資源簡介

第四章　圖形的相似
1　成比例線段
1．理解和掌握兩條線段的比的概念，會計算兩條線段的比．
2．理解和掌握成比例線段的定義和性質．
3．能應用比例的性質解決相關的問題．
重點
掌握成比例線段的定義和性質．
難點
會運用比例的基本性質解決問題．
一、情境導入
課件出示下圖，提出問題：請觀察下列幾幅圖片，你能發現些什么？你能對觀察到的圖片特點進行歸納嗎？
學生：這些圖片都是形狀相同、大小不同的圖形．它們之所以大小不同，是因為它們圖上對應的線段的長度不同．
二、探究新知
1．兩條線段的比的概念
教師：請同學們回憶，什么叫兩個數的比？怎樣度量線段的長度？怎樣比較兩條線段的長短？
學生：兩個數相除又叫兩個數的比，如a÷b記作a∶b；度量線段時要選用同一個長度單位，比較線段的長短就是比較兩條線段長度的大小．
教師：由比較線段的長短就是比較兩條線段長度的大小，大家能猜想線段的比嗎？
學生：兩條線段的比就是兩條線段長度的比．
教師：線段a的長度為3 cm，線段b的長度為6 m，所以線段a，b的比為3∶6＝1∶2，對嗎？請說明理由．
學生：因為a，b的長度單位不一致，所以不對．
教師：那么，應怎樣定義兩條線段的比，以及求線段的比時應注意什么問題呢？
學生思考后舉手回答，教師點評，并講解：
如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB，CD的長度分別是m，n，那么這兩條線段的比就是它們長度的比，即AB∶CD＝m∶n，或寫成＝.其中，線段AB，CD分別叫做這個線段比的前項和后項．如果把表示成比值k，則＝k，或AB＝k·CD.兩條線段的比實際上就是兩個數的比．
強調：在量線段時要選用同一個長度單位．
2．比例線段的概念
課件出示教材第77頁圖4－3，提出問題：
如圖，設小方格的邊長為1，四邊形ABCD與四邊形EFGH的頂點都在格點上，那么AB，AD，EF，EH的長度分別是多少？
分別計算，，，的值，你發現了什么？
學生獨立完成，教師引導學生得出比例線段的概念：
四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即＝，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．
3．比例的基本性質
教師：如果a，b，c，d四個數成比例，即＝，那么ad＝bc嗎？反過來，如果ad＝bc，那么a，b，c，d四個數成比例嗎？
學生小組討論交流得出比例的基本性質：
如果＝，那么ad＝bc.
如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
4．等比性質
(1)課件出示：
①如圖，已知＝＝3，求和；
②如果＝＝k(k為常數)，那么＝成立嗎？為什么？
學生完成后給出答案，教師點評．
(2)課件出示：
①如果＝，那么＝成立嗎？為什么？
②如果＝＝(b＋d＋f≠0)，那么＝成立嗎？為什么？
③如果＝，那么＝成立嗎？為什么？
學生分小組討論后舉手回答，教師講評．
解：①如果＝，那么＝.
∵＝，
∴－1＝－1.
∴＝.
②如果＝＝(b＋d＋f≠0)，那么＝.
設＝＝＝k，
∴a＝bk，c＝dk，e＝fk.
∴＝＝＝k＝.
引導學生歸納：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.
③如果＝，那么＝.
∵＝，
∴＋1＝＋1.
∴＝.
由①得＝，
∴＝.
三、舉例分析
例1　(課件出示教材第78頁例1)
學生獨立完成后匯報答案，教師點評．
例2　(課件出示教材第80頁例2)
學生獨立完成后匯報答案，教師點評．
四、練習鞏固
1．教材第79頁“隨堂練習”第1～3題．
2．教材第80頁“隨堂練習”．
五、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．比例線段的概念是什么？
3．比例的性質有哪些？
六、課外作業
1．教材第79頁習題4.1第1，2題．
2．教材第81頁習題4.2第1，2題.
本節課主要學習比例線段的概念及性質．成比例線段的概念，在后續學習中需要用到，是學生后續學習的基礎，也是本節課研究比例性質的一個基礎性概念．對學生而言，這個概念基于圖形背景中，比較直觀，學生比較容易理解．比例的性質，則是后續研究相似圖形性質的基礎，同時也可以為分式運算提供一些便捷，而且比例性質的尋求與說理過程中，蘊含著一些基本的數學方法，可以遷移運用到后續知識的學習中，是本節課重要的教學任務．
2　平行線分線段成比例
1．理解和掌握平行線分線段成比例的基本事實及推論．
2．會用平行線分線段成比例解決問題．
3．培養學生認識事物從一般到特殊的認知過程．
重點
掌握平行線分線段成比例的基本事實及推論．
難點
靈活運用平行線分線段成比例解決問題．
一、復習導入
1．什么叫比例線段？
學生：四條線段 a，b，c，d 中，如果 ＝，那么這四條線段a，b，c，d 叫做成比例線段，簡稱比例線段．
2．比例線段有哪些性質？
學生：如果＝，那么ad ＝bc.
