資源簡介

第一章　特殊平行四邊形
1　菱形的性質與判定
第1課時　菱形的定義和性質
1．經歷從現實生活中抽象出圖形的過程，了解菱形的概念及其與平行四邊形的關系．
2．體會菱形的軸對稱性，經歷利用折紙等活動探索菱形性質的過程，發展合情推理的能力．
3．在證明菱形的性質和運用性質定理解決問題的過程中進一步發展學生的邏輯推理能力．
重點
理解并掌握菱形的概念與性質定理．
難點
菱形性質定理的證明及運用．
一、情境導入
課件出示教材第2頁情境圖，提出問題：
你能從這幾幅圖中發現你熟悉的圖形嗎？你認為它們有什么樣的共同特征呢？
學生：圖片中有八年級學過的平行四邊形．
教師：請同學們觀察，這些平行四邊形與下圖的平行四邊形ABCD相比較，還有什么不同點嗎？
學生：這些平行四邊形不僅對邊相等，而且任意兩條鄰邊也相等．
教師：同學們觀察得很仔細．像這樣，有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
二、探究新知
1．菱形的性質
教師：菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質．你能列舉一些這樣的性質嗎？
學生：菱形的對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分．
教師：同學們，你認為菱形還具有哪些特殊的性質？請你與同伴交流．
學生討論交流后，教師點評．
教師：請同學們用菱形紙片折一折，回答下列問題：
(1)菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關系？
(2)菱形中有哪些相等的線段？
學生分小組進行折紙活動后討論交流，回答問題，教師點評，并進一步講解：
①菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸．對稱軸是菱形對角線所在的直線，兩條對角線互相垂直．②菱形的四條邊相等．
2．證明菱形的性質
教師：通過折紙活動，同學們已經對菱形的性質有了初步的理解，下面我們要對菱形的性質進行嚴格的邏輯證明．
課件出示：
已知：如圖，在菱形ABCD中，AB＝AD，對角線AC與BD相交于點O.
求證：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD.
分析：①菱形不僅對邊相等，而且鄰邊相等，這樣就可以證明菱形的四條邊都相等．
②因為菱形是平行四邊形，所以點O是對角線AC與BD的中點；又因為在菱形中可以得到等腰三角形，這樣就可以利用“三線合一”來證明結論．
學生寫出證明過程，進行組內交流對比，教師點評．
證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的對邊相等)．
又∵AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD.
(2)∵AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形．
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB＝OD(菱形的對角線互相平分)．
在等腰三角形ABD中，
∵OB＝OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD.
三、舉例分析
例　如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O, ∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的邊長AB和對角線AC的長．
分析：①因為菱形的鄰邊相等，一個內角是60°，所以可以得到等邊△ABD，BD＝6，菱形的邊長也是6.
②由菱形的對角線互相垂直，可以得到直角△AOB；由菱形的對角線互相平分，可以得到OB＝3，根據勾股定理可以求出OA的長度；再一次根據菱形的對角線互相平分，即AC＝2OA，求出AC的長．
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD(菱形的四條邊相等)，
AC⊥BD(菱形的對角線互相垂直)，
OB＝OD＝BD＝×6 ＝3(菱形的對角線互相平分)．
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等邊三角形．
∴AB＝BD＝6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2＋OB2＝AB2，
∴OA＝＝＝3.
