資源簡介

專題 實際問題與一元一次方程—積分問題和數字問題
一、積分問題
積分問題的常見類型
在體育比賽、游戲競賽等場景中，常常會涉及到積分問題。一般來說，積分規則會根據比賽的勝負平情況來設定。
例如：在足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分。
在籃球比賽中，勝一場得2分，負一場得0分（有的聯賽會有更復雜的積分規則，如勝場加分、輸場扣分等）。
解決積分問題的步驟
步驟一：分析積分規則
仔細閱讀題目，確定比賽的積分規則，即勝、負、平分別對應的積分。
步驟二：設未知數
根據題目要求，設出合適的未知數。通常可以設比賽的場數、勝場數、負場數等為未知數。
步驟三：列方程
根據積分規則和題目中的已知條件列出方程。
步驟四：解方程并檢驗
解出方程得到未知數的值，然后將結果代入原問題進行檢驗，確保答案符合題意。
例題解析
例題1：簡單積分問題
題目：某籃球聯賽中，一支球隊共進行了20場比賽，勝一場得2分，負一場得0分，該隊總積分為32分，求該隊勝了多少場？
解析：設該隊勝了場，則負了場。
根據積分規則可列方程，即，解得場。
檢驗：勝場數為16場，負場數為場，總積分分，符合題意。
例題2：復雜積分問題
題目：在一次足球聯賽中，有甲、乙兩支球隊。甲隊比賽了15場，勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分，甲隊總積分為30分，且甲隊勝場數比平場數多2場，求甲隊勝、平、負各多少場？
解析：設甲隊平了場，則勝了場，負了場。
根據積分規則列方程：
展開方程得，，解得場。
所以甲隊勝了場，負了場。
檢驗：勝8場得分，平6場得分，負1場得0分，總積分分，符合題意。
二、數字問題
數字問題的常見類型
數字問題通常涉及到數字的組成、數字的變換等。常見的有：
兩位數、三位數等數字的表示。例如，一個兩位數，十位數字是，個位數字是，則這個兩位數表示為。
數字的對調問題，如將一個兩位數的個位數字與十位數字對調后，比較原數與新數的大小關系等。
數字在運算中的應用，如一些算式中數字的關系等。
解決數字問題的步驟
步驟一：正確表示數字
根據數字的數位關系，正確地用代數式表示數字。例如，對于三位數（為百位數字，為十位數字，為個位數字），其表示為。
步驟二：分析數字關系
根據題目中的條件，分析數字之間的關系，如和、差、積、商等關系。
步驟三：列方程
根據數字關系列出方程。
例如，如果一個兩位數，個位數字與十位數字之和為，且這個兩位數比個位數字與十位數字之積的倍多，設十位數字為，個位數字為，則可列方程。
步驟四：解方程并檢驗
解出方程得到未知數的值，然后將結果還原成數字進行檢驗，確保答案符合題意。
例題解析
例題1：數字表示問題
題目：一個三位數，百位數字是，十位數字是，個位數字是，用代數式表示這個三位數。
解析：根據數字的數位關系，這個三位數表示為。
例題2：數字對調問題
題目：一個兩位數，個位數字是，十位數字是，將個位數字與十位數字對調后得到新的兩位數，新數比原數大36，求原數。
解析：原數表示為，對調后的新數表示為。
根據題意可列方程
展開方程得，，化簡得。
因為、是數字，且不能為0，所以可以通過列舉法求解。
當時，，原數為；當時，，原數為；當時，，原數為；當時，，原數為；當時，，原數為。
例題3：數字在算式中的問題
題目：在算式中，、、是不同的數字，求、、的值。
解析：因為表示一個三位數，所以，。
根據題意可列方程
展開方程得
移項整理得，進一步化簡得。
通過試值法，因為是百位數字，且，所以只能是1或2。
當時，，，通過試值發現，滿足方程。
當時，，，無合適的數字解。
所以，，。
練習：
1.學校組織七年級7個班開展籃球賽。規定本班和其他班每班只打一場，贏一場積3分，輸一場扣1分（無平局），已知四班同學獲得積分為14分，那么他們贏了___場。
2.爸爸和小明共下12局棋（未出現和棋），記分規則：爸爸贏一局記1分，小明贏一局記2分。若爸爸和小明得分相同，則爸爸贏了___局。
3.某學校圍棋社組織成員進行比賽，規則如下：每兩位選手都要進行比賽，決出勝負（沒有平局），勝者得1分，負者得0分。在所有選手中，男選手有12人，女選手有9人。比賽結束后，經統計，女選手的總得分比男選手的總得分多70分。
(1)共進行了多少場比賽？
(2)男選手的總得分是多少分？
