資源簡介

第四講 ：長方體和正方體（一）
知識精講
長方體和正方體的表面積
我們來學習一下長方體、正方體的表面積計算方法.
在解決一些問題時，要充分考慮實際情況，想清楚要算幾個面.在解答時，可以把這幾個面的面積分別算出來，再相加；也可以先算出六個面的面積總和，再減去不需要的那個(些)面的面積.知識點二：用三視圖法求表面積
利用三視圖求物體表面積
相信同學們對長方體和正方體的表面積公式都很熟悉，但是對于較復雜的立體圖形，往往我們并不能直接應用公式進行計算，這個時候又該怎么辦呢
在觀察物體的時候，我們往往可以從不同的角度進行觀察.角度不同，看到的形狀就會不同.比如：我們可以從正面看，上面看，左面看，看到的圖形分別稱為正視圖，俯視圖和左視圖.并且容易發現：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的圖形的面積是相等的，所以對于較復雜的立體圖形，通過三視圖法往往可以很
方便地計算出表面積.
題型匯總
題型一：圖形計算
1．圖形計算。
（1）計算各長方體前面的面積。
（2）計算各長方體右側面的面積。
（3）計算各長方體上面的面積。
【答案】（1）8cm2；4cm2
（2）6cm2；6cm2
（3）12cm2；6cm2
【分析】（1）長方體前面的面積＝長×高；
（2）長方體右側面的面積＝寬×高；
（3）長方體上面的面積＝長×寬，據此列式計算。
【詳解】（1）4×2＝8（cm2）
2×2＝4（cm2）
各長方體前面的面積是8cm2、4cm2。
（2）3×2＝6（cm2）
3×2＝6（cm2）
各長方體右側面的面積是6cm2、6cm2。
（3）4×3＝12（cm2）
2×3＝6（cm2）
各長方體上面的面積是12cm2、6cm2。
2．計算下面圖形的表面積。
【答案】248m2；13.5cm2
【分析】長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，正方體表面積＝棱長×棱長×6，據此列式計算。
【詳解】（10×4＋10×6＋4×6）×2
＝（40＋60＋24）×2
＝124×2
＝248（m2）
1.5×1.5×6＝13.5（cm2）
長方體表面積是248m2，正方體表面積是13.5cm2。
題型二：表面積的實際應用
1．學校要粉刷教室。已知教室的長是8米，寬是6米，高是3米，門窗的面積是11.4平方米。需要粉刷的面積是多少？如果每平方米需要花6元涂料費，粉刷這個教室需要多少涂料費？
【答案】120.6平方米；723.6元
【分析】長方體教室長為8米，寬為6米，高3米，教室粉刷需要粉刷除了底面一個面外的5個面，再減去門窗面積，即粉刷面積＝（長×高＋寬×高）×2＋長×寬門窗面積，據此可得出粉刷面積；粉刷面積×6，即可得出涂料費用。
【詳解】教室需要粉刷面積為：
（平方米）
需要涂料費用：（元）
答：教室需要粉刷面積是120.6平方米，需要涂料費723.6元。
2．有一個棱長10厘米的正方體包裝盒，在它的四壁貼上商標紙（上下面不貼），這張商標紙的面積是多少？
【答案】400平方厘米
【分析】“正方體的表面積＝棱長×棱長×6”因為包裝盒的上下面不貼，所以只計算正方體包裝盒4個面的面積即可，據此解答。
【詳解】10×10×4＝400（平方厘米）
答：這張商標紙的面積是400平方厘米。
題型三：表面積的復雜應用
1．一個長方體，如果高增加4厘米，那么就變成一個正方體，這時表面積比原來增加128平方厘米，原來長方體的表面積是多少平方厘米？
【答案】256平方厘米
【分析】由長方體的高增加4厘米后變成了正方體可知，原長方體的長和寬相等。（如下圖）表面積比原來增加128平方厘米，增加部分的面積實際上就是4個面積相等的長方形的面積和。用128÷4先求出增加的1個面的面積；再用增加的1個面的面積÷4求出長方體的長（或寬）；再用長方體的長（或寬）減去4厘米求出原來長方體的高；最后根據長方體的表面積求出原長方體的表面積。
【詳解】長（或寬）：128÷4÷4
＝32÷4
＝8（厘米）
高：8－4＝4（厘米）
表面積：（8×8＋8×4＋8×4）×2
＝（64＋32＋32）×2
＝128×2
＝256（平方厘米）
答：原來長方體的表面積是256平方厘米。
