資源簡介

第二章　一元二次方程
1　認識一元二次方程
第1課時　一元二次方程的定義
1．理解和掌握一元二次方程的定義，會判斷一個方程是不是一元二次方程．
2．了解一元二次方程的一般形式、二次項、一次項、常數項及二次項系數、一次項系數．
3．能根據具體情境，列出一元二次方程．
重點
理解和掌握一元二次方程的相關概念．
難點
能根據具體情境，列出一元二次方程．
一、情境導入
課件出示教材第31頁圖2－1，提出問題：
幼兒園某教室矩形地面的長為8 m，寬為5 m，現準備在地面的正中間鋪設一塊面積為18 m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區域的寬度都相同，你能求出這個寬度嗎？
教師：你能找到圖中的矩形地面、條形區域和地毯區域嗎？
讓學生指出對應的三部分，引導學生分析所提問題滿足的條件，列出相應的方程．
二、探究新知
1．教師：你能找到關于102、112、122、132、142這五個數之間的等式嗎？
學生獨立完成，找出等式．
教師：觀察等式102＋112＋122＝132＋142，你還能找到五個連續整數，使前三個數的平方和等于后兩個數的平方和嗎？
學生嘗試解決，在難以找到的情況下，歸結為方程去解決．
2．課件出示教材第31頁圖2－2，提出問題：
如圖，一個長為10 m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m．如果梯子的頂端下滑1 m．那么梯子的底端滑動多少米？
引導學生設未知數，列出適合條件的方程．
3．教師：由上面三個問題，我們可以得到三個方程：
(8－2x)(5－2x)＝18，
x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2，
(x＋6)2＋72＝102.
教師：這些方程有哪些共同特點？類比一元一次方程的定義，你能總結出一元二次方程的定義嗎？
學生小組討論，派代表陳述觀點，教師進一步講解：
只含有一個未知數，并且未知數的最高次項的次數為2的整式方程叫一元二次方程．
一元二次方程的一般形式為ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項、常數項，a為二次項的系數，b為一次項的系數．
三、舉例分析
例1　把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
例2　從前有一天，一個醉漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框寬4尺，豎著比門框高2尺，另一個醉漢教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個醉漢一試，不多不少剛好進去了．你知道竹竿有多長嗎？請根據這一問題列出方程．
學生獨立完成，教師點評．
四、練習鞏固
教材第32頁“隨堂練習”第1題．
五、小結
1．通過本節課的學習，你學會了什么？還有哪些困惑？
2．一元二次方程的定義是什么？
六、課外作業
教材第32頁習題2.1第1，2題．
本節課通過豐富的問題情境引入一元二次方程的定義，學習中注意深刻理解定義的內涵：一元二次方程的組成；一元二次方程的成立條件等．在教學中，讓學生經歷提出問題到解決問題的過程，體會其中的數學思想方法．教學中有意識地提高學生對實際問題和方法的理解，鼓勵學生從多角度思考問題，這有利于提高學生的思維能力和解決問題的能力．
第2課時　用估算法求一元二次方程的近似解
1．能根據實際問題求一元二次方程的近似解．
2．經歷探索滿足一元二次方程解或近似解的過程，促進學生對方程解的理解，發展學生的估算意識和能力．
3．進一步提高學生分析問題的能力，培養學生大膽嘗試的精神，體驗學習數學的樂趣，培養學生的合作學習意識．
重點
經歷探索滿足一元二次方程解或近似解的過程，促進學生對方程解的理解．
難點
探索一元二次方程的近似解．
一、情境導入
教師：在上一節課中，我們得到了如下的兩個一元二次方程：
(8－2x)(5－2x)＝18，即2x2－13x＋11＝0；
(x＋6)2＋72＝102，即x2＋12x－15＝0.
上一節課的兩個問題是否已經得以完全解決？你能求出各方程中x的值嗎？這節課我們一起來研究一元二次方程的解．
二、探究新知
教師：對于前一節課第一個問題，你能設法估計四周末鋪地毯部分的寬度x(m)嗎？
課件出示一元二次方程(8－2x)(5－2x)＝18，提出問題：
(1)x可能小于0嗎？可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？說說你的理由，并與同伴進行交流．
(2)根據題目的已知條件，你能確定x的大致范圍嗎？
(3)完成下表：
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
2x2－13x＋11
　　(4)你知道所求的寬度x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴進行交流．
分析：因為x表示的是所求的寬度，學生能意識到x不可能小于0；學生大多數能夠從實際情況出發，意識到當x大于4或當x大于2.5時，將分別使地毯的長或寬小于0，不符合實際情況；學生在利用計算器對表格中的數據進行計算的過程中發現，當x＝1時，代數式2x2－13x＋11的值等于0；所求的寬度為1 m.
教師：在前一節課的問題中，梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程(x＋6)2＋72＝102，把這個方程化為一般形式為x2＋12x－15＝0.
引導學生思考以下問題：
(1)小明認為底端也滑動了1 m，他的說法正確嗎？為什么？
(2)底端滑動的距離可能是2 m嗎？可能是3 m嗎？為什么？
(3)你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎？
(4)x的整數部分是幾？十分位是幾？
學生思考后指名回答，教師進一步講解：
在此題中，梯子滑動的距離x＞0是顯而易見的，在下圖中，求得BC＝6 m，而BD＜10 m，因此CD＜4 m．所以x的取值范圍是0＜x＜4.
