資源簡介

第一講 ：整除特性
知識精講
整除的概念
如果整數a除以整數,除得的商是整數且沒有余數，我們就說a能被b整除，也可以說b能整除a,記作.
如果除得的結果有余數，我們就說a不能被b整除，也可以說b不能整除a.
如果自然數a和b都能被自然數整除，那么它們的和“”或差“”也能被c整除。例如：60能被5整除，40能被5整除，它們的和及差也能被5整除.
尾數判別法
1.能被2,5整除的數的特性：末一位數能被2或5整除.
2.能被4,25整除的數的特性：末兩位數能被4或25整除.
3.能被8,125整除的數的特性：末三位數能被8或125整除.
數字求和法
能被3,9整除的數的特性：各位數字之和能被3或9整除.
如果一個數的各位數字之和能被3或9整除，那么這個數就能被3或9整除.對于一個數位較多的數來說，直接用數字求和法比較麻煩，可以用“棄三法”或“棄九法”來計算，即可以先拋棄和為3或9的倍數的數字，再把剩余的數字求和.
多個數的整除特性
我們已經學習了如何利用“整除特性”解決單個數的整除問題.如果涉及多個數的整除問題，我們應該先單獨考慮，再找到能同時滿足題意的答案，例如：一個數既能被5整除，又能被3整除，可先看滿足被5整除的數的特性，確定尾數，再看能被3整除的數的特性.
若一個數能被45整除，由,能被45整除的數，也能被5和9整除，那么只需考慮5和9的整除特性即可.
注意若將45拆成,此時15既是15的倍數，又是3的倍數，但是15不是45的倍數，所以需要尋找合適的拆數方法.
題型匯總
題型一：2、5、3的倍數特征
1．一個數個位上是0或5，這個數就是5的倍數嗎？一個數個位上是0、2、4、6或8，這個數就是2的倍數嗎？舉例驗證一下。
【答案】是；是；舉例見詳解
【分析】5的倍數特征：個位上的數字是0或5的數是5的倍數。
2的倍數特征：個位上的數字是0、2、4、6、8的數是2的倍數。
【詳解】一個數個位上是0或5，這個數就是5的倍數，如10、15、20、25、135……
一個數個位上是0、2、4、6或8，這個數就是2的倍數，如12、14、16、18、100……
2．文具店運來45塊橡皮擦，如果每2塊裝一盒，能正好裝完嗎？如果每3塊裝一盒，能正好裝完嗎？如果每5塊裝一盒，能正好裝完嗎？請說明理由。
【答案】不能；能；能
【分析】45的個位是5，所以它不是2的倍數；4＋5＝9，所以45是3的倍數；45的個位是5，所以45是5的倍數。據此再結合題意，解題即可。
【詳解】答：每2塊裝一盒，不能正好裝完；
每3塊裝一盒，能正好裝完；
每5塊裝一盒，能正好裝完。
因為45是3和5的倍數，不是2的倍數。
【點睛】本題考查了2、5、3的倍數特征。個位上是0、2、4、6、8的數，是2的倍數；個位上是0或5的數，是5的倍數；各位上數的和是3的倍數的數，是3的倍數。
題型二：6、9的倍數特征
1．按照得出2、3、5倍數特征的學習經驗，探索6的倍數特征。
類別 2的倍數 5的倍數 3的倍數
特征 個位上是0，2，4，6，8的數 個位上是0或5的數 一個數各位上的數的和是3的倍數
舉例 4、10、22、34、68 10、35、80、95、115 9、18、54、87、141
（1）我的猜想：6的倍數特征是（ ）。
（2）我的驗證：用自己喜歡的方式驗證你的猜想。
（3）我的結論（ ）。
【答案】見詳解
【分析】（1）6＝2×3，6的倍數特征應該與2和3的倍數的特征有關，2的倍數特征：個位上的數字是0、2、4、6、8的數是2的倍數。3的倍數的特征：一個數各個數位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。將2和3的倍數的特征整合后是6的倍數的特征；
（2）舉例進行驗證即可；
（3）根據驗證情況，猜想如果成立，猜想即可以作為結論。
【詳解】（1）猜想：6的倍數特征是個位上的數字是0、2、4、6、8，各個數位上的數字的和是3的倍數的數。
（2）驗證：6、12、18、24、30、36…都是6的倍數。
1＋2＝3、1＋8＝9、2＋4＝6、3＋6＝9
個位數分別是0、2、4、6、8，且各個數位上的數字的和是3的倍數，猜想成立。
（3）結論：6的倍數特征是個位上的數字是0、2、4、6、8，各個數位上的數字的和是3的倍數的數。。
2．操作。
251 252 253 254 255 256 257 258 259 260
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270
271 272 273 274 275 276 277 278 279 280
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290
