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人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第26章 反比例函數
專題 一次函數與反比例函數綜合
類型一 、一次函數與反比例函數圖像綜合判斷的方法
解題策略：
根據一次函數和反比例函數的解析式確定一次函數的圖象和反比例函數的圖象，關鍵是熟練掌握兩類函數的性質。對于同一個字母或者比例系數符號要求要相同或者對于各函數形式中，對應的字母意義分析。
【例1-1】．函數與（）在同一直角坐標系中的圖像可能是（ ）
A．B． C． D．
【例1-2】．一次函數與反比例函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】．一次函數與反比例函數在同一直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】．已知二次函數 的圖象如圖所示，則反比例函數與一次函數在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A．B．C． D．
【變式1-3】．反比例函數與一次函數的圖像如圖所示，則下列結論正確的有（ ）
①；②；③；④若均在反比例函數上且，則且

A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④
【變式1-4】．一次函數與反比例函數在同一直角坐標系中的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
類型二 、一次函數與反比例函數的圖像交點問題
解題策略：
反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．
【例2-1】．如圖，反比例函數與一次函數的圖象交于A、B兩點．
(1)求A、B兩點的坐標；
(2)根據圖像直接寫出不等式的解集；
(3)求的面積．
【例2-2】反比例函數的圖像與直線相交于點A，A點的橫坐標為．
(1)求k的值．
(2)試判斷，是否在反比例函數的圖像上．
【變式2-1】．已知正比例函數和反比例函數的圖象有兩個交點，如果其中一個交點的橫坐標為1，求a及兩個交點的坐標．
【變式2-2】．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸、軸分別交于點，與反比例函數的圖象交于點．已知點坐標為，點坐標為．
(1)求，，的值；
(2)點在線段上，過點且平行于軸的直線交于點，交反比例函數圖象于點．當時，求點的坐標．
【變式2-3】．．一次函數與反比例函數為交于點．
(1)分別求兩個函數的解析式；
(2)根據圖象直接寫出，當時，x的取值范圍
(3)在坐標軸上找一點P，使得的面積為6，求出P點坐標．
類型三 一次函數與反比例函數的實際應用
解題策略：
這類問題考查反比例函數和一次函數的圖像性質、待定系數法等綜合知識。
二元一次方程組的應用。
解決這類問題利用平面直角坐標系中點坐標和特殊角的結合應用，數形結合，根據點坐標的特點，找到等量關系是解題的關鍵．
【例3-1】如圖是某型號冷柜循環制冷過程中溫度變化的部分示意圖．該冷柜的工作過程是：當冷柜溫度達到時制冷開始，溫度開始逐漸下降，當溫度下降到時制冷停止，溫度開始逐漸上升，當溫度上升到時，制冷再次開始，…，按照以上方式循環工作．通過分析發現，當時，溫度y是時間x的一次函數；當時，溫度y是時間x的反比例函數．
(1)求t的值；
(2)若規定溫度低于的時間為有效制冷時間，那么在一次循環過程中有多長時間屬于有效制冷時間？
【例3-2】．某數學小組探究“酒精對人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關系可近似的用如圖所示的圖象表示．國家規定，人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．
(1)求部分雙曲線的函數表達式；
(2)參照上述數學模型，假設某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上能否駕車出行？請說明理由．
【變式3-1】．為預防流感，某學校對教室采用藥熏消毒．已知藥物燃燒階段，室內每立方米空氣中的含藥量（單位：）與燃燒時間（單位：min）成正比例；燃燒后，與成反比例（如圖所示）．現測得藥物1燃燒完畢，此時教室內每立方米空氣含藥量為．根據以上信息解答下列問題：
(1)分別求出藥物燃燒時；藥物燃燒后，關于的函數解析式，并直接寫出自變量的取值范圍；
(2)研究表明，當每立方米空氣中含藥量低于時，對人體方能無毒害作用，那么從藥物燃燒完畢開始計時，至少需要經過多長時間，學生才可以返回教室？
【變式3-2】．為預防某種流感病毒，某校對教室采取噴灑藥物的方式進行消毒．在消毒過程中，先進行的藥物噴灑，接著封閉教室，然后打開門窗進行通風．教室內空氣中的含藥量與藥物在空氣中的持續時間之間的函數關系如圖所示，在打開門窗通風前分別滿足兩個一次函數關系，在通風后滿足反比例函數關系．
(1)求藥物噴灑后空氣中含藥量與藥物在空氣中的持續時間的函數表達式；
(2)如果室內空氣中的含藥量達到及以上且持續時間不低于，才能有效消毒，通過計算說明此次消毒是否有效？
【變式3-3】．心理學研究發現，一般情況下，在一節45分鐘的課中，學生的注意力隨學習時間的變化而變化．開始學習時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散．經過實驗分析可知，學生的注意力指標數y隨時間x（分鐘）的變化規律如下圖所示．
(1)開始學習后第5分鐘時與第40分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？