學生完成下面的表格：
x 0 1 2 3 4
x2＋12x－15 －15 －2 13 30 49
　　教師：沒能在這些整數取值中找到方程的解，但卻通過表格分析發現，當x的取值是1和2時，所對應代數式的值是－2和13，而且隨著x的取值越大，相應代數式的值也越大．因此若想使代數式的值為0，那么x的取值應在1和2之間．從而確定x的整數部分是1.
教師啟發引導學生在1和2之間繼續找方程的解．
學生可能有以下的做法．
甲同學的做法：
x 1 1.5 2
x2＋12x－15 －2 5.25 13
　　所以1＜x＜1.5.
進一步計算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76
　　所以1.1＜x＜1.2.
因此x的整數部分是1，十分位是1.
乙同學的做法：
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 6.76 8.29
　　所以1.1＜x＜1.2.
因此x的整數部分是1，十分位是1.
注意：對于這兩種做法，教師要及時地給與肯定和鼓勵，并可將二者加以比較．
教師：在解決某些實際問題的時候，可以根據實際情況確定出方程的解的大致范圍，進而估算出一元二次方程的近似根．一般采用“夾逼法”．
采用“夾逼法”求近似值的一般步驟：
(1)將方程變為一元二次方程的一般形式；
(2)根據實際情況確定方程的解的大致范圍；
(3)根據方程的解的大致范圍，在這個范圍內取一個整數值，然后把這個值代入方程左邊的代數式進行驗證，看是否能使方程左邊代數式的值為0，如果為0，則這個數是方程的解；如果不為0，則再找出一個使方程左邊的值最接近于0但小于0的整數，這個數就是方程的解的整數部分；
(4)保留整數部分不變，小數部分可參照整數部分的方法進行，以此類推可得出該方程更準確的近似根．
三、練習鞏固
五個連續整數，前三個數的平方和等于后兩個數的平方和．你能求出這五個整數分別是多少嗎？
四、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．利用“夾逼法”求近似解的一般步驟是什么？
五、課外作業
教材第35頁習題2.2第1～3題．
本節課通過日常生活中豐富有趣的問題情境讓學生感受方程是刻畫現實世界的有效數學模型，體會“夾逼”數學思想在現實生活中隨處可見，讓學生真正經歷“夾逼”數學思想解題的過程，從而更好地理解“夾逼”思想解一元二次方程的意義和作用，激發學生的學習興趣．由學生探索交流，分析此種方法的優缺點，從而概括出這種方法的實質及解題步驟，這既給學生提供了一個充分從事數學活動的機會，又體現了學生是數學學習的主人的理念．學生親身經歷了知識的形成過程，不但改變了以往學生死記硬背的學習方式，而且在教學活動中培養了學生自主探索、合作交流等良好的學習習慣．
本節課多次組織學生合作交流，通過小組合作，為學生提供展示自己聰明才智的機會，在此過程中，教師發現了學生在分析問題和解決問題時出現的獨到見解，以及思維的誤區，這樣使得老師可以更好地指導今后的教學．
2　用配方法求解一元二次方程
第1課時　用配方法求解二次項系數為1的一元二次方程
1．理解配方法的意義，會用配方法求解二次項系數為1的一元二次方程．
2．通過探索配方法的過程，讓學生體會轉化的數學思想方法．
3．讓學生在獨立思考與合作探究中感受成功的喜悅，并體驗數學的價值，增強學生學習數學的興趣．
重點
用配方法求解二次項系數為1的一元二次方程．
難點
了解并掌握用配方求解一元二次方程．
一、復習導入
1．如果一個數的平方等于4，則這個數是________，若一個數的平方等于7，則這個數是________．
2．一個正數有幾個平方根？它們具有怎樣的關系？
3．用字母表示完全平方公式．
二、探究新知
1．課件出示問題：
(1)你能解哪些特殊的一元二次方程？
(2)你會解下列一元二次方程嗎？你是怎么做的？
x2＝5；　2x2＋3＝5；　x2＋2x＋1＝5；
(x＋6)2＋72＝102.
(3)上節課，我們研究梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程x2＋12x－15＝0，你能仿照上面幾個方程的解題過程，求出x的精確解嗎？你認為用這種方法解這個方程困難在哪里？(合作交流)
學生獨立完成，討論交流后發現第(3)問等號的左端不是完全平方式，不能直接化成(x＋m)2＝n (n≥0)的形式，教師引導學生思考如何解決這樣的方程問題．
2．課件出示：
填上適當的數，使下列等式成立：
x2＋12x＋________＝(x＋6)2；
x2－6x＋________＝(x－3)2；
x2＋8x＋________＝(x＋________)2；
x2－4x＋________＝(x－________)2.
學生思考后指名回答．
教師：上面等式的左邊，常數項和一次項系數有什么關系？對于形如x2＋ax的式子如何配成完全平方式？
學生小組討論交流，引導學生發現：要把形如x2＋ax的式子配成完全平方式，只要加上一次項系數一半的平方，即加上.
三、舉例分析
例1　解方程：x2＋8x－9＝0.(師生共同解決)
解：可以把常數項移到方程的右邊，得
x2＋8x＝9.
兩邊都加上42(一次項系數8的一半的平方)，得
x2＋8x＋42＝9＋42，
即(x＋4)2＝25.
兩邊開平方，得x＋4＝±5，
即 x＋4＝5，或x＋4＝－5.
所以x1＝1，x2＝－9.
例2　解決梯子底部滑動問題：x2＋12x－15＝0.(仿照例1，學生獨立解決)
解：移項，得x2＋12x＝15.
