資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
一元一次方程及其解法
【知識梳理】
1、方程：
含未知數的等式，叫方程。使方程左右兩邊相等的未知數的值叫方程的解。
2、等式的性質：
等式性質1：等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式。
等式性質2：等式兩邊都乘以（或除以）同一個不為零的數，所得結果仍是等式。
3、一元一次方程：
方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的次數是一次，這樣的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的標準形式： ax+b=0（x是未知數，a、b是已知數，且a≠0）。
一元一次方程的最簡形式： ax=b（x是未知數，a、b是已知數，且a≠0）。
4、一元一次方程解法的一般步驟：
去分母 — 去括號 — 移項 — 合并同類項 — 兩邊同除以未知數的系數。
注意：移項是把方程中的某一項從方程的一邊移到另一邊，同時改變符號。這種變形本質是利用了等式的性質1，同時簡化了步驟。
【課堂練習】
選擇題
1.下列變形中，不正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
2.已知下列方程：；；；其中一元一次方程的個數是( )
A. B. C. D.
3.已知方程是關于的一元一次方程，則方程的解等于( )
A. B. C. D.
4.下列方程變形正確的是( )
A. 方程，移項，得
B. 方程，去括號，得
C. 方程，未知數系數化為，得
D. 方程化成
5.已知關于的方程的解是，則的值是 ( )
A. B. C. D.
6.已知關于的方程的解為正整數，則符合條件的所有整數的和為( )
A. B. C. D.
7.若關于的方程無解，則( )
A. B. C. D.
8.下列結論：若，且，則方程的解是若有唯一的解，則若，則關于的方程的解為；若，且，則一定是方程的解；其中結論正確個數有( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
二、填空題
9.把方程改寫成用含的式子表示的形式為____________．
10.若是關于的方程的解，則代數式的值為______．
11.設，，，為實數，現規定一種新的運算：，則滿足等式的的值為 ．
12.如果兩個一元一次方程的解之和為，我們就稱這兩個方程為“和諧方程”，例如：方程和為“和諧方程”若關于的兩個方程與是和諧方程，則的值為______．
13.方程的解是 ．
三、計算題
14.解方程：； ．
四、解答題
15.已知關于的方程與的解互為相反數，求的值．
16.在數學課上，冰冰在解方程時，因為粗心，去分母時方程左邊的沒有乘以，從而求得的方程的解為，試求的值，并解出原方程正確的解．
17.綜合與實踐：
定義：我們稱關于的方程與方程、均為不等于的常數互為“輪換方程”，如：方程與方程互為“輪換方程”．
判斷：與；與；與；其中互為“輪換方程”的有______；填寫序號
若關于的方程與方程互為“輪換方程”，求的值；
若關于的方程與其“輪換方程”的解都是整數，也為整數，對于多項式和，不論取多少，與的和始終等于整數，求常數的值．
【課后鞏固】
1.已知關于的方程無解，那么的值是( )
A. 負數 B. 正數 C. 非負數 D. 非正數
2.關于的方程有解，則的值是( )
A. B. C. D.
3.關于的方程有無窮多個解，則．
A. B. C. D.
4.已知關于的一元一次方程的解為，那么關于的一元一次方程的解為( )
A. B. C. D.
5.已知數列，，，，，，，，，，，，，，，，，記第一個數為，第二個數為，，第個數為，若是方程的解，則__________．
6.在九章算術方田章“圓田術”中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術所體現的是一種無限與有限的轉化的思想，比如在中“”代表按規律不斷求和，設則有，解得，故類似地的結果為 ．
7.解方程：
； ．
8.先閱讀下面的解題過程，然后解答后面兩個問題．
解方程：．
解：當，即時，原方程可化為，解得；
當，即時，原方程可化為，解得．
所以原方程的解是或．
解方程：．
當為何值時，關于的方程，無解？只有一個解？有兩個解？
9.若是關于的方程的解，是關于的方程的解，且，是滿足，則稱方程與方程的解接近．例如：方程的解是，方程的解是，因為，方程與方程的解接近．
請直接判斷方程與方程的解是否接近；
若關于的方程與關于的方程的解接近，請你求出的最大值和最小值；
請判斷關于的方程與關于的方程的解是否接近，并說明理由．
參考答案
【課堂練習】
1.【答案】
【解析】本題主要考查有關等式性質的知識，關鍵是知道等式性質．
解：若，則，時，不成立，錯誤；
B.若，則，正確；
C.若，則，正確；
D.若，則 ，正確．
2.【答案】
【解析】解：是一元一次方程；
中的指數是，不是一元一次方程；
是一元一次方程；；
中含有兩個未知數，不是一元一次方程．
根據一元一次方程的定義進行判斷即可．
3.【答案】
【解析】解：根據一元一次方程的定義可知，且，
解得：，原方程為：，解得：，
根據一元一次方程的定義，即含有個未知數，且未知數的最高次數是的整式方程是一元一次方程，據此求出的值，然后再求解方程即可．
4.【答案】
【解析】解：、方程，移項可得，不符合題意；
B、方程去括號，得，不符合題意；
C、方程，未知數系數化為，得，不符合題意；
D、方程可化為，符合題意．
各方程整理得到結果，即可作出判斷．
5.【答案】