291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
（1）在表格中用 圈出9的倍數，3的倍數（ ）9的倍數。（填“都是”或“不都是”）。
（2）把上面圈出來的數的各位上的數字相加，你發現了什么？根據你發現的規律，再寫兩個這樣的三位數，這兩個數是9的倍數嗎？
（3）結合（2）中發現的規律，從下面任選4張數字卡片，組成是9的倍數的四位數，至少寫出5個。
【答案】（1）見詳解；不都是
（2）當一個數各位上的數之和是9的倍數時，這個數是9的倍數；
783和459都是9的倍數（答案不唯一）
（3）2457、2475、2547、2574、2745、2754等（答案不唯一）
【分析】（1）逐行逐列用數字除以9，能整除，則這個數是9的倍數。據此圈出所有9的倍數。數字各個數位上的數字和是3的倍數，則這個數是3的倍數，據此判斷是3的倍數的數是否都是9的倍數，據此解答。
（2）當一個數各位上的數之和是9的倍數時，這個數是9的倍數。據此寫出兩個符合該特征的數，并用9去除，看能否整除，進而驗證9的倍數的特征。
（3）任意挑選四個數，使它們的和是9的倍數，再將四個數排列成四位數即可，當四個數中有0時，在組成四位數時，0不能在千位，據此解答。
【詳解】
（1）
根據3的倍數特征，如255、258等等是3的倍數，但不是9的倍數；如252、270（畫圈的）等等是3的倍數，也是9的倍數，所以3的倍數不都是9的倍數。
（2）2＋5＋2＝9、2＋6＋1＝9、2＋7＋0＝9、2＋7＋9＝18、2＋8＋8＝18、2＋9＋7＝18。9和18都是9的倍數。
發現：當一個數各位上的數之和是9的倍數時，這個數是9的倍數。
如7＋8＋3＝18，18÷9＝2，得到其中一個三位數783，783÷9＝87，783是9的倍數；
如4＋5＋9＝18，18÷9＝2，得到其中一個三位數459，459÷9＝51，459是9的倍數。
783和459都是9的倍數。（答案不唯一）
（3）因為4＋5＋2＋7＝18，18都是9的倍數，所以選中4、5、2、7四張卡片。組成的四位數有2457、2475、2547、2574、2745、2754等。（答案不唯一）
題型三：4、8、25的整除特性
1．用1～9這九個數字組成三個三位數（每個數字都要用），每個數都是4的倍數。這三個三位數中最小的一個最大是( )。
【答案】584
【分析】能夠被4整除的數，其后兩位可以被4整除，三個數都是4的倍數，個位必然都是偶數。當個位是2或6時，十位是奇數，當個位是4或8時，十位是偶數。因為1～9中只有4個偶數，所以三個數中有兩個的個位分別是2和6，另一個的后兩位是84或48。
【詳解】因為三個數的百位都是奇數，所以最小的三位數的百位最大是5，（另兩個分別是9和7）。9已被百位占用，十位最大的是8，所以三個三位數中最小的一個最大是584。
注：另兩個三位數可以是912，736或932，716或916，732或936，712。
【點睛】本題考查的是4的整除特征，4和25是通過末兩位進行判斷的。
2．在□里填上適當的數字，使得六位數□678□□能被8、9和25整除．
【答案】667800
【詳解】☆解法一：根據8、9和25整除的數的特征很容易解出此題．
這個六位數能被25整除，根據能被25整除的數的特征知，六位數的末兩位數可能是00、25、50、75；該數又能被8整除，所以這個六位數的末三位數應能被8整除，而在800、825、850、875中只有800滿足條件，所以這個六位數的個位、十位都是0；又因為這個六位數能被9整除，所以這個六位數的各位數字之和（不妨設首位為x）為：x+6+7+8=21+x
能被9整除，可推出x只能為6，所以這個六位數為667800．
☆解法二：根據數的整除性質：如果一個數能被兩個互質數中的每一個數整除，那么這個數也能被這兩個互質數的積整除．因為8×25=200，而且8與25互質，8×25=200，所求的六位數能被200整除，所以個位、十位都應該是0．然后由這六位數能被9整除，和解法一一樣的方法可知這個六位數為667800．
題型四：多個數的整除特性
1．在六位數的三個方框里分別填入數字，使得該數能被15整除，這樣的六位數中最小的是 。
【答案】302010
【分析】，要使得這個數能被15整除，那么這個數可以被3和5分別整除，分別考慮3和5的整除特征即可。
【詳解】設這個數是；
若，那么能被3整除，此時和都取0是最小的；
并且是符合要求的最小的六位數。
【點睛】本題考查的是數的整除，對于一些沒有學過的數，可以考慮進行分拆。
2．123456789□□,這個十一位數能被36整除,那么這個數的個位上的數最小是 .
