jì)算嗎？
師生活動：獨(dú)立思考，學(xué)生代表講述，學(xué)生傾聽.
設(shè)計(jì)意圖：導(dǎo)學(xué)生回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式/單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，這一環(huán)節(jié)幫助學(xué)生鞏固已有知識，為后續(xù)學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式奠定基礎(chǔ).通過問題：(a+b)x中的x換成(c+d)為多項(xiàng)式(a+b)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望.
探究新知
活動一：探究多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則
如圖，現(xiàn)有一塊長為a、寬為d的長方形綠地，將其長和寬分別加長b，c，請計(jì)算擴(kuò)大后的長方形綠地的面積.
追問：你有哪些不同方法求擴(kuò)大后的長方形綠地的面積呢？
方法一：把它看成是一個(gè)長為(a＋b)，寬為(c＋d) 的長方形，則它的面積：(a+b)(c+d).
方法二：把它看成是由4個(gè)小長方形組成，則它的面積：ac+ad+bc+bd.
方法三：把它看成是由長、寬分別為(a＋b)、c和(a＋b)、d的2個(gè)小長方形組成，則它的面積c(a+b)+d(a+b).
方法四：把它看成是由長、寬分別為(c＋d)、a和(c＋d)、b的2個(gè)小長方形組成，則它的面積：(c+d)a+(c+d)b.
師追問：四種不同的表示方法之間有什么關(guān)系？
答：
問題：你能推導(dǎo)出(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd嗎？
答：
師追問：誰能說一說多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式要怎么計(jì)算呢？
師生活動：獨(dú)立思考，學(xué)生代表講述，教師板書，學(xué)生傾聽.
　　設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)學(xué)生借助單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，將(c+d)看作一個(gè)整體，推出(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd,幫助學(xué)生從熟悉的單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的知識出發(fā)，通過類比和遷移，探索多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，降低學(xué)習(xí)新知識的難度，通過推導(dǎo)過程幫助學(xué)生深入理解多項(xiàng)式乘法的本質(zhì).
活動二：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則
問題：誰能說一說多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式要怎么計(jì)算呢？
師小結(jié)：
本質(zhì)：將多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式.
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則:
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加.
師生活動：學(xué)生先獨(dú)立完成，再同伴之間互相說一說.
設(shè)計(jì)意圖：借助單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則，以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，獲得多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力和總結(jié)能力，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)．
應(yīng)用新知
例1 計(jì)算：
(x+2)(x－3)； (2) (－3x+1)(x－2) .
解：(1) 原式= x(x－3)+2(x－3)
= x·x+x·(－3)+2·x+2×(－3)
= x2－3x+2x－6
= x2－x－6;
(2) 原式=－3x·x+(－3x)·(－2)+1·x+1×(－2)
=－3x2+6x+x－2
=－3x2+7x－2.
師生活動：(1)教師板演示范，學(xué)生模仿獨(dú)立完成(2)．
設(shè)計(jì)意圖：通過例題講解，及時(shí)練習(xí)鞏固所學(xué)，培養(yǎng)學(xué)以致用、積極思考的習(xí)慣，提升學(xué)生計(jì)算能力．讓學(xué)生理解運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則來計(jì)算.
例2 計(jì)算：
(1) (3m+n)(m－2n) ； (2) n(n+l)(n+2).
解：(1) 原式=3m2－6mn+mn－2n2=3m2－5mn－2n2 ;
(2) 原式=n(n2+2n+n+2)=n(n2+3n+2)=n3+3n2+2n.
變式：下列計(jì)算結(jié)果為2x2－x－3的是( B )
A.(2x－1)(x－3) B.(2x－3)(x+1)
C.(2x+3)(x－1) D.(2x－1)(x+3)
師小結(jié)：
多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
(1)相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；
(2)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.
師生活動：教師板演示范，學(xué)生模仿．
設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)可以鞏固本課知識點(diǎn)，運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，提升學(xué)生的計(jì)算能力．
課堂練習(xí)
1. 計(jì)算：
(1) (a+1)(b+1); (2) (x－2)(x－3);
(3) (4x+2)(x－2); (4) (1－2x)(2+3x).
