資源簡介

第八章 整式乘法
8.1 單項式乘單項式
本節課《單項式乘單項式》是蘇科版初中數學七年級下冊第八章第一節，它是初中數學代數部分的重要內容，具有承上啟下的重要作用．在此之前，學生已經學習了單項式的概念以及有理數的乘法運算，這些知識為單項式乘單項式的學習奠定了基礎．
本課教材通過引入具體的實例，引導學生觀察、歸納單項式乘單項式的法則．例如，通過計算簡單的單項式相乘，讓學生發現系數相乘、相同字母的指數相加等規律．這種由具體到抽象的呈現方式，符合學生的認知規律，有助于學生更好地理解和掌握這一知識點．此外，教材注重引導學生自主探究，通過小組討論、合作交流等方式，讓學生在實踐中發現規律、總結法則．關注學生對運算律的理解和運用，幫助學生建立良好的代數思維．通過學習單項式乘單項式，學生不僅能夠掌握具體的運算方法，還能培養符號意識和運算能力，提升數學核心素養．
學生在學習《單項式乘單項式》之前，已具備了一定的數學基礎，如掌握了單項式的概念以及有理數的乘法運算規則．但是，學生在從具體數字運算過渡到代數符號運算時可能會出現困難，尤其是對字母表示數的理解還不夠深入，容易在相同字母指數相加等細節上出錯．因此，在教學中需要通過具體實例引導學生逐步理解單項式乘單項式的法則，并加強練習，幫助學生鞏固知識，提高運算能力．
1.會正確地用單項式乘單項式運算法則進行計算，并知道每一步運算的依據，提高數學表達能力.
2. 經歷探索單項式乘單項式運算法則的過程，理解單項式乘單項式運算的算理，發展有條理的思考及語言表達能力.
3.熟練運用單項式乘單項式法則進行計算，提高學生的運算能力.
4.經歷從生活情境中抽象出數學問題，體會數學與生活的緊密聯系，培養學生代數運算和解決實際問題的能力.
重點：熟練運用單項式乘單項式法則進行計算，提高學生的運算能力.
難點：經歷探索單項式乘單項式運算法則的過程，理解單項式乘單項式運算的算理，發展有條理的思考及語言表達能力.
本章引入
師生活動：教師帶領學生研究圖形面積計算的不同算法，通過章頭圖，與學生共同感受，整式是代數式的一種基本形式. 本章將在冪的運算和整式加減運算的基礎上學習整式乘法. 學習整式乘法時，可以類比數的乘法. 與數的乘法一樣，整式乘法也滿足交換律、結合律和分配律. 整式運算是數學運算的基礎，是代數學習的基本功，我們需要掌握整式運算的法則，理解整式運算的過程，熟練地進行整式運算. 本章我們將學習整式乘法運算，培養學生數學運算的核心素養．
設計意圖：讓學生對本章有一個初步的感知，有利于激發學生的學習興趣，學生在頭腦中建立全章的思維導圖，形成體系．
情境導入
如圖，幾塊型號相同的液晶屏拼接在一起組成“電視墻”，如何計算這塊“電視墻”的面積？
答：如果把“電視墻”看成一個大長方形，那么它的長為 3a ，寬為 3b ，面積為 3a·3b .
如果把“電視墻”看成是由9個小長方形組成的，那么它的面積為 9ab .
師追問：你發現了什么？
答：3a·3b = 9ab
師生活動：從整體和部分兩個角度進行思考：如果把“電視墻”看成一個大長方形；如果把“電視墻”看成是由9個小長方形，激發學生深度思考，學生代表回答．
設計意圖：通過情境創設，讓學生感悟數學來源于生活并應用于生活的辯證思想，鍛煉學生的獨立思考能力，為得到單項式乘單項式的法則埋下伏筆．
新知探究
活動一：探究單項式乘單項式的法則
課件出示：
師小結：1.一般地，可以運用乘法交換律、結合律計算兩個單項式的乘積.
2.字母像數一樣進行運算.
問題：計算下列各式，并說明理由：
（1）2a2b 3ab2 ； （2）4ab2 5b； （3） 6x3 (－2x2y2).
