資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版九年級數(shù)學下名師點撥與訓練
第26章 反比例函數(shù)
26.1.2 反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)（2）
學習目標
1 通過圖象探索反比例函數(shù)的主要性質(zhì).
2 逐步提高從函數(shù)圖象獲取信息的能力，會運用數(shù)形結合的思想方法解決涉及反比例函數(shù)的有關問題．
老師告訴你
反比例函數(shù)的幾何意義
過雙曲線() 上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.
過雙曲線() 上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.
只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標軸的垂線和兩坐標軸圍成的面積始終是不變的.
一、知識點撥
知識點1 、反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義
K的幾何意義 在反比例函數(shù)上任取一點P(x，y),過這個點分別作x軸，y軸的垂線PM、PN，于坐標軸圍成的矩形PMON的面積S=PM·PN===k
基本圖形面積
基本圖形面積
要點詮釋：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標軸的垂線和兩坐標軸圍成的面積始終是不變的.
【新知導學】
【例1-1】．如圖，點P，Q在反比例函數(shù)的圖象上，點M在x軸上，點N在y軸上，下列說法正確的是（ ）

A．圖1、圖2中陰影部分的面積分別為2，4
B．圖1、圖2中陰影部分的面積分別為1，2
C．圖1、圖2中陰影部分的面積之和為8
D．圖1、圖2中陰影部分的面積之和為3
【例1-2】．如圖，點C、E在坐標軸上，矩形分別交某反比例函數(shù)于點F、G，，，的面積為9，則該反比例函數(shù)解析式為 ．
【對應導練】
1．如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，過點A作軸，垂足為B，點C為y軸上的一點，若，，則下列說法錯誤的是（ ）

A．點A的坐標為
B．
C．若點也在此反比例函數(shù)的圖象上，則
D．若點A和點N關于原點對稱，則點N在此反比例函數(shù)的另一個分支上
2．已知一個反比例函數(shù)，當時，．寫出這個函數(shù)的解析式．如果在它的圖象上任取一點，作軸，軸，，為垂足，求矩形的面積．
3．在反比例函數(shù)的圖象上有不重合的兩點、，點的縱坐標為2．
(1)求點的橫坐標；
(2)過點向軸作垂線，垂足是，試求．
4．如圖，點在雙曲線上，點在軸的正半軸上，點在雙曲線上，過點作軸，過點作軸，垂足分別為，．

(1)求陰影部分的面積；
(2)若四邊形是平行四邊形，求的值；
(3)在（2）的條件下，若，直接寫出點的坐標．
5．（1）已知函數(shù)與的圖象在第二象限內(nèi)交于，兩點，求的面積．
（2）如圖，已知函數(shù)與的圖象在第一象限內(nèi)交于，兩點，且的面積為，求的值．

知識點2 、反比例函數(shù)解析式確定
待定系數(shù)法
（1）設所求反比例函數(shù)解析式為：
（2）找出反比例函數(shù)圖像上一點P（a,b），并將其代入解析式得k=ab；
（3）確定反比例函數(shù)解析式
2 .題中已知面積時，考慮利用k得幾何意義，由面積得|k|，再綜合圖像所在象限判段k得正負，從而得出k的值，代入解析式即可
【新知導學】
【例2-1】．水池中有若干噸水，開一個出水口將全池水放光，所用時間（單位：）與出水速度（單位：）之間的關系如下表：
出水速度（）
（）
用式子表示與的關系是 ．
【例2-2】．名師原創(chuàng)如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，，，連接．
(1)線段______；
(2)若雙曲線經(jīng)過點B和點C，則k的值為______；
(3)連接，，，若雙曲線與四邊形總有公共點，則m的取值范圍是______．
【對應導練】
1．函數(shù)的圖象可由反比例函數(shù)的圖象平移得到，求的值．
2．已知y是關于z的正比例函數(shù)，比例系數(shù)是2；z是關于x的反比例函數(shù)，比例系數(shù)是．
(1)寫出此正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式．
(2)求當時，x，y的值．
(3)求y關于x的函數(shù)表達式，這個函數(shù)是反比例函數(shù)嗎？
3．在直角坐標系中，設．
(1)已知點都在該函數(shù)的圖象上．
①求k的值；
②若，求n的值．
(2)當時，；當時，，求k的值．．
知識點3 、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合
方法1：分類討論的符號；
方法2：四個圖逐個分析判斷；
方法3：運用特殊點（值）去排除（此種方法作參考，不能完全排三選一）
【新知導學】
【例3-1】．反比例函數(shù)與在同一坐標系的圖象可能為（　　）
A． B．
C． D．
【例3-2】．如圖，已知直線與雙曲線交第一象限于點．
(1)求點的坐標和反比例函數(shù)的解析式；
(2)將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至點，求直線的函數(shù)解析式；
(3)在（2）的條件下，若點是射線上的一個動點，過點作軸的平行線，交雙曲線的圖像于點，交軸于點，且，求點的坐標．
【對應導練】
1．如圖所示，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點A和．
(1)求反比例函數(shù)的表達式及A點坐標；
(2)過點A作軸，垂足為D，求的面積．
2．如圖，反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象相交于點與點．
(1)試求反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的函數(shù)表達式及點的坐標．
(2)請直接寫出的解集．
(3)現(xiàn)把的圖象繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到了．試問在函數(shù)圖象上是否存在一動點，使是以為底邊的等腰三角形？如果有，請求出這個點的坐標；如果沒有，請說明理由．
3．如圖，已知，是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點．
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式，
(2)求的面積、
(3)結合函數(shù)圖象直接寫出不等式的解集．
二、題型訓練
1.利用圖形分割求面積
1．如圖，矩形的邊在x軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D，交于點E，且．
(1)若矩形的對角線相交于點F，試判斷點F是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．
(2)連接，求四邊形的面積．
2．如圖，過反比例函數(shù)圖象上的點分別作軸、軸的垂線段，垂足分別為點．
(1)求四邊形周長的最小值，并求出此時點的坐標；
(2)過點右邊的另一點分別作軸、軸的垂線段，垂足分別為點，如果點的橫坐標分別為，試比較四邊形與四邊形周長的大小．
3．如圖，以平行四邊形的頂點O為原點，邊所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，頂點A、C的坐標分別是，過點A的反比例函數(shù)的圖象交于D．
(1)點B的坐標為______．