(2)某校博雅課堂學習大致可分為三個環節：即“自學自測展素養，研學隨練展收獲，檢學綜練展成效”．其中重點環節“研學隨練展收獲”這一過程一般需要30分鐘才能完成，為了確保效果，要求學習時的注意力指標數不低于40，請問這樣的課堂學習安排是否合理？并說明理由．
類型四 一次函數與反比例函數的幾何綜合
解題策略：
（1）掌握待定系數法求解函數解析式，一般用點的坐標表示圖形面積；．
（2）解題時，利用反比例函數圖象上點的坐標特征，同時要注意運用數形結合的思想；
（3）涉及到平行四邊形性質及應用等，根據平行四邊形對角線互相平分列方程組解決問題；
（4）反比例函數的性質、的意義，兩點間距離公式、三角形的面積、解方程，都是運用的關鍵；
（5）作圖要根據步驟做規范作圖。
【例4-1】．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于第一、第三象限內的，兩點，與x軸交于點C．
(1)求該反比例函數和一次函數的解析式．
(2)直接寫出當時，x的取值范圍．
(3)在y軸上找一點P使最大，求的最大值及點P的坐標．
【例4-2】．．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點軸交于點．
(1)求b的值和點B的坐標；
(2)如果點是該反比例函數圖象上一點，且點的橫坐標小于，連接、，當的面積等于10時，求點的坐標；
(3)如果點在該反比例函數的圖象上，點在軸上，當以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點的坐標．
【變式4-1】．．如圖，在平面直角坐標系中，--次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點，已知點，點A的坐標為．
(1)①直線的解析式為__________；
②反比例函數的解析式__________．
(2)根據圖象寫出：當x滿足__________時，．
(3)在y軸上是否存在點E，使的面積為12．若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【例4-2】．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為，點P是第一象限反比例函數圖象上一動點
(1)求k的值及點B的坐標；
(2)連接，若的面積為，求點P坐標：
(3)過點P作直線平行于交反比例函數于點Q，是否存在點P使得 若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由．
【例4-3】．．如圖，直線與雙曲線相交于點A、B，與x軸、y軸交于點M、N，已知點A的橫坐標為1．
(1)求直線的解析式及點B的坐標；
(2)求證：；
(3)以線段為斜邊在直線的上方作等腰直角三角形．求經過點C的雙曲線的解析式．
類型五 一次函數與反比例函數的其它綜合應用
解題策略：
讀懂題意，把題目中的問題轉化成一次函數、反比例函數問題；
利用一次函數、反比例函數的性質解決問題。
【例5-1】如圖，在等腰中，，，點為的中點，點以每秒1個單位長度的速度從點出發，沿方向勻速運動，至點處停止；點以每秒個單位長度的速度從點出發，沿著折線方向勻速運動，至點處停止，過點作于點，過點作于點，兩點同時出發，設運動時間為秒，的周長與的周長之比為，線段的長度為．
(1)請直接寫出，分別關于的函數表達式，并注明自變量的取值范圍；
(2)在給定的平面直角坐標系中，畫出函數、的圖象，并寫出函數的圖象的一條性質；
(3)結合函數圖象，請直接寫出時的取值范圍（近似值保留小數點后一位，誤差不超過0.2）
【變式5-1】如圖1，有一塊邊角料，其中，，，是線段，曲線可以看成反比例函數圖像的一部分．小寧想利用這塊邊角料截取一個面積最大的矩形，其中，在上（點在點左側），點在線段上，點在曲線上．測量發現：，，，點到，所在直線的距離分別為，．
(1)小寧嘗試建立坐標系來解決該問題，通過思考，他把，，，，這個點先描到平面直角坐標系上，記點的坐標為；點的坐標為．請你在圖中補全平面直角坐標系并畫出圖形；
(2)求直線，曲線的解析式；
(3)求矩形的最大面積．
【變式5-2】．在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數解析式—利用函數圖象研究其性質—運用函數圖象解決問題”的學習過程，以下是我們研究函數y＝||﹣4性質及其應用的部分過程，請按要求完成下列各小題．
(1)該函數的自變量取值范圍是 ；表中p＝ ，q＝ ，在所給的平面直角坐標系中補全該函數圖象；
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ ﹣ 0 1 2 3 4 …
y＝||﹣4 … 1 p 4 ﹣ q ﹣4 ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ …
(2)根據函數圖象寫出該函數的一條性質： ．
(3)已知函數y＝﹣x﹣1的圖象如圖所示，結合你所畫的函數圖象，直接寫出不等式||﹣4＜﹣x﹣1的解集（保留1位小數，誤差不超過0.2）．
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第26章 反比例函數
專題 一次函數與反比例函數綜合
類型一 、一次函數與反比例函數圖像綜合判斷的方法
解題策略：
根據一次函數和反比例函數的解析式確定一次函數的圖象和反比例函數的圖象，關鍵是熟練掌握兩類函數的性質。對于同一個字母或者比例系數符號要求要相同或者對于各函數形式中，對應的字母意義分析。
【例1-1】．函數與（）在同一直角坐標系中的圖像可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數圖像識別，熟練掌握一次函數和反比例函數圖像的性質是解題關鍵．首先根據反比例函數圖像確定的符號，再確定一次函數所經過的象限，據此逐項分析判斷即可．
【詳解】解：A.因為反比例函數在第一、三象限，所以，
則一次函數的圖像經過第一、三、四象限，與本選項圖像不相符，不符合題意；