(3)男選手與女選手的所有比賽中，男選手共得了多少分？
(4)小明提出：在這個圍棋比賽中，得分最高的選手一定是女選手，為什么？
4.2023年5月，貴州省榕江縣足球超級聯賽在該縣城北新區體育館開幕，現場觀眾最多時達到5萬人，平均每場比賽超5000萬人次在線圍觀，全網流量突破300億次……這場“村超”的火爆“出圈”提升了貴州鄉村人民對自己文化、生活的自豪和自信。下表呈現的是各村足球隊中部分參賽隊根據積分規則得到的不完整積分表。
參賽隊 局次 勝 和 負 積分
朗洞鎮平松村 9 6 2 1 20
小瑞村 9 5 2 2 17
三江四格隊 9 0 0 9 0
平永村隊 9 1 14
觀察表格，解決下列問題：
(1)本次比賽：“勝”一局得___分，“和”一局得___分，“負”一局得___分；
(2)請在表格中將“平永村隊”的積分補充完整；
(3)在積分規則不變的前提下，若此系列賽每個隊共對弈21局，“美鄉村隊”最終勝的局數是負的局數的2倍，你認為“美鄉村隊”的最終得分可以是40分嗎？請說明理由。
5.下表是某次籃球聯賽部分球隊的積分表：
隊名 比賽場次 勝場 負場 積分
前進 16 10 6 36
光明 16 9 7 34
遠大 16 12 4 40
衛星 16 6 10 28
備注：積分=勝場積分+負場積分
(1)直接寫出勝一場的積分和負一場的積分；
(2)某隊說他們的總積分為45分，你認為可能嗎？為什么？
(3)若某隊的負場總積分是勝場總積分的正整數倍，勝一場獎勵每個球員5000元，負一場獎勵每個球員1000元，請問這支球隊的每個球員所獲獎金可能是多少元？
6.三個連續的偶數的和是3a，其中最大的偶數是（）
A. 2a
B. a + 1
C. a + 2
D. a + 4
7.已知4個連續的偶數a、b、c、d，滿足bd - ac = 412，則這四個偶數是____.
8.一個兩位數個位上的數字是1，十位上的數字是x，把1與x對調，新的兩位數比原兩位數小18，則x的值是（）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
9.在算式中，不同的字母表示不同的數字，相同的字母表示相同的數字，則表示的數為____.
10.已知一個兩位數，個位上的數字和十位上的數字和為8，將其個位上的數字與十位上的數字對調后組成一個新的兩位數。若原兩位數與18的和不大于新兩位數，則滿足條件的兩位數可能是____.
參考答案：
1.設四班贏了場，則輸了場，根據積分可列方程，
展開得，
合并同類項得，解得，所以他們贏了場。
2.設爸爸贏了局，則小明贏了局，根據得分相同可列方程，
展開得，
移項得，解得，所以爸爸贏了局。
3.(1)比賽總場數場。
(2)設男選手總得分是分，則女選手總得分是分，
根據比賽場數可列方程，
展開得，
移項得，解得，所以男選手總得分是分。
(3)男選手與女選手比賽場數為場，因為男選手在這些比賽中輸的場數等于女選手贏的場數，女選手總得分比男選手多分，所以男選手在與女選手比賽中得了分。
(4)因為女選手總得分比男選手多分，且所有選手得分都是通過勝負獲得（沒有平局），所以得分最高的選手一定是女選手。
4.(1)從朗洞鎮平松村數據可得，勝一局得分，和一局得分，負一局得分。
(2)平永村隊勝場，負場。
(3)設美鄉村隊負局，則勝局，和局，
得分，
當時，，解得，此時勝局，和局，符合題意，所以可以是分。
5.(1)設勝一場得分，則負一場得分
列方程： ，
展開得，
移項得，解得，則，所以勝一場得分，負一場得分。
(2)設勝場，負場，總積分，
當時，，解得不是整數，所以不可能。
(3)設勝場，負場（為正整數），則，，
獎金，
當時，，元；
當時，，元；
當時，，元；
當時，，元。
6.設中間的偶數為，則三個連續偶數為，，，和為，最大的偶數是，選C。
7.設這四個連續偶數為，，，，則，
展開得，
合并同類項得，解得，所以這四個偶數是，，，。
8.原兩位數為，新兩位數為，根據題意，展開得，合并同類項得，解得，選C。
9.設，則，
展開得，
移項得，解得。
10.設原兩位數個位數字為，則十位數字為，原數為，新數為，
根據題意，
移項得，解得，
當時，原數為；當時，原數為；當時，原數為。

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