∴AC＝2OA＝6(菱形的對角線互相平分)．
四、練習鞏固
教材第4頁“隨堂練習”．
五、小結
1．什么叫做菱形？
2．菱形有哪些性質？
六、課外作業
教材第4～5頁習題1.1第1～4題．
本節課的主要教學內容為菱形的定義和性質．學生已經學行四邊形的性質，這是本節課的知識基礎．關于菱形的定義和性質，就是在平行四邊形的基礎上進一步強化條件得到的．課堂上通過折紙活動，讓學生直觀地感知圖形的特點，激發學生學習的興趣和積極性，教師要引導學生積極思考，抓住表面現象中的本質．在性質的證明和應用過程中，教師要鼓勵學生大膽探索新穎獨特的證明思路和方法，提倡證明方法的多樣性，并引導學生在與其他同學的交流中進行證明方法的比較，優化證明方法，有利于提高學生的邏輯思維水平．
第2課時　菱形的判定
1．探索證明菱形的判定方法，掌握證明的基本要求、方法及思路．
2．經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維．
3．經歷實際操作，探索菱形判定定理的證明過程，發展合情推理的能力．
4．在具體問題的證明過程中，有意識地滲透試驗論證、逆向思維的思想，提高學生解決問題的能力．
重點
菱形判定定理的證明及應用．
難點
菱形的判定方法的綜合運用．
一、復習導入
1．菱形的定義是什么？
2．菱形有哪些性質？
教師：同學們對菱形的性質都掌握得很好，那么怎樣判定一個四邊形是菱形呢？這就是我們這節課所要研究的內容．
二、探究新知
1．菱形的判定方法一
教師：根據菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．這可以作為菱形的第一種判定方法．
2．菱形的判定方法二
課件出示：用一長一短兩根細木條，在它們的中點處固定一個小釘，做成一個可動的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個四邊形．
教師轉動木條，提出問題：
(1)轉動木條，這個四邊形總有什么特征？
(2)繼續轉動木條，什么時候橡皮筋圍成的四邊形變成菱形？
引導學生猜想：當木條互相垂直時，平行四邊形的一組鄰邊相等，此時四邊形為菱形．
教師：你能證明你的猜想嗎？
學生獨立完成，指名板演，教師點評．
已知：如圖，在 ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC⊥BD.
求證： ABCD是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD是線段AC的垂直平分線．
∴BA＝BC.
∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義)．
3．菱形的判定方法三
教師：已知線段AC，你能用尺規作圖的方法作一個菱形ABCD，使AC為菱形的一條對角線嗎？
學生獨立嘗試作圖，教師點評，并進一步講解用尺規作菱形的方法：
如圖，分別以A，C為圓心，以大于AC的長為半徑作弧，兩條弧分別相交于點B，D，依次連接A，B，C，D.
教師：你能說明得到的四邊形為什么是菱形嗎？
學生小組討論交流，找到原因：該四邊形四邊相等．
教師：你能證明四邊相等的四邊形是菱形嗎？
學生獨立完成，指名板演，教師點評．
已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.
求證： 四邊形ABCD是菱形．
證明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
又∵AB＝BC，
∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義).
教師：你能用折紙等辦法得到一個菱形嗎？
學生動手操作，教師巡視指導．
三、舉例分析
例　已知：如圖，在 ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB＝，OA＝2，OB＝1.
求證： ABCD是菱形．
思考：(1)觀察題目中的數據，AB，OA，OB有什么數量關系？
(2)利用勾股定理的逆定理能否判定△ABO是直角三角形？
(3)如果可以得到直角三角形，那么利用菱形的哪一個判定定理進行判斷？
四、練習鞏固
1．教材第7頁“隨堂練習”．
2．教材第7頁習題1.2第1題．
五、小結
1．怎樣判定一個四邊形是菱形？
2．通過本節課的學習，你還學到了哪些知識？
六、課外作業
教材第7頁習題1.2第2，3題．
在本節課中，課前復習為本節課的探究作了有效的鋪墊．學生資源的靈活運用提高了學生參與探究的興趣，證明思路的分析過程讓學生體會了逆向思維、一題多解等數學思想．另外，學生通過經歷試驗—猜想—證明—應用的探索過程提高了自身的科學素養．
第3課時　菱形的性質與判定的應用
1．能靈活運用菱形的性質定理及判定定理解決一些相關問題，并掌握菱形面積的求法．
2．經歷菱形的性質定理及判定定理的應用過程，體會數形結合、轉化等思想方法．
重點
菱形的性質定理與判定定理的綜合應用及菱形面積的求法．
難點
等寬紙條交叉部分為菱形的證明及菱形面積的綜合應用．
一、復習導入
1．如圖①，在菱形ABCD中，AB＝6.
(1)求AD，DC，BC的長．
(2)對角線AC與BD有什么位置關系？
(3)若∠ADC＝120°，求AC的長．
圖①
　　　　圖②
2．如圖②，在 ABCD中添加一個條件使其成為菱形．
添加方式1：________________________________________________________________________.
添加方式2：________________________________________________________________________.