如果 ad ＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
如果 ＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.
二、探究新知
1．平行線分線段成比例的基本事實
課件出示教材第82頁圖4－6，圖4－7及相關問題．
學生分小組討論，教師引導學生得出平行線分線段成比例的基本事實：
兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．
2．平行線分線段成比例的推論
課件出示：
(1)如果把圖①中l1, l2兩條直線相交，交點A剛好落到l3上(如圖②)所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？
學生分小組討論，教師引導學生得出平行線分線段成比例的推論：
平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例．
(2)如果把圖①中l1, l2兩條直線相交，交點A剛好落到l4上(如圖②)，所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？
學生分小組討論，教師引導學生得出結論：
平行于三角形一邊的直線與其他兩邊的延長線相交，截得的對應線段成比例．
三、舉例分析
例　(課件出示教材第83頁例題)
學生獨完成后給出答案，教師點評．
四、練習鞏固
1．教材第84頁“隨堂練習”．
2．如圖，點D，E，F分別在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC.求證：OD∶OA＝OE∶OB.
五、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．平行線分線段成比例的基本事實及其推論分別是什么？
六、課外作業
教材第84～85頁習題4.3第1～4題．
“平行線分線段成比例”是平面幾何的一個重要基本事實，它是研究相似圖形的最重要和最基本的理論，一方面它可以直接判定線段成比例，另一方面，當不能直接證明要證的比例成立時，常用這個基本事實把兩條線段的比“轉移”成另兩條線段的比．把平行線分線段成比例應用在三角形上，就得到了一個重要的推論，這個推論是判定三角形相似的理論基礎．在教學過程中，以學生為主體，教師引導學生自主探究，合作交流，認知新的知識，培養學生自主學習與合作學習相結合的學習方式，提高學生的學習興趣．
3　相似多邊形
1．了解相似多邊形和相似比的定義，會根據相似多邊形的定義判斷兩個多邊形是否相似．
2．能運用相似多邊形的性質解決簡單的幾何問題．
重點
了解相似多邊形的定義，判斷兩個多邊形是否相似．
難點
能運用相似多邊形的性質解決簡單的幾何問題．
一、情境導入
教師：在生活中，我們常會看到這樣一些圖片(課件出示下圖)．觀察下列各組圖片，你發現了什么？你能得出什么結論？
二、探究新知
1．課件出示形狀相同的正三角形ABC與正三角形A1B1C1，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1，正五邊形ABCDE與正五邊形A1B1C1D1E1，提出問題：
(1)在每組圖形中，是否有對應相等的內角？設法驗證你的猜測．
(2)在每組圖形中，夾相等內角的兩邊是否成比例？
學生思考后給出答案，教師點評．
2．課件出示形狀相同的六邊形ABCDEF和六邊形A1B1C1D1E1F1，提出問題：
(1)在這兩個多邊形中，是否有對應相等的內角？設法驗證你的猜測．
(2)在這兩個多邊形中，夾相等內角的兩邊是否成比例？
學生分組討論后給出答案，教師點評，并講解：
圖中的六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1是形狀相同的多邊形，其中∠A與∠A1，∠B與∠B1，∠C與∠C1，∠D與∠D1，∠E與∠E1，∠F與∠F1分別相等，稱為對應角；AB與A1B1，BC與B1C1，CD與C1D1，DE與D1E1，EF與E1F1，FA與F1 A1的比都相等，稱為對應邊．
教師：回憶一下，我們剛才探究過的每一組多邊形，你能發現它們的共同特點嗎？
引導學生總結相似多邊形的概念：各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形．例如，在上圖中六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1相似，記作六邊形ABCDEF∽六邊形A1B1C1D1E1F1，“∽”讀作“相似于”．相似多邊形對應邊的比叫做相似比．
教師強調以下幾點：
(1)在記兩個多邊形相似時，要把對應頂點的字母寫在對應的位置上．
(2)相似多邊形的定義既是最基本、最重要的判定兩個多邊形相似的方法，也是最本質、最重要的性質．
(3)相似比有順序性．例如，五邊形ABCDE∽五邊形A1B1C1D1E1，對應邊的比為＝＝＝＝＝.因此五邊形ABCDE與五邊形A1B1C1D1E1的相似比k1＝，五邊形 A1B1C1D1E1與五邊形ABCDE的相似比k2＝.