兩邊同時加上62，得x2＋12x＋62＝15＋36，
即(x＋6)2＝51.
兩邊開平方，得x＋6＝±.
所以x1＝－6，x2＝－－6，但因為x表示梯子底部滑動的距離，所以x2＝－－6 不合題意舍去．
所以梯子底部滑動了(－6)米．
教師：用這種方法解一元二次方程的思路是什么？其關鍵又是什么？
小組合作交流，引導學生歸納：
我們通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法．
四、練習鞏固
解下列方程：
(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；
(3)x2＋3x＝1；(4)x2＋2x＋2＝8x＋4.
五、小結
1．通過本節課的學習，你有什么收獲？
2．什么叫配方法？
3．用配方法解二次項系數為1的一元二次方程的一般步驟是什么？
(1)移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項；
(2)配方，方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方，把方程化為(x＋h)2＝k(k>0)的形式；
(3)用直接開平方法解變形后的方程．
六、課外作業
教材第37～38頁習題2.3第1～3題．
本節課在教學過程中，采用了由簡單到復雜，由特殊到一般的原則，采用了觀察對比、合作探究等不同的學習方式，充分發揮學生的主體作用，讓學生主動探究并發現結論，教師作為學生學習的引導者、合作者、促進者，要適時鼓勵學生，實現師生互動．同時，我認識到教師不僅要教給學生知識，還要在教學中滲透數學中的思想方法，培養學生良好的數學素養和學習能力，讓學生學會學習．
第2課時　用配方法求解二次項系數不為1的一元二次方程
1．經歷配方法求解一元二次方程的過程，獲得解一元二次方程的基本技能．
2．經歷用配方法求解二次項系數不為1的一元二次方程的過程，體會其中的化歸思想．
3．能利用一元二次方程解決有關的實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養分析問題、解決問題的意識和能力．
重點
會用配方法求解二次項系數不為1的一元二次方程．
難點
能利用一元二次方程解決有關的實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性．
一、復習導入
1．用配方法求解二次項系數為1的一元二次方程的基本步驟是什么？
2．填上適當的數，使下列等式成立：
(1)x2＋2x＋________＝(x＋________)2；
(2)x2－4x＋________＝(x－________)2；
(3)x2＋________＋36＝(x＋________)2；
(4)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；
(5) x2－x＋________＝(x－________)2.
3．比較下列兩個一元二次方程的聯系與區別．
(1)x2＋6x＋8＝0；
(2)3x2＋18x＋24＝0.
教師：同學們可以發現方程(2)的二次項系數為3，不符合上節課解題的基本形式，那么如何解這類方程呢？這節課我們一起來探究．
二、探究新知
課件出示：
解方程：3x2＋8x－3＝0.
教師：如何把這個方程轉化為符合上節課解題的基本形式？
學生：根據等式的性質，將方程兩邊同除以3就可以把這個方程化為二次項系數為1的一元二次方程．
學生嘗試解這個方程，教師板書規范解答過程．
解：方程兩邊都除以3，得
x2＋x－1＝0.
移項，得
x2＋x＝1，
配方，得
x2＋x＋＝1＋，
即＝.
兩邊開平方，得
x＋＝±，
所以
x1＝，x2＝－3.
三、舉例分析
例　一個小球從地面以15 m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足關系：h＝15t－5t2，小球何時能達到10 m高？
解：根據題意得
15t－5t2＝10.
方程兩邊都除以－5，得
t2－3t＝－2，
配方，得
t2－3t＋＝－2＋，
＝.
兩邊開平方，得
t－＝±.
所以
t1＝2，t2＝1.
四、練習鞏固
1．教材第39頁“隨堂練習”．
2．印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調皮．告我總數共多少，兩隊猴子在一起．”大意是說：一群猴子分兩隊，一隊猴子數是猴子總數的八分之一的平方，另一隊猴子數是12，那么猴子的總數是多少？請同學們解決這個問題．
解：設猴子的總數是x，由題意可得
＋12＝x.
解得x1＝16，x2＝48.
答：這群猴子可能是16只，也可能是48只．
五、小結
1．用配方法解一元二次方程的基本步驟是什么？
2．利用一元二次方程解決實際問題的思路是什么？
六、課外作業
1．教材第40頁習題2.4第1，3題．
2．一個人的血壓與其年齡及性別有關，對女性來說，正常的收縮壓p(毫米汞柱)與年齡x(歲)大致滿足關系：p＝0.01x2＋0.05x＋107.如果一個女性的收縮壓為120毫米汞柱，那么她的年齡大概是多少？
3．用配方法探究方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的解法．
本節課作為用配方法求解一元二次方程的第二節課，主要是以習題訓練為主．所以我依照書上的例題為重點展示了用配方法求解二次項系數不為1的一元二次方程的基本步驟；將書上的“做一做”轉化成一個例題，讓學生體會利用一元二次方程解決實際問題的意義；另外在作業中配套了一道血壓方面的數學問題，學生可以體會到一元二次方程與我們的現實生活息息相關．
3　用公式法求解一元二次方程
第1課時　用公式法求解一元二次方程
1．能正確地推導出一元二次方程的求根公式，會用公式法解一元二次方程，能利用一元二次方程解決有關的實際問題．
2．理解判別式的概念，會用判別式判斷方程的根的情況．
3．體會一元二次方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型，體會從一般到特殊的思維方式，養成嚴謹、認真的科學態度和學風．
重點
用公式法解一元二次方程．
難點
用配方法推導求根公式的過程．
一、復習導入
用配方法解下列方程：
(1)2x2＋3＝7x；(2)3x2＋2x＋1＝0.