(2)點D是的中點嗎？請說明理由；
(3)連接，求四邊形的面積．
利用面積確定k
4．如圖，平行四邊形中，，，它的邊在軸的負半軸上，對角線在軸的正半軸上．反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點．

(1)求反比例函數(shù)的表達式；
(2)過點的直線與反比例函數(shù)在第三象限的圖像相交于點，連接，直接寫出面積的取值范圍．
5．在平面直角坐標系中，，兩點在函數(shù)的圖象上，其中，軸于點，軸于點，且．
(1)若，則的長為________，的面積為________；
(2)若點的橫坐標為，且，當時，求的值．
6．如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作y軸的平行線，交函數(shù)的圖象于點B，連接，交反比例函數(shù)的圖象于點C，已知．
(1)求k的值；
(2)連接，若點A的橫坐標為4，求的面積．
3.一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合
7．如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于A、B兩點．
(1)求A、B兩點的坐標；
(2)根據(jù)圖像直接寫出不等式的解集；
(3)求的面積．
8．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集________；
(3)若P是x軸上一點，且滿足是直角三角形，直接寫出點P的坐標________．
9．如圖，已知是一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)求的面積；
(3)在坐標軸上是否存在一點P，使是直角三角形？直接寫出點P的坐標．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，點為反比例函數(shù)的圖象上一點，過點分別向軸、軸作垂線，垂足分別為、，若矩形的面積為6，則的值為（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則這個函數(shù)圖象一定經(jīng)過點（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，，則不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．已知與成反比例函數(shù)，且經(jīng)過點和點，則點的坐標可能是（　　）
A． B． C． D．
5．如圖，點P是反比例函數(shù)圖象上的一點，過點P向x軸作垂線，垂足為M，連接，則的面積為（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
6．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的一支曲線是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．如圖，反比例函數(shù)經(jīng)過A、B兩點，分別過A、B作x軸的垂線、，垂足分別為C、D，連接，連接交于點E，若的面積為3，則四邊形的面積是（ ）
A．2 B． C． D．1
8．如圖，已知點A是一次函數(shù)圖象上一點，過點A作x軸的垂線l，B是l上一點（B在A上方），在的右側(cè)以為斜邊作等腰直角三角形，反比例函數(shù)的圖象過點B，C，若的面積為8，則的面積是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，矩形的頂點在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過邊的中點和點，若，則的值為 ．
10．如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的邊在軸上，若反比例函數(shù)上經(jīng)過點和線段的中點，平行四邊形的面積為4，則的值為 ．
11．如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數(shù)的圖象上．點的坐標為，連接．若，則的值為 ．
12．如圖，兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設點P在上，軸于點C，交于點A，軸于點D，交于點B，則四邊形的面積為 ．
13．如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，垂直于軸于，是軸負半軸上一個動點，是斜邊上一點，連接并延長，交軸于點，連接，，若的面積為18，則的值為 ．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．已知反比例函數(shù)的解析式，并且當時，．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)當時，求y的值．
15．已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流Ⅰ（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關系．當時，，求這個反比例函數(shù)的解析式．
16．如圖，點A為函數(shù)圖象上的一點，過點A作x軸的平行線交 軸于點B，連接，如果的面積為2，求k的值．
17．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A、B兩點，與y軸交于點C，過點A作軸，垂足為M，，點B的縱坐標為．
(1)求反比例函數(shù)表達式和一次函數(shù)的解析式；
(2)直接寫出當時，自變量的取值范圍；
(3)連接、，求的面積；
18．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)若是軸上一點，且滿足的面積是6，請求出點的坐標．
19．已知一次函數(shù)與反比例函數(shù) 的圖象交于兩點．
(1)①求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
②求的面積．
(2)在x軸的負半軸上，是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
人教版九年級數(shù)學下名師點撥與訓練
第26章 反比例函數(shù)
26.1.2 反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)（2）
學習目標
1 通過圖象探索反比例函數(shù)的主要性質(zhì).
2 逐步提高從函數(shù)圖象獲取信息的能力，會運用數(shù)形結合的思想方法解決涉及反比例函數(shù)的有關問題．
老師告訴你
反比例函數(shù)的幾何意義
過雙曲線() 上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.
過雙曲線() 上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.
只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標軸的垂線和兩坐標軸圍成的面積始終是不變的.
一、知識點撥
知識點1 、反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義
K的幾何意義 在反比例函數(shù)上任取一點P(x，y),過這個點分別作x軸，y軸的垂線PM、PN，于坐標軸圍成的矩形PMON的面積S=PM·PN===k
基本圖形面積
基本圖形面積
要點詮釋：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標軸的垂線和兩坐標軸圍成的面積始終是不變的.