(4)相似比為1的兩個圖形是全等形. 因此全等形是相似圖形的特殊情況．
三、舉例分析
例1　(1)觀察下面兩組圖形，圖①中的兩個圖形相似嗎？
(2)圖②中的兩個圖形相似嗎？為什么？你從中得到什么啟發？
引導學生得出：如果兩個多邊形不相似，它們的對應角可能都相等；如果兩個多邊形不相似，對應邊也可能成比例．但如果兩個多邊形不相似，那么它們不可能各角對應相等且各邊對應成比例．
例2　一塊長3 m、寬1.5 m的矩形黑板如圖所示，鑲在其外圍的木質邊框寬7.5 cm.邊框的內外邊緣所成的矩形相似嗎？為什么？
學生思考后給出答案，教師點評并提問：
如果鑲的縱向邊框寬7.5 cm，那么當鑲的橫向邊框寬為多少時，邊框的內外邊緣所成的矩形相似？
學生分組討論后舉手回答，教師點評．
四、練習鞏固
1．教材第87～88頁“隨堂練習”第1，2題．
2．如圖所示的兩個矩形相似嗎？為什么？如果相似，相似比是多少？
五、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．相似多邊形的概念是什么？
3．相似比的概念是什么？
六、課外作業
教材第88頁習題4.4第1～4題．
本節課在探索相似多邊形定義的過程中，我刻意地回避了“兩個圖形的形狀相同嗎”的問題，而是直接明確指出兩個圖形相似，然后探索相似的本質特征．因為我認為形狀相同沒有一個明確的定義(實質就是相似)，只是一種感性的認識，這種認識會影響到黑板邊框內外邊緣是否相似的正確判斷．從教學效果看這樣處理減少了學生判斷黑板邊框問題的錯誤．
4　探索三角形相似的條件
第1課時　相似三角形和判定定理1
1．理解相似三角形的定義，掌握相似三角形的判定定理1.
2．初步掌握相似三角形判定定理1的應用．
重點
理解相似三角形的定義和相似三角形的判定定理1.
難點
相似三角形判定定理1的理解及應用．
一、情境導入
教師：請同學們都拿出文具盒中的三角板，觀察它們與老師手中的木制三角板有什么關系？
學生：它們對應角相等，對應邊成比例．
二、探究新知
1．相似三角形的定義
教師：根據上面的關系，以及相似多邊形的定義，你能說出相似三角形的定義嗎？
引導學生得出：三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．
2．相似三角形的判定定理1
教師：若給定兩個三角形，你有什么辦法來判定它們是否相似？能否類比兩個三角形全等的條件，來尋找判定兩個三角形相似的條件呢？如果可以，我們可以從哪些條件開始找呢？
(1)教師：任意畫一個△ABC，使∠ABC滿足下面給定的條件之一．與同伴交流，你們所畫的三角形相似嗎？
①使∠ABC＝60°；
②使∠ABC＝90°；
③使∠ABC＝120°；
④使∠ABC＝∠α.
學生合作交流，引導得出結論：如果兩個三角形只有一個角對應相等時，不能判定兩個三角形相似．
(2)教師：如果有兩個角對應相等的兩個三角形，能否判定這兩個三角形相似？與同伴合作，一人畫△ABC，另一人畫△A′B′C′ ，使△ABC和△A′B′C′滿足下列條件之一．比較你們所畫的三角形，∠C 與∠ C′相等嗎？對應邊的比相等嗎？三角形相似嗎？
①使得∠A，∠A′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于60°；
②使得∠A，∠A′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于90°；
③使得∠A，∠A′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于120°；
④使得∠A，∠A′都等于α， ∠B 和∠ B′都等于β.
引導學生得出相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似．
三、舉例分析
例1　判斷下列說法是否正確．
(1)所有的等腰三角形都相似；
(2)所有的等腰直角三角形都相似；
(3)所有的等邊三角形都相似；
(4)所有的直角三角形都相似；
(5)有一個角是120°的兩個等腰三角形相似；
(6)有一個角是60°的兩個等腰三角形相似；
學生舉手回答，教師點評．
例2　(課件出示教材第89頁例1)
學生獨立完成，指名匯報，教師點評．
四、練習鞏固
1．教材第90頁“隨堂練習”第1，2題．
2．如圖，點F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長線于點E，在不添加輔助線的情況下，與△AEF相似的三角形有(　　)
A．0個　　B．1個　　C．2個　　D．3個
五、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．什么是相似三角形？
3．相似三角形的判定定理1的內容是什么？
六、課外作業
教材第90頁習題4.5第1～3題．
本節課是探索三角形相似的條件的第一課時——相似三角形和判定定理1，是初中數學學習的重點內容之一，對學生的能力培養與訓練有著重要的地位．在課堂上，通過類比、觀察等方式，讓學生自行總結相似三角形的定義，再通過合作交流、畫圖等方式，讓學生探討出相似三角形的判定定理1，并且學會運用定理，培養學生分析觀察能力和總結能力．在教學過程中，以學生為主體，教師引導學生自主探究，合作交流，認知新的知識，培養學生自主學習與合作學習相結合的學習方式，提高學生的學習興趣．
第2課時　相似三角形的判定定理2和3
1．掌握三角形相似的判定定理2和3.