【答案】0
【詳解】因為36=94,所以這個十一位數既能被9整除,又能被4整除.因為1+2+…+9=45，由能被9整除的數的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的數的特征:這個數的末尾兩位數是4的倍數,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.這樣,這個十一位數個位上有0,2,6三種可能性.
所以,這個數的個位上的數最小是0.
跟蹤訓練
一、選擇題
1．在下面各組數中，第一個數能被第二個數整除的是（ ）
A．7.2和9 B．7和14 C．10和0.1 D．60和12
2．有5張卡片上面的數字分別是0，4，5，6，7，從中抽出3張組成所有三位數中能被4整除的有（　　）
A．11 B．12 C．10 D．15
3．一個三位數是25□，在□填入（ ）時，既是2的倍數，又是3的倍數．
A．3 B．4 C．0 D．8
二、填空題
4．若9位數20082008能夠被3整除，則里的數是 。
5．六位自然數，能被12整除，末兩位數有( )種情況。
6．從1，3，5，7中任取3個數字組成沒有重復數字的三位數，這些三位數中能被3整除的有( )個。
7．有這樣的兩位數,它的兩個數字之和能被4整除,而且比這個兩位數大1的數,它的兩個數字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數的和是 .
8．一個五位數7□35△，如果這個數能同時被2、3、5整除，那么□代表的數字是( )，△代表的數字是( )．
9．已知一個三位數能被45整除,它的各位上的數字都不相同.這樣的三位數有 個.
10．要使6位數15 6能夠被36整除而且所得的商最大, 內應填 .
11．在947后面添上三個不同的數字，組成一個被2、3、5同時整除的最小的六位數，這個數是 。
三、解答題
12．下面有9個自然數：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100。其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？
13．有如下5個自然數：12345，189，72457821，333666，54289。其中能被9整除的有哪些？
14．在自然數1～100中，能被或中任一個整除的數有多少個？
15．從0、7、5、3四個數字中選三個數字組成一個三位數，使組成的數能同時被2、3和5整除．這樣的三位數有幾個？
16．四位數能被18整除，要使這個四位數盡可能的小，a和b是什么數字？
參考答案
1．D
【詳解】60÷12=5
故答案為D
2．D
【分析】利用被4整除的特征：當一個數的末兩位能被4整除，這個數就能被4整除，由此特征分類討論即可解決問題．
【詳解】解：能被4整除，那么最后兩位數能被4整除（因為100的倍數都能被4整除），
這樣，最后兩位只能是：04，40，56，60，64、76六種．
當最后兩位數為04時：百位在5，6，7選一個，三種；
當最后兩位數40時：百位在5，6，7選一個，三種；
當最后兩位數56時：百位在4，7選一個，兩種；
當最后兩位數為60時：百位在4，5，7選一個，三種（因為百位數不為0）；
當最后兩位數為64時：百位在5，7選一個，兩種（因為百位數不為0）；
當最后兩位數76時：百位在5，4選一個，兩種；
所以共有3+3+2+3+2+2=15種．
故選D．
3．D
【詳解】2和3倍數的特征：個位是偶數，并且各個數位之和要是3的倍數，答案上只有8合適．
4．1/4/7
【分析】能夠被3整除的數各位數字之和是3的倍數，，□中填入1、4、7，可以得到212427，是3的倍數。
【詳解】根據題目知：20＋□是3的倍數，所以里填1或4或7。
【點睛】本題考查的是3的整除特征，類似的，能夠被9整除的數各位數字之和是9的倍數。
5．8
【分析】采用試除法求解，假設后兩位是最大情況，取99，用108299除以12，求出余數，用108299減去余數，得到最大值，再依次減去12，得到其它符合要求的數，但要注意不能小于108200。
【詳解】試除法：108299÷12＝9024……11
99－11＝88、88－12＝76、76－12＝64、64－12＝52、52－12＝40、40－12＝28、28－12＝16、16－12＝4共8種情況。
【點睛】本題考查的是數的整除，也可以假設是108200，先求出最小的，再求出其它符合要求的數。
6．
【分析】一個數能被3整除，它的各位數之和就能夠被3整除，先選出3個和是3的倍數的三個數，然后再考慮如何排列。
【詳解】從1，3，5，7中任選3個數可以是1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7；
其中能被3整除的有：1，3，5和3，5，7；
共能組成3×2×1×2＝12個數。
【點睛】本題考查的是數論中的計數問題，可以分成兩步考慮，先把數選出來，再考慮如何排列。
7．118
【詳解】符合條件的兩位數的兩個數字之和能被4整除,而且比這個兩位數大1的數,如果十位數不變,則個位增加1,其和便不能整除4,因此個位數一定是9,這種兩位數有:39、79.