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
方程的解為正整數，
，，
解得或，
符合條件的所有整數的和為：．
求得方程的解，根據解是正整數，分類計算即可．
7.【答案】
【解析】根據一元一次方程無解，可得一次項的系數為，可得答案．
解：若關于的方程無解，
則，
8.【答案】
【解析】本題考查了方程的解的定義，理解定義是關鍵，根據方程的解的定義，就是能使方程的左右兩邊相等的未知數的值，即可判斷．
解：當時，代入方程即可得到，成立，故正確；
，去括號得：，即，方程有唯一的解，則，故正確；
方程，移項得：，則，，，則，故錯誤；
把代入方程，得到，則一定是方程的解，故正確．
9.【答案】
【解析】本題考查二元一次方程的變形，解題的關鍵是掌握等式的基本性質，直接移項變形即可．
解：，．
10.【答案】
【解析】解：將代入，
得，
，
，
，
將代入，得到，即可求解．
11.【答案】
12.【答案】
【解析】解：方程的解是，
方程的解是，
由題意得，，
解得，
分別求出兩個方程的解，再根據兩個方程為“和諧方程”得出，求出的值即可．
13.【答案】
【解析】本題考查解一元一次方程，將方程正確變形是解題的關鍵．
解：因為，，，，，
所以
，
即，
解得．
14.【答案】解：去括號，得：，
移項、合并同類項，得：，
系數化為，得：；
去分母，得：，
去括號，得：，
移項、合并同類項，得：，
系數化為，得：．
【解析】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項、合并同類項，把未知數系數化為，求出解．
15.【答案】解：方程，
解得：，
與的解互為相反數，
把代入第一個方程得：，
解得：．
【解析】求出第二個方程的解，根據兩方程解互為相反數求出第一個方程的解，即可求出的值．
此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．
16.【答案】解：去分母時，只有方程左邊的沒有乘以，
，
把代入上式，解得，
原方程可化為：，
去分母，得，
去括號，得，
移項、合并同類項，得，
系數化為，得，
故，．
【解析】先根據錯誤的做法：“方程左邊的沒有乘以”而得到，代入錯誤方程，求出的值，再把的值代入原方程，求出正確的解．
17.【答案】
【解析】解：由題可知，關于的方程與方程、均為不等于的常數稱互為“輪換方程”，
方程與方程互為“輪換方程”，故正確；
方程與互為“輪換方程”，故正確；
方程與不互為“輪換方程”，故錯誤．
故答案為：．
關于的方程與方程互為“輪換方程”，
，
解得：，
．
關于的方程的“輪換方程”為：，
由方程得：，
由方程得：，
關于的方程與其“輪換方程”的解都是整數，也為整數，
或，
，
多項式和，不論取多少，與的和始終等于整數，
，解得：，
綜上分析可知，常數的值為．
根據“輪換方程”的定義直接可得答案；
根據“輪換方程”得出，求出，即可得出答案；
關于的方程與其“輪換方程”的解都是整數，也為整數，求出或，再根據不論取多少，與的和始終等于整數，求出答案即可．
【課后鞏固】
1.【答案】
【解析】解：關于的方程無解，則．
有或者、異號．
的值為非正數．
根據一元一次方程無解，則，，依此可以得出關于的方程中，從而得出的取值范圍．
2.【答案】
【解析】本題考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次項的系數不等于零．根據一元一次方程有解，可得一次項的系數不等于零．
解：，
，
要使有解，
則解得．
3.【答案】
【解析】本題考查一元一次方程的解的知識，關鍵是掌握方程有無窮多解的條件方程，則，，將方程化為標準形式后可得出答案．
解：整理原方程得
要使該方程有無窮多解，只當且，
當時，．
所以當時，原方程有無窮多個解．
4.【答案】
【解析】此題考查一元一次方程的解，整體思想的應用，將看作然后比較即可得到的值為，然后解之即可求出的值．
解：解：關于的一元一次方程的解為，
即，關于的一元一次方程，可得，解得．
5.【答案】或
【解析】先求出方程的解，得出為組，再給數列分組，從中找出規律每組的個數為，然后即可求解．
解：將方程，
去分母得，
移項，并合并同類項得，
解得，
因為是方程的解，
所以，則為組，
觀察數列，，，，，，，，，，，，，，，，，
可發現規律：為組，，，為組，
每組的個數為，則第組有，則第組共有個數．
這組數的最后一位數為：，
這組數的第一位數為：．
故答案為或．
6.【答案】
【解析】本題考查了一元一次方程的解和規律型：數字的變化類，通過變形得到是解題的關鍵．
設，變形得到，從而得到，解方程即可得出答案．
解：設，
則，，．
7.【答案】解：去括號，得：，
移項、合并同類項，得：，
解得：；
去分母，得：
去括號，得：，
移項、合并同類項，得：，
解得：．
8.【答案】【小題】解：整理，得．
當，即時，原方程可化為，解得；
當，即時，原方程可化為，解得．
所以原方程的解是或．
【小題】因為，
所以當，即時，方程無解；
當，即時，方程只有一個解；
當，即時，方程有兩個解．
9.【答案】解：解方程得，，
解方程得，，
，
方程與方程的解不接近；
關于的方程的解為，關于的方程的解為，
關于的方程與關于的方程的解接近，
，解得或，即，
的最大值是，最小值；
解方程得，
解方程得，
方程與方程的解接近．
【解析】解出兩個一元一次方程的解分別是和，根據題意則兩個方程得解接近，否則不接近．本題中
由題意可知，分別求出兩個方程的解都用的式子來表示，求出的取值范圍，再從中確定的最大值和最小值．
分別解出兩個一元一次方程的解都用的式子來表示，求出兩個解的絕對值與比大小即可．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