2．能利用相似三角形的判定定理2和3解決問題．
重點
掌握三角形相似的判定定理2和3.
難點
相似三角形的判定定理2和3的應用．
一、復習導入
1.判定三角形相似目前有哪些方法？
2．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，對角線BD⊥DC.
(1)△ABD與△DCB相似嗎？請說明理由．
(2)如果AD＝4，BC＝9，你能求出BD的長嗎？
(學生認真讀題，觀察圖形，運用學過的判定相似的方法以及相似性質，討論得出結果)
分析：△ABD∽△DCB.因為∠A＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠DBC，故而這兩個三角形相似；由＝，故BD＝6.
教師：現在我們已經有兩種方法可以判定兩個三角形相似，一種是定義，一種是判定定理1，除此之外，是否還有其他的方法來判定兩個三角形相似？這一問題就是本節課我們需要研究的問題．
二、探究新知
1．相似三角形的判定定理2
教師：我們知道，相似三角形的各邊成比例，如果兩個三角形有兩邊成比例，它們一定相似嗎？與同伴交流．
學生：兩邊成比例的兩個三角形不一定相似．
教師：如果再增加一個條件，你能說出有哪幾種可能的情況嗎？
學生思考后給出答案，教師點評．
教師：我們先來考慮增加一角相等的情況．
課件出示：
畫△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于給定的值k.設法比較∠B與∠B′(或 ∠C與∠C′)的大小．
(1) △ABC和△A′B′C′相似嗎？
(2)改變k值的大小，再試一試．
學生完成后給出答案，教師點評，引導學生得出相似三角形的判定定理2：
兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．
教師：想一想，如果△ABC和△A′B′C′兩邊成比例，且其中一邊所對的角相等，那么這兩個三角形一定相似嗎？
要求學生先畫出圖形，教師展示學生的圖形，并提出問題：由此你能得到什么結論？
2．相似三角形的判定定理3
教師：如果兩個三角形的三邊成比例，那么這兩個三角形一定相似嗎？
學生小組內討論，教師巡視．
課件出示：
畫△ABC和△A′B′C′，使，和都等于給定的值k.設法比較∠A與∠A′的大小．
(1)△ABC和△A′B′C′相似嗎？說說你的理由．
(2)改變k值的大小，再試一試．
學生分小組討論并給出答案，教師點評，引導學生得出相似三角形的判定定理3：
三邊成比例的兩個三角形相似．
3．總結
教師：在這兩節課中我們已經學完了三角形相似的判定方法，下面請大家總結判定三角形相似有幾種方法？
第一種：對應角相等，對邊成比例的兩個三角形相似．即定義法．
第二種：兩角對應相等的兩個三角形相似．
第三種：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．
第四種：三邊對應成比例的兩個三角形相似．
強調：從這四種方法中我們可以看出，第一種判定方法比較麻煩，需要研究三對角、三對邊，而后面的幾種方法最多只需要研究三對邊或角，因此定義法一般不利用．如果已知條件只涉及角，就用第二種判定方法；如果既有角又有邊，則可考慮用第三種方法判斷；如果已知條件只涉及邊，就用第四種判定方法．(教師最好用實例引導)
三、舉例分析
例1　圖①中是否有相似的三角形？圖②中的兩個三角形是否相似？
學生思考后給出答案，教師點評．
例2　(課件出示教材第91頁例2)
例3　(課件出示教材第94頁例3)
學生獨立完成后匯報答案，教師點評．
四、練習鞏固
1．教材第92頁“隨堂練習”．
2．教材第94頁“隨堂練習”．
五、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．相似三角形的判定定理2和3分別是什么？
六、課外作業
1．教材第93頁習題4.6第1，3題．
2．教材第95頁習題4.7第1，2題．
本節課是探索三角形相似的條件的第二課時——相似三角形的判定定理2和3，是初中數學學習的重點內容之一，對學生的能力培養與訓練有著重要的地位．在課堂上，讓學生動手實踐，合作交流，總結出相似三角形的判定定理2和3，培養學生分析觀察能力和總結能力．通過講練結合，學會運用定理，加深學生對新知的認識．在教學過程中，以學生為主體，教師引導學生自主探究，合作交流，認知新的知識，培養學生自主學習與合作學習相結合的學習方式，提高學生的學習興趣．
第3課時　黃金分割
1．理解和掌握黃金分割的定義．
2．理解黃金比的含義，會找一條線段的黃金分割點．
3．會判斷某一點是否為一條線段的黃金分割點．
重點
黃金分割的意義和簡單應用．
難點
掌握尋找黃金分割點的方法．
一、情境導入
課件出示與“黃金分割”有關的圖片，提出問題：
(1)芭蕾舞演員做相同的動作，踮腳尖和不踮腳尖，哪個更美？
(2)為什么身材苗條的模特還要穿高跟鞋？
(3)為什么世界第三高塔的上海東方明珠塔那么璀璨壯觀？
學生小組討論后給出答案，教師點評．
教師：美是一種感覺，本應沒有什么客觀的標準，但在這些問題中，我們對美的認同的確是比較一致的，為什么這些圖形會給人以美的感覺呢？這些美的事物是否存在內在的規律呢？和我們的數學知識有沒有聯系呢？這就是我們今天要研究的“黃金分割”．
二、探究新知
1．黃金分割的定義
課件出示一個五角星：
教師：在五角星圖案中，大家用刻度尺分別度量線段AC，BC的長度，然后計算，，它們之間有什么關系？
學生：＝.