答：（1）2a2b 3ab2
＝2×3 a2 a b b2 （乘法交換律）
＝（2×3） （a2 a） （b b2）（乘法結合律）
＝6a3b3；（同底數冪的運算性質）
師追問：你能用語言描述單項式乘以單項式的計算過程嗎？
答：系數相乘，相同字母的冪相乘.
（2）4ab2 5b
＝4×5 b2 b a（乘法交換律）
＝(4×5) (b2 b) a（乘法結合律）
＝20ab3； （同底數冪的運算性質）
（3）6x3 (－2x2y2)
＝6×(－2) x3 x2 y2（乘法交換律）
＝[6×(－2)] ( x3 x2) y2（乘法結合律）
＝－12x5y2.（同底數冪的運算性質）
師追問：如果只在一個單項式里含有字母時，單項式乘單項式要怎么計算？
師生活動：計算部分，學生答，教師板書．理由部分，學生同桌交流后集體口答.
設計意圖：讓學生在探索單項式乘單項式運算法則的過程，理解單項式乘單項式運算的算理，發展學生的代數推理能力.
活動二：單項式乘單項式的法則
單項式乘單項式的法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘.對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.
師小結：單項式乘單項式運算的注意點：
1.在計算時，應先進行符號運算，積的系數等于各因式系數的積；
2.按順序運算，有乘方，先算乘方，再算單項式相乘；
3.積的字母部分不要落下只在一個單項式里含有的字母因式
4.單項式乘單項式的結果仍為________.（單項式）
師生活動：師生共同完成，互動交流．
設計意圖：在多次探究的基礎上引導學生自己發現、總結單項式乘單項式的法則，提高學生的觀察分析歸納新知的能力，培養學生善于思考的良好習慣．另外，讓學生自己動手，主動探索， 在自己的實踐中獲得單項式乘單項式的法則，從而構建新的知識體系．
問題：判斷下列計算是否正確，如有錯誤，請改正 .
（1）4a2 2a4 = 8a8； ( ) （2）6a3 5a2=11a5； ( )
(－7a) (－3a3) = －21a4； ( ) （4）3a2b 4a3=12a5． ( )
答：（1）×，8a6； （2）×，30a5 ； (3)×，21a4 ； （4）×，12a5b．
師生活動：學生獨立完成，師生共同校對答案．
設計意圖：在歸納出單項式乘單項式的法則之后，提出注意點，并針對這些容易出錯的點特意設置判斷題進行辨析，有助于學生正確掌握單項式乘單項式的法則，從而為他們能熟練應用單項式乘單項式法則打好堅實的基礎．
應用新知
例1 計算:（1）a2 ( 6ab) ； (2) ( 2x)3 ( 3xy2)．
答： （1）a2 ( 6ab)=[×( 6)] (a2 a) b= 2a3b ；
（2）( 2x)3 ( 3xy2)= 8x3 ( 3xy2)= [ 8×( 3)] (x3 x) y2= 24x4y2．
師小結：單項式乘單項式，也可以先確定積的符號，再進行運算．
師生活動：學生先獨立思考，然后指定學生板演，集體交流．
設計意圖：通過例題講解，及時練習鞏固所學，培養學以致用、積極思考的習慣，提升學生計算能力．讓學生理解運用單項式乘單項式的法則．并注意：有的題型要先用積的乘方公式，然后再用單項式乘單項式法則．
變式 如何計算2x ( 3xy) (2xyz)2？
答：2x ( 3xy) (2xyz)2= 2x 3xy 4x2y2z2= 2×3×4 （x xy x2y2z2）= 24x4y3z2．
師小結：推廣： 單項式乘單項式法則對于多個單項式相乘仍然成立.