【新知導學】
【例1-1】．如圖，點P，Q在反比例函數(shù)的圖象上，點M在x軸上，點N在y軸上，下列說法正確的是（ ）

A．圖1、圖2中陰影部分的面積分別為2，4
B．圖1、圖2中陰影部分的面積分別為1，2
C．圖1、圖2中陰影部分的面積之和為8
D．圖1、圖2中陰影部分的面積之和為3
【答案】A
【分析】本題考查了已知比例系數(shù)求特殊圖形的面積，設點，則，點,為的中點，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：設點，則，
根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性可知：點,為的中點
圖1中陰影部分的面積為：，
圖2中陰影部分的面積為：，
故選：A．
【例1-2】．如圖，點C、E在坐標軸上，矩形分別交某反比例函數(shù)于點F、G，，，的面積為9，則該反比例函數(shù)解析式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，正確地求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關鍵．
由反比例函數(shù)k的幾何意義得到的面積=的面積=，根據(jù)的面積=矩形的面積-的面積-的面積-的面積可求出k，即可求出答案．
【詳解】解：設反比例函數(shù)解析式為，
∵矩形分別交某反比例函數(shù)于點F、G，，，
∴,的面積=的面積=，
∵的面積=矩形的面積-的面積-的面積-的面積=9，矩形的面積，
∴，
解得（負值已舍去），
∴反比例函數(shù)解析式為．
故答案為：．
【對應導練】
1．如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，過點A作軸，垂足為B，點C為y軸上的一點，若，，則下列說法錯誤的是（ ）

A．點A的坐標為
B．
C．若點也在此反比例函數(shù)的圖象上，則
D．若點A和點N關于原點對稱，則點N在此反比例函數(shù)的另一個分支上
【答案】C
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，求反比例函數(shù)解析式，求反比例函數(shù)值，先根據(jù)，，軸，得到，進而利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式為，據(jù)此可判斷A；連接，證明，可得，據(jù)此可判斷B；把代入反比例函數(shù)解析式求出m的值，據(jù)此可判斷C；根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性即可判斷D．
【詳解】解：∵，，軸，
∴點A的坐標為，故A說法正確，不符合題意；
把代入中得：，解得，
∴反比例函數(shù)解析式為，
如圖所示，連接，
∵軸，
∴，
∴，故B說法正確，不符合題意；

∵點也在此反比例函數(shù)的圖象上，
∴，故C說法錯誤，符合題意；
由反比例函數(shù)的對稱性可知，若點A和點N關于原點對稱，則點N在此反比例函數(shù)的另一個分支上，故D說法正確，不符合題意；
故選：C．
2．已知一個反比例函數(shù)，當時，．寫出這個函數(shù)的解析式．如果在它的圖象上任取一點，作軸，軸，，為垂足，求矩形的面積．
【答案】8
【分析】
本題考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，設反比例函數(shù)的解析式為，把，代入即可得出的值，再根據(jù)矩形面積是個定值，即即可得出答案．
【詳解】
解：設反比例函數(shù)的解析式為，把，代入，得，
矩形的面積．
3．在反比例函數(shù)的圖象上有不重合的兩點、，點的縱坐標為2．
(1)求點的橫坐標；
(2)過點向軸作垂線，垂足是，試求．
【答案】(1)點的橫坐標為4；
(2)
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
（1）將點的橫坐標代入求解即可；
（2）設，則有，，根據(jù)三角形面積公式可得答案．
【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象上的點縱坐標為2，
∴，
∴，
∴點的橫坐標為4；
（2）解：設則有，
，，
∴．
4．如圖，點在雙曲線上，點在軸的正半軸上，點在雙曲線上，過點作軸，過點作軸，垂足分別為，．

(1)求陰影部分的面積；
(2)若四邊形是平行四邊形，求的值；
(3)在（2）的條件下，若，直接寫出點的坐標．
【答案】(1)5
(2)
(3)點
【分析】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．
（1）由反比例函數(shù)的性質(zhì)可求和的面積，即可求解；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)可求點，點的橫坐標互為相反數(shù)，可求，的長，即可求解；
（3）先求出點，點坐標，由中點坐標公式可求點坐標，由平行四邊形的性質(zhì)可求解．
【詳解】（1）解：由題意得，，，
陰影部分的面積；
（2）解：如圖所示，連接交于點，
四邊形是平行四邊形，
，即點H為的中點，
，
，，
；
（3）解：，，
∴，
在中，當時，
，，
，
點，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
點．
5．（1）已知函數(shù)與的圖象在第二象限內(nèi)交于，兩點，求的面積．
（2）如圖，已知函數(shù)與的圖象在第一象限內(nèi)交于，兩點，且的面積為，求的值．

【答案】（1）；（2）4
【分析】（1）如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，聯(lián)立，得出，，進而根據(jù)，即可求解．
（2）過點作軸、作軸，作軸，垂足分別為，得出的面積梯形的面積，設、兩點的坐標分別為，進而聯(lián)立直線與反比例數(shù)解析式，得出，根據(jù)的面積為，建立方程，解方程，即可求解．
【詳解】解：（1）如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，

聯(lián)立
解得：或
∴，
∴，
∵，
∴；
解：如圖所示：過點作軸、作軸，作軸，垂足分別為

同（1）可得的面積梯形的面積，
設、點是函數(shù)上與反比例函數(shù)上的交點，設、兩點的坐標分別為，
，化簡為，
，
的面積梯形的面積
即
解得：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．
知識點2 、反比例函數(shù)解析式確定
待定系數(shù)法
（1）設所求反比例函數(shù)解析式為：
（2）找出反比例函數(shù)圖像上一點P（a,b），并將其代入解析式得k=ab；
（3）確定反比例函數(shù)解析式
2 .題中已知面積時，考慮利用k得幾何意義，由面積得|k|，再綜合圖像所在象限判段k得正負，從而得出k的值，代入解析式即可
【新知導學】
【例2-1】．水池中有若干噸水，開一個出水口將全池水放光，所用時間（單位：）與出水速度（單位：）之間的關系如下表：
出水速度（）
（）
用式子表示與的關系是 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)，根據(jù)表可得與成反比例函數(shù)關系，，據(jù)此即可求解，由表中數(shù)據(jù)得出與的函數(shù)關系是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴與成反比例函數(shù)關系，，
∴，
故答案為：．
【例2-2】．名師原創(chuàng)如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，，，連接．
(1)線段______；
(2)若雙曲線經(jīng)過點B和點C，則k的值為______；
(3)連接，，，若雙曲線與四邊形總有公共點，則m的取值范圍是______．
【答案】(1)2；
(2)；
(3)．