引導學生得出：點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．
2．計算黃金比
教師：那么AC與AB的比是多少呢？
學生計算后給出答案，教師點評并板書具體解題過程：
由＝ ，得AC2＝AB·BC.
設AB＝1，AC＝x，則BC＝1－x.
∴x2＝1×(1－x)，
即x2＋x－1＝0.
解這個方程，得
x1＝，x2＝(不合題意，舍去)．
所以，＝≈0.618.
教師：AC與AB的比叫做黃金比．其中≈0.618.
3．找黃金分割點的方法
(1)課件出示：
如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：
①經過點B作BD⊥AB，使BD＝AB.
②連接DA，在DA上截取DE＝DB.
③在AB上截取AC＝AE.則點C為線段AB的黃金分割點．
教師：能說說其中的道理嗎？
教師：若點C為線段AB的黃金分割點，則點C分線段AB所成的兩條線段AC，BC間需滿足＝.下面請大家進行驗證．有困難時可以互相交流．為了計算方便，可設AB＝1.
學生獨立完成后給出答案，教師點評．
(2)教師：采用如下的方法也可以得到黃金分割點．
①如圖，設AB是已知線段．
②以AB為邊作正方形ABCD.
③取AD的中點E，連接EB.
④延長DA至點F，使EF＝EB.
⑤以線段AF為邊作正方形AFGH.
⑥點H就是AB的黃金分割點．
教師：你能說說這種作法的道理嗎？
學生分小組討論后給出答案，教師講解．
解：設AB＝1，那么在Rt△BAE中，
BE＝＝＝.
EF＝BE＝，
AH＝AF＝BE－AE＝－＝.
BH＝AB－AH＝1－＝.
因此＝，點H是AB的黃金分割點．
三、練習鞏固
當節目主持人站在舞臺的黃金分割點時，觀眾看起來是最協調的．已知一舞臺長為10 m，節目主持人應站在距離舞臺一端________處觀眾觀看最協調．(精確到0.1 m)
四、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．黃金分割點與黃金比的定義分別是什么？
3．說一說找黃金分割點的方法．
五、課外作業
教材第98頁習題4.8第1～3題．
“黃金分割”作為《新課程標準》明確提出的內容，在進一步強化線段的比、成比例線段的基礎上，注重體現數學的文化價值，有意識引導學生從文化角度把握“黃金分割”這一數學瑰寶，豐富了學生對數學發展的整體認識，對后續新課的學習有著激勵作用．在教學過程中，學生要經歷“觀察”和“思維”兩大基本層次來誘導學生認識客觀世界的本質和規律．學生的求知欲被激發起來后，教師應及時將其引入理性認識的軌道．
5　相似三角形判定定理的證明
1．能夠熟練地掌握證明相似三角形的判定定理．
2．經歷探索相似三角形判定定理的證明過程，培養學生的合情推理能力．
重點
相似三角形判定定理的證明．
難點
合理添加輔助線．
一、復習導入
教師：相似三角形的判定定理有哪些？
學生：兩角分別相等的兩個三角形相似．
兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．
三邊成比例的兩個三角形相似．
教師：在前面，我們探索了三角形相似的條件，今天我們將對這些定理進行證明．
二、探究新知
1．證明三角形的判定定理1
課件出示：
如圖，在 △ABC 和△A′B′C′ 中，∠A ＝ ∠A′，∠B＝∠B′. 求證：△ABC ∽△A′B′C′.
學生思考完成后，教師板書證明過程．
證明：在 △ABC 的邊 AB(或它的延長線)上截取AD ＝A′B′，過點D作BC的平行線，交 AC 于點E，則∠1＝∠B，∠2 ＝∠C，＝.
過點 D 作 AC 的平行線，交 BC 于點 F，則
＝.
∴＝.
∵ DE∥BC, DF∥AC，
∴ 四邊形 DFCE 是平行四邊形．
∴ DE ＝ CF.