學生獨立完成，指名板演．
(1)2x2＋3＝7x.
解：將方程化成一般形式2x2－7x＋3＝0.
兩邊都除以一次項系數2，得x2－x＋＝0.
配方，得x2－x＋()2－＋＝0，
即(x－)2－＝0.
移項，得(x－)2＝.
兩邊開平方，得x－＝±，
即x＝±.
所以x1＝3，x2＝.
(2)3x2＋2x＋1＝0.
解：兩邊都除以一次項系數3，得x2＋x＋＝0.
配方，得x2＋x＋()2－＋＝0，
即(x＋)2＋＝0.
移項，得(x＋)2＝－.
因為－<0，
所以原方程無解．
二、探究新知
1．一元二次方程的求根公式
課件出示：
用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
學生獨立完成，并針對自己在推導過程中出現的問題在小范圍內自由研討．最后由師生共同歸納、總結，得出一元二次方程的求根公式．
解：兩邊都除以一次項系數a，得x2＋x＋＝0.
教師：為什么可以兩邊都除以二次項系數a
學生：因為a≠0.
配方，得x2＋x＋()2－＋＝0，
即(x＋)2－＝0.
移項，得(x＋)2＝.
教師：現在可以兩邊開平方嗎？
學生：不可以，因為不能保證≥0.
教師：什么情況下可以兩邊開平方？
學生討論后回答：因為a≠0，所以4a2>0.要使≥0，只要 b2－4ac≥0即可．
所以當b2－4ac≥0時，兩邊開平方，得
x＋＝±.
所以x＝－±，
x＝.
歸納：x＝稱為一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法．
2．一元二次方程的判別式
教師：如果b2－4ac<0時，會出現什么問題？
學生：方程無解．
教師：如果b2－4ac＝0呢？
學生：方程有兩個相等的實數根．
歸納：對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
當b2－4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根；
當b2－4ac＝0時，方程有兩個相等的實數根；
當b2－4ac<0時，方程沒有實數根．
教師：由以上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況可由b2－4ac來判定．我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式，通常用希臘字母“Δ”來表示．
三、舉例分析
例1　解方程：
(1)x2－7x－18＝0；(2)4x2＋1＝4x.
引導學生根據以下步驟解方程：①確定a，b，c的值；②判斷方程是否有根；③寫出方程的根．
例2　判斷下列方程的根的情況：
(1) 2x2＋3＝7x；(2)x2－7x＝20；
(3)3x2＋2x＋1＝0；(4)9x2＋6x＋1＝0；
(5)16x2＋8x＝3；(6) 2x2－9x＋8＝0.
學生迅速演算或口算出b2－4ac，從而判斷出根的情況．
教師：第(3)題的判斷，與第一環節中的第(2)題對比，哪種方法更簡捷？
教師：上述方程如果有解，請求出方程的解．
學生獨立完成，教師板書第(1)題．
解方程：2x2＋3＝7x.
先將方程化成一般形式，得2x2－7x＋3＝0.
確定a，b，c的值　a＝2, b＝－7, c＝3.
判斷方程是否有根　∵b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝25>0，
∴x＝＝＝.
寫出方程的根　即x1＝3，x2＝.
教師：與第一環節中的第(1)題對比，哪種解法更簡捷？
四、練習鞏固
教材第43頁“隨堂練習”第1～3題．
五、小結
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？
2．如何判斷一元二次方程的根的情況？
3．用公式法解方程應注意的問題是什么？
4．你在解方程的過程中有哪些小技巧？
六、課外作業
1．教材第43頁習題2.5第1～4題．
2．一張桌子長4 m，寬2 m，臺布的面積是桌面面積的2倍，鋪在桌子上時，各邊下垂的長度相同，求臺布的長和寬．
教材只是為教師提供最基本的教學素材，教師完全可以根據學生的實際情況進行適當調整．本節課教師就根據學生的實際情況，調整了配方時的個別過程，使之與后續知識學習相一致，添加了例題和練習題．本節課不能僅僅讓學生背公式、套公式解方程，而應讓學生初步建立對一些規律性的問題加以歸納、總結的數學建模意識，親身體會公式推導的全過程，提高學生推理技能和邏輯思維能力；進一步發展學生合作交流的意識和能力，幫助學生形成積極主動的求知態度．
第2課時　用公式法解決一元二次方程的實際問題
1．會用公式法解決一元二次方程的實際問題．
2．通過一元二次方程的建模過程，體會方程的根必須符合實際意義，增強應用數學的意識，鞏固解一元二次方程的方法．
3．通過設計方案培養學生創新思維能力，展示自己駕馭數學去解決實際問題的勇氣、才能及個性．
重點
會用公式法解決一元二次方程的實際問題．
難點
能根據具體情境列出一元二次方程，體會方程的根必須符合實際意義．
一、復習導入
教師：你能舉例說明什么是一元二次方程嗎？它有什么特點？怎樣用配方法解一元二次方程？怎樣用公式法解一元二次方程？
幫助學生回憶一元二次方程及其解法，為后面說明設計方案的合理性作鋪墊．
二、探究新知
課件出示：在一塊長16 m、寬12 m的矩形荒地上，要建造一個花園，并使花園所占面積為荒地面積的一半．你覺得這個方案能實現嗎？若可以實現，你能給出具體的設計方案嗎？
學生先自己設計，畫出草圖，然后到黑板上展示、交流自己的作品．
在學生展示作品后，教師提出問題：
(1)怎樣知道你的設計是符合要求的？請說明理由？
(2)以上哪些圖形可以直接說明符合題目條件的？剩下的圖形怎樣通過計算來說明？
引導學生重點分析圖⑤，圖⑥，圖⑦.