【分析】本題主要考查了兩點間的距離公式、求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與幾何的綜合等知識點，掌握數(shù)形結合思想成為解題的關鍵．
（1）根據(jù)兩點間的距離公式求解即可；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得，解得，進而得到；
（3）分別將點、點代入反比例函數(shù)解析式分別可得和，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【詳解】（1）解：．
（2）解：∵雙曲線經(jīng)過點B和點C，
∴，解得，
∴．
（3）解：將點代入，得，將點代入，得，
∴雙曲線與四邊形總有公共點時，
∴m的取值范圍是．
【對應導練】
1．函數(shù)的圖象可由反比例函數(shù)的圖象平移得到，求的值．
【答案】
【分析】
本題考查了函數(shù)圖象的平移，把變形成的形式，即可作出判斷．
【詳解】
解：，
則可看成由向上平移2個單位長度，再向左平移一個單位長度得到．
故．
2．已知y是關于z的正比例函數(shù)，比例系數(shù)是2；z是關于x的反比例函數(shù)，比例系數(shù)是．
(1)寫出此正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式．
(2)求當時，x，y的值．
(3)求y關于x的函數(shù)表達式，這個函數(shù)是反比例函數(shù)嗎？
【答案】(1)，；
(2)x，；
(3)，這個函數(shù)是反比例函數(shù)．
【分析】本題考查的是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的定義，求解自變量或函數(shù)值，理解題意是關鍵．
（1）根據(jù)定義直接寫出函數(shù)解析式即可；
（2）利用函數(shù)解析式分別求解即可；
（3）消去變量即可得到函數(shù)解析式，再進一步解答即可；
【詳解】（1）解：∵y是關于z的正比例函數(shù)，比例系數(shù)是2；z是關于x的反比例函數(shù)，比例系數(shù)是，
∴，；
（2）解：當時，則，
解得x，
；
（3）解：∵，；
∴，這個函數(shù)是反比例函數(shù)．
3．在直角坐標系中，設．
(1)已知點都在該函數(shù)的圖象上．
①求k的值；
②若，求n的值．
(2)當時，；當時，，求k的值．
【答案】(1)①6；②
(2)12
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象上點的坐標特征，解一元二次方程等知識；掌握函數(shù)圖象上點的坐標特征是關鍵．
（1）①利用待定系數(shù)法即可得出k的值；
②把代入函數(shù)的解析式即可求得n的值；
（2）利用反比例函數(shù)系數(shù)得出，解關于m的方程求得m的值，進一步即可求得k的值．
【詳解】（1）解：①∵點該反比例函數(shù)圖象上，
，
∴；
②由①知，反比例函數(shù)解析式為；
在函數(shù)的圖象上，
，
解得或（舍去），
∴n的值為；
（2）解：∵當時，；當時，，
，
即，
解得或，
時，，不合題意，舍去，
，
．
知識點3 、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合
方法1：分類討論的符號；
方法2：四個圖逐個分析判斷；
方法3：運用特殊點（值）去排除（此種方法作參考，不能完全排三選一）
【新知導學】
【例3-1】．反比例函數(shù)與在同一坐標系的圖象可能為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
根據(jù)反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次對比即可得出答案．
【詳解】解：A、由反比例函數(shù)的圖象可知，，一次函數(shù)圖象呈上升趨勢且交與軸的正半軸，，即，故本選項錯誤；
B、由反比例函數(shù)的圖象可知，，一次函數(shù)圖象呈下降趨勢且交與軸的正半軸，，即，故本選項正確；
C、由反比例函數(shù)的圖象可知，，一次函數(shù)圖象呈上升趨勢且交與軸的負半軸（不合題意），故本選項錯誤；
D、由反比例函數(shù)的圖象可知，，一次函數(shù)圖象呈下降趨勢且交與軸的正半軸，，即，故本選項錯誤．
故選：B．
【例3-2】．如圖，已知直線與雙曲線交第一象限于點．
(1)求點的坐標和反比例函數(shù)的解析式；
(2)將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至點，求直線的函數(shù)解析式；
(3)在（2）的條件下，若點是射線上的一個動點，過點作軸的平行線，交雙曲線的圖像于點，交軸于點，且，求點的坐標．
【答案】(1)；
(2)
(3)點的坐標為或
【分析】（1）點在直線，可得出點的橫坐標，再將點的坐標代入反比例解析式即可求得反比例解析式；
點評
（2）根據(jù)題意，找出點的位置，過點作軸于點，過點作于點，可證，由此可得點的坐標，由待定系數(shù)法求可求出直線的解析式；
（3）根據(jù)題意作出圖形，由面積比可得，設點的橫坐標為，由此表達點，的坐標，進而可得和的長度，得出關于的方程，解之即可．
【詳解】（1）解：點在直線，
，
，
點在第一象限，且點的縱坐標為，
將點代入直線，
，
；
（2）解：根據(jù)題意，找出點的位置，過點作軸于點，過點作于點，如圖，
，
，
，
由旋轉(zhuǎn)可知，，
，
，，
，
設直線的函數(shù)解析式為，
，即，
直線的函數(shù)解析式為；
（3）解：如圖，
，，
，
，即，
，
設點的橫坐標為，由（1）可知雙曲線的解析式為：，
，，，
，，
，解得或，
點的坐標為或．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，（2）證得三角形全等是解題關鍵，（3）中面積轉(zhuǎn)化為線段的比值是解題關鍵．
【對應導練】
1．如圖所示，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點A和．
(1)求反比例函數(shù)的表達式及A點坐標；
(2)過點A作軸，垂足為D，求的面積．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積的應用，主要培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中．
（1）把B代入求出點B，把B代入即可求解反比例函數(shù)的表達式，再聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式即可求解A；
（2）根據(jù)面積公式求解即可．
【詳解】（1）解：將代入得：
解得：，
∴，
設反比例函數(shù)的表達式為，
將代入，
得
∴反比例函數(shù)的表達式為：
，
由得：，
解得：，
將代入，解得
；
（2）解：
2．如圖，反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象相交于點與點．
(1)試求反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的函數(shù)表達式及點的坐標．
(2)請直接寫出的解集．
(3)現(xiàn)把的圖象繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到了．試問在函數(shù)圖象上是否存在一動點，使是以為底邊的等腰三角形？如果有，請求出這個點的坐標；如果沒有，請說明理由．
【答案】(1)反比例函數(shù)表達式為；正比例函數(shù)表達式為；
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定即可得到表達式，再聯(lián)立方程組求解即可得到答案；
（2）的解集是指反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方部分對應的自變量的取值范圍，數(shù)形結合求解即可得答案；