二、探究新知
1．課件出示：
如圖，四邊形ABCD是邊長為13 cm的菱形，其中對角線BD長10 cm.求：
(1)對角線AC的長度；
(2)菱形ABCD的面積．
解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠AED＝90°(菱形的對角線互相垂直)，
DE＝BD＝×10＝5(cm)(菱形的對角線互相平分)．
∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
AE＝＝＝12(cm)．
∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)(菱形的對角線互相平分)．
(2)S菱形ABCD＝ S△ABD＋ S△CBD
＝2×S△ABD
＝2××BD×AE
＝BD×AE
＝10×12
＝120( cm2)．
注意：學生對于第一個問題的解決比較容易，但是學生的書寫過程不規范；對于第二個問題，學生很容易求一邊上的高，經過討論、交流、點撥后學生能接受這種方法．在實際過程中教師應追問學生菱形的面積和對角線有什么關系，引起學生的思考，進而突破這一教學難點．
2．課件出示教材第87頁圖1－7，提出問題：兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分ABCD是菱形嗎？為什么？
分析：由圖可知，重疊部分為平行四邊形，且相鄰的兩邊對應的高相等，由平行四邊形的面積，可證平行四邊形ABCD為菱形．
三、舉例分析
例　(變式訓練)如上圖，四邊形ABCD是菱形，其中對角線BD長12 cm，AC長16 cm.求：
(1)菱形的邊長；
(2)菱形一條邊上的高．
分析：靈活運用菱形的面積等于對角線乘積的一半求出面積進而求出一邊上的高．
教師：同學們，在我們剛才完成的例題及變式訓練中你有什么感悟或經驗？
教師引導學生總結經驗，幫助學生形成解題思路．
四、練習鞏固
1．教材第9頁“隨堂練習”第1，2題．
2．教材第10頁習題1.3第5題．
五、小結
通過本節課的學習，你有哪些收獲？還有什么疑問？
六、課外作業
1．教材第9頁習題1.3第1～4題．
2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC與ED相交于點F.當AB與AC具有什么位置關系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積．
本節課的教學內容是菱形的性質定理與判定定理的綜合運用．通過課前復習，加深學生對菱形的性質定理及判定定理的記憶．在教學中，通過例題講解，幫助學生總結經驗并形成解題思路．學生對于幾何題的規范答題是在課堂上需要重點強調的，這是培養學生嚴謹細致的數學素養的一個手段．同時，在教學中應注意學生解題的反思過程，例如由例題及變式訓練完成反思過程后，學生的思維得到了升華，同時對于同類題目的突破方式有了初步的框架，能促進以后的學習，從本質上講學習就是在學生不斷反思中完成的．
2　矩形的性質與判定
第1課時　矩形的定義和性質
1．了解矩形的概念，理解并掌握矩形的性質定理．
2．經歷探索矩形的概念和性質定理的過程，發展學生合情推理的意識．
3．培養學生嚴謹的推理能力，掌握幾何思維方法，體會邏輯推理的思維價值．
重點
矩形的性質定理的理解及應用．
難點
矩形的性質定理的應用．
一、情境導入
課件出示教材第11頁情境圖，提出問題：
這三幅圖片中都含有一些特殊的平行四邊形．觀察這些特殊的平行四邊形，你能發現它們有什么樣的共同特征？
學生討論交流后匯報，教師點評，并進一步講解：
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．
教師：你還能舉出一些生活中矩形的例子嗎？
二、探究新知
1．探究矩形的性質定理
教師出示一個平行四邊形活動框架，完成以下探究．
(1)改變平行四邊形活動框架，將框架夾角∠α變為90°，平行四邊形成為一個矩形，這說明平行四邊形與矩形具有怎樣的從屬關系？
學生：矩形是平行四邊形的特例，屬于平行四邊形，因此它具有平行四邊形所有的性質．
(2)用橡皮筋做出兩條對角線，這兩條對角線有什么關系？
學生：橡皮筋的長度相等，因此矩形的兩條對角線相等．
(3)矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？
學生：矩形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸．
(4)你認為矩形還具有哪些特殊性質？
學生：矩形的四個角都是直角，對角線相等．
教師：你能證明這些結論嗎？
學生獨立完成，指名板演，教師點評，得到如下定理：
矩形的四個角都是直角．
矩形的對角線相等．
2．探究直角三角形的性質定理
課件出示教材第12頁圖1－9，提出問題：
如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點E，那么BE是Rt△ABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有什么大小關系？由此你能得到怎樣的結論？
學生觀察、思考后發現：AE＝AC，BE＝BD，BE是Rt△ABC的中線．
由此歸納直角三角形的一個性質定理：
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
三、舉例分析
例1　如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點O，∠AOB＝60°，AB＝4 cm，求這個矩形對角線的長．
分析：利用矩形對角線相等且平分得到OA＝OB，由于∠AOB＝60°，∴△AOB為等邊三角形，則OA＝AB＝4 cm，∴AC＝BD＝2OA＝8 cm.
