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第八章 整式乘法
8.2單項式乘多項式
本節(jié)課《單項式乘多項式》是初中數(shù)學代數(shù)部分的重要內(nèi)容，它在數(shù)學知識體系中起著承上啟下的作用，它是整式運算的基礎(chǔ)，學生在之前已經(jīng)學習了單項式與單項式的乘法，掌握了乘法分配律等基本運算律，而單項式乘多項式是將這些知識進行拓展和深化．通過學習單項式與多項式的乘法，學生能夠更好地掌握整式的運算規(guī)律，為后續(xù)學習多項式乘多項式、因式分解以及更復(fù)雜的代數(shù)式運算奠定堅實的基礎(chǔ)．
教材首先通過生活中的實際情境，如計算長方形窗戶的面積等，引出單項式與多項式相乘的必要性，激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望．接著，教材通過逐步引導(dǎo)學生觀察、分析和歸納，幫助學生理解單項式乘多項式的運算法則．這種由淺入深、循序漸進的編排方式，符合學生的認知規(guī)律，有助于學生更好地理解和掌握知識．同時，教材還配備了豐富的例題和練習題，涵蓋了不同難度層次和題型，既可以幫助學生鞏固所學知識，又能夠培養(yǎng)學生的運算能力和思維能力．
學生在學習《單項式乘多項式》之前已經(jīng)掌握了單項式與單項式的乘法運算，對乘法分配律也有一定了解，這為學習本節(jié)課奠定了基礎(chǔ)．但是，部分學生可能會在運用乘法分配律時出現(xiàn)遺漏項或符號錯誤等問題．他們對字母表示數(shù)的理解還不夠深刻，容易在計算過程中混淆變量和系數(shù)．因此，在教學中要幫助學生鞏固乘法分配律的應(yīng)用，強化對單項式與多項式相乘的結(jié)構(gòu)特征的理解，逐步提高他們的運算能力和符號意識．
1. 經(jīng)歷探索單項式乘多項式運算法則的過程，理解單項式乘多項式運算的算理，發(fā)展有條理的思考及語言表達能力.
2.掌握單項式乘多項式法則，并能地熟練運用其進行計算，提高學生的運算能力.
3.經(jīng)歷從生活情境中抽象出數(shù)學問題，體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學生代數(shù)運算和解決實際問題的能力.
重點：掌握單項式乘多項式法則，并能地熟練運用其進行計算
難點：經(jīng)歷探索單項式乘多項式運算法則的過程，理解單項式乘多項式運算的算理，發(fā)展有條理的思考及語言表達能力.
情境導(dǎo)入
如圖，為了改善采光效果，將窗戶的寬度增加．改裝后窗戶的采光面積為多少
思考：你能用哪幾種方法表示改裝后窗戶的采光面積呢？
追問：（1）如果把改裝后的窗戶看成一個大長方形，那么它的長為 ，寬為 ，面積為 . （a＋b ，c， c(a＋b).）
如果把改裝后的窗戶看作兩個小長方形，那么它的面積為 .（ca＋cb.）
思考：兩種不同的表示面積的代數(shù)式之間有什么關(guān)系呢？
答： c(a＋b)=ca＋cb
追問：觀察一下這個等式：c(a＋b)=ca＋cb你能用學過的知識來解釋一下呢？
答：
繼續(xù)追問：類比單項式乘單項式，說說這是什么運算？
答：單項式乘多項式.
師生活動：學生獨立思考，然后指定學生回答.
設(shè)計意圖：通過情境創(chuàng)設(shè)，讓學生感悟數(shù)學來源于生活并應(yīng)用于生活的辯證思想，鍛煉學生的獨立思考能力，通過“算兩次”為得到單項式乘多項式的法則埋下伏筆．
新知探究
活動一：探究單項式乘多項式的法則
問題：計算下列各式，并說明理由：
a (5a+3b ) ；（2）(x－2y) 2x.
答：（1）a (5a+3b )
= a 5a+a 3b（乘法分配律）
=5a2 +3ab ；（單項式乘單項式的法則）
（2）(x－2y) 2x
=x 2x－2y 2x（乘法分配律）
=2x2－4xy.（單項式乘單項式的法則）
追問：從上面的計算，誰來說一說單項式乘多項式怎么計算呢？
師小結(jié)：
單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加.