（3）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，結合直線性質(zhì)得到，根據(jù)點的對稱性及中垂線的判定與性質(zhì)得到，若使是以為底邊的等腰三角形，則，結合含的直角三角形性質(zhì)得到線段，最后由兩點之間距離公式列方程求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象相交于點，
，即反比例函數(shù)表達式為；
，即正比例函數(shù)表達式為；
反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象相交于點與點，
聯(lián)立，解得或，即；
（2）解：的解集是指反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方部分對應的自變量的取值范圍，如圖所示：
、，
當或時，反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方，即的解集是或
（3）解：如圖所示：
把的圖象繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到了，
直線垂直直線，
與關于原點對稱，
直線是線段的垂直平分線，
當在直線上時，由垂直平分線性質(zhì)可得，
若使是以為底邊的等腰三角形，則，
此時是等邊三角形，
在中，，，則，由勾股定理可得，
設，則，解得或，
或．
【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)表達式、直線與雙曲線的交點、利用圖象法解不等式、函數(shù)與特殊三角形、中垂線的判定與性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理、兩點之間距離公式等知識，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)、靈活運用相關幾何性質(zhì)是解決問題的關鍵．
3．如圖，已知，是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點．
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式，
(2)求的面積、
(3)結合函數(shù)圖象直接寫出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合嗎，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、平面直角坐標系中求三角形面積、圖象法解不等式等知識，熟練掌握一次函數(shù)及反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問題的關鍵．
（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可得到答案；
（2）在平面直角坐標系中，求出，數(shù)形結合，利用，代值求解即可得到答案；
（3）不等式的解集是指一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方部分對應的自變量的取值范圍，數(shù)形結合即可得到答案．
【詳解】（1）解：反比例函數(shù)過點，
，即；
將，代入，得，
點的坐標為，
將點，的坐標代入一次函數(shù)中，得，解得，
；
（2）解：在直線中，當時，，
點的坐標為，即，
；
（3）解：不等式的解集是指一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方部分對應的自變量的取值范圍，且、，
或．
二、題型訓練
1.利用圖形分割求面積
1．如圖，矩形的邊在x軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D，交于點E，且．
(1)若矩形的對角線相交于點F，試判斷點F是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．
(2)連接，求四邊形的面積．
【答案】(1)在，理由見解析
(2)
【分析】題目主要考查反比例函數(shù)的基本性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及坐標與圖形得出，然后確定反比例函數(shù)解析式，再由矩形的性質(zhì)得出，代入進行判斷即可；
（2）過點D作軸于點G，根據(jù)矩形的性質(zhì)結合反比例函數(shù)求面積即可．
【詳解】（1）解：點F在該反比例函數(shù)的圖象上．理由如下：
∵，四邊形為矩形．
∴，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為
又∵點F為的交點．
∴F為的中點
∴
又∵，
∴點F在該反比例函數(shù)的圖象上．
（2）如圖，過點D作軸于點G．
∴四邊形為矩形．
又∵，
∴，
又∵D，E在反比例函數(shù)的圖象上．
．
2．如圖，過反比例函數(shù)圖象上的點分別作軸、軸的垂線段，垂足分別為點．
(1)求四邊形周長的最小值，并求出此時點的坐標；
(2)過點右邊的另一點分別作軸、軸的垂線段，垂足分別為點，如果點的橫坐標分別為，試比較四邊形與四邊形周長的大小．
【答案】(1)，
(2)見解析
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，并利用數(shù)形結合思想解答是解題的關鍵．
（1）設四邊形的周長為，點的坐標為，則，利用不等式的性質(zhì)即可求解；
（2）設四邊形的周長為，四邊形的周長為，分，和，三種情況討論，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：設四邊形的周長為，點的坐標為，
則，
由題意，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵當且僅當時等號成立，
∴當且僅當時，取得最小值，
此時點的坐標為；
（2）解：設四邊形的周長為，四邊形的周長為，
則，
由題意，，
∴當，即時，，
即，∴四邊形的周長小于四邊形的周長；
當，即時，，
即，∴四邊形的周長等于四邊形的周長；
當，即時，，
即，∴四邊形的周長大于四邊形的周長．
3．如圖，以平行四邊形的頂點O為原點，邊所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，頂點A、C的坐標分別是，過點A的反比例函數(shù)的圖象交于D．
(1)點B的坐標為______．
(2)點D是的中點嗎？請說明理由；
(3)連接，求四邊形的面積．
【答案】(1)
(2)理由見解析
(3)四邊形的面積為
【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式．
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求出B點坐標；
（2）由點A的坐標進可得出反比例函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，即可求出D點坐標，即可得出結論；
（3）由（2）知點D為的中點，的面積平行四邊形的面積，即可求出四邊形的面積．．
【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，A、C的坐標分別是，
∴，
∴點B的坐標為：；
（2）解：把點代入反比例函數(shù)得：，
∴反比例函數(shù)的解析式為：；
設直線的解析式為：，
把點代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
解方程組
得：或 （不合題意，舍去），
∴點D的坐標為：，
即點D為的中點；
（3）解：如圖，連接，
點D為的中點，
的面積平行四邊形的面積，
∴四邊形的面積平行四邊形的面積的面積；
四邊形的面積為．
利用面積確定k
4．如圖，平行四邊形中，，，它的邊在軸的負半軸上，對角線在軸的正半軸上．反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點．