∴＝.
∴＝＝.
而∠1＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠2＝∠C，
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′，
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
2．證明三角形的判定定理2
課件出示：
如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，＝.求證：△ABC∽△A′B′C′.
指名學生到黑板寫下證明過程，教師點評．
3．證明三角形的判定定理3
課件出示：
如圖，在△ABC和△A′B′C′中，＝＝.求證：△ABC∽△A′B′C′.
指名學生到黑板寫下證明過程，教師點評．
強調：證明兩個三角形相似，可以通過畫輔助線來幫助解決．
三、舉例分析
例　如圖，∠ABD＝∠C，AD＝2，AC＝8，求AB的長．
學生分小組討論后舉手回答，教師點評并板書解答過程．
解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△ACB.
∴AB：AC＝AD：AB.
∴AB2＝AD·AC.
∵AD＝2，AC＝8，
∴AB＝4.
四、練習鞏固
如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝7，求AD的長．
五、小結
通過本節課的學習，你有什么收獲？
六、課外作業
教材第102頁習題4.9第1～4題．
本節課的內容是相似三角形判定定理的證明，是在學生對三角形之間的全等關系已有深度的認識，在學行線分線段成比例、相似三角形的定義、探索相似三角形的條件等知識的基礎上進行教學的．它既是對前面所學知識的綜合應用，也是對這些知識的拓展與延伸．本節課要求學生了解和掌握相似三角形的判定定理，并且學會運用．課堂上，注重證明過程的書寫，讓學生更加規范證明過程與步驟，提高學生的綜合語言能力和分析能力，培養學生分析問題的條理性．積極調動學生的學習氣氛，提高學習興趣．
6　利用相似三角形測高
1．在測量旗桿高度的具體問題情境中，通過構建數學模型，進一步理解相似三角形的概念．
2．了解平行投影的意義和平行投影在生活中的運用，增強用數學的意識．
重點
綜合運用相似三角形的有關知識求物體的高度．
難點
從實際問題中，建立數學模型．
一、復習導入
教師：判定三角形相似的定理有哪些呢？
學生：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似．
教師：今天我們要做一節活動課，任務是利用三角形相似的有關知識，測量我校操場上旗桿的高度．
二、探究新知
1．分析原理
教師：請同學們自學教材第103～104頁的內容，小組討論交流三種測量方法的數學原理．
甲組：利用陽光下的影子．
出示下圖：
從圖中我們可以看出人與陽光下的影子和旗桿與陽光下的影子構成了兩個相似三角形(如圖①)，即△EAD∽△ABC，因為直立于旗桿影子頂端處的同學的身高和他的影長以及旗桿的影長均可測量得出，根據＝可得BC＝，代入測量數據即可求出旗桿BC的高度．
乙組：利用標桿．
出示下圖：
如圖②，當旗桿頂部、標桿的頂端與眼睛恰好在一條直線上時，因為人所在直線AD與標桿、旗桿都平行，過眼睛所在點D作旗桿BC的垂線交旗桿BC于點G，交標桿EF于點H，于是得到△DHF∽△DGC.
因為可以測量AE，AB，觀測者身高AD，標桿長EF，且DH＝AE，DG＝AB.
由＝，得GC＝.
∴旗桿高度BC＝GC＋GB＝GC＋AD.
丙組：利用鏡子的反射．
出示下圖：
這里涉及物理上的反射鏡原理，觀測者看到旗桿頂端在鏡子中的像是虛像，是倒立旗桿的頂端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC，∴△EAD∽△EBC.測出AE，EB與觀測者的身高AD，根據＝，可求得BC＝.