教師：如何設未知數？怎樣列方程？
學生獨立思考，教師板書規范解題過程．
圖⑤的解答：
解：設小路的寬為x m，由題意得
(16－2x)(12－2x)＝16×12×.
整理，得x2－14x＋24＝0.
x2－14x＋49＝－24＋49，
(x－7)2＝25.
x1＝12，x2＝2.
教師：你認為小路的寬為12 m和2 m都符合實際意義嗎？
圖⑥的解答：
解：設扇形的半徑為x m，由題意得
πx2＝16×12×
πx2＝96.
x＝±≈±5.5.
x1≈5.5，x2≈－5.5( 舍去)．
指名板演圖⑦的解題過程，教師點評．
三、練習鞏固
在一幅長90 cm、寬40 cm的風景畫的四周外圍鑲上一條寬度相同的金色紙邊，制成一幅掛圖，如果要求風景畫的面積是整個掛圖面積的72%，那么金色紙邊的寬應該是多少？
出示圖②和圖③提出問題：你認為哪一幅圖是按要求鑲上的金色紙邊，你將如何設未知數從而列出方程？
解：設金邊的寬為x m，由題意得
(90＋2x )(40＋2x) ×72%＝90 ×40.
解得x1＝5，x2＝－70(舍去)．
四、小結
通過本節課的學習，你有哪些感悟？還有哪些困惑？
五、課外作業
教材第45頁習題2.6第2～4題．
本節課的最大特點是提出了具有思考價值的問題，以引導為主，層層深入，以問題串的形式指導學生懂得如何獲得自己所需要的知識．在探究新知時，提出了這樣的問題：在一塊長16 m，寬12 m的矩形荒地上，要建造一個花園，并使花園所占面積為荒地面積的一半．你覺得這個方案能實現嗎？若可以實現，你能給出具體的設計方案嗎？當學生將自己的設計方案展示在黑板上之后，接著提出問題：你的設計一定符合要求嗎？怎樣知道你的設計是符合要求的？以上圖形哪些可以直接說明符合題目條件的？剩下的圖形怎樣通過計算來說明？從課堂上學生的活動來看，學生的熱情、思維與探究并進.4　用因式分解法求解一元二次方程
1．了解因式分解法的概念．
2．會用因式分解法求解一元二次方程．
3．通過因式分解法的學習，培養學生分析問題、解決問題的能力，并體會轉化的思想．
重點
用因式分解法求解一元二次方程．
難點
理解因式分解法求解一元二次方程的基本思想．
一、復習導入
1．用配方法求解一元二次方程的關鍵是什么？
2．用公式法求解一元二次方程應先將方程化為什么形式？
3．選擇合適的方法解下列方程：
(1)x2－6x＝7；　　(2)3x2＋8x－3＝0.
二、探究新知
1．課件出示：一個數的平方與這個數的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個數是幾？你是怎樣求出來的？
學生獨自完成，教師巡視指導，選擇不同解法的學生板演．
學生A：設這個數為x，根據題意，可列方程
x2＝3x，
∴x2－3x＝0.
∵a＝1，b＝－3，c＝0，
∴ b2－4ac＝9.
∴ x1＝0，x2＝3.
∴這個數是0或3.
學生B：設這個數為x，根據題意，可列方程
x2＝3x，
∴ x2－3x＝0.
x2－3x＋()2＝()2，
(x－) 2＝，
∴ x－＝或x－＝－.
∴ x1＝3，x2＝0.
∴這個數是0或3.
學生C：設這個數為x，根據題意，可列方程
x2＝3x，
∴x2－3x＝0.
即x(x－3)＝0.
∴x＝0或x－3＝0.
∴x1＝0，x2＝3.
∴這個數是0或3.
學生D：設這個數為x，根據題意，可列方程
x2＝3x，
兩邊同時約去x，得
∴x＝3，
∴這個數是3.
教師：同學們用了多種方法解決此問題，觀察以上四個同學的做法是否存在問題？你認為哪種方法更合適？為什么？
學生討論交流后回答，教師點評，明確學生C的方法更合適，并進一步講解：
如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.這就是說：當一個一元二次方程降為兩個一元一次方程時，這兩個一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”．所以由x(x－3)＝0得到x＝0和x－3＝0時，中間應寫上“或”字．
我們再來看學生C解方程x2＝3x的方法，他是把方程的一邊變為0，而另一邊可以分解成兩個因式的乘積，然后利用a·b＝0，則a＝0或b＝0，把一元二次方程變成一元一次方程，從而求出方程的解．我們把這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法，即當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我們就采用因式分解法來解一元二次方程．
三、舉例分析
例　解下列方程：
(1)5x2＝4x；
(2)x－2＝x(x－2)；
(3)(x＋1)2－25＝0.
分析：解方程(1)時，先把它化為一般形式，再用因式分解法求解方程．
解：(1)原方程可變形為
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝.
分析：解方程(2)時，因為方程的左、右兩邊都有(x－2)，所以把(x－2)看作整體，然后移項，再用因式分解法求解方程．
解：(2)原方程可變形為
(x－2)－x(x－2)＝0，
(x－2)(1－x)＝0.
x－2＝0或1－x＝0.