B. 因為反比例函數在第一、三象限，所以，
則一次函數的圖像經過第一、三、四象限，與本選項圖像不相符，故不符合題意；
C. 因為反比例函數在第二、四象限，所以，
則一次函數的圖像經過第一、二、四象限，與本選項圖像不相符，不符合題意；
D. 因為反比例函數在第二、四象限，所以，
則一次函數的圖像經過第一、二、四象限，與本選項圖像相符，符合題意．
故選：D．
【例1-2】．一次函數與反比例函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是一次函數與反比例函數圖象的特點，熟知一次函數與反比例函數的性質是解答此題的關鍵．分別根據反比例函數及一次函數圖象的特點對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：∵一次函數中，，
∴直線與y軸的交點在正半軸，故A、B不合題意，
C、由一次函數的圖象過一、二、四象限可知，由反比例函數的圖象在二、四象限可知，故選項C符合題意；
D、由一次函數的圖象過一、二、三象限可知，由反比例函數的圖象在二、四象限可知，故選項D不符合題意；
故選：C．
【變式1-1】．一次函數與反比例函數在同一直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的圖象和一次函數的圖象，分兩種情況討論，當時，分析出一次函數和反比例函數所過象限；再分析出時，一次函數和反比例函數所過象限，符合題意者即為正確答案
【詳解】解：①當時，一次函數的圖象過一、三、四象限；反比例函數在一、三象限；
②當時，一次函數的圖象過一、二、四象限；反比例函數在二、四象限，
觀察圖形可知，只有C符合，
故選：C
【變式1-2】．已知二次函數 的圖象如圖所示，則反比例函數與一次函數在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了二次函數圖象，一次函數圖象，反比例函數圖象，根據二次函數圖象確定出a、b、c的符號，再判斷反比例函數與一次函數所在的位置即可．
【詳解】解：根據拋物線開口向下可得，由對稱軸在y軸右邊可得a、b異號，故，由與y軸交點在正半軸可得，
∴反比例函數的圖象在第一、三象限，一次函數經過第一、二、三象限，
符合條件的只有A選項，
故選：A．
【變式1-3】．反比例函數與一次函數的圖像如圖所示，則下列結論正確的有（ ）
①；②；③；④若均在反比例函數上且，則且

A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】由一次函數的圖像可得：，，由反比例函數的圖像可得：，可得①符合題意，②不符合題意；求解，，設，，再結合勾股定理與一元二次方程根與系數的關系可判斷③符合題意；由均在反比例函數上且，可得，可得④不符合題意．
【詳解】解：由一次函數的圖像可得：，，
由反比例函數的圖像可得：，
∴，故①符合題意，②不符合題意；
∵直線，
當，，則，
當，則，則，
設，，
∴，，
聯立，
∴整理得：，
∴，，
∴，即，，，
∴，，
∴，
∴，故③符合題意；
∵均在反比例函數上且，
∴，
解得：，故④不符合題意；
故選B
【點睛】本題考查的是一次函數與反比例函數圖象的綜合題，一元二次方程根與系數的關系，勾股定理的應用，反比例函數的性質，本題難度大，掌握基礎知識是解本題的關鍵．
【變式1-4】．一次函數與反比例函數在同一直角坐標系中的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是一次函數與反比例函數圖象共存問題，先根據一次函數圖象的性質判斷的符號，再進一步判斷反比例函數圖象即可．
【詳解】解：A、由一次函數的圖象知，，，則，所以反比例函數的圖象位于第二、四象限，不符合題意；
B、由一次函數的圖象知，，，則，所以反比例函數的圖象位于第二、四象限，不符合題意；
C、由一次函數的圖象知，，，則，所以反比例函數的圖象位于第一、三象限，不符合題意；
D、由一次函數的圖象知，，，則，所以反比例函數的圖象位于第二、四象限，符合題意；
故選：D．
類型二 、一次函數與反比例函數的圖像交點問題
解題策略：
反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．
【例2-1】．如圖，反比例函數與一次函數的圖象交于A、B兩點．
(1)求A、B兩點的坐標；
(2)根據圖像直接寫出不等式的解集；
(3)求的面積．
【答案】(1)，
(2)或
(3)6
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，利用了數形結合的思想，求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解．
（1）聯立一次函數與反比例函數解析式，求出方程組的解得到A與B的坐標即可；
（2）由A與B交點的橫坐標，以及0將x軸分為4個范圍，找出一次函數圖象位于反比例圖象上方時x的范圍即可；
（3）由一次函數求出y的值，確定出D坐標，即為的長，依據三角形面積=三角形面積+三角形面積，求出即可．
【詳解】（1）解：聯立兩函數解析式得：，
解得：或，
即，；
（2）解：根據圖象得：當或時，一次函數值大于反比例函數值，
∴不等式的解集為或；
（3）解：令中，得到，
即，
∴，
∴．
【例2-2】反比例函數的圖像與直線相交于點A，A點的橫坐標為．
(1)求k的值．
(2)試判斷，是否在反比例函數的圖像上．
【答案】(1)
(2)不在函數圖像上，在函數圖像上
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，屬于基礎題，解答本題一定要注意待定系數法的運用．
（1）將點的橫坐標代入可得出縱坐標，然后代入雙曲線可求出反比例函數的解析式．
（2）把點，代入即可判斷；
【詳解】（1）解：當時，由知，故，
將代入中，可知，
（2）由（1）可得
當時故點不在反比例函數的圖像上，
當時故點在反比例函數的圖像上.