2．實踐活動
教師：同學們清楚原理后，請按我們事先分好的三大組進行活動，每組分出三個小組分別實施這三種方法，測量我校操場上的旗桿高度．要求每小組中有觀測員、測量員、記錄員、運算員、復查員．
學生實際測量，教師巡視指導．
結合各組實際操作中遇到的問題，綜合學生討論情況做出如下結論：
(1)測量中允許有正常的誤差．
(2)方法一與方法三誤差范圍較小，方法二誤差范圍較大，因為肉眼觀測帶有技術性，不如直接測量、儀器操作得到數據準確．
(3)大家一致認為方法一簡單易行，是個好辦法．
(4)方法三用到了物理知識，可以考查我們綜合運用知識解決問題的能力．
教師：現在各組都得到了要求數據和最后結果，請各組出示結果，并討論下列問題：
(1)你還有哪些測量旗桿高度的方法？
(2)今天所用的三種測量方法各有哪些優缺點？
三、練習鞏固
1．教材第104～105頁“讀一讀”．
2．高4 m的旗桿在水平地面上的影長6 m，此時測得附近一個建筑物的影長24 m，求該建筑物的高度．
四、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．測量旗桿的高度有哪些方法？
3．這幾種測量方法各有哪些優缺點？
五、課外作業
教材第105頁習題4.10第2～4題．
本節課的內容是利用相似三角形測高．它將生活中一些無法直接測量物體高度的實際問題轉化成數學問題，利用學生已有的相似三角形的知識采用不同的方法給予解決．通過對此問題的解決方法的探究，滲透數形結合和建模的思想，從而提高學生解決實際問題的能力，增強應用意識．學生在本章前面幾節課中，學習了相似三角形的判定和性質，初步了解了相似三角形的特征，掌握了兩個三角形相似的條件，具備了利用三角形相似來解決實際生活中的具體問題的基本知識．本節課在探究環節采用小組合作的形式，提高學生的動手能力與合作能力．調動學生的學習積極性．
7　相似三角形的性質
1．理解相似三角形的性質定理．
2．利用相似三角形的性質定理解決問題．
重點
理解相似三角形的性質定理．
難點
利用相似三角形的性質定理解決問題．
一、復習導入
1．什么樣的兩個三角形相似？相似三角形的相似比指的是什么？
2．當兩個相似三角形的相似比為1時，這兩個三角形有何特殊關系？
3．全等三角形有哪些性質？三條主要線段：對應高、對應中線、對應角平分線有何關系？
教師：相似三角形又有哪些性質呢？本節課我們將共同探討．
二、探究新知
1．相似三角形的性質定理1
課件出示：
如圖，小王依據圖紙上的△ABC，以3：4的比例制作了三角形零件△A′B′C′，CD和C′D′分別是它們的高．
(1)，，各等于多少？
(2)△ABC與△A′B′C′相似嗎？如果相似，請說明理由，并指出它們的相似比．
(3)請你在圖中再找出一對相似三角形．
(4)等于多少？你是怎么做的？與同伴交流．
解：(1)＝＝＝.
(2)△ABC∽△A′B′C′.理由：
∵＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比為3∶4.
(3)△BCD∽△B′C′D′.(△ADC∽△A′D′C′)
∵由△ABC∽△A′B′C′，得∠B＝∠B′.
∵∠BDC＝∠B′D′C′＝90°，
∴△BCD∽△B′C′D′(同理△ADC∽△A′D′C′)．
(4)∵△BDC∽△B′D′C′，
∴＝ ＝.
課件出示：
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′的相似比為k.
(1)如果CD和C′D′是它們的對應高，那么等于多少？
(2)如果CD和C′D′是它們的對應角平分線，那么等于多少？如果CD和C′D′是它們的對應中線呢？
學生互相交流后寫出過程．教師點評，并引導學生得出相似三角形的性質定理1：
相似三角形對應高的比、對應角平分線的比對應中線的比都等于相似比．
2．相似三角形的性質定理2
課件出示：
(1)如果△ABC∽△A′B′C′，相似比為2，那么△ABC與△A′B′C′的周長比是多少？面積比呢？
(2)如果△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，那么你能求出△ABC與△A′B′C′的周長和面積比嗎？
解：(1)周長比為2，面積比為4.
(2)由已知，得＝＝＝k.
∴＝＝k.
分別作△ABC和△A′B′C′的高CD和C′D′.
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴＝＝k(相似三角形對應高的比等于相似比)
∴＝＝·＝k2.
引導學生得出相似三角形的性質定理2：
相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
課件出示：
如圖，四邊形A1B1C1D1∽四邊形A2B2C2D2，相似比為k.