例2　如圖，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中點，求證：DE＝AC.
分析：本題可從E是AB的中點切入，考慮應用三角形中位線定理．應用三角形中位線必需找到另一個中點．可以取BC的中點F，也可以取AC的中點G.
學生分四人小組，合作探究不同的證法．
證法一：取BC的中點F，連接EF，DF，如圖①.
∵E為AB中點，∴EF∥AC.∴∠FEB＝∠A.
∵∠A＝2∠B，∴∠FEB＝2∠B.∵DF＝BC＝BF，∴∠1＝∠B.∴∠FEB＝2∠B＝2∠1＝∠1＋∠2.
∴∠1＝∠2.∴DE＝EF＝AC.
證法二：取AC的中點G，連接DG，EG，如圖②.
∵CD是△ABC的高，
∴在Rt△ADC中，DG＝AC＝AG.
∵E是AB的中點，∴GE∥BC.∴∠1＝∠B.
∴∠GDA＝∠A＝2∠B＝2∠1.
又∠GDA＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝2∠1.
∴∠2＝∠1.∴DE＝DG＝AC.
四、練習鞏固
1．教材第13頁“隨堂練習”．
2．如圖，從矩形ABCD的頂點C作對角線BD的垂線與∠BAD的平分線相交于點E.求證：AC＝CE.
分析：要證AC＝CE，可以考慮證明∠E＝∠CAE.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，且∠CAE＝∠DAE－∠DAC.
另外一個條件是CE⊥BD，過點A作AF⊥BD于點F，則AF∥CE，可以將∠E轉化為∠FAE，∠FAE＝∠BAE－∠FAB.現在只要證明∠BAF＝∠DAC即可，而實際上，∠BAF＝∠BDA＝∠DAC，問題迎刃而解．
五、小結
1．什么叫矩形？
2．矩形有哪些性質？
3．矩形有幾條對稱軸？
六、課外作業
教材第13～14頁習題1.4第1～4題．
本節課依據新課標的要求，設計的每個環節都是以學生為主體，在學生已有的知識經驗的基礎上，讓學生自己動手探究完成，提高學生的探索創新思維和創造能力．首先，從矩形的定義和平行四邊形的性質引入，提出問題，讓學生猜想矩形應具有的性質，調動學生的思維積極性，激發探究欲望．教學過程中，先利用平行四邊形活動框架，讓學生通過觀察、測量、思考、討論等活動，得出矩形的性質．在解決問題的過程中發展了學生的合情推理意識．再引導學生進行推理證明及應用，通過探索證明，發展了學生的思維能力，幫助他們在自主探索與合作交流過程中真正理解和掌握矩形的性質定理，體驗數學學習過程中的探索性、挑戰性以及推理的嚴謹性．第2課時　矩形的判定
1．理解和掌握矩形的判定定理．
2．經歷探索、猜測、證明的過程，發展學生的推理論證能力．
3．通過對比已學的知識，體會證明過程中所運用的歸納、概括以及轉化等數學思想方法．
重點
理解和掌握矩形的判定定理．
難點
矩形的判定定理的應用．
一、情境導入
課前準備小木板和橡皮筋，制作一個如圖所示的平行四邊形活動框架．用兩根橡皮筋分別套在兩個相對的頂點上，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生什么變化？
二、探究新知
1．矩形的判定定理1
根據上面的實踐活動提出問題：
(1)隨著∠α的變化，兩條對角線的長度將發生怎樣的變化？
(2)當兩條對角線的長度相等時，平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個怎樣的猜想？
學生討論交流后回答，教師點評，并歸納：
矩形的判定定理1：對角線相等的平行四邊形是矩形．
矩形的判定定理1的證明過程：
(1)學生獨立畫出圖形，在教師引導下寫出已知、求證；
(2)對比平行四邊形和菱形的判定定理的證明，對已知、求證進行分析；
(3)請學生交流大體思路；
(4)用規范的數學語言寫出證明過程；
(5)同學之間進行交流，找出自己還存在的問題．
2．矩形的判定定理2
教師：我們知道，矩形的四個角都是直角．反過來，一個四邊形至少有幾個角是直角時，這個四邊形就是矩形呢？請證明你的結論，并與同伴交流．
學生討論交流后回答，教師點評，并引導學生歸納：
矩形的判定定理2：有三個角是直角的四邊形是矩形．
矩形的判定定理2的證明過程：
(1)學生獨立畫出圖形，在教師引導下寫出已知、求證；
(2)對比平行四邊形和菱形的判定定理的證明，對已知、求證進行分析；
(3)請學生交流大體思路；
(4)用規范的數學語言寫出證明過程；