∴x1＝2 ，x2＝1.
教師：解方程(2)時能否將原方程展開后再求解？
學生：能，這樣做會比較復雜，把(x－2)當作整體更簡便．
分析：解方程(3)時，因為右邊是0，左邊(x＋1)2－25可以把(x＋1)看作整體，這樣左邊就是一個平方差，利用平方差公式即可因式分解．
解：(3)原方程可變形為
[(x＋1)＋5][(x＋1)－5]＝0，
(x＋6)(x－4)＝0.
x＋6＝0或x－4＝0.
∴ x1＝－6，x2＝4.
教師：這個題實際上我們在前幾節課時解過，當時我們用的是開平方法，現在用的是因式分解法．由此可知，一個一元二次方程的解法可能有多種，我們在選用時，以簡便為主．
教師：用因式分解法求解一元二次方程的思路是什么？步驟是什么？對于以上三道題你是否還有其他方法來解？
四、練習鞏固
1．用因式分解法解下列方程：
(1)(x＋2)(x－4)＝0；
(2 )x2－4＝0；
(3)4x(2x＋1)＝3(2x＋1)．
2．一個數平方的2倍等于這個數的7倍，求這個數．
五、小結
1．用因式分解法求解一元二次方程的基本思路和關鍵是什么？
2．在應用因式分解法時應注意什么問題？
3．因式分解法體現了怎樣的數學思想？
六、課外作業
教材第47～48頁習題2.7第 1～3題．
評價的目的是為了全面了解學生的學習狀況，激勵學生的學習熱情，促進學生的全面發展．所以本節課在評價時注重關注學生能否積極主動地思考，能否清楚地表達自己的觀點，及時發現學生的閃光點，給予積極肯定地表揚和鼓勵，增強他們學習數學的興趣和應用數學知識解決問題的意識，幫助學生形成積極主動的求知態度．本節課中應著眼于學生能力的發展，因此，其中所設計的解題策略、思路方法在今后的教學中應注意進一步滲透，才能更好地達到提高學生數學能力的目標．
5　一元二次方程的根與系數的關系
1．理解和掌握根與系數的關系，會利用根與系數的關系解決有關問題．
2．在探究一元二次方程的根與系數的關系的過程中，培養學生的觀察、思考、歸納概括能力．
3．通過學生自己探究，發現根與系數的關系，增強學習的信心，培養科學探究精神．
重點
理解和掌握一元二次方程的根與系數的關系．
難點
一元二次方程的根與系數關系的理解及應用．
一、復習導入
1．請說出解一元二次方程的四種解法(直接開方法、配方法、公式法、因式分解法)．
2．解下列方程，將得到的根填入下面的表格中，你發現每個方程的兩根之和與它的系數有什么關系？兩根之積呢？
(1)x2－2x＝0；
(2)x2＋3x－4＝0；
(3)x2－5x＋6＝0.
方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
　　學生獨立完成，教師巡視指導．
二、探究新知
1．探究一元二次方程的根與系數的關系
課件出示：
解出下列方程的根x1和x2，并計算x1＋x2和x1·x2的值.
方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
x2＋4x－4＝0
x2－2x－5＝0
6x2＋x－2＝0
2x2－5x＋1＝0
　　教師：觀察表中x1＋x2與x1·x2的值，它們與一元二次方程的各項系數之間有什么關系？從中你能發現什么規律？
師生共同總結規律，教師板書．(學生的語言表達可能不是很到位，教師可以進行適當地引導和點撥，但不能代替學生表達)
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－，x1·x2＝.
2．證明一元二次方程的根與系數的關系
教師：剛才列舉了部分方程發現兩根之和、兩根之積與系數的關系，那么是不是所有的一元二次方程的根與系數都有這樣的關系呢？
學生先獨立解決，再分組交流討論發表看法．
(教師板書)　證明：∵當Δ≥0時，由求根公式得
x1＝，x2＝，
∴x1＋x2＝＝－，
x1·x2＝＝＝.
三、舉例分析
例1　利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：
(1)x2－7x＋1＝0；
(2)x2＋14x－21＝0；
(3)2x2＋x－3＝0；
(4)x2－nx＋n－5＝0.
解：(1)x1＋x2＝7，x1·x2＝1.
(2)x1＋x2＝－14，x1·x2＝－21.
(3)x1＋x2＝－，x1·x2＝－.
(4)x1＋x2＝n，x1·x2＝n－5.
例2　已知關于x的方程x2－px＋q＝0的兩個根是0和－3，求p和 q的值．
解法一：因為關于x的方程x2－px＋q＝0的兩個根是0和－3，所以有
解這個方程組得
所以p＝－3，q＝0.
解法二：由x1＋x2＝p，x1·x2＝q，
方程x2－px＋q＝0的兩個根是0和－3，可得
0＋(－3)＝p，
0×(－3)＝q.
即得p＝－3，q＝0.