【點睛】一個長方體高增加一段，增加的表面積是增加的那部分前、后、左、右4個側面的面積和。
2．一間長方體倉庫的長為8米，寬為6米，高為3.5米。倉庫裝有一扇門，門的寬為1米，高為2米。現在要給倉庫離地面1米高以下的四壁都貼上瓷磚，貼瓷磚部分的面積是多少？
【答案】27平方米
【分析】本題不僅數據較多，題意也稍顯復雜。主要是這句話“離地面1米高以下的四壁都貼上瓷磚”，既然是“四壁”，就是沒有天花板和地面上、下兩個面的面積；而且貼瓷磚的部分只有1米高，但門卻有2米高，那么就不需要減去整個門的面積，而是把1米高、1米寬那部分門的面積減去。
【詳解】（8×1＋6×1）×2－1×1
＝14×2－1
＝27（平方米）
答：貼瓷磚部分的面積是27平方米。
【點睛】易錯點有2個：①誤以為需要減掉整個門的面積；②貼瓷磚部分高只有1米，而不是倉庫的高3.5米。所以要多讀幾遍題，充分理解題意后再動手計算。
題型四：通過三視圖求表面積
1．如圖：將19個邊長為的小正方形疊成一個立體圖形，求這個圖形的表面積。
【答案】54平方厘米
【分析】正面和背面各有10個小正方形，上面和下面各有9個小正方形，左邊和右邊各有8個小正方形，據此列式解答。
【詳解】1×1＝1（平方厘米）
1×10×2＋1×9×2＋1×8×2
＝20＋18＋16
＝54（平方厘米）
答：這個圖形的表面積是54平方厘米。
【點睛】本題考查了組合體的表面積，根據從不同方向觀察幾何體的方法，每個面分別看有多少個小正方形即可。
2．用棱長是1厘米的正方塊拼成如圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米？
【答案】46平方厘米
【分析】（1）不管疊多高，上下兩面的表面積都是3×3＝9個面；
（2）再看前后左右四個面，都是2×3＋1＝7個面。
【詳解】1×1×（9×2＋7×4）
＝1×（18＋28）
＝46（平方厘米）
答：該圖形的表面積是46平方厘米。
【點睛】此題也可通過數圖形解答。我們可以直接數出總共有46個面，每個面面積為1平方厘米，則表面積就是46平方厘米。
跟蹤訓練
一、選擇題
1．一個正方體的棱長擴大到原來的10倍，則這個正方體的表面積擴大原來的（ ）倍。
A．10 B．100 C．1000 D．不能確定
2．由10個棱長為的小正方體拼成的幾何體，如果從前面看到的形狀是，那么從上面看到的圖形面積最大是（ ）。
A．7 B．8 C．9 D．10
3．一個長方體的長a厘米，寬b厘米，高c厘米。如果它的高增加4厘米，那么表面積比原來增加（ ）平方厘米。
A． B． C．8ab D．
4．一個長方體的底面是面積為的正方形，它的側面展開圖也正好是一個正方形，這個長方體的側面積是（ ）。
A． B． C． D．
5．藝術館工人將若干個完全相同的正方體模型堆放于墻角，露在外面的面積最大的是（ ）。
A． B． C． D．
二、填空題
6．張叔叔準備用角鐵焊接一個棱長6dm的正方體框架，并在各個面上釘上鐵皮，做這個正方體至少需要角鐵( )dm，至少需要鐵皮( )dm2。
7．小楊買了一個長方體的玻璃魚缸，從外面量，長是1m，寬是6dm，高是5dm。他不小心把前面的玻璃打碎了，修理時需要配上的玻璃面積是( )。
8．挖一個長8米，寬6米，深2米的長方體水池，這個水池的占地面積是( )平方米。
9．如圖是一個長方體紙盒的后面和左面。這個紙盒上面的面積是( )平方分米。
10．一個長方體，如果高增加3cm，就變成一個正方體，這個正方體的表面積比原來長方體的表面積增加了60cm2。原來長方體的表面積是( )cm2。
三、計算題
11．求下面圖形的表面積。
四、解答題
12．工人師傅用木板制作一個長方體種植箱，種植箱的長、寬、高如下圖所示，制作這個種植箱需要多少平方分米木板？
13．一個長方體紙箱，要在紙箱的四周貼上商標（上、下面不貼），商標紙的面積是多少平方分米？
14．一間教室的長是9m，寬是6m，高是3.5m，門窗的面積是21.5m2，要粉刷教室的四壁和屋頂，求粉刷的面積是多少平方米？如果每平方米需要8元涂料費，粉刷這個教室需要花費多少錢？
15．如圖，是一個棱長為3分米的正方體募捐箱，上面留有一個長1分米，寬3厘米的長方形入口，這個募捐箱的表面積是多少？