(5)同學之間進行交流，找出自己還存在的問題．
三、舉例分析
例1　實際問題：
(1)如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是平行四邊形？
(2)如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是菱形？
(3)如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是矩形？
學生分小組討論后回答，教師點評，并總結：
先利用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”證明是平行四邊形，再由“對角線相等的平行四邊形是矩形”得證．
例2　如圖，在 ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，△ABO是等邊三角形，AB＝4，求 ABCD的面積．
學生獨立完成，指名板演，教師點評．
四、練習鞏固
1．教材第16頁“隨堂練習”．
2. 已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O, CM∥BD，DM∥AC.
求證：四邊形OCMD是矩形．
五、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．矩形的判定定理有哪些？
六、課外作業
教材第16頁習題1.5第1～3題．
對于本節課的知識，不能機械地照搬教材內容，而應該對教材內容進行再加工，靈活運用，使教材內容得到升華．課堂是學生展示自己的一個舞臺，在課堂教學中，給予學生充分的時間和空間展示自己，不僅有利于提高學生學習的積極性，更有利于教師發現學生的獨到見解和新思維、新想法，同時還能發現學生存在的問題，這對于課堂教學是非常有利的．幾何教學對學生想象能力要求比較高，有些學生在這方面很有優勢，而有些學生可能要差一點，課堂教學不能過急．此外，幾何教學中要合理把握學生的課堂興奮點，合理安排時間，力圖讓學生在注意力最集中時完成最重要的知識內容，掌握本節課重要的學習方法．還要注意的是，不要讓思維活躍的學生的回答掩蓋了其他學生的疑問，應該爭取關注每一個學生．
第3課時　矩形的性質與判定的應用
1．能夠運用矩形的性質定理和判定定理解決問題．
2．經歷矩形的性質與判定的應用過程，發展學生的推理論證能力．
3．通過學生獨立完成證明的過程，讓學生體會數學的嚴謹性．
重點
矩形的性質定理與判定定理的應用．
難點
靈活地運用矩形的性質定理與判定定理解決問題．
一、復習導入
1．如圖①，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，已知∠AOD＝ 120°，AB＝2.5 cm，則∠DAO＝__________，AC＝__________ cm，S矩形ABCD＝__________ cm2.
2. 如圖②，四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個條件________________，可使它成為矩形．
二、探究新知
課件出示：如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED＝3BE.求AE的長．
學生小組合作完成本題的求解，教師點評并板書：
解：∵ 四邊形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝DO＝BD(矩形的對角線相等且互相平分)，
∠BAD＝90°(矩形的四個角都是直角)．
∵ED＝3BE，
∴BE＝OE.
又∵ AE⊥BD，
∴AB＝AO.
∴AB＝AO＝BO.
即 △ABO是等邊三角形．
∴∠ABO＝60°.
∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝×6＝3.
注意：本題的解法不唯一，采取小組合作時，應當鼓勵學生提出自己不同的意見．
三、舉例分析
例　如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.求證：四邊形ADCE是矩形．
證明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM.
∴∠DAE ＝∠CAD＋∠CAN
＝(∠BAC＋∠CAM)
＝×180°
＝90°.