四、練習鞏固
教材第50頁“隨堂練習”第1～3題．
五、小結
1．通過這節課的學習，你有什么收獲？
2．一元二次方程的根與系數有什么關系？
六、課外作業
教材第51頁習題2.8第1～4題．
觀察、歸納、證明是研究事物的科學方法．本節課在研究方程的根與系數的關系時，先從具體例子觀察、歸納其規律，并且先從二次項系數是1的方程入手，然后提出二次項系數不是1的方程，由此猜想一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根與系數的關系，最后對此猜想的正確性作出證明．這個全過程對培養學生正確的思考方法很有價值. 經歷了本節課的教學，學生對一元二次方程的根與系數的關系的應用能基本掌握，但在尋求轉化為兩根之和與兩根之積的過程中不要操之過急，例2可以在練習一定的習題后再給出來．在學法上采取自我探究和小組合作交流的學習方式，培養學生獨立思考的能力以及與他人交流的意識，并應該堅持下去．
6　應用一元二次方程
第1課時　列一元二次方程解決幾何與行程問題
1．通過分析實際問題中的數量關系，建立方程解決實際問題，認識方程模型的重要性，并總結運用方程解決實際問題的一般過程．
2．經歷分析和建模的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效的數學模型．
3．能夠利用一元二次方程解決有關實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養學生分析問題、解決問題的意識和能力．
重點
列一元二次方程解決實際問題．
難點
尋找實際問題中的等量關系．
一、情境導入
教師：還記得本章開始時梯子下滑的問題嗎？
課件出示教材第52頁圖2－7，提出問題：
(1)在這個問題中，梯子頂端下滑1 m時，梯子底端滑動的距離大于1 m，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？
(2)如果梯子的長度是13 m，梯子頂端與地面的垂直距離為12 m，那么梯子頂端下滑的距離與梯子的底端滑動的距離可能相等嗎？如果相等，這個距離是多少？
學生分組討論：怎么設未知數？在這個問題中存在怎樣的等量關系？如何利用勾股定理來列方程？
注意：涉及解的取舍問題，應引導學生根據實際問題進行檢驗，決定解到底是多少．
二、探究新知
課件出示教材第52頁例1.
如圖，某海軍基地位于A處，在其正南方向200 n mile處有一重要目標B，在B的正東方向200 n mile處有一重要目標C.小島D位于AC的中點，島上有一補給碼頭；小島F位于BC的中點．一艘軍艦從A出發，經B到C勻速巡航，一艘補給船同時從D出發，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達軍艦．
已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E外，那么相遇時補給船航行了多少海里？(結果精確到0.1 n mile)
分析：此題難度較大，一定要給學生充分的時間去體會題意，分析題意，不能急于求成．在講解過程中可逐步分解難點：①審清題意；②找準各條有關線段的長度關系；③建立方程模型，再求解．
在學生分析題意遇到困難時，教學中可設置問題串分解難點：
(1)要求DE的長，需要如何設未知數？
(2)怎樣建立含DE未知數的等量關系？從已知條件中能找到嗎？
(3)利用勾股定理建立等量關系，如何構造直角三角形？
(4)選定Rt△DEF后，三條邊長都是已知的嗎？DE，DF，EF分別是多少？
學生在問題串的引導下，逐層分析，在分組討論后找出題目中的等量關系即：
速度等量：V軍艦＝2×V補給船；
時間等量：t軍艦＝t補給船；
三邊數量關系：EF2＋FD2＝DE2.
弄清圖形中線段長表示的量：已知AB＝BC＝200海里，DE表示補給船的路程，AB＋BE表示軍艦的路程．
學生在此基礎上選準未知數，用未知數表示出線段DE，EF的長，根據勾股定理列方程求解，并判斷解的合理性．
教師：通過上面兩道題的探究，應用一元二次方程解決實際問題有哪些步驟？
引導學生總結列一元二次方程解決實際問題的一般步驟如下：
(1)審題：讀懂題目，審清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關系；
(2)設元：就是設未知數，根據題意，選擇適當的未知量，并用字母(x)表示出來，設元又分直接設元和間接設元；
(3)列方程：根據題目中給出的等量關系，列出符合題意的一元二次方程；
(4)解方程：求出所列方程的解；
(5)驗根：檢驗未知數的值是否符合題意；
(6)寫出答案．
三、舉例分析
例1　一個直角三角形的斜邊長為7 cm，一條直角邊比另一條直角邊長1 cm，那么這個直角三角形的面積是多少？
例2　如圖①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，點P，Q同時由A，B兩點出發分別沿AC，BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1 m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？
圖①
　　　圖②
例3　在寬為20 m，長為32 m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路(兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直)把耕地分成大小相等的六塊試驗田，要使試驗田面積為570 m2，問道路應為多寬？
分析：三個例題的設計從簡單問題入手，例1通過勾股定理解決直角三角形邊長問題；例2構造了一個可變的直角三角形，解決面積問題；例3也是面積問題，在這個問題中通常設道路寬為x m，其中兩條長為20 m，一條長為32 m，但要注意道路的交叉部分．
引導學生通過轉變圖形進行思考：若將圖中的三條道路分別向上和向右平移到如圖所示的位置，應怎樣列方程求解？結果一樣嗎？哪種方法更簡單？
四、鞏固練習
1．在一塊正方形的鋼板上裁下寬為20 cm的一個長條，剩下的長方形鋼板的面積為4 800 cm2.求原正方形鋼板的面積.