【變式2-1】．已知正比例函數和反比例函數的圖象有兩個交點，如果其中一個交點的橫坐標為1，求a及兩個交點的坐標．
【答案】，，．
【分析】本題主要考查正比例函數，反比例函數交點的綜合運用．根據函數有交點，聯立方程組，將一個交點的橫坐標為1代入，即可求出的值，從而求出函數解析式，聯立兩個函數，即可求解出兩個交點坐標．
【詳解】解：函數和的圖象有兩個交點，且一個交點的橫坐標為1，
聯立得，，
則，
∴函數的解析式為，，，
∴，解方程組得，，，
∴這兩個函數圖象的交點坐標分別是，．
【變式2-2】．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸、軸分別交于點，與反比例函數的圖象交于點．已知點坐標為，點坐標為．
(1)求，，的值；
(2)點在線段上，過點且平行于軸的直線交于點，交反比例函數圖象于點．當時，求點的坐標．
【答案】(1),；
(2)點的坐標為．
【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合：
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）設，則，，根據，得到，解得，據此求出點F的縱坐標，進而求出點F的坐標即可．
【詳解】（1）解：把點代入得，，
解得，
反比例函數的表達式為，
把點，點代入得，
，
解得；
（2）解：由（1）得反比例函數的表達式為，一次函數的表達式為；
設，
平行于軸，
，
，
，
，解得，
，
點的縱坐標為，
把代入得，
解得，
點的坐標為．
【變式2-3】．．一次函數與反比例函數為交于點．
(1)分別求兩個函數的解析式；
(2)根據圖象直接寫出，當時，x的取值范圍
(3)在坐標軸上找一點P，使得的面積為6，求出P點坐標．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或或
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數解析式，根據題意細心分析是解題關鍵．
（1）首先將A，B兩點坐標代入反比例函數解析式，得出m，n的值，再利用待定系數法即可解決問題；
（2）觀察圖象，寫出一次函數的圖象在反比例函數圖象下方時，x的取值范圍即可；
（3）分兩種情況討論，設出P點坐標，再根據三角形的面積求解即可．
【詳解】（1）解：（1）將，代，得，
反比例函數的解析式為，
將代入，得，
，
將A，B兩點坐標代入，得，
解得，
∴一次函數解析式為，
∴兩個函數的解析式分別為，；
（2）解：根據題意得，一次函數的圖象在反比例函數圖象下方時所對應的x的取值范圍即為所求，此時x的范圍是：或；
（3）解：當P在x軸上時，
設，
的面積為6，
，
，
點坐標為或，
當P在y軸上時，
設，
的面積為6，
，
，
點坐標為或，
綜上所述，P點的坐標為或或或．
類型三 一次函數與反比例函數的實際應用
解題策略：
這類問題考查反比例函數和一次函數的圖像性質、待定系數法等綜合知識。
二元一次方程組的應用。
解決這類問題利用平面直角坐標系中點坐標和特殊角的結合應用，數形結合，根據點坐標的特點，找到等量關系是解題的關鍵．
【例3-1】如圖是某型號冷柜循環制冷過程中溫度變化的部分示意圖．該冷柜的工作過程是：當冷柜溫度達到時制冷開始，溫度開始逐漸下降，當溫度下降到時制冷停止，溫度開始逐漸上升，當溫度上升到時，制冷再次開始，…，按照以上方式循環工作．通過分析發現，當時，溫度y是時間x的一次函數；當時，溫度y是時間x的反比例函數．
(1)求t的值；
(2)若規定溫度低于的時間為有效制冷時間，那么在一次循環過程中有多長時間屬于有效制冷時間？
【答案】(1)20
(2)分鐘
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合運用，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
（1）由函數圖象可知當時間為時，溫度與時間之間是反比例函數關系，由圖象上點求出反比例函數的關系式，再由反比例函數關系式求出當時的的值即可；
（2）先求解一次函數的解析式，再分別求得時的函數值，即可求解．
【詳解】（1）解：設反比例函數的關系式為．
把代入，得：．
∴．
∴．
當時，，
∴．
（2）解：設一次函數函數的關系式為．
把代入，得：，解得：，
∴，
當在溫度下降過程中，，
解得：，
當在溫度上升過程中，，
解得：，
∴，
∴一次循環過程中有屬于有效制冷時間．
【例3-2】．某數學小組探究“酒精對人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關系可近似的用如圖所示的圖象表示．國家規定，人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．