師生活動：學生先獨立思考，然后師指定學生回答，師給與適當?shù)脑u價．
設(shè)計意圖：在探究的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學生自己發(fā)現(xiàn)、總結(jié)單項式乘多項式的法則，提高學生的觀察分析歸納新知的能力，培養(yǎng)學生善于思考的良好習慣．另外，讓學生自己動手，主動探索， 在自己的實踐中獲得單項式乘多項式的法則，從而構(gòu)建新的知識體系．
活動二：單項式乘多項式運算的注意事項
問題：下面的計算是否正確？如果有錯誤，請改正.
(1) 3a (4a2－1) = 7a3－3a； ( ) (2)－2x2 (3x3+4) =－6x5+8x2 ； ( )
(3)－4x (x－3y－1) =－4x2 +12xy； ( ) (4) 5－a(b－2) = 5－ab－2a. ( )
答：（1）×，12a3－3a； （2）×，－6x5－8x2 ； (3)×，－4x2 +12xy+4x；
（4）×， 5－ab+2a.
師小結(jié)：單項式乘多項式運算的注意事項：
1.非零單項式乘多項式的結(jié)果仍是多項式.
2.積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同；
3.注意符號：多項式的每一項都包括前面的符號，還要注意單項式的符
號，從而正確地確定積的符號；
4.不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象，尤其是1和-1.
師生活動：學生獨立完成，師生共同校對答案．
設(shè)計意圖：在歸納出單項式乘單項式的法則之后，通過一道題目提示學生在進行多項式運算時的易錯點，并針對這些容易出錯的點特意設(shè)置判斷題進行辨析，有助于學生正確掌握單項式乘多項式的法則，從而為他們能熟練應(yīng)用法則打好堅實的基礎(chǔ)．
應(yīng)用新知
例1 計算:（1）(－3x2) (4x－3)； （2）(ab2－3ab) ab .
答： （1）(－3x2) (4x－3)=(－3x2) 4x＋(－3x2) (－3)=－12x3+9x2；
（2）(ab2－3ab) ab=ab2 ab＋(－3ab) ab=a2b3－a2b2.
師生活動：學生先獨立解答，指定學生板演，師給與適當?shù)脑u價.
設(shè)計意圖：通過例題講解，及時練習鞏固所學，培養(yǎng)學以致用、積極思考的習慣，提升學生計算能力．讓學生熟練運用單項式乘多項式的法則進行計算．
例2 如圖，在長方形地塊上建造住宅、廣場、商場，計算這塊地的面積．
答：解：長方形的長為(3a＋2b)＋(2a－b)、寬為4a.
4a [(3a＋2b)＋(2a－b)]
＝4a (5a＋b)
＝4a 5a＋4a b
＝20a2＋4ab.
答：這塊地的面積為20a2＋4ab.
追問：還有其他算法嗎
答：解：住宅的面積為4a (3a＋2b)、廣場的面積為3a (2a－b)、商場的面積為(4a－3a) (2a－b).
4a (3a＋2b)＋3a (2a－b)＋(4a－3a) (2a－b)
＝12a2＋8ab＋6a2－3ab＋2a2－ab
＝20a2＋4ab.
答：這塊地的面積為20a2＋4ab.
師生活動：學生小組交流討論，然后指定學生匯報.
設(shè)計意圖：通過例題講解，幫助學生認識到單項式乘多項式法則在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值，數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學生的分析和解決問題的能力，同時加深對單項式乘多項式法則的理解．
例3 已知：xy2 =－2，求x4y8＋xy(3x2y5－5y)的值.
答：x4y8＋xy(3x2y5－5y)=x4y8＋xy 3x2y5＋xy (－5y)= (xy2)4＋3x3y6－5xy2=(xy2)4＋3(xy2)3－5xy2。
當xy2 =－2時，原式= (－2)4＋3×(－2)3－5×(－2)=2．
師生活動：學生先獨立思考，完成在練習本上，然后師生共同校對答案．
設(shè)計意圖：通過例題講解，幫助學生認識到單項式乘多項式法則在代數(shù)運算中的價值，培養(yǎng)學生的分析和解決問題的能力，加深對法則的理解，同時本例題要注意應(yīng)用“整體思想”．
課堂練習
1. 計算:
（1）(b＋c－13) a; （2）－2xy (3y－2x－1);
（3）－x3y2 (4y＋8xy3); （4）(3a3b－2ab2＋ab3) (－2ab);
（5）x(y－4)＋y(3－x); （6）a(a2－ab＋b2)＋b(a2－ab＋b2).