16．紅紅送給媽媽一個生日禮物，用正方體紙盒包裝。（如下圖）
（1）用絲帶包扎這個禮品盒，接頭處長35厘米。包扎這個禮品盒一共需要彩帶多少厘米？
（2）做這個正方體包裝盒，至少需要多少平方厘米紙板？
（3）紅紅送給媽媽的禮物是一個生日蛋糕，蛋糕規格如下圖。你認為紅紅買的是哪種規格蛋糕？請說明理由。
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案
1．B
【分析】假設正方體原來的棱長是1厘米，擴大到原來的10倍，就是10厘米，根據正方體的表面積公式，分別代入數據計算原來的正方體的表面積和擴大后的正方體的表面積，再用除法計算即可得解。
【詳解】假設正方體原來的棱長是1厘米
（厘米）
原來的表面積：（平方厘米）
擴大后的表面積：
（平方厘米）
一個正方體的棱長擴大到原來的10倍，則這個正方體的表面積擴大原來的100倍。
故答案為：B
2．B
【分析】
根據正方形面積公式：面積＝邊長×邊長，求出小正方體一個面的面積；從前面看到的形狀是，這個幾何體有2層，上層至少需要2個小正方體，所以從上面最多能看到10－2＝8個小正方形，據此求出從上面看到的圖形面積最大。
【詳解】根據分析可知，看到的圖像面積最大是：
（10－2）×（1×1）
＝8×1
＝8（cm2）
從上面看到的圖形面積最大的是8cm2。
故答案為：B
3．B
【分析】長方體的高增加4厘米后，增加的表面積實際上是一個長方體長a厘米，寬b厘米，高為4厘米的四個側面的面積，即兩個長為a厘米，寬為4厘米的長方形和兩個長為b厘米，寬為4厘米的長方形，根據長方形的面積＝長×寬，代入數據計算，即可求出表面積增加了多少平方厘米，據此解答。
【詳解】由分析得：
a×4×2＋b×4×2＝（8a＋8b）平方厘米
即表面積比原來增加（8a＋8b）平方厘米。
故答案為：B
4．D
【分析】這個長方體的底面是正方形，且面積是9cm2，據此求出正方形的邊長，它的側面展開圖也正好是一個正方形，即長方體的底面周長與高相等；
那么長方體的側面展開圖，就是由4個完全相同的小長方形組成的一個大正方形，每個小長方形的寬就等于底面正方形的邊長3cm，則3×4表示4個小長方形的寬之和，也就是長方體側面展開圖的底面周長，最后根據長方體的側面積＝底面周長×高計算出長方體的側面積。
【詳解】3×3＝9
所以長方體的底面正方形的邊長是3cm；
3×4×（3×4）
＝12×12
＝144（cm2）
故答案為：D
5．A
【分析】分別求出每個選項中的圖形露在外面的正方形的個數，然后比較解答即可。
【詳解】
A．有11個面露在外面；
B．有10個面露在外面；
C．有10個面露在外面；
D．有10個面露在外面；
11＞10，露在外面的面積最大的是。
故答案為：A
6． 72 216
【分析】求需要角鐵的長度，就是求正方體框架的棱長總和，根據正方體棱長總和公式：棱長總和＝棱長×12，代入數據，求出需要角鋼的長度；求需要鐵皮的面積，就是求正方體框架的表面積，根據正方體表面積公式：表面積＝棱長×棱長×6，代入數據，即可解答。
【詳解】6×12＝72（dm）
6×6×6
＝36×6
＝216（dm2）
張叔叔準備用角鐵焊接一個棱長6dm的正方體框架，并在各個面上釘上鐵皮，做這個正方體至少需要角鐵72dm，至少需要鐵皮216dm2。
7．50
【分析】長方體玻璃魚缸的前面是一個長為1m，寬為5dm的長方形，所以按照長方形面積＝長×寬計算即可。
【詳解】1m＝10dm
10×5＝50（）
所以修理時需要配上的玻璃面積是50。
8．48
【分析】求水池的占地面積也就是求這個長方體的底面的面積，根據長方形的面積公式：s＝ab，把數據代入公式解答即可。
【詳解】8×6＝48（平方米）
這個水池的占地面積是48平方米。
9．45
【分析】觀察可知，這個長方體的長是9分米，寬是5分米，高是6分米，紙盒上面的長方形相鄰的兩條邊是9分米和5分米，這兩條邊分別就是這個長方形的長和寬，根據長方形的面積＝長×寬，據此解答。
【詳解】（平方分米）
這個紙盒上面的面積是45平方分米。
10．90