(1)求部分雙曲線的函數表達式；
(2)參照上述數學模型，假設某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上能否駕車出行？請說明理由．
【答案】(1)
(2)不能，見解析
【分析】本題考查反比例函數的應用，熟練掌握一次函數與反比例函數的圖象、待定系數法的應用是解題關鍵．
（1）由待定系數法可以求出的函數表達式，從而得到點坐標，進一步得到點坐標，然后再利用待定系數法可以得到部分雙曲線的函數表達式；
（2）在部分雙曲線的函數表達式中令，可以得到飲用低度白酒100毫升后完全醒酒的時間范圍，再把題中某人喝酒后到準備駕車的時間間隔進行比較即可得解．
【詳解】（1）解：設的函數表達式為，則：
，
，
的函數表達式為，
當時，，
可設部分雙曲線的函數表達式為，
由圖象可知，當時，，
，
部分雙曲線的函數表達式為；
（2）解：在中，令，
可得：，
解之可得：，
晚上到第二天早上的時間間隔為，，
某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上時體內的酒精含量高于20（毫克百毫升），
某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上不能駕車出行．
【變式3-1】．為預防流感，某學校對教室采用藥熏消毒．已知藥物燃燒階段，室內每立方米空氣中的含藥量（單位：）與燃燒時間（單位：min）成正比例；燃燒后，與成反比例（如圖所示）．現測得藥物1燃燒完畢，此時教室內每立方米空氣含藥量為．根據以上信息解答下列問題：
(1)分別求出藥物燃燒時；藥物燃燒后，關于的函數解析式，并直接寫出自變量的取值范圍；
(2)研究表明，當每立方米空氣中含藥量低于時，對人體方能無毒害作用，那么從藥物燃燒完畢開始計時，至少需要經過多長時間，學生才可以返回教室？
【答案】(1)藥物燃燒時；，藥物燃燒后
(2)至少需要分鐘后學生才能回教室
【分析】本題考查正比例函數和反比例函數的實際應用；
（1）設，將點代入函數解析式求出即可；設，將點代入函數解析式求出即可；
（2）令，解出即可．
【詳解】（1）解：設，
∵函數經過點，
∴，，
∴；
根據函數圖象可得
∴藥物燃燒時；，
設，
∵函數經過點，
∴，，
∴；
根據函數圖象可得
∴藥物燃燒后；
（2）令，則，，
答：至少需要分鐘后學生才能回教室．
【變式3-2】．為預防某種流感病毒，某校對教室采取噴灑藥物的方式進行消毒．在消毒過程中，先進行的藥物噴灑，接著封閉教室，然后打開門窗進行通風．教室內空氣中的含藥量與藥物在空氣中的持續時間之間的函數關系如圖所示，在打開門窗通風前分別滿足兩個一次函數關系，在通風后滿足反比例函數關系．
(1)求藥物噴灑后空氣中含藥量與藥物在空氣中的持續時間的函數表達式；
(2)如果室內空氣中的含藥量達到及以上且持續時間不低于，才能有效消毒，通過計算說明此次消毒是否有效？
【答案】(1)；
(2)此次消毒有效，理由見解析
【分析】本題考查了反比例函數的應用：能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型，理解題意以及對函數的分類討論是解題關鍵．
（1）當時，y與x為反比例函數關系式，，可得反比例函數解析式；
（2）計算正比例函數和反比例函數的函數值為5對應的自變量的值，則它們的差為含藥量不低于的持續時間，然后與比較大小即可判斷此次消毒是否有效．
【詳解】（1）解：當時，
設，將代入，
則，
∴；
（2）解：此次消毒有效．理由如下：
當時，
設，將代入，
則，解得：，
∴；
當時，，解得，
當時，，解得，
∵，
∴此次消毒有效．
【變式3-3】．心理學研究發現，一般情況下，在一節45分鐘的課中，學生的注意力隨學習時間的變化而變化．開始學習時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散．經過實驗分析可知，學生的注意力指標數y隨時間x（分鐘）的變化規律如下圖所示．
(1)開始學習后第5分鐘時與第40分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？
(2)某校博雅課堂學習大致可分為三個環節：即“自學自測展素養，研學隨練展收獲，檢學綜練展成效”．其中重點環節“研學隨練展收獲”這一過程一般需要30分鐘才能完成，為了確保效果，要求學習時的注意力指標數不低于40，請問這樣的課堂學習安排是否合理？并說明理由．
【答案】(1)第40分鐘時更集中
(2)合理，理由見解析
【分析】本題主要考查了反比例函數的應用，此題屬于分段函數，根據實際情況，結合圖象，求出相對應的函數解析式，計算出數值，代入相應的函數解析式解決問題．