2. 計算圖中梯形的面積.
3. 填空：
（1）( ) (3x－4)=3x2－4x; （2）x2 ( )=x3＋2x2.
答：1.（1）原式=b a＋c a－13 a =ab＋ac－13a;
原式= －2xy 3y－(－2xy ) 2x－(－2xy) 1=－6xy2＋4x2y＋2xy;
（3）原式=－x3y2 4y＋(－x3y2) 8xy3 =－2x3y3－4x4y5;
（4）原式=3a3b (－2ab)－2ab2 (－2ab)＋ab3 (－2ab)=－6a4b2＋4a2b3－2a2b4 ;
（5）原式=x y－x 4＋y 3－y x=xy－4x＋3y＋xy=－4x＋3y;
（6）原式=a a2－a ab＋a b2＋b a2－b ab＋b b2 =a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3 =a3＋b3.
解：[x＋(5x－2)] 2x
=(6x－2) 2x
=6x2－2x.
答：梯形的面積為6x2－2x.
3.（1）x ; （2）x＋2.
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設(shè)計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節(jié)課的理解及應(yīng)用.
限時訓練
1.填空
(1) (______) (－2a＋3b)=4a2b－6ab2 ; (2) ab(a2＋_____＋3)=a3b＋2a2b＋3ab ;
(3) 2ab2(3a2－_____＋_____) = 6a3b2－4a2b3＋10ab4 ;
(4) 2a2b2(_____＋_____－_____)=2a2b2＋8a3b3－16a4b4 .
2.計算：(1)(－3a) (－2a2＋3a－2) ； (2)(5x2y－2x＋1) 4x2y2 .
3.先化簡，再求值：3a (2a2－4a＋3)－2a2 (3a＋4)，其中a=－2.
答：1.（1）－2ab； （2）2a； （3）2ab，5b2； （4）1，4ab，8a2b2 .
2.（1）原式= (－3a) (－2a2)＋(－3a) 3a＋(－3a) (－2)=6a3－9a2＋6a；
（2）原式= 5x2y 4x2y2＋(－2x) 4x2y2＋4x2y2=20x4y3－8x3y2＋4x2y2 .
3. 原式=3a 2a2＋3a (－4a)＋3a 3＋(－2a2) 3a＋(－2a2) 4=－20a2＋9a.
當a=－2時，原式=－20×(－2)2＋9×(－2)=－98.
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設(shè)計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節(jié)課的理解及應(yīng)用.
歸納總結(jié)
設(shè)計意圖：通過歸納總結(jié)讓學生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學的知識.
本課通過引入一個實際問題——“改裝窗戶”來吸引學生的注意力，這種情境創(chuàng)設(shè)有助于學生理解數(shù)學知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，激發(fā)他們的學習興趣.通過具體實例引入單項式乘多項式運算.在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學生通過歸納法總結(jié)出單項式乘多項式的法則，通過小組討論和合作探究，學生可以進一步深化對這一法則的理解.最后，通過設(shè)計多樣化的練習題，幫助學生鞏固所學知識，并在實際問題中應(yīng)用，從而實現(xiàn)知識的建構(gòu)與應(yīng)用，加深學生對知識的理解.
本課時選擇了一些典型的單項式乘多項式的例子，通過逐步分析和解答，幫助學生理解并掌握解題方法.學生在解題時容易忽略系數(shù)和指數(shù)的變化，因此應(yīng)該更多地讓學生自己嘗試解題，而不是僅僅依賴于老師的講解，從而提高學生的獨立解題能力.
通過思維導(dǎo)圖和快速回顧的方式，幫助學生鞏固本節(jié)課的知識點.注重學生的反饋，通過讓學生自己總結(jié)學到的內(nèi)容，更好地檢測他們對知識的掌握情況，追尋數(shù)學本質(zhì)，力爭全體學生正確理解單項式乘多項式的法則形成過程，并規(guī)范使用.

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