(1)求反比例函數(shù)的表達式；
(2)過點的直線與反比例函數(shù)在第三象限的圖像相交于點，連接，直接寫出面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查反比例與幾何圖形的關系，根據(jù)幾何圖形面積的計算方法求反比例函數(shù)的值，
（1）如圖所示，過點作軸于點，設，根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可得四邊形是矩形，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，結合，可得求出，由此可得，即可求解；
（2）設，點到的距離為，由三角形的面積公式得，再根據(jù)點位于第三象限的特點即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點作軸于點，設，

∵平行四邊形中，邊在軸的負半軸上，對角線在軸的正半軸上，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵四邊形平行四邊形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為：；
（2）解：根據(jù)題意，設，
∵，
∴設點到的距離為，則，
∴，
∵點位于第三象限，即，且，
∴，則，
∴．
5．在平面直角坐標系中，，兩點在函數(shù)的圖象上，其中，軸于點，軸于點，且．
(1)若，則的長為________，的面積為________；
(2)若點的橫坐標為，且，當時，求的值．
【答案】(1)；1
(2)
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及兩點間的距離公式，
（1）由和的值可得出點A的坐標，利用勾股定理即可求出的長度，由點B在反比例函數(shù)圖像上，利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出的面積；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征可找出點A、B的坐標，利用兩點間的距離公式即可求出、的長度，由即可得出關于的方程，解之即可求出值，再根據(jù)即可確定值．
【詳解】（1）解：∵，，
∴點，
∴， ．
∵點B在反比例函數(shù)的圖像上，
∴．
故答案為；1．
（2）解：∵A，B兩點在函數(shù)的圖像上，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
解得：或．
∵，
∴．
6．如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作y軸的平行線，交函數(shù)的圖象于點B，連接，交反比例函數(shù)的圖象于點C，已知．
(1)求k的值；
(2)連接，若點A的橫坐標為4，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，求反比例函數(shù)的解析式；
（1）延長交軸于點，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義直接計算即可；
（2）過點作，先求出正比例函數(shù)的解析式，然后求出點的坐標，從而求出，最后根據(jù)計算即可；
熟知反比例函數(shù)的幾何意義是關鍵．
【詳解】（1）解：如圖，延長交軸于點，
∵點A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作y軸的平行線，交函數(shù)的圖象于點B，且
∴，
解得，
故k的值為；
（2）如圖，過點作，
∵點A的橫坐標為4，點A是反比例函數(shù)圖象上一點，
∴，
∵平行于y軸，
∴點的橫坐標為4，
解得，
∴正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)圖象的交點的坐標為
，
故的面積為．
3.一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合
7．如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于A、B兩點．
(1)求A、B兩點的坐標；
(2)根據(jù)圖像直接寫出不等式的解集；
(3)求的面積．
【答案】(1)，
(2)或
(3)6
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，利用了數(shù)形結合的思想，求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解．
（1）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，求出方程組的解得到A與B的坐標即可；
（2）由A與B交點的橫坐標，以及0將x軸分為4個范圍，找出一次函數(shù)圖象位于反比例圖象上方時x的范圍即可；
（3）由一次函數(shù)求出y的值，確定出D坐標，即為的長，依據(jù)三角形面積=三角形面積+三角形面積，求出即可．
【詳解】（1）解：聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：，
解得：或，
即，；
（2）解：根據(jù)圖象得：當或時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，
∴不等式的解集為或；
（3）解：令中，得到，
即，
∴，
∴．
8．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集________；
(3)若P是x軸上一點，且滿足是直角三角形，直接寫出點P的坐標________．
【答案】(1)，
(2)或
(3)，，，
【分析】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及勾股定理，解一元二次方程，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．
（1）可先把代入反比例函數(shù)解析式，求得的值，進而求得的值，把兩點分別代入一次函數(shù)解析式即可．
（2）利用圖象法解決問題即可；
（3）設，表示出，分為當時，當時，當時，分別列方程求解即可．
【詳解】（1）解：點在上，
，
∴反比例函數(shù)解析式為；
又點在上，
，
∴點的坐標為，
把和兩點的坐標代入一次函數(shù)得，
解得：，
∴一次函數(shù)的解析為．
（2）解：、，
觀察圖象可知：不等式的解集為或；
（3）解：設，
∵、，
則，
當時，，
解得：，
故；
當時，，
解得：，
故；
當時，，
解得：或，
故，；
綜上，，，，．
9．如圖，已知是一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)求的面積；
(3)在坐標軸上是否存在一點P，使是直角三角形？直接寫出點P的坐標．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或或或．
【分析】（1）先把代入求得m的值即可；
（2）把代入反比例函數(shù)的解析式求得n，最后把A，B兩點代入即可求得一次函數(shù)解析式，再利用一次函數(shù)的解析式求得點C的坐標，利用即可求解；
（3）分四種情況求解：①當點P在x軸上，當時，②當點P在x軸上，當時，③當點P在y軸上時，設點，時，④當點P在y軸上時，當時．
【詳解】（1）解：∵點A的坐標為在反比例函數(shù)，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
（2）解：∵點B的坐標為也在上，
∴，
∵A的坐標為都在一次函數(shù)的圖像上
，解得，
∴一次函數(shù)的解析式為；
∵如圖：直線與x軸交于點C，，
∴，
∴，
∵A的坐標為，
∴
；
（3）解：當點P在x軸上，
設點，
①如圖2：若時，
∵A的坐標為，
∴點P的坐標為
如圖3，當時，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴點P的坐標為；
當點P在y軸上時，