（1）從圖象上看，表示的函數為一次函數，是平行于軸的線段，為雙曲線的一部分，設出解析式，代入數值可以解答，把自變量的值代入相對應的函數解析式，求出對應的函數值比較得出；
（2）求出相對應的自變量的值，代入相對應的函數解析式，求出注意力指標數與40相比較，得出答案．
【詳解】（1）解：設，把，代入函數解析式解得，，
由圖象直接得到，
設，把代入函數解析式解得；
把代入，得，
把代入，得，
因為，
所以第40分鐘時學生的注意力更集中；
（2）解：由題意知，注意力指數不低于40
即當在，
同時
即
即當開始上課分鐘直至上課37.5分鐘時學生的注意力指數均不小于40．
而，
該學習設計合理．
類型四 一次函數與反比例函數的幾何綜合
解題策略：
（1）掌握待定系數法求解函數解析式，一般用點的坐標表示圖形面積；．
（2）解題時，利用反比例函數圖象上點的坐標特征，同時要注意運用數形結合的思想；
（3）涉及到平行四邊形性質及應用等，根據平行四邊形對角線互相平分列方程組解決問題；
（4）反比例函數的性質、的意義，兩點間距離公式、三角形的面積、解方程，都是運用的關鍵；
（5）作圖要根據步驟做規范作圖。
【例4-1】．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于第一、第三象限內的，兩點，與x軸交于點C．
(1)求該反比例函數和一次函數的解析式．
(2)直接寫出當時，x的取值范圍．
(3)在y軸上找一點P使最大，求的最大值及點P的坐標．
【答案】(1)，
(2)或
(3)，
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求反比例函數和一次函數的解析式，根據點的坐標求線段長，正確掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法，即可得到反比例函數和一次函數的解析式；
（2）根據兩點的橫坐標及直線與雙曲線的位置關系求的取值范圍；
（3）根據一次函數，求得與軸的交點，此交點即為所求．
【詳解】（1）解：把代入，可得，
∴反比例函數的解析式為；
把點代入，可得，
∴；
把，代入，
可得，
解得，
∴一次函數的解析式為．
（2）解：根據圖象可得，當時，或．
（3）解：一次函數的解析式為，令，則，
∴一次函數與y軸的交點為，
此時，最大，P即為所求，
令，則，
∴，
∴，
∴的最大值為．
【例4-2】．．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點軸交于點．
(1)求b的值和點B的坐標；
(2)如果點是該反比例函數圖象上一點，且點的橫坐標小于，連接、，當的面積等于10時，求點的坐標；
(3)如果點在該反比例函數的圖象上，點在軸上，當以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點的坐標．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數法解答，即可；
（2）過點P作軸于點E，設點P的坐標為，則，根據，得到關于m的方程，即可；
（3）設點D的坐標為，點Q的坐標為，分三種情況：若以為對角線時，若以為對角線時，若以為對角線時，即可求解．
【詳解】（1）解：把代入，得：
，解得：，
∴一次函數的解析式為，
當時，，
∴點B的坐標為；
（2）解：如圖，過點P作軸于點E，

設點P的坐標為，則，
對于，
當時，，
∴點C的坐標為，
∴，
∵點B的坐標為，
∴，
∵，的面積等于10，
∴，
解得：（舍去），
∴點P的坐標為；
（3）解：設點D的坐標為，點Q的坐標為，
若以為對角線時，
，解得：，
∴點Q的坐標為；此時，共線，經檢驗不符合題意；
若以為對角線時，
，解得：，經檢驗符合題意；
∴點Q的坐標為；
若以為對角線時，
，解得：，經檢驗符合題意；
∴點Q的坐標為；
綜上所述，點Q的坐標為或．
【點睛】本題主要考查了一次函數與反比例函數的綜合應用，平行四邊形的性質，一元二次方程的解法，中點坐標公式的應用，清晰的分類討論是解本題的關鍵．
【變式4-1】．．如圖，在平面直角坐標系中，--次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點，已知點，點A的坐標為．
(1)①直線的解析式為__________；
②反比例函數的解析式__________．
(2)根據圖象寫出：當x滿足__________時，．
(3)在y軸上是否存在點E，使的面積為12．若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)①②
(2)或
(3)E的坐標為或
【分析】（1）①把，分別代入解析式，再利用待定系數法求解即可．②把代入解析式，確定A的坐標，再代入求解即可．
