資源簡介

5.1.2 弧度制
教學目標
1.理解角的集合與實數集間的一一對應；?
2.熟練掌握角度制與弧度制間的互相轉化；
3、能靈活運用弧長公式、扇形的面積公式。
重難點
1.教學重點：角度與弧度的互相轉化，弧長公式及扇形的面積公式的推導與運用；
2.教學難點：用扇形的弧長公式、扇形的面積公式解決問題。
知識梳理
1.規定： 叫做1弧度的角。
2.一般地，正角的弧度數是一個 ，負角的弧度數是一個 ，零角的弧度數是 。
3.弧度與角度的轉化：1°= rad;1rad= 。
4.扇形的弧長公式： ，扇形的面積公式： 。
學習過程
一、探索新知
探究：在圓內，圓心角的大小和半徑大小有關系嗎？
角度為300、600的圓心角，半徑r=1,2,3時，
（1）分別計算相對應的弧長l。
（2）分別計算對應弧長與半徑之比。
思考：通過上面的計算，你發現了什么規律？
1.弧度的概念
把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角.
弧度制：這種以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制，它的單位是弧度，單位符號是rad.
約定： 正角的弧度數為正數，
負角的弧度數為負數，
零角的弧度數為0.
思考1:圓的半徑為r,弧長分別為2r、-3r,則它們所對圓心角的弧度
數是多少
思考2：如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，那么，角α的弧度數的絕對值如何計算？
結論：圓心角AOB的弧度數等于它所對的弧的長與半徑長的比的絕對值。
2.角度與弧度的換算
思考3：一個周角以度為單位度量是多少度， 以弧度為單位度量是多少弧度？由此可得角度與弧度有怎樣的換算關系？
思考4：根據上述關系，1°等于多少弧度， 1 rad等于多少度？
把 67°30′化成弧度。
把下列各角的弧度化為度數。
注：角度制與弧度制互化時要抓住 180°= rad 這個關鍵。
注: 常規寫法
① 用弧度數表示角時，常常把弧度數 寫成多少的形式，不必寫成小數．
②用弧度制表示角時,“弧度”二字或 “rad”通常略去不寫,面只寫該角所對應的弧度數.
③弧度與角度不能混用．即不能出現這樣的形式:。
練習：填寫下列表中特殊角的弧度數或度數。
角度 00 300 600 1200 1350 2700
弧度
角的概念推廣后，角與實數之間建立了一一對應關系，
任意角的集合 實數集R
例3.利用弧度制證明下列扇形的公式：（1）
。（其中R是扇形的半徑，是弧長，，S是扇形的面積）。
達標檢測
1．正確表示終邊落在第一象限的角的范圍的是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
2．與30°角終邊相同的角的集合是(　　)
A．
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D．
3．在半徑為10的圓中，240°的圓心角所對弧長為(　　)
A．π B．π
C．π D．π
4．將－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式為_______．
5．一個扇形的面積為1，周長為4，求該扇形圓心角的弧度數．
課堂小結
這節課你的收獲是什么？
參考答案：
探究：規律：①.圓心角不變，比值不變；比值的大小與所取的圓的半徑大小無關；
②圓心角改變，比值改變；比值的大小只與圓心角的大小有關；
思考1.2rad,-3rad. 思考2.
思考3.360 ，。
思考4
例1.因為所以。
例2.（1）
練習：
角度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧度 0
例3.解析見教材
達標檢測
1.【解析】　B中k＝1時為顯然不正確；因為第一象限角不含終邊在坐標軸的角故C、D均錯，只有A正確．
【答案】　A
【解析】　∵30°＝30× rad＝ rad，
2.∴與30°終邊相同的所有角可表示為
α＝2kπ＋，k∈Z，故選D．
【答案】　D
3.【解析】　240°＝240× rad＝πrad，
∴弧長l＝|α|·r＝π×10＝π，選A．
【答案】　A
4.【解析】　由－1 485°＝－5×360°＋315°，
所以－1 485°可以表示為－10π＋π.
【答案】　－10π＋π
5.【解析】　設扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為α，
則2R＋l＝4.①
由扇形的面積公式S＝ lR，得lR＝1.②
由①②得R＝1，l＝2，∴α＝＝2 rad.
∴扇形的圓心角為2 rad.

展開更多......

收起↑