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA＝90°.
∴四邊形ADCE為矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形)．
四、練習鞏固
1．在上一題中，條件不變，連接DE，交AC于點F(如圖①)．
(1)試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結論．
(2)線段DF與AB有怎樣的關系？請證明你的結論．
圖①
　　　圖②
2．如圖②，四邊形ABCD是由兩個全等的等邊△ABD和△CBD組成，點M，N分別是BC和AD的中點．求證：四邊形BMDN是矩形．
五、小結
通過本節課的學習，你有什么收獲？還有哪些疑問？
六、課外作業
教材第18～19頁習題1.6第1～5題．
本課時，是綜合運用矩形的性質定理和判定定理，應給予學生充分的時間和空間展示自己，不僅有利于提高學生學習的積極性，更有利于教師發現學生的獨到見解和新思維、新想法，同時還能發現學生存在的問題，這對于課堂教學是非常有利的．在教學過程中，不應加大習題量，題目在精不在多，扎實地講解和學習比大量練習要有效果得多．把關注學生能力的培養提到首位，達到本節課所要完成的真正目標．
3　正方形的性質與判定
第1課時　正方形的定義和性質
1．理解正方形的概念和性質定理，通過由一般到特殊的研究方法，分析平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念及性質之間的區別與聯系．
2．在探索正方形的性質定理的過程中，發展學生的合情推理能力．
3．培養學生勇于探索、團結協作交流的精神，激發學生學習的積極性與主動性．
重點
理解正方形的定義和性質．
難點
選擇適當的方法解決有關正方形的問題．
一、情境導入
教師：大家小時候都做過風車嗎？在準備材料的時候，我們往往會先折一張正方形的紙片．那么大家能用一張長方形的紙片折出一個正方形嗎？
學生動手操作，引導學生在動手操作中對正方形產生感性認識，并感知正方形與矩形的關系．
教師：結合菱形和矩形的定義，想一想，什么樣的四邊形是正方形？
學生思考后回答，教師點評，并歸納：
有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
說明：其定義包括了兩層意思：①有一組鄰邊相等的平行四邊形 (菱形)；②有一個角是直角的平行四邊形 (矩形)．所以說正方形既是菱形又是矩形．
教師：這節課我們就來深入地了解正方形．(板書課題)
二、探究新知
教師：正方形都具有哪些性質呢？
學生：由正方形的定義可知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形．所以它應該具備菱形和矩形的所有性質．
教師：你能詳細說一說正方形的性質嗎？
學生：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等．正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分．
由學生的回答歸納出：
正方形的性質定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊相等．
正方形的性質定理2：正方形的對角線相等且互相垂直平分．
教師：同學們能嘗試完成這兩個定理的證明嗎？
學生獨立完成，并相互交流，教師點評．
教師：正方形有幾條對稱軸？
學生思考或者畫圖驗證．
三、舉例分析
例1　如圖，在正方形 ABCD 中，E 為 CD 邊上一點，F 為 BC 延長線上一點，且 CE ＝ CF.BE 與 DF 之間有怎樣的關系？請說明理由．
解：BE ＝ DF，且 BE⊥DF.理由如下：
(1)∵ 四邊形 ABCD 是正方形，
∴ BC ＝ DC，∠ BCE ＝ 90°(正方形的四條邊相等，四個角都是直角)．
∴ ∠ DCF ＝ 180°－ ∠ BCE ＝ 180°－ 90°＝ 90°.
∴ ∠ BCE ＝ ∠ DCF.
又∵ CE ＝ CF，
∴ △BCE ≌ △DCF.
∴ BE ＝ DF.
(2)延長 BE 交 DF 于點 M(如圖)．
∵ △BCE ≌ △DCF，
∴ ∠ CBE ＝ ∠ CDF.
∵ ∠ DCF ＝ 90°，
∴ ∠ CDF ＋ ∠ F ＝ 90°.
∴ ∠ CBE ＋ ∠ F ＝ 90°.
∴ ∠BMF＝ 90°.
∴ BE⊥DF.