（2）直接利用函數圖象解題即可；
（3）設，則，根據題意，得到，計算即可．
【詳解】（1）解：①把，分別代入解析式得：
，
解得，
∴直線的解析式為．
②∵點A的坐標為，直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴反比例函數為：；
（2）解：∵，，
由圖象可得：當x滿足或時，
（3）解：∵直線的解析式為．
當時，則，
∴，
設，
∵，，，
∴，
∴，
解得，
∴E的坐標為或．
【點睛】本題考查了待定系數法求解析式，線段坐標的轉化，三角形面積的分割法表示，利用函數圖象解不等式，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．
【例4-2】．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為，點P是第一象限反比例函數圖象上一動點
(1)求k的值及點B的坐標；
(2)連接，若的面積為，求點P坐標：
(3)過點P作直線平行于交反比例函數于點Q，是否存在點P使得 若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由．
【答案】(1)，
(2)點坐標為，或
(3)，或，
【分析】本題是反比例函數綜合題，考查了待定系數法，反比例函數的圖象和性質，反比例函數中的幾何意義，一次函數與反比例函數的圖象交點坐標，三角形面積，兩點間距離公式等，運用分類討論思想和方程思想是解題關鍵．
（1）運用待定系數法即可求得的值，聯立方程組可求得點的坐標；
（2）設，過點、分別作軸的垂線，垂足分別為、，則，，分兩種情況：當時，當時，分別利用三角形面積建立方程即可求得答案；
（3）設直線的解析式為，與反比例函數解析式聯立可得，則，，進而可得，根據，建立方程求解可得，即直線的解析式為，聯立方程組即可求得答案．
【詳解】（1）把代入，得，
，
代入，得，
，
反比例函數的解析式為，
聯立方程組得：，
解得：，，
；
（2）設，過點、分別作軸的垂線，垂足分別為、，
則，，
當時，如圖1，則，
，，，
，
，即，
解得：（舍去），，
，；
當時，如圖2，則，
，，，
，
，即，
解得：，（舍去），
；
綜上所述，點坐標為，或；
（3）存在點使得，點坐標為，或，．
，
設直線的解析式為，
聯立，得，
整理得：，
則，，
又，，則，
，
，，
，
，
、均在第一象限，
，
，
直線的解析式為，
聯立得，
解得：，，
，或，．
【例4-3】．．如圖，直線與雙曲線相交于點A、B，與x軸、y軸交于點M、N，已知點A的橫坐標為1．
(1)求直線的解析式及點B的坐標；
(2)求證：；
(3)以線段為斜邊在直線的上方作等腰直角三角形．求經過點C的雙曲線的解析式．
【答案】(1)；
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查反比例函數與一次函數綜合，熟練掌握反比例函數圖象上的點的坐標特征是解題關鍵．
（1）把代入，求出點A的坐標，從而求出直線的解析式，再聯立兩函數解析式，可求出點B的坐標；
（2）求出點，可得到，，即可求證；
（3）設點C的坐標為，根據是等腰直角三角形，可得，從而得到關于m，n的方程組，求出m，n，即可求解．
【詳解】（1）解：把代入得：，
∴點A的坐標為，
把點代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為；
聯立得：，
解得：或，
∴點B的坐標為；
（2）解：對于，
當時，，
當時，，
解得：，
∴點，
∵，，
∴，
，
∴，
∴；
（3）解：設點C的坐標為，
∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∴點C的坐標為，
設點C所在的反比例函數解析式為，
把點代入得：，
解得：，
∴點C所在的反比例函數解析式為．
類型五 一次函數與反比例函數的其它綜合應用
解題策略：
讀懂題意，把題目中的問題轉化成一次函數、反比例函數問題；
利用一次函數、反比例函數的性質解決問題。
【例5-1】如圖，在等腰中，，，點為的中點，點以每秒1個單位長度的速度從點出發，沿方向勻速運動，至點處停止；點以每秒個單位長度的速度從點出發，沿著折線方向勻速運動，至點處停止，過點作于點，過點作于點，兩點同時出發，設運動時間為秒，的周長與的周長之比為，線段的長度為．
(1)請直接寫出，分別關于的函數表達式，并注明自變量的取值范圍；
(2)在給定的平面直角坐標系中，畫出函數、的圖象，并寫出函數的圖象的一條性質；
(3)結合函數圖象，請直接寫出時的取值范圍（近似值保留小數點后一位，誤差不超過0.2）
【答案】(1)；
(2)見解析，函數的圖象在時，有最大值3
(3)或