設點，
如圖4：若時，
∵A的坐標為，
∴點P的坐標為；
如圖5：當時，
∴，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴點P的坐標為；
綜上可得點P的坐標為或或或．
【點睛】此題考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，一次函數(shù)與坐標軸的交點，三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，用分類討論和方程思想解決問題是解本題的關鍵．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，點為反比例函數(shù)的圖象上一點，過點分別向軸、軸作垂線，垂足分別為、，若矩形的面積為6，則的值為（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何意義，讀懂圖形，理解點在第二象限是解答關鍵．先利用矩形的面積公式得到，結合點在第二象限來求解．
【詳解】解：矩形的面積為6，
．
過點分別向軸、軸作垂線，垂足分別為、，點在第二象限，
．
．
故選：B．
2．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則這個函數(shù)圖象一定經(jīng)過點（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，在反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標的乘積相同，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵在反比例函數(shù)圖象上的點一定滿足其函數(shù)解析式，
∴在反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標的乘積相同，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
∴在該反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標的乘積為2，
∴四個選項中只有D選項符合題意，
故選：D．
3．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，，則不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】此題主要考查函數(shù)與不等式之間的關系，解題的關鍵是正確理解函數(shù)圖象和性質(zhì)．
觀察函數(shù)圖象即可求解．
【詳解】解： 觀察圖象可得，當或時，一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)圖象的上方，
∴不等式的解集為或．
故選：A．
4．已知與成反比例函數(shù)，且經(jīng)過點和點，則點的坐標可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，關鍵掌握圖象上的點的橫縱坐標的積是定值，即．
根據(jù)題意設出反比例函數(shù)解析式，再利用待定系數(shù)法把點代入求出的值，進而得到與的函數(shù)關系式，根據(jù)圖象上的點的橫縱坐標的積是定值，即進行計算即可．
【詳解】解：與成反比例，
設，
把點代入得，，
反比例函數(shù)解析式為；
，
故點的坐標可能是，
故選：．
5．如圖，點P是反比例函數(shù)圖象上的一點，過點P向x軸作垂線，垂足為M，連接，則的面積為（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】D
【分析】本題考查反比例系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于，該知識點是中考的重要考點．根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知，的面積．
【詳解】解：依據(jù)比例系數(shù)k的幾何意義可得，
面積等于，
故選：D．
6．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的一支曲線是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．根據(jù)圖中的點的坐標結合反比例函數(shù)的解析式即可判斷．
【詳解】解：反比例函數(shù)經(jīng)過點，則由圖知，第④個符合題意，
故選：D．
7．如圖，反比例函數(shù)經(jīng)過A、B兩點，分別過A、B作x軸的垂線、，垂足分別為C、D，連接，連接交于點E，若的面積為3，則四邊形的面積是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，由的幾何意義得，即，即可求解；理解的幾何意義“過反比例函數(shù)上任意一點作軸（軸）的垂線，則此點、垂足、坐標原點所構成的三角形面積為．”是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得
，
，
，
；
故選：C．
8．如圖，已知點A是一次函數(shù)圖象上一點，過點A作x軸的垂線l，B是l上一點（B在A上方），在的右側(cè)以為斜邊作等腰直角三角形，反比例函數(shù)的圖象過點B，C，若的面積為8，則的面積是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積，熟練掌握反比例函數(shù)上的點符合反比例函數(shù)的關系式是關鍵．
如圖，過C作軸于D，交于E．由是等腰直角三角形得到，設，則，設，則，，反比例函數(shù)的圖象過點B，C，則，解得，則，再根據(jù)即可求解．
【詳解】解：如圖，過C作軸于D，交于E．
∵軸，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
設，則，
設，則，，
∵反比例函數(shù)的圖象過點B，C，
∴，
解得，則，
∵，
∴，
∴．
故選：C．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，矩形的頂點在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過邊的中點和點，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的性質(zhì)等知識，依據(jù)題意，設，，由點E和點C在反比例函數(shù)上，求出的值，得到，從而可以求出k的值，解題時要熟練掌握并能靈活運用矩形的性質(zhì)是關鍵．
【詳解】解：∵四邊形是矩形， ，點為邊的中點，
，
∴設，，
∵點和點在反比例函數(shù)上，
，
，
∴，
，
故答案為：．
10．如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的邊在軸上，若反比例函數(shù)上經(jīng)過點和線段的中點，平行四邊形的面積為4，則的值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)．過作軸于，作軸于，如圖，設的坐標為，由平行四邊形的面積為4，得到，得到，根據(jù)點是線段的中點，求得，，再把，代入計算即可．
【詳解】解：過作軸于，作軸于，如圖，
設的坐標為，則，
平行四邊形的面積為4，
，，
∴，，
點是線段的中點，
∴，
反比例函數(shù)經(jīng)過點和線段的中點，
，
，
，
故答案為：．
11．如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數(shù)的圖象上．點的坐標為，連接．若，則的值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，構造全等三角形推出點的含有的坐標，利用同一反比例函數(shù)上點的坐標之積相等列出關于的方程，解出即可求出的坐標，構造一線三垂直出現(xiàn)全等三角形是本題的突破口．