例2 計算 ：(1)(－2ab)2 (－a3c2) 2a2b ； (2)(a－b)3 [－3(a－b)]2 [－(a－b)]．
答：（1）(－2ab)2 (－a3c2) 2a2b= 4a2b2 (－a3c2) 2a2b=[4×(－）×2] （a2b2 a3c2 a2b）=－2a7b3c2 ；
（2）(a－b)3 [－3(a－b)]2 [－(a－b)]=(a－b)3 9(a－b)2 [－(a－b)]=[9×（－）] [(a－b)3 (a－b)2 (a－b)]=－6(a－b)6．（師引導學生把a－b看成一個整體）
師生活動：教師板演示范，學生模仿．
設計意圖：通過變式和例題講解，讓學生了解并掌握單項式乘單項式法則拓展三個或三個以上的單項式相乘，注意例2的第2小問應用了整體思想．
例3 計算如圖所示圖形陰影部分的面積．
答： （2a+2a×3) (1.5a+2.5a)－(2a+2a) 2.5a= 8a 4a－4a 2.5a= 32a2－10a2= 22a2．
師生活動：學生小組交流討論，模仿．
設計意圖：通過例題講解，幫助學生認識到單項式乘單項式法則在現實生活中的應用價值，數形結合，培養學生的分析和解決問題的能力，同時加深對法則的理解．
課堂練習
1. 計算:
（1）0.25a2 8a ； （2）a3b2 (－abc)；
（3）2a2bc (－ab)； （4）－0.1abc 10ab2c；
（5）(－x2)2 (2xy2)2； （6）－8a2b (－ab2) b2．
2. 一個正方體的棱長是1.5a，求它的表面積和體積．
答：1.解：（1）0.25a2·8a=(0.25×8)·(a2·a)=2a3；
a3b2 (－abc)=[×(－)] （a3 a) (b2 b) c=－a4b3c；
2a2bc (－ab)=[2×(－)] （a2 a) (b b) c=－a3b2c；
－0.1abc·10ab2c=(－0.1×10)·(a·a)·(b·b2)·(c·c)=－a2b3c2；
（5）(－x2)2·(2xy2)2=x4·4x2y4=4·(x4·x2)·y4=4x6y4；
（6）－8a2b (－ab2) b2=[－8×(－1)× ]·(a2·a)·(b·b2)=2a3b5.
2. S = 6×(1.5a)2= 6×2.25a2= 13.5a2；
V = (1.5a)3= 1.53×a3= 3.375a3.
答：它的表面積為13.5a2，體積為3.375a3.
限時訓練
1.下列計算，不正確的是 （ 　 ）
A.（－3a2b） （－2ab2）＝6a3b3；　　　　 　B.（a－b）2 （b－a）＝（b－a）3；　　　 　
C.（－x）3 （xy）2＝－x5y2； D.（－2x2y3） （6x2y）3＝－12x8y6.
2.已知單項式3x2y3與－2xy2的積為mx3yn ,那么m－n 的值為（　　）
A．－11； B．5； C．1； D．－1.
3.計算:（1）3x2 5x3； (2) 4y (－2xy2) ；
(3) (－x)3 (x2y)2； (4)(－2xy)2·(－x3z2)·2x2y .
答：1. D. 2. A.
（1）原式= (3×5) ·(x2·x3)= 15x5；
[4× (－2)]·(y·y2)·x =－8xy3；
原式=－x3 x4y2=－x7y2；
(－2xy)2·(－x3z2)·2x2y=[(－2)×(－)×2]·(x2y2·x3z2·x2y）=－2x7y3z2 .
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
本課通過引入一個實際問題——“電視墻”來吸引學生的注意力，這種情境創設有助于學生理解數學知識在現實生活中的應用，激發他們的學習興趣，引導學生自主思考，讓學生自己發現問題與同底數冪乘法之間的聯系，以增強學生探究和解決問題的能力.
通過具體實例引入單項式乘單項式，在此基礎上，教師可以引導學生通過歸納法總結出單項式乘單項式的法則，通過小組討論和合作探究，學生可以進一步深化對這一法則的理解和應用.最后，通過設計多樣化的練習題，幫助學生鞏固所學知識，并在實際問題中應用，從而實現知識的建構與應用，加深學生對知識的理解.
本課時選擇了一些典型的單項式乘單項式的例子，通過逐步分析和解答，幫助學生理解并掌握解題方法.學生在解題時容易忽略系數和指數的變化，因此應該更多地讓學生自己嘗試解題，而不是僅僅依賴于老師的講解，從而提高學生的獨立解題能力.

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