【分析】（1）根據局 等腰三角形三線合一證明是的角平分線，是垂直平分線，求出，再利用直角三角形30度角所對的邊是斜邊的一半，得到，勾股定理求出，即可得到；
（2）根據（1）中函數關系式，結合自變量的范圍，即可畫出函數圖象，再由函數圖象即可得到的性質；
（3）根據函數圖象， ，即為函數的圖象在函數圖象上方時，的取值范圍，據此解答即可．
【詳解】（1）解：等腰中，，，點為的中點，
，是的角平分線，，
，
，
，
的周長為：；
根據題意得：，
，，
，
，
在中，，
的周長為：，
；
，
當時，點Q在上運動，此時，；
當時，點Q在上運動，此時，；
綜上，；
（2）解：函數圖象如圖所示：
函數的圖象在時，有最大值3；
（3）解：根據函數圖象：
當時，，
時，或
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，反比例函數解析式，一次函數的解析式，根據解析式畫函數的圖象等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．
【變式5-1】如圖1，有一塊邊角料，其中，，，是線段，曲線可以看成反比例函數圖像的一部分．小寧想利用這塊邊角料截取一個面積最大的矩形，其中，在上（點在點左側），點在線段上，點在曲線上．測量發現：，，，點到，所在直線的距離分別為，．
(1)小寧嘗試建立坐標系來解決該問題，通過思考，他把，，，，這個點先描到平面直角坐標系上，記點的坐標為；點的坐標為．請你在圖中補全平面直角坐標系并畫出圖形；
(2)求直線，曲線的解析式；
(3)求矩形的最大面積．
【答案】(1)見解析
(2)；
(3)當時，矩形的面積的最大值為
【分析】
（1）根據已知條件建立平面直角坐標系，在圖中描出相應的點即可；
（2）設直線的解析式為，的解析式為，將點，兩點代入即可求出直線的解析式，將點代入反比例函數圖像，即可求出的解析式；
（3）設點的橫坐標為，則點坐標為，表示出，點坐標為，的面積為，將坐標代入，利用二次函數最大值問題求出最后結果．
【詳解】（1）解：如圖
（2）設直線的解析式為，將點，代入得直線的解析式為：，
由點得曲線的解析式為：．
（3）如圖，設點的橫坐標為，則點坐標為，
，
四邊形是矩形，
，
點坐標為，
設矩形的面積為，
，
當時，矩形的面積的最大值為．
【點睛】本題考查了坐標系中描點的問題，涉及到一次函數和反比例函數解析式的求解，二次函數的實際應用，注意抓住題目中的等量關系列出函數表達式，研究其最值是解答本題的關鍵．
【變式5-2】．在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數解析式—利用函數圖象研究其性質—運用函數圖象解決問題”的學習過程，以下是我們研究函數y＝||﹣4性質及其應用的部分過程，請按要求完成下列各小題．
(1)該函數的自變量取值范圍是 ；表中p＝ ，q＝ ，在所給的平面直角坐標系中補全該函數圖象；
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ ﹣ 0 1 2 3 4 …
y＝||﹣4 … 1 p 4 ﹣ q ﹣4 ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ …
(2)根據函數圖象寫出該函數的一條性質： ．
(3)已知函數y＝﹣x﹣1的圖象如圖所示，結合你所畫的函數圖象，直接寫出不等式||﹣4＜﹣x﹣1的解集（保留1位小數，誤差不超過0.2）．
【答案】(1)x≠﹣1，2，0；p＝2，q＝0，見解析
(2)x<﹣1時，y隨x值的增大而增大
(3)x<﹣3或﹣0.4【分析】（1）根據分母不能為0即可寫出自變量的取值范圍；利用函數解析式分別求出對應的函數值即可；利用描點法畫出圖象即可；
（2）觀察圖象可知：x<-1時，y隨x值的增大而增大；
（3）首先確定函數與函數的圖象交點橫坐標，確定出函數的圖象在函數圖象下方時自變量取值范圍即可．
【詳解】（1）∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
∴函數y＝||﹣4的自變量x的取值范圍是x≠﹣1，
把x＝﹣3代入y＝||﹣4得，
∴
把﹣代入函數關系式y＝||﹣4得，
∴q＝0，
畫出函數圖象如圖：
故答案為x≠﹣1，2，0．
（2）觀察圖象可知：x<﹣1時，y隨x值的增大而增大；
故答案為：x<﹣1時，y隨x值的增大而增大；
（3）由圖象可知，函數與函數的圖象交點橫坐標分別為-3，-0.4，1
∵當x<﹣3或﹣0.4∴不等式||﹣4<﹣x﹣1的解集為x<﹣3或﹣0.4【點睛】本題主要考查反比例函數的圖象和性質，一次函數與一元一次不等式，會用描點法畫出函數圖象，利用數形結合的思想得到函數的性質是解題的關鍵．
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