【分析】根據題意，長方體的高增加3cm，表面積增加了60cm2，變成一個正方體，說明原來長方體的長、寬相等；增加的表面積是4個完全一樣的長方形的面積，長方形的寬是3cm，長是原來長方體的長或寬，用增加的表面積除以4，求出一個長方形的面積，再除以3，即可求出原來長方體的長、寬；再用長方體的長或寬加上3cm，即是原來長方體的高；
然后根據長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，求出原來長方體的表面積。
【詳解】原長方體的長、寬：
60÷4÷3
＝15÷3
＝5（cm）
原長方體的高：
5－3＝2（cm）
原長方體的表面積：
（5×5＋5×2＋5×2）×2
＝（25＋10＋10）×2
＝45×2
＝90（cm2）
原來長方體的表面積是90cm2。
11．1.5平方分米
【分析】圖中正方體，棱長為0.5分米，正方體表面積＝棱長×棱長×6，運用小數乘法計算得出答案。
【詳解】0.5×0.5×6
＝0.25×6
＝1.5（平方分米）
圖形的表面積為1.5平方分米。
12．324平方分米
【分析】長方體種植箱沒有上面，所以制作這個種植箱需木板的面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2。
【詳解】13×4＋（13×8＋4×8）×2
＝13×4＋（104＋32）×2
＝13×4＋136×2
＝52＋272
＝324（平方分米）
答：制作這個種植箱需要324平方分米木板。
13．7.92平方分米
【分析】在長方體紙箱的四周貼上商標紙（上下面不貼），就是求它的側面積，根據側面積＝（長×高＋寬×高）×2解答即可。
【詳解】（2.5×1.2＋0.8×1.2）×2
＝（3＋0.96）×2
＝3.96×2
＝7.92（平方分米）
答：商標紙的面積是7.92平方分米。
14．137.5平方米；1100元
【分析】要計算教室需要粉刷的面積，需要分別計算出屋頂和四壁的面積，然后再減去門窗的面積。屋頂的面積為長乘寬，四壁的面積為兩個長乘高的面加上兩個寬乘高的面。計算出總面積后，乘每平方米的涂料費就能得出總花費。
【詳解】屋頂面積：9×6＝54（平方米）
四壁面積：
前后兩個面（長乘高）：2×9×3.5＝63（平方米）
左右兩個面（寬乘高）：2×6×3.5＝42（平方米）
總面積：54＋63＋42＝159（平方米）
粉刷面積：159－21.5＝137.5（平方米）
花費：137.5×8＝1100（元）
答：粉刷的面積是137.5平方米，粉刷這個教室需要花費1100元。
15．53.7平方分米
【分析】這個募捐箱的表面積等于正方體的表面積減去長1分米，寬3厘米的長方形的面積，根據正方體的表面積＝棱長×棱長×6，長方形的面積＝長×寬，代入數據解答即可。
【詳解】3×3×6＝54（平方分米）
3厘米＝0.3分米
1×0.3＝0.3（平方分米）
54－0.3＝53.7（平方分米）
答：這個募捐箱的表面積是53.7平方分米。
16．（1）275厘米
（2）5400平方厘米
（30）A；理由見詳解
【分析】（1）根據題意，用絲帶包扎棱長為30厘米的正方體禮品盒，觀察圖形可知，包扎這個禮品盒至少需要絲帶的長度＝8條棱長＋打結用的長度，據此解答。
（2）求做這個正方體包裝盒，至少需要紙板的面積，就是求正方體的表面積；根據正方體的表面積公式S＝6a2，代入數據計算求解。
（3）蛋糕的長、寬、高要比正方體包裝盒的棱長小，才能放進去；把A、B兩種蛋糕的長、寬、高與正方體的棱長進行比較，據此解答。
【詳解】（1）30×8＋35
＝240＋35
＝275（厘米）
答：包扎這個禮品盒一共需要彩帶275厘米。
（2）30×30×6
＝900×6
＝5400（平方厘米）
答：至少需要5400平方厘米紙板。
（3）A：20＜30，25＜30，26＜30；
B：30＝30，32＞30，5＜30；
答：紅紅買的是A規格蛋糕。因為蛋糕需放進盒子里，所以蛋糕的長、寬、高要比正方體紙盒的棱長小，A規格蛋糕符合要求，而B規格蛋糕中32＞30，不能放進盒子里。
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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