(1)四邊形A1B1C1D1與四邊形A2B2C2D2的周長比是多少？
(2)連接相應的對角線A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1與△A2B2C2相似嗎？△A1C1D1與△A2C2D2呢？如果相似，它們的相似比各是多少？為什么？
(3)設△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面積分別是S△A1B1C1, S△A1C1D1，S△A2B2C2，S△A2C2D2，那么，各是多少？
(4)四邊形A1B1C1D1與四邊形A2B2C2D2的面積比是多少？
(5)如果把四邊形換成五邊形，那么結論又如何呢？兩個相似的n邊形呢？
學生討論后給出答案，教師點評并引導學生得出：
相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
三、舉例分析
例1　(課件出示教材第107頁例1)
例2　(課件出示教材第110頁例2)
學生獨立完成，指名板演，教師點評．
四、練習鞏固
1．教材第107～108頁“隨堂練習”第1，2題．
2．教材第110頁“隨堂練習”．
五、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．相似三角形的性質定理有哪些？
六、課外作業
1．教材第108頁習題4.11第1，2題．
2．教材第111頁習題4.12第3題．
相似三角形的性質定理是解決有關實際問題的重要基礎，根據課標要求將理解相似三角形的性質定理作為本節課重點而將探究推導性質定理作為本節課難點．本節課對學生的評價，更多地應關注對學生學習的過程性評價．在整個教學過程中，我都將尊重學生在解決問題過程中所表現出的不同水平，盡可能地讓所有學生都能主動參與，并引導學生在與他人的交流中提高思維水平，發展學生的語言表達能力．
8　圖形的位似
1．了解位似多邊形及其有關概念，了解位似與相似的聯系和區別，掌握位似多邊形的性質．
2．掌握位似圖形的畫法，能夠利用畫位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小．
重點
掌握位似多邊形的有關概念、性質與畫圖．
難點
在直角坐標系中，以原點為位似中心的位似變換的性質．
一、情境導入
課件出示教材第113頁圖4－35，提出問題：
(1)它們是相似圖形嗎？
(2)圖形位置間有什么關系？你能找出一些規律嗎？
引導學生得出：它們的形狀相同，大小不同，是相似圖形，圖形上各組對應點的連線通過同一點．
二、探究新知
1．位似多邊形的相關概念
課件出示下圖，提出問題：圖中有多邊形相似嗎？如果有，那么這種相似有什么共同的特征？
學生觀察了解到有一類相似圖形，除具備相似的所有性質外，還有其特性，引導學生自己歸納出位似圖形的概念：
如果兩個相似多邊形任意一組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形， 這個點叫做位似中心．
注意：每組對應點與位似中心共線；不經過位似中心的對應線段平行．
教師：位似多邊形與相似多邊形有什么區別與聯系？
學生：位似多邊形任意一組對應點所在的直線都經過同一點，位似多邊形是特殊的相似變換．
2．位似多邊形的畫法
課件出示：
把圖①中的四邊形ABCD縮小到原來的.
分析：把原圖形縮小到原來的，也就是使新圖形上各頂點到位似中心的距離與原圖形各對應頂點到位似中心的距離之比為1∶2 .
畫法一：
(1)在四邊形ABCD外任取一點O；
(2)過點O分別作射線OA，OB，OC，OD；
(3)分別在射線OA，OB，OC，OD上取點A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝＝；
(4)順次連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，得到所要畫的四邊形A′B′C′D′，如圖②.
畫法二：
畫法三：
課件出示：
利用下面的方法可以近似地將一個圖形放大：
(1)將兩根長短相同的橡皮筋系在一起，聯結處形成一個結點．
(2)選取一個圖形，在圖形外取一個定點．
(3)將系在一起的橡皮筋的一端固定在定點，把一支鉛筆固定在橡皮筋的另一端．
(4)拉動鉛筆，使兩根橡皮筋的結點沿所選圖形的邊緣運動，當結點在已知圖形上運動一圈時，鉛筆就畫出了一個新的圖形．
這個新圖形與已知圖形形狀相同．
教師：請你用這種方法把一個已知圖形放大．
學生獨立操作完成，教師巡視指導．
3．在直角坐標系中位似多邊形的性質
課件出示：
(1)如圖，在平面直角坐標系中，△OAB三個頂點的坐標分別為O(0，0)，A(3，0)，B(2，3)．將點O，A，B的橫坐標、縱坐標都乘2，得到三個點，以這三個點為頂點的三角形與△OAB位似嗎？如果位似，指出位似中心和相似比．
如果將點O，A，B的橫坐標、縱坐標都乘－2呢？
(2)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別為O(0，0)，A(5，0)，B(5，3)，C(2，4)，將點O，A，B，C的橫坐標、縱坐標都乘，得到四個點，以這四個點為頂點的四邊形與四邊形OABC位似嗎？如果位似，指出位似中心和相似比．
學生思考后給出答案，教師點評并引導學生得出：
在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘同一個數k(k≠0)，所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比是|k|.
三、舉例分析
例1　(課件出示教材第113頁例1)
學生獨立完成，指名不同畫法的學生板演，教師點評．
例2　(課件出示教材第117頁例2)
引導學生用不同畫法完成，教師巡視指導．
四、練習鞏固
1．教材第114頁“隨堂練習”．
2．教材第117頁“隨堂練習”．
五、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．說說位似多邊形的有關概念及其性質．
3．位似多邊形的畫圖方法有哪些？
4．在直角坐標系中，以原點為位似中心的位似變換的性質是什么？
六、課外作業
1．教材第115頁習題4.13第1，2題．
2．教材第118頁習題4.14第3題．
圖形的位似是圖形相似的延伸，位似圖形在實際生活中有著廣泛的應用．本節課的教學，我力爭面向每一位學生，營造良好的學習氛圍，激發每一個學生的學習熱情．從精美的圖片開始吸引學生的注意力，不僅引入自然、貼切，而且激發了學生學習的積極性．不足之處在于學生動手實踐圖形位似的畫法時，練習的時間較少，學生掌握得不夠熟練，應繼續加強練習．

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