例2　平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關系？你能用一個圖直觀地表示它們之間的關系嗎？與同伴交流．
學生嘗試畫圖，教師點評，并進一步講解，課件出示如下圖：
四、練習鞏固
1．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，圖中有多少個等腰三角形？
第1題圖　　　　第2題圖
2．如圖，在正方形ABCD中，點F為對角線BD上一點，連接AF，CF.你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其中一對進行證明．
五、小結
通過這節課的學習，你有哪些收獲？有何感想？學會了哪些方法？
六、課外作業
教材第22頁習題1.7第1～4題．
本節課教學的主要內容是探究并證明正方形的性質定理．教材只是提供了最基本的教學素材，教師完全可以根據學生的實際情況進行適當調整．讓學生通過搜集材料親自去感受數學在實際生活中的應用，體會數學的實際價值．培養學生善于觀察生活、搜集數學信息、對信息進行整理的能力．
第2課時　正方形的判定
1．掌握正方形的判定定理，會運用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定條件進行有關的證明和計算．
2．經歷探究正方形的判定定理的過程，發展學生綜合推理的能力、主動探究的學習習慣，逐步掌握說理的基本方法．
3．理解特殊的平行四邊形之間的內在聯系，培養學生辯證看問題的觀點．
重點
掌握正方形的判定定理．
難點
合理恰當地利用特殊平行四邊形的性質與判定進行有關的證明和計算．
一、復習導入
1．我們學行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間有怎樣的包含關系？
2．讓學生回答以下問題：
(1)怎樣判斷一個四邊形是矩形？
(2)怎樣判斷一個四邊形是菱形？
(3)怎樣判斷一個四邊形是平行四邊形？
(4)怎樣判斷一個平行四邊形是矩形、菱形？
教師：你有什么方法判定一個四邊形是正方形？這就是本節課要探究的內容．
二、探究新知
1．正方形的判定定理
課件出示教材第22頁圖1－20，提出問題：
將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開．怎樣剪才能剪出一個正方形？
學生動手操作，教師巡視指導，并講解：
因為正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，把折痕作對角線，這時只需剪一個等腰直角三角形，打開即是正方形，因此只要保證剪口線與折痕成45°角即可．
教師：滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？
引導學生總結出正方形的判定定理：
對角線相等的菱形是正方形．
對角線垂直的矩形是正方形．
有一個角是直角的菱形是正方形．
教師：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間有什么關系？
教師：同學們能嘗試完成這3個定理的證明嗎？
學生獨立完成，教師點評．
2．中心四邊形
學生以小組的形式，在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形中選擇一種自己感興趣的四邊形來研究中點四邊形，并驗證結論的正確性．
平行四邊形
　　　　矩形
菱形
　　　　正方形
等腰梯形
　　　　直角梯形
梯形
引導學生得出結論：
平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形；
矩形的中點四邊形是菱形；
菱形的中點四邊形是矩形；
正方形的中點四邊形是正方形；
等腰梯形的中點四邊形是菱形；
直角梯形的中點四邊形是平行四邊形；
梯形的中點四邊形是平行四邊形．
三、舉例分析
例　如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形．
證明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四邊形BECF是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°.
∴∠EBC＝∠ECB.
∴EB＝EC.
∴ BECF是菱形(菱形的定義)．
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF是正方形(有一個角是直角的菱形是正方形)．
四、練習鞏固
1．教材第24頁“隨堂練習”．
2．完成下列問題：
圖①
　圖②
　圖③
(1)如圖①，在△ABC中，EF為△ABC的中位線．
①若∠BEF＝30°，則∠A＝________.
②若EF＝8 cm，則AC＝________．
(2)如圖②，在AC的下方取一點D，連接AD，CD.取CD和AD的中點G、H，問EF和GH有怎樣的關系？EH和FG呢？
(3)如圖③，四邊形EFGH的形狀有什么特征？
五、小結
1．通過本節課的學習，你有哪些收獲？
2．正方形的判定定理有哪些？
六、課外作業
教材第25頁習題1.8第1～4題．
本節課采用了多媒體輔助教學，為學生創建了一個學習情境，通過圖形的變換，使學生很容易發現問題的規律、找出解決方法，并且學生在老師的啟發下，一步一步地探索、歸納、學習，在探索的過程中培養了學生的創新精神和意識．在小組討論之前，應該留給學生充分的獨立思考的時間，不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考，掩蓋了其他學生的疑問．

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