2．有這樣一道阿拉伯古算題：有兩筆錢，一多一少，其和等于20，積等于96，多的一筆被許諾賞給賽義德，那么賽義德得到多少錢？
3．《九章算術》“勾股”章有一題：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會．問甲乙行各幾何．”大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出發，甲的速度為7，乙的速度為3.乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時，甲、乙各走了多遠？
五、小結
1．列方程解決實際問題的關鍵是什么？
2．列方程解決實際問題的步驟有哪些？
3．列方程時應注意哪些問題？
六、課外作業
1．教材第53～54頁習題2.9第3，4題．
2．一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行，途中接到臺風警報，臺風中心正以40海里/時的速度由南向北移動，距臺風中心20海里的圓形區域(包括邊界)都屬臺風區．當輪船航行到A處時，測得臺風中心移到位于點A正南方向的B處，且AB＝100海里．若這艘輪船自A處按原速度繼續航行，在途中會不會遇到臺風？若會，試求輪船最初遇到臺風的時間；若不會，請說明理由．
本課是學生學習完一元二次方程的解法后的應用課，學生在七、八年級已經進行過方程應用的訓練，對于方程的實際應用并不陌生．雖然學生已經進行了一定的訓練，但本課對學生而言還是有一定的難度．本課采用啟發式、問題討論式、合作學習相結合的方式，引導學生從已有的知識和生活經驗出發，以教材提供的素材為基礎，引導學生對舊知識進行遷移，找出解決問題的新途徑和方法；學生之間的合作交流、互助學習，能更好地調動學生的學習積極性，可以更好地根據學生的實際情況進行調整，更符合學生的認知規律．無論是例題的分析還是練習的分析，盡可能地鼓勵學生動腦、動手、動口，為學生提供展示自己聰明才智的機會，并且在此過程中發現學生分析問題、解決問題的獨到見解以及思維的誤區，更好地進行學習指導．
第2課時　列一元二次方程解決利潤問題
1．通過分析實際問題中的數量關系，建立方程解決利潤問題，認識方程模型的重要性，并總結運用方程解決實際問題的一般過程．
2．經歷分析和建模的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效的數學模型．
3．能夠利用一元二次方程解決有關實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養學生分析問題、解決問題的意識和能力．
重點
列一元二次方程解決利潤問題．
難點
尋找實際問題中的等量關系．
一、復習導入
1．列方程解決實際問題的一般步驟是什么？
審：審清題意，已知什么，求什么，已知與未知之間有什么關系；
設：設未知數，語句要完整，有單位(統一)的要注明單位；
列：找出等量關系，列方程；
解：解所列的方程；
驗：是否是所列方程的根；是否符合題意；
答：答案也必需是完整的語句，注明單位且要貼近生活．
2．列方程解決實際問題的關鍵是什么？
3．請同學們回憶并回答與利潤相關的知識？
進價：有時也稱成本價，是商家進貨時的價格；
標價：商家在出售時，標注的價格；
售價：消費者購買時真正花的錢數；
利潤：商品出售后，商家所賺的部分；
打折：商家為了促銷所采用的一種銷售手段，打折就是以標價為基礎，按一定比例降價出售．
二、探究新知
課件出示：
(1)新華商場銷售某種冰箱，每臺進價為2 500元，銷售價為2 900元，那么賣一臺冰箱商場能賺多少錢？
(2)新華商場銷售某種冰箱，每臺進價為2 500元．調查發現：當銷售價為2 900元時，平均每天能售出8臺；那么商場平均每天能賺多少錢？
(3)新華商場銷售某種冰箱，每臺進價為2 500元．調查發現：當銷售價為2 900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺．商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5 000元，每臺冰箱的定價應為多少元？(本題在教材的基礎上做了改動，降低難度)
分析：本例中涉及的數量關系較多，學生在思考時可能會有一定的難度．所以，教學時采用列表的形式分析其中的數量關系．
本題的主要等量關系：每臺冰箱的銷售利潤×平均每天銷售冰箱的數量＝5 000元．
如果設每臺冰箱降價x元，那么每臺冰箱的定價應為(29－x)元．
每天的銷售量/臺 每臺的銷售利潤/元 總銷售利潤/元
降價前
降價后
　　填完上表后，就可以列出一個方程，進而解決問題了．
當然，解題思路不應拘泥于這一種，在利用上述方法解完此題后，可以鼓勵學生自主探索，找尋其他解題的思路和方法．如求定價為多少，直接設每臺冰箱的定價應為x元，應如何解決？
三、舉例分析
例　某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個．調查發現，售價在40元至60元范圍內，這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個．為了實現平均每月10 000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少？這時應購進臺燈多少個？請你利用方程解決這一問題．
解：設這種臺燈的售價應定為x元．根據題意得
[600－10(x－40)](x－30)＝10 000.
解這個方程得
x1＝50，x2＝80(舍去)．
600－10(x－40)＝600－10×(50－40)＝500(個)．
答：臺燈的售價應定為50元，這時應購進臺燈500個．
四、練習鞏固
1．教材第55頁“隨堂練習”．
2．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經試銷發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1 200元，每件襯衫應降價多少元？
五、小結
通過這兩節課的學習，你能簡要說明利用方程解決實際問題的關鍵和步驟嗎？有哪些收獲？
解決實際問題的關鍵：尋找等量關系．
步驟：①整體地、系統地審清問題；
②尋找問題中的“等量關系”；
③正確求解方程并檢驗根的合理性．
六、課外作業
教材第55頁習題2.10第1～4題．
設未知數(未知量成了已知量)，帶著未知量去“翻譯”題目中的有關信息，然后將這些含有的量表示成等量關系，就是實際問題的解題策略．
無論是例題的分析還是練習的分析，盡可能地鼓勵學生動腦、動手、動口，為學生提供展示自己聰明才智的機會，并且在此過程中更利于教師發現學生分析問題、解決問題的獨到見解以及思維的誤區，以便指導今后的教學．課堂上要把激發學生學習熱情和獲得學習能力放在首位，通過運用各種啟發、激勵的語言，以及組織小組合作學習，幫助學生形成積極主動的求知態度．

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