2. 計(jì)算:
(1) (4－3x)(4+3x); (2) n(n－2)(n+2).
3.一塊長方形地磚的長、寬分別為a cm,b cm (a>2,b>2).如果長、寬各截去2 cm,那么剩余部分的面積是多少
答：
1.解：
(1) 原式=ab+a+b+1;
(2) 原式=x2－3x－2x+6=x2－5x+6;
(3) 原式=4x2－8x+2x－4=4x2－6x－4;
(4) 原式=2+3x－4x－6x2=－6x2－x+2.
2.解：(1)原式=4×4+12x－12x－9x2=－9x2+16；
(2)原式=n(n2+2n－2n－4)=n(n2－4)=n3－4n.
3.解：剩余長方形的長為(a－2) cm,寬為(b－2) cm.
(a－2)(b－2)=ab－2a－2b+4( cm2).
答：剩余部分的面積為(ab－2a－2b+4) cm2.
限時(shí)訓(xùn)練
求(x－1)(2x+1)－2(x－5)(x+2)的值,其中x=15.
若多項(xiàng)式(x－a)(x+2)中不含x的一次項(xiàng)，求a的值.
3.某校操場原來的長是2x m，寬比長少10 m，現(xiàn)在把操場的長與寬都增加了5 m，則整個(gè)操場面積增加了__________ m2.
4. 若M=(x－4)(x－2)，N=(x+3)(x－9)，試比較M、N的大小.
答：1.解：原式=2x2+x－2x－1－2(x2+2x－5x－10)
=2x2－x－1－2(x2－3x－10)
=2x2－x－1－2x2+6x+20
=5x+19.
當(dāng)x=15時(shí)，原式=5×15+19=94.
2.解：(x－a)(x+2)=x2+2x－ax－2a =x2+(2－a)x－2a
因?yàn)椴缓瑇的一次項(xiàng)
所以2－a=0，即a=2.
3. (20x－25)m2.
4.解：∵M(jìn) = (x－4)(x－2) = x2－2x－4x+8 = x2－6x+8；
N = (x+3)(x－9) = x2－9x+3x－27 = x2－6x－27；
∴M－N = (x2－6x+8)－(x2－6x－27)，
= x2－6x+8－x2+6x+27 = 35＞0，
∴M＞N.
師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成，教師批閱.
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)鞏固新知，加深對本節(jié)課的理解及應(yīng)用.
歸納總結(jié)
設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識.
實(shí)踐作業(yè)
尋找生活中多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的例子，如密碼學(xué)中在 RSA 加密算法中，對大整數(shù)的乘法可以通過多項(xiàng)式乘法的算法來實(shí)現(xiàn)，提高加密和解密的效率.電子電路領(lǐng)域，在數(shù)字信號處理中，濾波器的傳遞函數(shù)通常可以用多項(xiàng)式來表示.感受運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式在解決實(shí)際問題的過程中的簡潔美.
本課通過探究一個(gè)實(shí)際問題——“長方形草地的面積”來吸引學(xué)生的注意力,有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，讓學(xué)生用多種方式表示長方形面積得到等量關(guān)系，自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，增強(qiáng)學(xué)生探究和解決問題的能力，通過單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則引導(dǎo)推導(dǎo)出多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，幫助學(xué)生掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則.鼓勵(lì)學(xué)生參與討論，自主推導(dǎo)出多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，加深學(xué)生對知識的理解.
本課時(shí)選擇了一些典型的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的例子，通過逐步分析和解答，幫助學(xué)生理解并掌握解題方法.學(xué)生在解題時(shí)容易漏乘，因此應(yīng)該更多地讓學(xué)生自己嘗試解題，而不是僅僅依賴于老師的講解，從而提高學(xué)生的獨(dú)立解題能力.

展開更多......

收起↑