【詳解】解：過點作軸的平行線交軸于點，過點作軸的平行線交的延長線于點,如圖所示：
點的坐標為，
，
，，
，
，，
，
，，則，
，
點、都在反比例函數(shù)上，
，即，
解得，（舍去），
點的坐標為，
．
故答案為：．
12．如圖，兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設點P在上，軸于點C，交于點A，軸于點D，交于點B，則四邊形的面積為 ．
【答案】/
【分析】主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即在反比例函數(shù)圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是，且保持不變．根據(jù)反比例函數(shù)k值的意義，求出四邊形的面積和的面積即可得出答案．
【詳解】∵
∴四邊形的面積為：，
故答案為：
13．如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，垂直于軸于，是軸負半軸上一個動點，是斜邊上一點，連接并延長，交軸于點，連接，，若的面積為18，則的值為 ．
【答案】9
【分析】本題主要查反了比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義，正確地作出輔助線成為解題的關鍵．
如圖：過點A作y軸的垂線得到矩形，連接，則矩形的面積是面積的2倍，所以只要根據(jù)的面積求出的面積，進而求得k的值．
【詳解】解：如圖：過點A作軸，連接，
∵垂直于軸于，，
∴四邊形為矩形，
∵，
∴，即，
，，
，
，
∵，
∴．
故答案為：9．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．已知反比例函數(shù)的解析式，并且當時，．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)當時，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查求反比例函數(shù)的解析式，求函數(shù)值．
（1）待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）把代入解析式求值即可．
【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的解析式，并且當時，，
∴；
∴；
（2）當時，．
15．已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流Ⅰ（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關系．當時，，求這個反比例函數(shù)的解析式．
【答案】
【分析】直接利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解：設電流Ⅰ（單位：A）與電阻R（單位：Ω）的關系式為，
∵當時，，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，正確計算是解題的關鍵．
16．如圖，點A為函數(shù)圖象上的一點，過點A作x軸的平行線交 軸于點B，連接，如果的面積為2，求k的值．
【答案】
【分析】根據(jù)在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是，再根據(jù)反比例函數(shù)的圖象位于第一象限即可求出k的值．
【詳解】解：根據(jù)題意可知：軸，則軸于B，
∴，
解得：，
又反比例函數(shù)的圖象位于第一象限，，
則． 故k的值為4．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于．本知識點是中考的重要考點，同學們應高度關注．
17．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A、B兩點，與y軸交于點C，過點A作軸，垂足為M，，點B的縱坐標為．
(1)求反比例函數(shù)表達式和一次函數(shù)的解析式；
(2)直接寫出當時，自變量的取值范圍；
(3)連接、，求的面積；
【答案】(1)；
(2)或；
(3)4
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數(shù)形結合的思想是解此題的關鍵．
（1）運用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，即可得出點的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可得出一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可得解；
（3）先求出得到，再根據(jù)計算即可得解．
【詳解】（1）解：∵軸，垂足為M，，，
∴，
把代入反比例函數(shù)，可得，
解得：，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
令，則，
∴，
把，代入一次函數(shù)可得，
解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為；
（2）解：由圖象可得：當時，自變量的取值范圍為或；
（3）解：在中，令，則，即，
∴，
∴．
18．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
(2)若是軸上一點，且滿足的面積是6，請求出點的坐標．
【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式是，一次函數(shù)的解析式是；
(2)點的坐標為或
【分析】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點求不等式解集，坐標與圖形性質(zhì)，以及三角形的面積求法．
（1）將坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出的值，即可確定出反比例函數(shù)解析式；將坐標代入反比例解析式中求出的值，確定出坐標，將與坐標代入一次函數(shù)解析式中求出與的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）作軸于，根據(jù)即可求出的長，進而求出點的坐標．
【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
．
反比例函數(shù)的解析式是，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點，
，
解得：，
一次函數(shù)的解析式是；
（2）解：如圖，作軸于，則，
∵，
∴
解得：，
點的坐標為或．
19．已知一次函數(shù)與反比例函數(shù) 的圖象交于兩點．
(1)①求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
②求的面積．
(2)在x軸的負半軸上，是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)①， ；②
(2)或或
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，掌握待定系數(shù)法是解題關鍵．
（1）①將代入 可求得反比例函數(shù)的表達式為： ；進一步可得；將、代入即可求解；②設一次函數(shù)與軸交于點，可求得，根據(jù)即可求解；
（2）設點，分類討論，，，三種情況即可求解；
【詳解】（1）解：①將代入 得： ，
解得：；
∴反比例函數(shù)的表達式為： ；
∴，即：；
將、代入得：，
解得：，
∴一次函數(shù)的表達式為：
②設一次函數(shù)與軸交于點，如圖所示：
由得；
∴
∴
（2）解：設點，
，則，
解得：；
，則，
解得：或（舍）；
，則，
解得：；
綜上所述：點P的坐標為或或
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