所以,所求的和是39+79=118.
8． 0、3、6或9 0
【詳解】7□35△，能同時被2、5整除，則△=0；7+□+3+5=15+□是3的倍數，則□=0或□=3或□=6或□=9．
9．15
【詳解】因為這個三位數是5的倍數,故它的末位應該為5或0.
若它的末位為0,因這個三位數又是9的倍數.故百位與十位有9種可能:
18,27,…,90.即這樣的三位數有9個.
若它的末位為5,同樣,因為這個三位數是9的倍數.故它的前兩位數字之和為4或13.這時有如下9種可能:13,31,40,49,58,67,76,85,94.即這樣三位數也有9個.
各位數字各不同，所以排除585，855，900三個
故這樣的三位數一共有9+9-3=15(個).
10．987
【詳解】為使商最大,則被除數也應最大,故千位上可填入9;又被除數是4的倍數,故十位應填入1,3,5,7,9.此時對應的百位數應填入5,3,1,8,6.故三個方框中的數為987.
11．947130
【分析】能被2整除的數的特征：末位是0、2、4、6、8；能被5整除的數的特征末位是0或者5；能被3整除的數的特征，這個數各位上的數之和是3的倍數。
【詳解】因為被2、5同時整除，所以這個六位數末位一定是0，結合題干這個六位數最小，且添上的是三個不同的數字，所以可以確定百位上最小為1。又能被3整除，而9＋4＋7＋1＋0＝21，比21大且能被3整除的數位24，所以十位上為24－21＝3，因此這個六位數為947130。
12．48，7836，4100；75，650，4100
【分析】若一個數的末兩位數能被4或25整除，則這個數就一定能被4或25整除。
【詳解】答：其中能被4整除的有：48，7836，4100；
能被25整除的有：75，650，4100。
【點睛】牢記被4或25整除的數的特征。
13．189，72457821，333666
【分析】能被9整除的數的特征：如果一個整數的各位數字之和能被9整除，那么它必能被9整除。
【詳解】1＋2＋3＋4＋5＝15，不能被9整除；
1＋8＋9＝18，能被9整除；
7＋2＋4＋5＋7＋8＋2＋1＝36，能被9整除；
3＋3＋3＋6＋6＋6＝27，能被9整除；
5＋4＋2＋8＋9＝28，不能被9整除；
答：其中能被9整除的有189，72457821，333666。
【點睛】牢記能被9整除的數的特征。
14．個
【分析】先分別求出能被3整除的數的個數，能被5整除的數的個數，以及能被3和5同時整除的數的個數，然后按照容斥問題求解。
【詳解】
（個）
答：能被3或5中任一個整除的數有 47個。
【點睛】本題考查的是二元容斥問題，這里需要注意能被3或5同時整除與能被3和5同時整除的區別。
15．兩個：570或750
【詳解】根據能被2、3、5整除的數的特征，確定出所組成的三位數要能同時被2、3、5整除，這個三位數的個位數字必須是0．現在一共有四個數字，這個三位數的十位和百位上的數字只能從7、5、3三個數字中選取，且每位上數字的和要能被3整除．故一共有兩個：570或750．
16．a＝1，b＝6
【分析】18=2×9，并且2與9互質，根據前面的性質4，可以分別考慮被2和9整除.
【詳解】要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.
再考慮被9整除，四個數字的和就要被9整除，已有7+4=11.
如果 b=0，只有 a=7，此數是 7740；
如果b=2，只有a=5，此數是7542；
如果b＝4，只有a＝3，此數是 7344；
如果 b＝6，只有 a＝1，此數是 7146；
如果b＝8，只有a＝8，此數是7848.
因此其中最小數是7146.此時a＝1，b＝6．

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